面積最大のn角形が「存在する」ことを証明するには、たとえば >>887 を拝借して、

A ＝ { (θ_1,...,θ_n)｜θ_i≧0, Σ(i=1,n)θ_i=2π }

S：A → R

S(θ_1,...,θ_n) ＝ (1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i)

として関数 S を定義すればよい。このとき、S は A 上の連続関数であり、
かつ A はコンパクトなので、S は最大値を持つことが分かる。
すなわち、面積最大のn角形は「存在する」ことが分かる。

……というように、面積最大のn角形の「存在性」を言うには、
それなりの抽象論が必要になって、なかなか初等的にはいかない。

初等的に済むのは、>>887 のように、ある種の不等式を使って、
直接的に「正n角形が面積最大」を示すことである。

そういう方法ではない、>>884 のような方針を使う場合には、
面積最大のn角形の「存在性」を示す必要があって、
そうすると上記のように それなりの抽象論が必要になる。