吉田伸生さんの本は読みにくすぎます。

b ∈ Q, 空集合 ≠ A ⊂ Z とする。
A ⊂ (-∞, b] なら max A が存在する。

この命題の証明が以下です：

A ≠ 空集合 より a ∈ A を一つ選ぶ。このとき、 Z ∩ [a, b] は有限集合（例1.2.6）、したがって
その部分集合 A ∩ [a, b] も有限集合である（問1.2.1）。さらに a ∈ A ∩ [a, b] より
A ∩ [a, b] ≠ 空集合。ゆえに m = max(A ∩ [a, b]) が存在する（例1.2.8）。このとき、
m ∈ A だから、任意の x ∈ A に対し x ≦ m なら m = max A である。ところが x ∈ A ∩ [a, b]
なら、 x ≦ m。また、 x ∈ A ∩ (-∞, a) なら、 x < a ≦ m。以上から m = max A。


この明らかな命題に対する吉田さんの証明をすらすら読める人はあまりいないのではないでしょうか？