>>674
シグマが消えたので修正を入れます。

部分積分して a[n+1] = e - (n+1) a[n]
両辺を (n+1)! で割って
a[n+1]/(n+1)! = e/(n+1)! - a[n]/n!

…で行き詰まりました。


a[n] = ∫[0,1] x^n e^(-x) dx であったなら
（参考までに）次のように求められるのですが…
ただし、Σ[n=0, ∞] 1/n! が収束することは既知とします。

a[n+1] = -1/e + (n+1) a[n] より
a[n+1]/(n+1)! = -(1/e)/(n+1)! + a[n]/n!

この両辺を n = 0, 1, 2, ..., N-1 について足して
a[N]/(N)! = -(1/e) Σ[n=1,N] 1/n! + a[0]/0!

ここで a[0] = 1 - 1/e より
a[N]/N! = -(1/e) Σ[n=0,N] 1/n! + 1 ……①

区間 [0, 1] で 0 < e^(-x) ≤ 1 より
0 < a[N] < ∫[0, 1] x^n dx = 1/(n+1) → 0 (N → ∞)
ゆえに a[N] → 0 (N → 0)

よって、①の両辺の N → ∞ の極限をとって
0 = -(1/e) Σ[n=0, ∞] 1/n! + 1
したがって Σ[n=0, ∞] 1/n! = e