これの（2）が手も足も出ないので教えてください。具体的に個数を求めるのは無理で、不等式で評価することもできず、困っています。

合同な白い正三角形で敷き詰められた平面がある。
いま、これらの白い正三角形のうち1つを選び、それを黒く塗りつぶす。この時の黒い正三角形の個数をa_0=1とする。
また、この黒い正三角形と一辺を共有する白い三角形を黒く塗りつぶす。この時の黒い正三角形の個数はa_1=4である。
そして、以下の操作（A）を繰り返し行い、平面上に出来る黒い正三角形の個数をa_2、a_3、…、a_n、…、とする。
「各々の黒い正三角形について、それと一辺を共有する白い三角形を黒く塗りつぶす」…（A）
以下の問に答えよ。

（1）a_nを求めよ。

（2）初期状態においてb_0個（b_0≧2）の白い正三角形が黒く塗りつぶされている場合を考える。
そこから操作（A）を繰り返し、出来た黒い正三角形の個数をb_nとおく。すなわちb_nは、初期状態における黒い正三角形の個数と位置に依存する。
このとき、初期状態の黒い正三角形の個数b_0および、初期状態の黒い正三角形の位置に関わらず、極限lim(n→∞){(b_n)/(a_n)}は存在するか。
存在するならばそのことを証明し、この極限が初期状態に関わらず一定値を取るかどうかについて述べよ。
存在しないならば、そのような初期状態の例を一例挙げよ。