>>614
918の修正版

与式においてy=-f(x)として
f(0)=2x+f(f(f(-f(x))-x))
この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射.
a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして
f(f(x)+a)=f(f(x)+b)
fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ.
また, 与式においてx=a, bとして
2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b)
f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので
a=b よってfは単射.
与式においてx=y=0として
f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0
～～以下修正～～
∀c∈R, 与式においてx=0, y=cとして
f(c)=f(f(f(c)))
fは単射なのでc=f(f(c))…①
①と与式より、
f(f(x)+y)=2x+(f(y)-x)=x+f(y)
この式においてx=f(a),y=bとして
f(f(f(a))+b)=f(a)+f(b)
①よりf(a+b)=f(a)+f(b):fは加法的…②

逆に①と②が成立すれば、与式について
右辺=f(f(x)+y)=f(f(x))+f(y)=x+f(y)
左辺=2x+f(f(f(y)))-f(f(x))=x+f(y)
なので、①かつ②が与式の成立に必要十分 □

ここまでですね