一般相対論や多様体を学習し始めた者です

【質問】
パラメータt付き曲線cに沿った接ベクトル（速度ベクトル）の成分は任意の座標(x1,x2,..,xn)で
(dx1/dt, dx2/dt, ... , dxn/dt)
になるのかをお尋ねしたいです

【1】
「多様体の基礎」などには
任意の関数fに対して
dc/dt ≡ df(c(t))/dt = Σ_x(dx/dt ∂f/∂x)
(∂/∂x)を基底とすれば成分はdx/dtとなる、というようなことが書かれています

【2】
一方で、
位置ベクトルを
c = v^x1(x1,x2,...,xn) e_x1(x1,x2,...,xn) + v^x2(x1,x2,...,xn) e_x2(x1,x2,...,xn) + ... + v^xn(x1,x2,...,xn) e_xn(x1,x2,...,xn) (v^xは成分、e_xは基底ベクトル)
とすると、
dc/dt
= Σ_x(dx/dt ∂c/∂x)
= Σ_x(dx/dt v^α;β)e_α (v^α;β ≡ ∂v^α/∂x^β + v^αΓ^α_μβ でいわゆる共変微分)
となり、はたしてv^α;βが一般的に1となるかが明らかでないので、【1】と【2】の整合性をどう取ればいいか悩んでいます

よろしくお願いします