>>111
θは定数という認識で構いませんね

内心をPとすると、∠BPC=2θ(中学とかでもやる幾何の角度問題。面倒なので過程は省略)
∠BPCが2θで一定なので、PはBCを弦とする円弧の上を動く。
ここでPからBCに垂線PHを下ろすと、内接円の半径rはPHである。

rが最大になるのは、PがBCから最も離れるとき、すなわちBCの垂直二等分線上に来るときである。
このとき△PBCは二等辺三角形になり、底角が等しいので△ABCも二等辺三角形になる。

この場合について考える。
AB=AC=xとおいて余弦定理よりx=1/(2sin(θ/2))
内接円の半径と面積の関係から
(1/2)AB*ACsinθ=(1/2)r(AB+AC+BC)
(1/(2sin(θ/2)))^2(sinθ)=r(1+(1/sin(θ/2))
〜略〜(2倍角公式で変形)
r=(cos(θ/2))/(2(1+sin(θ/2)))
よって最大値は(cos(θ/2))/(2(1+sin(θ/2)))


これの類題が今年の京大4番で出てます。