n次元の表面積をS(n,r)とすると
S(n,r)=∫[0,π]S(n-1,r*sinθ)rdθ
S(n,r)=s(n)r^(n-1)とおくと
s(n)=s(n-1)∫[0,π](sinθ)^(n-2)dθ

I(n)=∫[0,π](sinθ)^ndθとすると
nが偶数のとき、I(n)=π(n-1)!!/n!!
nが奇数のとき、I(n)=2(n-1)!!/n!!

nが偶数のとき
s(n)=π(n-3)!!/(n-2)!!s(n-1)
=(2π)^(n/2)/(n-2)!! ∵s(2)=2π

nが奇数のとき
s(n)=2(n-3)!!/(n-2)!!s(n-1)
=2(2π)^((n-1)/2)/(n-2)!! ∵s(1)=2

以上から
s(n)=2^ceil(n/2)*π^floor(n/2)/(n-2)!!