ルベーグ積分や測度論のスレ その2

ルベーグ積分や測度論について語りましょう

前スレ
ルベーグ積分や測度論のスレ
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1317556554/

関連スレ

関数解析
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1430751951/

関連・過去ログ

関数解析（Functional Analysis）
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1311378587/

関数解析＆ルベーグ積分
http://l ogsoku.com/thread/science.2ch.net/math/1043423127/

Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://l ogsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1088665870/

Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://l ogsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1109910304/

スレ立て乙！

実解析のスレがあったはず、それにlog速へのリンクはまずいのでは？

実解析 [転載禁止](c)2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1415883902/

関数解析と聞くとなぜか胸熱…

幾何学的測度論
http://www.math.titech.ac.jp/~tonegawa/syucyukougi-tohoku.pdf
https://maths-proceedings.anu.edu.au/CMAProcVol3/CMAProcVol3-Complete.pdf

最近の俺の興味はメジャーよりゲージだからなー。
まぁ「ゲージ理論の基礎数理」で関数解析関係の話がからっきいついていけなかったから測度論〜関数解析絡みのお勉強が必須なのは自覚してるが…。

「お勉強」という言葉にまつわる人間心理

だって研究とかの前向きで生産的な営為じゃなくて昔の人がとっくに作り上げ済みのもの蒸し返す行為にすぎないんだもの。

グロタンディーク並みによく知らんうちに車輪の再発明しちゃうような真似なら新規性のある研究をする研究者候補生として前途は明るいかもしれないが。

>>11
>だって研究とかの前向きで生産的な営為じゃなくて昔の人がとっくに作り上げ済みのもの蒸し返す行為にすぎないんだもの

気持ちは痛いほど分かります
人生の時間は限られてるもんね

>>9
指数定理厨というなのアホは静かにしていろ

実に怠惰デスね。

勉強したくない奴の言い訳なんぞ放っとけ

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ゴミがまた湧いた

ルベーグ積分がさっぱりわからないのですがオススメの参考書はありますか？
非数学科なのですが興味があり独学してみようと思っています

>>27
30講とかかな？

まず数学の基礎からだね

ルベーグ積分入門が終わった。やはり誤植が少なからずあった。次は

測度・確率・ルベーグ積分読んでる
なんとか通読しようと思う

落ちてはないみたいだな
このスレ

>>27
一年遅れのレスでなんだけども、名大の山上滋先生が最新の講義ノートupしてくれてて、参考文献も色々書いてるよ
このリストにはないけども、個人的には吉田耕作「測度と積分」が好み（←岩波基礎数学選書：現代解析入門の後半に収録）
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/topics/integral2018.pdf

>>30
伊藤清三のを完全フォロー？凄いなー
>>32
清三と好対照の溝畑ルベーグの内容を知ってますか？

>>33
全然知らない。
生堅そうな正統派教科書なんか高いし避けちゃう。

>>34
生堅そうな・・・まあそう映るのも著者が著者だから分かります
値段で若い人にスルーされるのは本当に残念です
私買って精読してまたコメントしますわ

>>33
耕作・清三・溝畑の3つ読めばいいよな
溝畑はわかりやすいリース流で測度論を必要としない
だから嫌という人もいるが、こっち知っておくと理解深まる

清三はなんだかんだで日本の標準
でも耕作の方が読みやすい

耕作・溝畑だけで充分とも思う
Haar測度とかDenjoy積分知りたいとかじゃなければもう充分

製造は工作の愛弟子
溝端は他流派

ルベーグ測度の重要性や価値を大学2年生（微分積分学を履修済み）にプレゼンするとしたら、どんな話をする？

証明の重要性と同じじゃねーの

ブラック?ショールズ方程式を理解できるようになれるかもしれない

ブラックやなー

ルベーグ積分が確率論に必要って嘘だよね？
ルベーグ積分の前に確率論あったじゃん

お前にはルベーグ測度が不要と言うだけの話

>>38
普通、長さや面積は当たり前に考えられると思われている。
しかし、それらは決して当たり前ではない。
例えば、物質の長さと言っても、
物質を構成する分子や原子の間はスカスカなのだ。
このスカスカのものの長さや面積や体積は一体何なのか。
同様に、数の集合においても、その元が一つのときは長さが0なのに、
それがある部分集合になったら長さを持つことになる。
直感的な長さや面積の概念の危うさを無限集合から考えさせるような話をする。

こんばんは。ルベーグ積分を勉強する前に必要な勉強を教えてください。高２です。

>>47

ルベーグ積分を勉強する前に、精子何発で受精できるかを考えなさい。

>>49
どうしてですか？

おーい、釣れるか？

スカスカは無数を表すのだろうね。有数といえば分子とか。

このスレに大類昌俊が書き込みしてそう

>>53
はいアウト
ついに一線を越えたな
おまえ以外誰も興味を持ってない障害者スレから二度と出てくんな

>>47
大学1年レベルの解析
集合位相論

>>47
猫先生が教えてくれますよ

・対談（ルベーグ積分）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/taidan/taidanzentei.html
http://rikei-index.blue.coocan.jp/taidan/taidanrube.html
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg-index.html
http://rikei-index.blue.coocan.jp/taidan-index.html

普通に数学をする上では, 整数全体の集合Ｚからの有
理数全体の集合Ｑの構成およびＱの完備化による実数
全体の集合Ｒの構成さえ理解できていれば困らないで
あろう(これは多くの本に書かれてあるので機会と時
間があるときに解説したい). しかし根本にある自然数
をどう定義するか, これは必ずしも広く正確に知られ
たことではない. またＲの定義には公理的な方法もあ
り, そこから逆に自然数を定義することもある.自然数
の定義と聞いて多くの人が思い浮かべるのはペアノの
公理系によるものであろう. しかしこれを正確に把握
するためにはZFまで見直さなければならない. またＲ
の定義にはＱの切断による構成もある(デデキント切
断を公理として認めて公理的に定義するのとはまた別
の話である). Ｑの切断による構成もZFC公理系を基に
して定義される順序数の概念まで考察しなければ真に
理解することはできない.

Ｑの完備化としてＲを定義するのとＲを公理的に定義
するのは, このブログの執筆段階から妥当ではないと
考えられるため, また数とは何かという問いに答える
ため, ここでは順序数の概念に基づいた考察をするこ
とにする.

数とは何か定義するのは, 現代数学的に言うと, その数
全体の集合をどう定義するか, どう構成するかという
ことである. 自然数は典型的な順序数の例であり, 順序
数の概念は自然数の拡張である. Ｚは通常の大小関係
では整列集合にならないが整列可能定理により整列集
合とすることができ, やはり整数は順序数の特別な場
合と考えることができる. ＱにもＲにも整列可能定理
により整列順序を入れることができ, 有理数も実数も
順序数とみなせる. 特にＱの切断によるＲの構成は順
序数の基本的な性質に並行している. つまり数とは現
代数学的には順序数なのである.

Ｒをさらに拡大したものには複素数全体の集合Ｃと超
実数全体の集合*Ｒがある. これらの元が数であるかど
うかは微妙なところなのでこれもまた別の機会に書こ
うと思う. だが少なくともZFC公理系のもとでは「数
を実数の意味でとらえるとき, 数とは順序数のことで
ある」と言えるであろう. 数自身もまた或る種の集合として定義されているのである. これが現代数学による答えであろう.

なお非数学的なことを言えば, 数とは量や個数あるい
は回数など数字を用いて表される概念を抽象化したも
のである, ということになるだろう. 例えば１個のみか
んと１個のりんごが目の前にあるとき合わせて果物は
何個かという問いには誰もが２個と答えるだろう. こ
れは演算を果物の個数全体の集合すなわちＮで行って
いることに他ならないが, 上述の説明と「1+1＝2」の
間には明らかな抽象度の飛躍がある.

ナニコノケータイ小説

そう言う気分に浸りたいんだろ

暇つぶし代わりにどうぞ

1. ユークリッド空間の可算集合はルベーグ測度について零集合であることを示せ. (ヒント:特定の被覆について外測度が出れば外測度の値の一意性からその値は任意の被覆に対する値でもある)

2. 可算集合を基に定義される測度空間で空でない集合の測度がゼロでないものを構成せよ. (ヒント:群の位数)

3. 任意の集合Xとその冪集合Ｐ(X)について m({})＝0, m(A)＝∞({}≠A∈Ｐ(X)) とすると(X, Ｐ(X), m)は測度空間であることを示せ. ({}は空集合. この問題のみ測度空間の定義にσ-有限性は仮定しない)

4. ユークリッド空間の空でない開集合のルベーグ測度は正であることを示せ.

5. ユークリッド空間のルベーグ可測集合Eに対してEのベクトルvだけの平行移動E＋v＝v＋E＝{x|x＝y＋v, y∈E}とする. このときm(E＋v)＝m(v＋E)＝m(E)を示せ. (ヒント:ルベーグ測度の定義)

6. ルベーグ測度mとルベーグ可積分関数fに対して
∫f(x＋v)m(dx)
＝∫f(v＋x)m(dx)
＝∫f(x)m(dx)
を示せ(積分範囲はユークリッド空間全域).

7. ルベーグ積分∫_Ｒχ_Ｑ(x)m(dx)を求めよ.

8. 問題2で構成された測度空間において可測関数はＲ∪{±∞}への写像としての数列であり可積分関数の積分は絶対収束する無限級数であることを示せ.

9. ルベーグ可測集合Eに対して
m(E)＝inf{m(O)|開集合O⊇E}
を証明せよ. (ヒント:(外)測度の単調性より
m(E)≦右辺)

10. ノルム空間Vにおいて三角不等式
| ||x||−||y|| |≦||x−y|| ( ∀x, y∈V )
を示せ.

11. ヒルベルト空間において内積は連続であることを示せ.

答え
64 名前：あぼ〜ん[NGID:iB44h34+] 投稿日：あぼ〜ん

>>65
不正解、残念！！

いい質問ですねぇ

大体は見ただけで解けるからなー

ルベーグ積分が正の部分と負の部分に分けて定義されるのってどうにかならんのか？
リーマン積分みたいに一気にやれよ

測度だからしょうがない

＜わからない９大理由＞
１．読まない …参考書などを読まない。読む気などさらさらない｡
２．調べない …過去スレ、ググるなど最低限の内容も自分で調べようとしない｡
３．試さない …めんどくさいなどの理由で実行しない。する気もない｡
４．覚えない …人から聞いて、楽して得た答えは身に付かないから、すぐに忘れる。
５．説明できない …何に困っているのか、第三者に正確に伝わる文章が書けない。
６．理解力が足りない …理解力以前の問題で理解しようとしない｡
７．人を利用することしか頭にない …甘え根性でその場を乗り切ろうとする｡
８．感謝しない …教えてもらって当たり前。事がすんだらさようなら｡
９．逆切れする …自分の思うようにならないと逆切れする｡

まるで大類昌俊

>>71
ググるだけとかコピペだけってのはレベルが1上がってるのか・・・

わからないと同じやねーの？

ルベーグ積分が何の役に立つのかリストにしてくれませんか？それを見て勉強するかどうか決めます。

関数解析
量子力学

一様収束に拘わらずに積分と極限操作の順序を入れ替える根拠にできる。

画処理でルベーグ積分は使えないの？

お前には無用

役立つリストとか言ってる時点で手遅れ

うーん
あんまり重要じゃなさそうですね
まあ人間が実世界でする求積にはリーマン積分で十分ですもんね

その通りです
リーマン積分で満足しているなら，ルベーグ積分なんて無駄なんだから時間の無駄に決まってます

勉強しなくてもいい理由が欲しいんだろうな
したくなければしなくていいのが勉強

お勉強してる自分に酔ってるような輩もだいぶイヤだけどな

かまってちゃんだろ

実用時にリーマン積分で計算する奴はいない

定理の証明には、ルベーグ積分が有利。諸定理の使える条件がゆるい。
面積の値が欲しいだけなら、リーマン積分で十分。
コンピュータを使った数値計算でルベーグ積分することはない。
というより、コンピュータの数値計算で完全加法性なんて扱えない。

普通は台形積分だろ
リーマン積分みたいな短冊を使う奴なんているんか

あのさぁ、極限とる前の横軸の分割が、区間による有限個の分割なら、
区間上の形は、短冊でも台形でもシンプソンでもガウス積分でも、
リーマン積分と考えて何の問題もないよ。

数値計算で極限とるかよ

やれやれ、ルベーグ積分がわからないのはいいとしても、
リーマン積分を知らんとは。
そらぁ無理だは、ルベーグ積分わかるのは。

だ「は」？

アホにアホが突っ込む

昔は数学板にルベーグ積分知らないのがいることが驚愕だった。
しかし、今やリーマン積分知らないのがいる。まさに衝撃の事実。
しかもそれをボーッと見て感想を書いている。もはや言葉がない。
ただ恐怖と戦慄があるだけだ。時代は変わった。
上には上のアホがいる。いや、下には下か。

リーマン測度

ダニエル

>>95
最近の学生は一様連続がわからんから

>>96
んなもんあるんか？

>>99
ネタにマジレスすると

リーマン測度（Riemannian measure）:
計量の入った多様体 (M, g) の体積要素のこと vol_M などと表す

リーマン積分の測度論的構成
ジョルダン測度を使ってルベーグ積分のような構成をすることはできるが
煩雑なだけで積分できる範囲も広がらないので手間のかかる演習問題だな

ルベーグ積分なんて使わないやつは知らなくていいよ
教養でもなんでもない

>>100
なるほどサンキュー

リーマン積分ってルベーグ積分に比べてそんなに楽かねえ。真面目に細部までやるなら全然楽じゃないと思うんだけど。

公式使うんだから同じ事

７ヶ国語に訳されている、知る人ぞ知る、確率論の「歴史的/世界的名著」：−　

КУРС　ТЕОРИИ　ВЕРОЯТНОСТЕЙ　
（Борис. В. Гнеденко）

英訳：　THEORY　OF　PROBABILITY

邦訳：　確率論教程　�T，�U　（森北出版）

# この本は。確率論にとって、ルベーグ積分などは「無用の長物」で
あることを示している。

誤魔化されてるだけ

そりゃあ広く使われている統計学のテキストにガウス分布の式が書かれてないのも多いが
だからといって統計学にガウス分布が必要じゃないってことはない
世間に山ほどいる統計屋の多くがガウス積分すらわかってないのは確かで
バカにはバカの仕事があるのが統計のいいところw

一番ガウス分布誤用して居直ってるのは受験産業関係者だな（笑）

センター試験数学2Bの統計・選択問題は楽勝問題が多いことで有名だが
数年後の新課程ではほぼ必修化される
高校教師の大部分が高校数学Bの統計をまともに教えられると思えないので地獄だな
ベクトルを数Bに残して統計を数Cにすればまだ良かった

ベクトルの数C移行は大半の高校生にとっても統計の教育にとっても大失敗

自力で勉強できない者に安住の地はない

解析学 analysis アナルシス アナル
てな訳でアナル攻めのエロ動画で昨日はイきました。
（どやッ！！）

アナルシスからアナルへの展開に飛躍があったことを反省

でもみんな大好きなアナルへつなげたかったので許してね

アナリストだけど質問ある？

>>113
アナル愛を感じさせるエピソードを聞かせてくれないでしょうか？

ルベーグ積分やったんだけどさ

これって全ての主張が"ほとんどいたるところ"だから、フーリエ級数が各点で本当に元の関数に収束するかどうかは結局古典論を勉強しないとだめだよな

>>110
kwsk

>>115
各点収束にはリプシッツ連続とか有界変動の条件が必要
それを外して単に連続にしたら反例あるし
その反例も測度ゼロの話になるw

これ以上は余程のことじゃないと無駄だろうな

実数上の測度で平行移動で不変な確率測度って定義できないのはなぜ？

なんでそう思ったかというと、

f(x)=xをフーリエ展開して「x=π/2を代入する」という操作で
π/4の無限級数表示を得る有名な例があるけど、ルベーグ積分論だとこういう「1点での値」
が扱えない。測度ゼロの集合上では値を自由に変更できるから。

>>117
やっぱそうだよな・・・

突っ込みどころ満載の奴

>>120
俺についてこなくていいから

馬鹿に突っ込みいれているのが、馬鹿についていくようにみえるのか、馬鹿主観ｗ

うっわ、やっぱり数学板名物の例の荒らし君だよ
面倒な奴にストーキングされちゃったな

フーリエ級数が各点で元の関数に収束なんてリーマン積分でも成り立たんやろ
ルベーグ積分じゃ測度ゼロで任意だがリーマン積分でも離散点で任意だし

書き方が悪かったけど、俺が言いたかったのは、
フーリエ級数の収束の問題はLp空間で考えるだけでは不十分で、何か代入する場合は
各点収束に関する古典的な結果を使わないといけないということです

ルベーグ積分では関数は殆どいたるところ一致するものを同一視する同値類である
と読んだ本に書いてなかったのかアホ

>>126
お前イラネ

逆切れｗ

ゆとりイラネ（）

>>124
違うよ

>>125
違うよ

>>115
違うよ

先生おながいします

何で違うかって
どの点でも一致するとはそもそもなってないわけ
条件を知らないの？

馬鹿が馬鹿を呼ぶ流れ

数学板にバカが何人いるかの調査をしております。

馬鹿にする奴が馬鹿、不朽の真理だな

馬鹿にする奴が馬鹿、子供の言い訳

4,6,8,14,18,22,24,25,26,27

>>125
「各点収束に関する古典的な結果」も大切ということです

＞f(x)=xをフーリエ展開して「x=π/2を代入する」という操作で
＞π/4の無限級数表示

程度なら「古典的な結果」の範囲

古典じゃない各点収束ならCarleson-Huntでもう終わり

Haar測度って？

Carleson-Huntの定理は>>115のアホには無理ｗ

Haar測度の存在証明って授業でやったなー
最初に始めた方法が行き詰まって路線変更して証明したけど何だったんだろう？

春の測度はさらさら行くよ♭

>>142
それもalmost every xじゃね？問題となってる特定の1点で本当に収束するのかどうか

馬鹿ほど自説に拘る

>>148
お前ルベーグ積分とか知らないのにただ荒らしに来てるだけだろ
巣に帰れ

>>147
特定の1点なら古典論に戻るしかない
1点での収束条件はいろいろある
そうじゃないならCarlesonが限界と可能性を見せた
単に連続ではダメ，L^1もダメ

このくらいわかった上であとは自分が必要な情報が何かによる

威勢のいいアホが見捨てられた

馬鹿には無理なCarleson-Huntの定理
https://arxiv.org/pdf/math/0307008v4.pdf

砂上の楼閣のルベーグ積分

落ちこぼれかよ

測度論を極めれば万能物差しができますか？

測れるものと測れないものの違いは何ですか？
わかりやすく

最近は専門家向けじゃないくて一般向けのわかりやすい数学書が出てきたので
それを使って勉強していますが、大学の時に受けた解析学の講義は何を言っているのか
さっぱりわからず、単位を落としたという苦い経験があります。
馬鹿でごめんなさい。。。

>>156
これでも読みなはれ
ルベーグ積分30講　志賀

その本は持っていますがまだ読んでいません。
もう少しお話に近い本も読んでいますが、証明問題がわからず
高校数学の参考書を読んで、確率の考え方を勉強中です。
暗号をやるうえでも確率論の厳密な理解は必要になると思っています。
特に測度論から確率への橋渡しは重要だと思います。

確率論はこれが比較的やさしい
確率論　舟木

暗号はこれがいいらしい。
暗号技術入門　結城

ありがとうございます。参考にします。
結城の本は知っていることだけなので読まなくてもいいです。

サイボウズラボの人が書いた本はｐｄｆで手に入るので読もうと思います。

素人じゃないじゃん、頑張ってね

達人かもしれないですが教授のレベルではないですねｗ

蛇足だけど、確率論の本の最初に有限試行の話が載ってる。それがわかるなら高校数学は不要。
理由は二度手間になるから

自分は高校の時確率の授業を一回もうけませんでした。
主に微積分が得点源だったので、８割くらいの成績で合格したと思います。
それでも大学に入るには十分だったのです。

因みに自分が行っていた都立高校は、偏差値５０くらいの平凡な高校でした。
しかし大学に行くとみんな進学校からの出身が多くて世界観が変わりました。

自分語りし始めちゃったよ

蛇足でしたね

さて

７ヶ国語に訳されている、知る人ぞ知る、確率論の「歴史的・世界的名著」：−　

КУРС　ТЕОРИИ　ВЕРОЯТНОСТЕЙ　
（Борис. В. Гнеденко）

英訳：　THEORY　OF　PROBABILITY

邦訳：　確率論教程　�T，�U　（森北出版）

# この本は。確率論にとって、ルベーグ積分などは「無用の長物」で
あることを示している。

コピペ

しょせん落ちこぼれ

01法則の証明とか大偏差原理の証明とか

大偏差って何かスゴそう

人より二倍の能力があると偏差値はいくつになりますか？

【トヨ〜トヨ〜♪トヨトヨパー！】　モーニング宇宙ニュースの服部和枝さんが癌で急逝、まさかのMe Too
http://rosie.5ch.net/test/read.cgi/liveplus/1547088214/l50

レイプ泣き寝入りの時代は終わった、強姦隠蔽犯罪集団の自民党を告発せよ！

確率は面積！

禁断の書
30講借りてきた
シミだらけや

「測度・確率・ルベーグ積分」も分かりやすかったですよ。

先は長い

ルベグ積分の問題です
f_n(x)= n・x exp(-n・x^2), n=1,2,・・・
において,

リーマン積分感覚で積分すると
lim[n->∞]∫[0,1] f_n(x) dx =1/2
∫[0,1]lim[n->∞] f_n(x) dx =0
となってしまいます。

ルベグ積分では単調収束するはずですが、どのように計算すればいいのでしょうか？
ルベグ積分としては1/2か0かどちらになるのでしょう？

ここ過疎ってるみたいなのでほかに移動します
失礼しました

>>182
0が正しい

>>156
これって面積を測れる図形と図れない変な図形（のようなもの）があるんじゃないか？だとしたらその違いは何？
みたいなイメージの質問でしょうかね

だけどその発想自体が意味なくて、その辺の測度の本見ると…な集合の族に…な性質と値を与える函数が
定義できる場合にそれを測度と言う、の様に説明があると思いますよ。
その抽象的な発想がピンと来なければ、まずは解析の本から勉強してみては。

と思ったけど4ヶ月前の質問だからここ見てないかな

>>185
物理学量子力学だと演算子の可換性だよね。

関係ねー
非可測集合の存在証明やバナッハ＝タルスキーのパラドックスを読めばいい

ルベーグ積分論などを用いた現代的な複素解析の基礎づけを
展開してる本はないですか？
コーシーの定理をルベーグ積分論を用いたグリーンの定理から導出する短い記事を
見たので、そういうのないかなと。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/2/4/2_4_345/_pdf/-char/ja
1947年の記事みたいです

ｍｏｄｅｒｎ complex analysis
みたいな洋書を色々チラ見したけどやっぱりグルサーの古典的方法を
結局は軸としてるのがほとんどみたい。
グルサーの方法は簡潔なんだけど、狐につままれたような、
イマイチ実感が沸かないモヤモヤ感が残る

>>188
Walter Rudin Real and Complex Analysis
グリーンの定理は使ってないけど

線積分をルベーグ積分で定義するだけだろ、複素解析関数しかでてこないのに

積分論は現代解析学の基盤だから
形式上でも複素解析をその上に展開したくなるのは自然な欲求

あとはC^1級のパスを絶対連続パスに書き直せるくらい

>>189
レスありがとうございます。
ｒｕｄｉｎはいの一番にチェックしましたが複素解析に関して
アールフォルスを一新するほどの再構築さはあまり感じなかったような気が。
(アールフォルス流の初等的な基礎付けをサラッとおさらいした後に
現代的なやり方に触れてる雰囲気もありましたけど)。
ルベーグ積分を駆使してるって感じでもなければ、あと陰関数の定理は出てきてない。

John B. Conway「Functions of One Complex Variable �U」
がチラ見した中では一番近かったですが、なんだかという感じでもあります

>>191
>積分論は現代解析学の基盤だから
>形式上でも複素解析をその上に展開したくなるのは自然な欲求

古典的な微積分も習得させるのは二度手間のような気もします。
あれだけ倦怠感を催す微積分の古典的証明が、
ルベーグ積分では見通しよく扱えるのだから、
最初からいきなり全てをルベーグ積分流で学ぶというやり方もあっていいとも思います

>>192
> あとはC^1級のパスを絶対連続パスに書き直せるくらい

色んなべき級数やらの扱いはそれ以上
古典論をイジリようがないのですかねー

複素解析はルベーグ積分より先に学ぶことが多いから
教科書では書きにくい
>>188の記事にあるように戦前にはルベーグ積分に基づいた複素解析の論文はあった
が教科書にはおりてこなかった
正則関数を有界変動曲線の上で積分するだけならルベーグ積分のメリットがない

意外とカレント理論のいい和書の教科書がない。

>>191
関数解析、偏微分方程式やるならただの道具、複素解析は多変数とか多様体とか他にやるべきとこがいっぱいあるだろ
一変数複素関数論にこだわってもしかたがない

>>194
やれるものならやってみな
>最初からいきなり全てをルベーグ積分流で学ぶというやり方もあっていいとも思います

>>198
超関数は結構初等的な事項から暗黙裡にインパルス関数として使ってるんだけどね。
軟化させるとガウス分布という汎関数だし。

印パ留守火事泥棒人民解放軍

>>195
>正則関数を有界変動曲線の上で積分するだけならルベーグ積分のメリットがない

レスありがとうございます。
コーシーの定理をグリーンの定理から導く際には、
積分記号化の微分やら積分変数の変換やら重積分やら、
リーマン積分では倦怠感催しまくりのアプローチしかない道具がいっぱい必要になり、
その、この部分だけでも、ルベーグ積分の有り難さを感じれる気もします。
(グルサーの証明法だけで満足するのは何か味気ない)

私は英語が苦手ですが、ここのサイトでも
なぜ複素解析はルベーグ積分を土台とする基礎づけが流行らないか
説明してるっぽいですね。
Why is Riemann integration used in complex analysis
and not Lebesgue integration?
https://math.stackexchange.com/questions/616453/why-is-riemann-integration-used-in-complex-analysis-and-not-lebesgue-integration

結局アールフォルス流の議論から遠く逃げられないのなら
ちと残念ですorz

>>197
>複素解析は多変数とか多様体とか他にやるべきとこがいっぱいあるだろ
>一変数複素関数論にこだわってもしかたがない

保型形式の勉強をするなら
一変数でも十分とてつもなく深い

逆に多変数複素解析とか言っても
本当に豊かだったのは曲面論(だけ？)で
その曲面論ももう一区切りついたし大きなやる事はなさそうってイメージ

多変数複素解析やるくらいなら1変数の具体的な話の方が
研究テーマとしては面白いだろうな
複素多様体・複素幾何のさわり（小林昭七「複素幾何」ていど）は
いろんな数学をやるのに勉強しておいたらいいが

>>199
間抜け

>>201
そういう目的ならそう書け、後だし乙津

先にルベーグ積分やったら
自動的にルベーグ積分に基づいた複素解析になる

教育の話をしてたのに論理のすり○えｗ

小学校で順序数を学ぶこのご時世
集合と論理は中高でやって
大学は位相とルベーグ積分論から入っても良いのではないか

ダニエル積分やればいいのに

初めて聞いた

リーマン積分もやめて最初からルベーグ積分やればいいのに（笑）

いきなりルベーグ積分とか言うのジョークなのかマジなのか分かりにくい

一様収束で煩雑な議論延々やらざるえない段階に差し掛かったらルベーグ積分できっちり再構築して
そういう議論酒用みたいなのがオーソドックスな態度なの？。

で、ルベーグ積分ベースで複素線積分考えるとどんないいことあるの？
経路の連続性がなくなるから積分公式の類はなにも成り立ちそうにないよね

アホが来た

幼稚園のお遊戯で位相を入れた方がいい

幼稚園のお遊戯集合を入れた方がいい

ルベーグ積分や測度論のスレ その2
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

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ふうL@Fu_L12345654321
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保守らん

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ふうL@Fu_L12345654321
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halmosとrudinってどっちがいい？
halmosは純粋にルベーグ積分のみの議論の本で
局所コンパクト群のhaar測度も書いてる
rudinは実解析の豊かな議論をキレイに使ってる本で
fourier変換も書いてる

あげ保守

>>221
伊藤

>>223
伊藤本は見てないけど
日本語の古い本なんかお呼びでないですよ
halmosとrudinのどっちがいいかを聞いてます
halmosは専門が確率論や基礎論らしいので伊藤とバックグラウンドは近そうですが
さすがの伊藤本もhalmosに比べたらおそらく見劣りするでしょ
halmosとrudinで悩んでますけど伊藤を読むくらいならhalmos読みます

>>224
halmosも古いぞ

>>225
伊藤本は日本でしか読まれてない(英訳もされた形跡がない)けど
halmosは世界中の読者を相手に揉まれている
だからよっぽどの例外を除いて数学の教科書を読むなら洋書を選択します。
(ただ学者としての生産性は伊藤の方がhalmos、rudinより上かも知れないので
優れた数学者の書いた書籍として勿論伊藤本も侮れないと思う、中身見たことないけど)

好きにすれば、素人さん

素人さんは何の為にルベーグ積分を勉強するの？

>>228
�@weilのbasic number theoryを勉強する時に
　局所コンパクト群上のhaar測度やfourier変換の知識が必要だから
�A初等微分積分(riemann積分)は極限の演算操作に弱いので
　lebesgue積分までをやって初めて解析の初歩を学んだと完結して
　言えると思うから
�Bweilの本が読めたら、(関数解析の知識がfullに必要になる本を読む予定はないけど)
　保型形式や代数関数論といった解析寄りのトピックスの古典的な本も将来興味あるため
　解析系の基礎的な力もつけておきたいから

halmosとrudinどっちがいいですかね

高木の解析概論、kolmogorov、はすっげえクソだった
解析嫌いになりそうな本
「The Joys of_Haar haar measure」という本も解析初学者には
分かりにくいところ有り過ぎ

rudinは分かりやすそう
誤魔化しナシできちんと美しく整頓されてるっぽい

迷っている時間がもったいない
そう思うならRudin読んどけ

吉田伸生先生のがおすすめらしいよ
行間あるけど

>>228
かっ確率論に興味があるので

>>229
halmosでいいじゃん

>>233
吉田でいいんじゃね

>>233
確率論なら舟木さんがいいよ、次は伊藤あたりかな

>>233
確率論に興味ゼロです

>>231
>迷っている時間がもったいない
>そう思うならRudin読んどけ

今ｒｕｄｉｎ読み始めたばっかりですけど
純粋に書評をお聞きしたいです

>>234
>halmosでいいじゃん

理由をお聞きしたいです

>>237
自分で書いてるだろ�@、アホ

超関数的な計算手法使える根拠がないと痛い

アホの考えてることはわからん（笑）

結局二冊読むわけだな、入門と中級と聞けばいいのに、アホな俺様

>>205
>先にルベーグ積分やったら
>自動的にルベーグ積分に基づいた複素解析になる

これスッゲエ至言だな

寝言

身もふたもないって奴だな

Taoはどうなの？和訳も出てるけど。

演習解いてなんぼの本だから1冊目に選ぶと大変かも

>>245
タオなんて数オリがどうとか賞がどうとかのレベルの人間でしかない
数学そのものを作った人間ではないから
大した本は書けないだろう

>>246
一冊目にふさわしくないなら無意味
二冊目として読むくらいなら(ルベーグ積分の準備を必要としていた)数学そのものの
勉強にとっとと進んだ方が良い

>>247
計算はできるが作家じゃない

>>247
逆に『数学を創った』と言えるような人って誰？
ガウスとかリーマンとは言わずに、あまり知名度はないけど新分野を開拓したとか、新思想を生み出したと言えそうな人、タオよりスケールの大きさを感じる人など。

>>250
Terry Lyons

新興分野を豊かにしてる新進気鋭の人とかいくらでもいるでしょ
非可換代数幾何なんかで言えば、Dmitri OrlovとかBridgeland

吉田超むずかった
秀才専用

どの吉田のことだろう

>>253
×吉田超むずかった
○吉田超不親切だった

だろ？

自分に合わない本を気にしちゃダメ

はい
精進します

のびのび生きる吉田の本だったら賛成
次々記号ばかり作って訳が解らなくなる

Rudinでいいだろ
抽象代数や連続関数の初歩ならまだしも
まともな専門書を日本語の本だけの中から選ぶなんて損
洋書読め

数学そのものを作った本物志向のあなたは新スレ

現代数学の系譜 ルベーグ 積分・長さおよび面積 を読む

を立ち上げようww

2845
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

>>189
>Walter Rudin Real and Complex Analysis
>グリーンの定理は使ってないけど

何ページのどこか場所を教えて頂けますか
コーシーの定理のグルサーの方法に依らない証明方法

>>262
Ruidnの本もグルサーの定理を経由してコーシーの定理を示しています。
189のレスは「ルベーグ積分論などを用いた現代的な複素解析の基礎づけを
展開してる本はないですか？」に対する雑な回答です、すみません。

気にすんなよ、アホの質問だろ

>>263
>Ruidnの本もグルサーの定理を経由してコーシーの定理を示しています。

ありがとうございますm(_ _)m
でも小平の本みたいに、「グルサーの方法」と「また別の方法」とを、
両論併記してはいないのかなー、と思いまして。

>>265
関数論パートは10章しか見てませんが他の方法は書かれていません。

>>266
再度ありがとうございます
もし仮に両論併記してるなら10章に2つも盛り込む事はないから他章でしょうね
よく見てないけど「13.11 theorem」「20.3 lemma」あたりがもしかしたらそれくさい

伊藤先生の読んでると夕方には目が霞んでくる

rudinの本が芸術的域と書かれたレスを５ちゃんで見たことあるが
その意味がだんだん分かってきた
数学科の学生は(上限の意味だけサラッと準備して)サッサとルベーグ積分やった方が
いいんじゃないか？
リーマン式の微積なんか学ぶ必要ホントにあるの

アホ乙

微積の基本定理はリーマン積分の方が良いだろ

>>271
理由をどうぞ

>>271
ダウト
f(b)-f(a)= ∫ [a→b]f'(x)dx
・fが(a,b)で微分可能で右辺がリーマン積分なら成り立たない反例がある
・ルベーグならfが絶対連続でいつでも成り立つ

反例があったところで教育目的に適してる事は変わりない

アホの主張

リーマン積分から確率論へ

微積の基本定理はピーマン積分の方がベスト

アホを切り捨てちゃ教育はできんわな

「微積の基本定理はリーマン積分の方が良い」はダメ
ルベーグでないと反例があるし病的と思われた例を自然に説明するために積分概念が拡張された

教育目的に適してるかどうかはその人の周囲のレベルの問題だから人によるとしかw

パーが持論に固執

教育改革すりゃいいじゃん
思いつきの改革だらけでボロボロだし

アホの自論

>>281
ルベーグ積分できなければ、留年

リーマン積分ができないと微積分の単位がとれない

a.e.　可

一生リーマンとか微積線形の話をしてる某スレ住人に比べりゃあ
一生ルベーグのこのスレ住人は目糞鼻糞

ルベーグ積分がわかれば教授になれた時代もあった

明治は遠くなりにけり

菊池大麓「ルベーグ積分なんて知りませんが東大教授です」

>>287
ほんまかいな

どうも関数列がピンと来ない

関数列が心に響かないのか？

並べただけ

なかなかルベーグ積分を一通り学ぶのも大変ですね
リーマン式の初等的な微積分が何故死滅しないかの理由が
身を持って分かってきた気もする

リーマン積分とルベーグ積分は定義域積分と値域積分って呼び方変えた方がいいと思うんだコドメイン。

垣田高夫「ルベーグ積分しょーと・こーす」で大変という馬鹿なら
リーマン積分も理解できない

ルベーグ積分の「積分」は測度のオマケなのさ

昔の2ちゃんらしさが残っているスレ

実解析と複素解析の初心者に問題集・解説書
https://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1119182730/

机が定義域で
お前の禿げ頭が上限

>>299
クソワロタ
こんな事が言えるくらいになるまで
数学で狂いたい
咲かなくてもいい
狂い枯れたい

なぜ俺が今まで解析嫌いだったか分かった
理由は明瞭
それはルベーグ積分を勉強してなかったからだった
現代解析はルベーグ積分によって初めて魂が入る

しかしルベーグ積分は変な分かりづらい教科書が多い
それが解析嫌いを生み出す元凶だ
学部生の頃にRudinと出会っていたらまた違った数学人生になっていただろう

大丈夫か？位相は入ってるな？

三大収束定理とフビニの定理が使いこなせればいいのだけど

今更だけど>>273ってヴォルテラの反例のこと？

それともリーマン可積分なのにもかかわらず値が一致しない例があるってこと？

微積分の細かいところにうるさい本にはf'(x)が存在するけど
リーマン積分すると発散するから微積分の基本定理が成り立たない例が書いてある

まあどうでもいい気がw

リーマン積分流の重積分の変換公式が
スイスイ頭に入らない自分はきっと数学に向いてない
そんな勘違いをしてる時期がありました

ルベーグ積分よりスティルチェス積分

>>305
杉浦 解析入門1のp.235に反例が書いてあったんですが、

1/x^2が[-1,1]上で可積分でないため、

∫_(-1)^1 1/x^2dx=[-1/x]_(-1)^1=-2とはならない
と記載してあります

でもそもそもなんですがf(x)=-1/xは(-1,1)区間では微分可能ではないので1/x^2の原始関数じゃないはずです

なのでこのケースだとそもそも>>273の反例になってないんですよね

・ f：[a,b]→R が各点で微分可能なら、それだけで f' は [a,b] 上で
　 必ずhk積分可能で f(b)-f(a)= hk∫ [a→b]f'(x)dx が成り立つ。

・ g：[a,b]→R がリーマン積分可能なら、gは必ずhk積分可能で、
　 両者の値は一致する。すなわち R∫ [a→b]g(x)dx = hk∫ [a→b]g(x)dx

よって、f：[a,b]→R が各点で微分可能で f' がリーマン積分可能なら、
まず f' はhk積分可能で f(b)-f(a)= hk∫ [a→b]f'(x)dx であり、
さらに R∫ [a→b]f'(x)dx = hk∫ [a→b]f'(x)dx だから、
f(b)-f(a)= R∫ [a→b]f'(x)dx となる。

つまり、f：[a,b]→R が各点で微分可能で f' がリーマン積分可能なら、
f(b)-f(a)= R∫ [a→b]f'(x)dx はいつでも成り立っている。

ルベーグ積分知ってたらもうリーマン積分に立ち返る必要なくない？
全部ルベーグ積分に置き換えて話を解釈したらいいだけでは

リーマン積分できるものに使うから意味あるんじゃない

牛刀だ

>>311,>>312
だってルベーグ積分だと準備こそ大変だけど
一旦身につけたら色んな公式がスッキリ理解できるんでしょ？

リーマン積分だとごちゃごちゃの証明を辛抱して追ったところで腑に落ちないし
ある程度はブラックボックスを認めて理解しなきゃいけない状態になるが
ルベーグ積分なら一切のごまかしなく明瞭にゼロから証明完了までを味わい尽くせる

魔法の杖と勘違いしてる

>>314
kwsk

いやどす

>>316
中身のないただの煽りだったのか
クダラネ

伊藤清三の読むとルベーグ積分も込み入って難しいなと思うけど
Rudin読むとルベーグ積分ってシンプルできれいだなと思う

https://6gvfih0d07m6.blog.fc2.com/

>>317
自己紹介乙

清三の本で可測集合族に対する測度の区別つく？

>>310
何の話をルベーグ積分で記述するんだ？

>>313
隠されてるだけだぞ
測度と積分の関係を知ると積分は単純に直積測度で定義するのが簡単で
なんであんな積分の定義するのか疑問になったから自分で定義してみようとしたら
まー解決できない謎がわんさで、そういうのを避けた結果が現在の定義だと分かった
スッキリして見えるのはグチャグチャを避けて見えなくしただけなのさ

>>323
もうちょい具体的にその「解決できない謎」を語ってよ。
印象深かったら憶えてるでしょ。

>>322
>何の話をルベーグ積分で記述するんだ？

全てですよ
積分記号からゼロからそのもの全てを
ルベーグ積分として解釈すればいいだけでは？

>>323
↑
そもそも
ルベーグ積分の事を言ってるのかリーマン積分の事を言ってるのかさえ
日本語として区別がつきにくい不明瞭なレス

>>325
そんなことは聞いていない、何の分野の話かと聞いてるんだよ

>>327
解析を使う全ての分野に決まってるでしょ
リーマン面も古典保型形式も全部ルベーグで思考したらいいだけでは？

>>328
頑張ってくれ、意味があるかどうか、既にあるのかどうか知らないけど

積分論なんかに深入りしない方がいいと思われる。

>>329
レスの話の流れを全然分かってない
レスした労力と時間を返して欲しい

分った積りが解析だからな
分った積りくんの河田『積分論』にハール測度が載ってたけど
よくわからなかった
いつかもう一度読んでみようとは思う

>>331
元々中二の思いつき

>>326
直積測度が出てリーマン積分に関係あると思う方がおかしい
>>324
残念ながら可測関数の定義から直積測度の文脈で翻訳しようとすると訳分からんことになった
くらいしか覚えてない
その後どこまで追求したか、何らかの結果を出したかどうかさえ分からん
ノートを探したら見つかるかなー？
とにかくルベーグ積分をあの方法で定義したのは奇跡か天才かと思ったよ
だいたい、直積測度自体の存在証明さえ単純に思いつく方法では不可能だったし

テスト

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>>336
君はそれでいいさ

ルベーグ積分の定義が確率論の公理にそのまま使えるのってやっぱ自然な定義だってことを意味してるってことなんだよね？

>>313
＞リーマン積分だとごちゃごちゃの証明を辛抱して追ったところで腑に落ちないし
＞ある程度はブラックボックスを認めて理解しなきゃいけない状態になるが

「腑に落ちない」は無いな。適用できる関数クラスが貧弱でモヤッとすることはあるが。
あと、「ブラックボックスを認めて」ってのが意味不明。リーマン積分での証明に
ブラックボックスなんて存在しないし、そもそもブラックボックスがあったら証明とは呼ばない。
いい加減な著者が書いた、いい加減な証明しか読んだことないだけでは？

＞ルベーグ積分なら一切のごまかしなく明瞭にゼロから証明完了までを味わい尽くせる

ごまかしの有無でいうなら、リーマン積分でも全く同様に
「ごまかしなく明瞭にゼロから証明完了までを味わい尽くせる」ので、
そのような尺度ではリーマン式とルベーグ式に差はない。

証明のやり方の良し悪しでリーマン式とルベーグ式の差を語ろうとする輩が
昔から一定数いるのが理解できない。

ルベーグ式の利点は、適用できる関数クラスが広大かつキレイなところ。これに尽きる。
それ以外の尺度でルベーグ式の利点を語るのはナンセンス。

たとえば、証明のやり方の良し悪しという尺度では、ルベーグ式の利点は語れない。よくある主張は

「ルベーグ式の証明は、いつも単関数あたりから出発して順番に証明が進んでいくので統一感がある」

というものだが、そのやり方さえ踏襲していればどんな定理もイチコロとは行かず、
それぞれの定理ごとに大なり小なり込み入った技巧的なアイデアが必要になってしまうので説得力がない。
というか、この手の主張は

「リーマン式の証明は、いつも ε＞0 を任意に取るところから出発して
　最終的に分割幅δを特定するように証明が進んでいくので統一感がある」

と言っているのと変わらない。これをリーマン式の利点と考えるバカはいない。
なぜなら、分割幅δを特定するときに、定理ごとに別々の技巧的なアイデアが必要になるからだ。
しかし、それはルベーグ式でも状況が同じ。

結局、このような尺度でリーマン式とルベーグ式の差を語ろうとするのはナンセンス。
「わたしはリーマン式がすき」「わたしはルベーグ式がすき」という、個人的な好みの表明に終わってしまう。

「ルベーグ式の利点は、適用できる関数クラスが広大かつキレイなところ」

と書いたが、ではリーマン式の利点は一体何なのかと考えると、
中途半端な積分だけあって、なかなか利点は見つからないｗ

1つ挙げるとすれば、「一様分布 mod 1」する実数列(equidistributed sequence)
と非常に相性がいいという利点が実際にあり、このトピックスでは基本的に、
リーマン積分をルベーグ積分に置き換えすることが不可能である。

定義　実数列 {x_n}_{n≧1} ⊂ [0,1] が「一様分布 mod 1」であるとは、任意の [a,b] ⊂ [0,1] に対して
lim[n→∞]｜{x_1,x_2,…,x_n}∩[a,b]｜/ n ＝ b−a が成り立つときを言う。

この概念に関して、次の定理が成り立つことが知られている。

定理　実数列 {x_n}_{n≧1} ⊂ [0,1] が 一様分布 mod 1 であることと、任意のリーマン積分可能な
f：[0,1] → C に対して lim[n→∞](1/n)Σ[i＝1〜n]f(x_i) ＝ R∫[0,1]f(x)dx が成り立つことは同値。

また、この定理をルベーグ積分に置き換えた以下の命題

「実数列 {x_n}_{n≧1} ⊂ [0,1] が 一様分布 mod 1 であることと、任意のルベーグ積分可能な
　f：[0,1] → C に対して lim[n→∞](1/n)Σ[i＝1〜n]f(x_i) ＝ L∫[0,1]f(x)dxが成り立つことは同値」

・・・は成り立たず、反例が存在することが知られている。
つまり、このトピックスではリーマン積分をルベーグ積分に置き換えることができない。
「ルベーグさえ身に着けたら、リーマンは完全に不要」とはならないのである。

長文連投お疲れ

>344 の例は、ルベーグ積分しか知らなくても関数のクラスを制限すれば得られる結果じゃないかな
ブルバキの流れで講義するならリーマン積分を習わなくても良いのかもしれないけど
アメリカの大学で実践したところ学生が脱落し失敗したという話を聞いたことがある
その点いまのカリキュラムでうまく動いているならリーマン→ルベーグという流れをわざわざ変える必要はないのかもね
>342>343　なるほど、確かにそうかもしれないが、ルベーグ積分に関する定理の証明が
わかりやすいと感じるのは集合演算が多いからかなとも思う。

>>340
>「腑に落ちない」は無いな。適用できる関数クラスが貧弱でモヤッとすることはあるが。
>あと、「ブラックボックスを認めて」ってのが意味不明。リーマン積分での証明に
>ブラックボックスなんて存在しないし、そもそもブラックボックスがあったら証明とは呼ばない。
>いい加減な著者が書いた、いい加減な証明しか読んだことないだけでは？

リーマン式の重積分の変換公式なんて
解析系の教授でさえキチンと証明を追ってない人はいっぱいいるぞ
教科書に書いてはあるが誰も読まない
その事を「腑に落ちない」「ブラックボックス」と表現したのだ

あんたはレスの日本語の流れを一切理解してない
あんたはそもそも数学の勉強したことあるのか？

ここをスッキリ証明してくれるのがルベーグ式だろ
だからルベーグ式は「適用できる関数クラスが広大」なんてこと以前に
素朴な連続関数に置いてすらスッキリした見通しを与えてくれるので
解析の基礎の基礎の土台なんだろって話
ルベーグ式を学ぶ終えたらリーマン式に立ち返る必要はないんじゃねって話
それがレスの流れ

>>346
>ブルバキの流れで講義するならリーマン積分を習わなくても良いのかもしれないけど
>アメリカの大学で実践したところ学生が脱落し失敗したという話を聞いたことがある
>その点いまのカリキュラムでうまく動いているならリーマン→ルベーグという流れをわざわざ変える必要はないのかもね

そんな事を俺は主張してないよ
・ルベーグ式を学び終えた人がリーマン式に立ち返る必要がないか否か
・解析を全てルベーグ式で思考したらいいだけじゃないか

と言ってる

>>347
＞リーマン式の重積分の変換公式なんて
＞解析系の教授でさえキチンと証明を追ってない人はいっぱいいるぞ

笑止千万。リーマン式ごときでキチンと証明を追わない教授がいるわけがないｗ
仮にいたとしても、それは単にモチベが上がらないからにすぎない。
リーマン式は適用できる関数クラスが貧弱なので、証明を読むのも億劫だということ。
結局それは「わたしはリーマン式がすき」「わたしはルベーグ式がすき」という、
個人的な好みの表明でしかないし、適当できる関数クラスが広大なルベーグ式の方に
プロは流れやすいということでしかない。

しかもこれは、仮に証明を追わない教授がいたとしての話であり、
実際はリーマン式ごときでキチンと証明を追わない教授がいるわけがないｗ
なぜなら、大学初年度のカリキュラムでリーマン積分が「未だに」採用されているので、
講義で学生に教える際に、教授・学生ともに絶対に避けて通れないからだ。
不真面目な学生は完全スルーしてもおかしくはないが、教授の方が
リーマン式ごときで完全スルーし、証明を理解することに匙を投げたり
適当にお茶を濁したりなんて絶対にありえないｗ

>>347
＞教科書に書いてはあるが誰も読まない
＞その事を「腑に落ちない」「ブラックボックス」と表現したのだ

ふざけるなｗｗｗ

「教科書に書いてはあるが誰も読まない」≠「腑に落ちない」「ブラックボックス」

教科書に書いてはあるが誰も読まない、という内容のことを
「腑に落ちない」「ブラックボックス」などと表現するのは完璧に間違っているｗ

お前は日本語のチョイスを完全に間違えているｗ

>>347
＞あんたはレスの日本語の流れを一切理解してない

日本語が正確に書けないのお前が悪いｗ
教科書に書いてはあるが誰も読まない、という内容のことを
「腑に落ちない」「ブラックボックス」などと表現するのは完璧に間違っているｗ

しかも、「教科書に書いてはあるが誰も読まない」という前提自体が
既に間違っているというオマケつき。

不真面目な学生は完全スルーしてもおかしくはないが、
教授の方がリーマン式ごときで完全スルーし、証明を理解することに
匙を投げたり適当にお茶を濁したりなんて絶対にありえないｗ
お前にとって、リーマン式はそんなに難しいのか？さっきから、

「リーマン式はこんなに難しいのだから、教授だって匙を投げてるはずだ」

という稚拙な願望を表明しているようにしか見えないぞｗ

>>347
＞ここをスッキリ証明してくれるのがルベーグ式だろ

リーマン式でも、リーマン式の中で適応できる関数クラス内においては
完全にスッキリ証明してますが何か？

＞だからルベーグ式は「適用できる関数クラスが広大」なんてこと以前に
＞素朴な連続関数に置いてすらスッキリした見通しを与えてくれるので
＞解析の基礎の基礎の土台なんだろって話

リーマン式でも、リーマン式の中で適応できる関数クラス内においては
完全にスッキリ証明してますが何か？

ああ、お前にとってはルベーグ式の方が好みなのかもしれないな。
そこは別に否定しないよ。どの流儀が好きかは人それぞれだからな。
しかしそれは、「わたしはリーマン式がすき」「わたしはルベーグ式がすき」という、
個人的な好みの表明でしかない。

>>348
＞・ルベーグ式を学び終えた人がリーマン式に立ち返る必要がないか否か

ルベーグ式の方が適用できる関数クラスが広大であり、リーマン積分の拡張になっているので、
基本的にリーマン式に立ち返る必要はない。これはつまり、

「ルベーグ式の利点は、適用できる関数クラスが広大かつキレイなところ」

ということ。結局はこれに尽きる。

＞・解析を全てルベーグ式で思考したらいいだけじゃないか

分野によるとしかｗ
>>343-344の例はルベーグ積分に置き換えることができないので、
この例はリーマン式で思考するしかないｗ
お前にとっては都合が悪いのか、お前は>>343-344を完全スルーしてるがねｗ

あと、複素積分は基本的にルベーグ式では思考しない。
なぜなら、正則関数しか相手にしないのでリーマン式で十分であり、
わざわざルベーグ式を持ち出すのは証明コストが莫大すぎて
非常にバカバカしいからだ。

もう1つ。お前は>>347で

＞ここをスッキリ証明してくれるのがルベーグ式だろ

と書いているが、個人的には、ルベーグ式がそれほど「スッキリ」しているとは思わない。
ルベーグ式は適用できる関数クラスが広大なので、その分、証明コストも莫大であり、
一般に莫大な証明のことを「スッキリ」とは表現しない。

また、ルベーグ式は関数を横に切って積分を考えるので、ある種の定理では
証明がどうしてもイビツになってしまい、「スッキリ」からは程遠い状況になっている。

流儀によって得意・不得意が出てくるのは当然のことであって、
なんでもかんでもスッキリとは行かないのが世の常であり、
ルベーグ式でもそういう状況は回避できないということ。

>>354の一例を挙げると、

ルベーグ積分での微積分学の基本定理(の1つ)
f：[a,b]→R が各点で微分可能で f' がルベーグ積分可能なら、
f(b)−f(a) ＝ L∫[a→b]f'(x)dx が成り立つ

この定理の場合、ルベーグ式は「まごうことなきクソ」としか言いようがないくらい
技巧的かつ不自然な、イビツな証明しか見たことがなく、また証明のための準備も異様に長い。

ルベーグ式は関数を横に切って積分を考えるので、
微分と積分の関係を見るときに相性が悪いのは当然であり、
まさにその相性の悪さが露骨に表れているのが
ルベーグ式でのクソみたいな証明と言える。

一方で、まあこちらはリーマン式ではなくhk式の定理だが、

hk積分での微積分学の基本定理(の1つ)
f：[a,b]→R が各点で微分可能なら、それだけで f' は必ずhk積分可能であり、
しかも f(b)−f(a)＝hk∫[a→b]f'(x)dx が成り立つ

この定理の場合、証明が驚異的に短く、しかも自然で、証明のための準備もほぼゼロである。
まさしく「スッキリ」としか表現のしようがない。ルベーグ式のクソみたいな証明とは天と地の差である。
たとえば、Introduction to Gauge Integrals という書籍では、確か

hk積分の定義 → その直後に straddle lemma → その直後にhk積分での微積分学の基本定理の証明

という構成になっていたはずで、積分の線形性すら証明してない状態で真っ先にこの定理の証明が来るという
驚異の構成であり、ルベーグ式のクソみたいな証明とは天と地の差である。
ちなみに、f：[a,b]→R がルベーグ積分可能ならhk積分可能であり、両者の積分値は一致するので、
上記の定理はルベーグ式の拡張である、ということにも注意せよ。

無論、hk積分はhk積分で、証明にやたらと手こずる定理も ちらほら存在するし、
多次元だと(今のところ)理論的に美しくならないという欠点も存在する。
結局、方式ごとに得意・不得意が出てくるのは当たり前のことであり、
ルベーグ式もhk式でも、「何でもかんでもスッキリ」とは行かないのである。

ルベーグ式を信奉するのは個人の勝手だが、
ID:B/zbSgrn の書き込みを読むと、どうもこいつは

「ルベーグこそが唯一の正解」

などと考えている節があって、見ていて非常に痛々しい。
まあ、この手の「ルベーグ狂信者」は昔から一定数いるんだがねｗ

>>349
>リーマン式は適用できる関数クラスが貧弱なので、証明を読むのも億劫だということ

おまえ数学の勉強した事ないのに勉強したことあると妄想してるキチガイだろ
適用できる関数云々と無関係に純粋に証明自体が実際に煩雑だろ
おまえリーマン式の証明全く読んでないだろ

>実際はリーマン式ごときでキチンと証明を追わない教授がいるわけがないｗ
>なぜなら、大学初年度のカリキュラムでリーマン積分が「未だに」採用されているので、
>講義で学生に教える際に、教授・学生ともに絶対に避けて通れないからだ。

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~tomatsu/kisoD/notice3.pdf
戸松玲治　北大准教授
↓
さて通常，証明がややこしくて一番難しいのは，「変数変換の公式」です．
置換積分の多変数版のことです．
これが厳密にn 次元で証明されているのは，
上の4 つの中で杉浦本の一つだけです．
そして証明も読む気を削ぐのに十分な面倒くささです(実際私は読んだこ
とがありません！)．
実はルベーグ積分でスッキリとした証明を与えることができます．
ルベーグ積分に興味が湧いてきましたよね(？)

>>355
>この定理の場合、ルベーグ式は「まごうことなきクソ」としか言いようがないくらい
>技巧的かつ不自然な、イビツな証明しか見たことがなく、
>また証明のための準備も異様に長い。
>微分と積分の関係を見るときに相性が悪いのは当然であり、
>まさにその相性の悪さが露骨に表れているのが

�@「証明のための準備も異様に長い」とあるが
　その証明のため【だけ】の準備ではなく汎用性のある準備なら
　何も億劫ではないだろ
�A「技巧的かつ不自然な」と言ってるがそれはRudinの芸術的な教科書の
　中の記述でもあんたはそう思うのか？

>>353
>お前は>>343-344を完全スルーしてるがね

ルベーグ積分可能とリーマン積分可能とは包含関係にはないので
少なくとも何らかの病的な齟齬は起こり得るだろうが
通常のリーマン面や古典保型形式を読み進む際に
決定的となるような話なのか？その例は。そこが腑に落ちない

>>357
>「ルベーグこそが唯一の正解」
>などと考えている節があって、見ていて非常に痛々しい

いや俺は純粋にそうであるかないかを根拠付きで教えて欲しいと
質問しただけだが

>>351
>お前にとって、リーマン式はそんなに難しいのか？

数学において「難しい事を鼻歌を歌いながらこなす」なんて器用さに価値はない
折り紙でも最初に1mmズレたらどんどん折っていくうちにズレが増大しやがて折れなくなる

数学も同様で「1mmズレてても上手く進んでいけるぜ」なんて器用さなど
無意味であり、とてつもない概念の高層ビルを積み上げて行く際に必要なのは
逆にむしろ不器用さとでもいうべき「ズレ」への抵抗感だろ

出発点として出来る限り究極に自然で簡素でスッキリした土台である事が
即ち数学の美そのもの
因みに書き忘れたが勿論>>358←は数学科の教員な。
そもそも逆に大学初年度のカリキュラムとやらで変数変換の公式を厳密に
証明しきってるような授業やってる人なんて俺は聞いたことない
いたら一人でもいいからその変な教員の名前を挙げてくれ

>>359
＞通常のリーマン面や古典保型形式を読み進む際に
＞決定的となるような話なのか？その例は。そこが腑に落ちない

「大抵の分野では、基本的にはルベーグ式で考えればいい」と既に述べている。
そして、「ただし反例となる分野もあるにはある」とも述べている。
こちらはそういうことを言っているにすぎない。繰り返しになるが、あんたは>>348で

＞・解析を全てルベーグ式で思考したらいいだけじゃないか

と言ったのである。しかし、「解析を全て」なんて言い出したら反例が存在するに決まっているのであり、
その具体例の1つが>>343-344の例である。この例はリーマン式で考えるのが適切である。
また、複素積分は基本的にルベーグ式では思考しない(正則関数しか扱わないから)。
このような反例に対して、「リーマン面や古典保型形式ではどうなんだ」などと言ってみたところで
何の返答にもなっとらん。なので、この話の結論は、

・「 解析を全てルベーグ式で思考したらいい 」という主張は明らかに "言い過ぎ" であり、反例となる分野が一応ある。

・「 "大抵の解析は" ルベーグ式で思考したらいい」などと訂正するなら、その主張だったら普通に正しいですねとしか。

>>359
＞�@「証明のための準備も異様に長い」とあるが
＞　その証明のため【だけ】の準備ではなく汎用性のある準備なら
＞　何も億劫ではないだろ

それを言い出したら、リーマン式での証明だって、リーマン式の中で扱える関数クラスでの
汎用性のある準備なのだから、億劫なことは何もないだろ・・・
もしそれでも億劫になることがあるとしたら、リーマン式とルベーグ式をメタ視点で比較して、

「ルベーグ式の方がより汎用的なので、設定が中途半端なリーマン式の証明はモチベが上がらない」

ということに過ぎないだろ。だが、それはメタ視点から比較したときの話であって、
リーマン式を「リーマン式の中だけ」で眺めたときには、

「リーマン式での証明だって、リーマン式の中で扱える関数クラスでの汎用性のある準備なのだから、億劫なことは何もない」

としか言いようがない。

そして、メタ視点から比較したときにルベーグ式に軍配が上がりがちなのは、
結局「ルベーグ式は適用できる関数クラスが広大」ということに尽きるだろ。
何度も言うけど、証明の良し悪しじゃないんだよ。結局はこれに尽きるんだよ。

>>359
＞�@「証明のための準備も異様に長い」とあるが
＞　その証明のため【だけ】の準備ではなく汎用性のある準備なら
＞　何も億劫ではないだろ

同じことの繰り返しになるが、結局あんたのスタンスは、

・ リーマン式の証明は、ちょっとでも面倒くさい記述があると「これだからリーマン式はダメなんだ」とほざく
・ ルベーグ式の証明は、どんなに面倒くさい記述でも「汎用性のある準備だから許す」

というダブルスタンダードでしかない。
そして、なぜリーマン式では許せないのに、ルベーグ式だと許せるのかと言えば、

「 ルベーグ式は適用できる関数クラスが広大 (自動的に、準備も汎用的にならざるを得ない) 」

ということに尽きる。結局はこれに尽きる。

>>359
＞�A「技巧的かつ不自然な」と言ってるがそれはRudinの芸術的な教科書の
＞　中の記述でもあんたはそう思うのか？

Rudin (Real and complex analysis) による微積分学の基本定理の証明は
Vitali-Caratheodory Theorem を経由するものであり、技巧的な証明の中でも
比較的マシな部類ではあるが、hk積分での証明(>>356)のあまりの簡潔さを知ってしまうと、
Rudin のやり方ですら「クソ」と感じて吹き飛んでしまうｗ
まあ、これに関しては、hk積分での証明が奇跡的すぎるという側面もある。

また、hk積分はhk積分で証明に手こずる定理もちらほら存在するので、
結局、どの方式も万能ではない(と既に述べている)。

>>360
＞そもそも逆に大学初年度のカリキュラムとやらで変数変換の公式を厳密に
＞証明しきってるような授業やってる人なんて俺は聞いたことない

言われてみれば、大学初年度では2変数の変数変換公式しか扱わないことを思い出した。よくある証明は、

補題　2×2の行列Aとb∈R^2に対してf(x)＝Ax＋b (x∈R^2)と置くとき、
R^2の有界なジョルダン可測集合Cに対してf(C)もジョルダン可測でμ(f(C))＝|det A|μ(C)
(ただし、ここでのμはジョルダン測度)

を示し、あとは普通のεδでリーマン和を計算して終わり、というもの(n次元でも同じ)。
そして、上記の補題の証明を省いて、εδでのリーマン和だけをやっている教科書があり、
おそらく講義でも上記の補題の証明を省いている大学はあるだろうということ。

なので、この件に関してはこちらが言い過ぎだったかもしれん。

しかし、「リーマン式がスッキリか否か」という点に関して言えば、
上記のリーマン式の証明は方針が極めて普通であり、「リーマン式もスッキリ」としか言いようがない。

難点があるとすれば、上記の補題の証明が意外と面倒くさいことであるが、
やっていることはダルブー式の上積分・下積分の計算に測度論的な計算を織り交ぜたものであり、
全てを測度論として考えたときには極めて普通の内容であるｗ それにも関わらず

「リーマン式の証明は複雑怪奇で問題外。ルベーグはシンプル」

のような捉え方をするのは理解に苦しむ。「やってること同じだろ」としか言いようがない。
同じ理由により、>>358のリンク先も理解に苦しむ。

おそらく、>>358の教授の "やる気のなさ" は

「ルベーグの方が汎用的なので、リーマン式にはモチベが上がらない」

というたぐいのやる気のなさである。リンク先の引用になるが、ハッキリとこのように書いてある↓

＞ルベーグ流の測度論ではこれらのクラスがより広がり，面倒くさい仮定が一気に解消します．
＞ですから極論すれば，ジョルダン流の測度論は古くてあまり使わないし，どうせルベーグ積分を学ぶのだし，
＞別に完璧な理論展開をする必要もないのです．

つまりは、>>349の前半部分で書いたことそのものである↓

＞仮にいたとしても、それは単にモチベが上がらないからにすぎない。
＞リーマン式は適用できる関数クラスが貧弱なので、証明を読むのも億劫だということ。
＞結局それは「わたしはリーマン式がすき」「わたしはルベーグ式がすき」という、
＞個人的な好みの表明でしかないし、適当できる関数クラスが広大なルベーグ式の方に
＞プロは流れやすいということでしかない。

ヘンストック・クルツヴァイル積分というのがあるのが分かった

なので、全てをまとめると、

・ ルベーグ式の利点は、適用できる関数クラスが広大なところであり、なおかつ、これに尽きるのであり、
　 証明の良し悪しでリーマン式と差別化しようとする行為はナンセンス。
　 というか、証明の良し悪しなら、ルベーグ式でもクソみたいな証明はある(ただし比較対象はhk積分)。

・「 解析を全てルベーグ式で思考したらいい 」という主張は明らかに "言い過ぎ" であり、反例となる分野が一応ある。

・「 "大抵の解析は" ルベーグ式で思考したらいい」などと訂正するなら、その主張だったら普通に正しいですねとしか。

ルベーグ積分は測度のおまけだからしょうがない
hk積分はリーマン積分の改良だから積分で優れるのは必然

ところで長文連投の爺さんは研究成果か何か？

ルベーグ積分をダニエル積分やハール積分の具体例として記述してみてくれ

ハールは別だろ

>>373
フーリエの話をするならハールの文脈のほうが自然じゃないのか？

>>367
>ルベーグ流の測度論ではこれらのクラスがより広がり，
>面倒くさい仮定が一気に解消します．

その先生が最終的に言いたい事は
「クラスがより広がり」の部分ではなく
「面倒くさい仮定が一気に解消します」の部分では

>>363
>・ リーマン式の証明は、ちょっとでも面倒くさい記述があると
>「これだからリーマン式はダメなんだ」とほざく
>・ ルベーグ式の証明は、どんなに面倒くさい記述でも「汎用性のある準備だから許す」

グロタンディークのSGAは膨大だけど煩雑とは言わない
いくら膨大でも統一的視点であれば煩雑とは言わない

>「 ルベーグ式は適用できる関数クラスが広大
> (自動的に、準備も汎用的にならざるを得ない) 」
>ということに尽きる。結局はこれに尽きる。

少なくとも>>358の先生は、「実用面の汎用性がルベーグの売り」とは主張してない
変換公式の証明が
ルベーグは膨大だけどスッキリ
リーマンは敷居が低いけど煩雑で読む気が削がれる
という趣旨
該当箇所
↓
証明も読む気を削ぐのに十分な面倒くささです(実際私は読んだこ
とがありません！)．
実はルベーグ積分でスッキリとした証明を与えることができます．
ルベーグ積分に興味が湧いてきましたよね(？)

つまり
・ルベーグでしか扱えない話
・ルベーグでしか扱えない関数
・多くの人にとって縁のない関数
にのみルベーグが威力を発揮する訳ではない、
我々の身近な解析議論にもスッキリした見通しを与えるのがルベーグの売りだ
だからこそ興味が湧いてきたでしょ？
という趣旨

ルベーグでしか扱えない関数が如何に重要かを語ってはいない

>>367
>仮にいたとしても、それは単にモチベが上がらないからにすぎない。
>リーマン式は適用できる関数クラスが貧弱なので、証明を読むのも億劫だということ。

その観点から学生にルベーグ積分の興味を沸かせるためには
ルベーグでしか扱えない関数が如何に重要かを語らないといけないはずだが
そういう話はあなた自身も語っていない

>>362
>それを言い出したら、リーマン式での証明だって、リーマン式の中で扱える関数クラスでの
>汎用性のある準備なのだから、億劫なことは何もないだろ・・・

汎用性という言葉遊びの曲解齟齬
実用的な適用場面が広いとか狭いという意味の汎用性ではなく
統一的視点であるとか一網打尽的な理論構築上の汎用性

圏論も膨大な理論だが一旦その思想を理解してしまえば
あとはその思想を自然に推し進めるだけで理論がどんどん構築可能
ユークリッド幾何のような補助線を引っ張ってとかの散発的な手続き
の集合体ではなという意味のニュアンス

>>361
>「大抵の分野では、基本的にはルベーグ式で考えればいい」と既に述べている。

どのレスで既に述べていたの？

>そして、「ただし反例となる分野もあるにはある」とも述べている。

分野？？？？？？？？
分野なんて具体的に挙げてくれました？
あなたはただ何らかの例を挙げただけでしょ
リーマン積分可能でルベーグ積分可能ではない関数があるのは
当たり前の当然だけど
そういう関数を扱う事を避けられない数学理論の分野って具体的に何ですか？？

仮にそういう関数を主として扱う分野があったとしても
その分野が大きい分野でないなら
「全てを大抵と言わないからバカ」なんて指摘は些末なナンセンスな揚げ足取り

>>369
>証明の良し悪しでリーマン式と
>差別化しようとする行為はナンセンス。
>というか、証明の良し悪しなら、
>ルベーグ式でもクソみたいな証明はある(ただし比較対象はhk積分)。

�@なんでリーマンと比較しないの？
　初学年カリキュラムとやらの基本的な範囲事項の総合で
　リーマンとこそ比較すべきでしょ
�Aもしルベーグにも煩雑な面があるのだとしたら
　ルベーグにもブラックボックスがあるってだけに過ぎないだけ
�B因みに私は解析系の学生ではないし
　ルベーグは最近読み始めたばかり
　今は他のことで忙しくて読めてすらいないから
　自分自身の目でその全てを直接確認するのはまだ先の話になる
　微分と積分との関係をルベーグ式に理解する話とかまだ追ってない
�C>>361
　>複素積分は基本的にルベーグ式では思考しない
　>(正則関数しか扱わないから)
　けれど複素関数を複素平面上の関数と見たら
　2変数の変換公式が基礎的枠組みに入っているから
　>>358←の先生の説明によれば
　ルベーグ式で思考したらとてつもなくスッキリするという話であり
　その話の延長上として「リーマン式なんかもう立ち返る必要ないんじゃない？」
　などの質問をこのスレでしたのだよ

>>365
>言われてみれば、大学初年度では2変数の変数変換公式しか扱わないことを思い出した
>難点があるとすれば、上記の補題の証明が意外と面倒くさいことであるが

2変数に限っても変数変換のリーマン式の証明は十分に煩雑だと思うし
その煩雑の原因はあなたが挙げたそんな1個の補題に収まるモノとは思えない

俺個人の経験では
小平の本の2変数の累次積分の証明に限っても
高級でかっこいい大道具ではなく色んな散発的な考察を複数回繰り返してる感じ
一応ロジックは追えるけれども
証明が理解できても分かったという気分にならなかった
その際積分記号下の微分も必要になるが
小平の本はその証明の際にはArzelaの定理と呼ばれるこれまた煩雑な
定理を経由する
Arzelaの定理を何も見ずに証明が書けるまで何度繰り返しても
時間が経てばすぐに細部は忘れそのあと何も残らない
積分記号化の微分は高木貞治の本だと分量は簡潔だが
やはり分かった気分になれない
その意味で言えば複素関数のコーシーの積分定理も
証明が追えても分かった気には何故かなれない
簡潔な証明でも分かった気になれない。しっくり来ない
【当たり前】って感覚にまで中々なれない
(ルベーグ式を学び終えても結局その感覚が俺の中で
変わらない可能性はある。素晴らしいと興奮してるのは
まだ最初の方しか学んでないからだけかも知れない)

小平の本の2変数の変数変換の証明は12ページあるが
あなたは(ちょっと思い出す準備をすれば)
何も見ずに上の空で証明出来る(出来た)の？

>Rudin (Real and complex analysis) による微積分学の基本定理の証明は
>Vitali-Caratheodory Theorem を経由するものであり、技巧的な証明の中でも
>比較的マシな部類ではあるが、hk積分での証明のあまりの簡潔さを知ってしまうと、
>Rudin のやり方ですら「クソ」と感じて吹き飛んでしまうｗ

というか微積分学の基本定理の証明に限って言うなら
リーマン式の証明が一番簡潔であれは分かった気にもなれるでしょ
HK積分とやらの証明は知らないが。

基本定理はリーマン式が本質で後は付け足しだからな
ルベーグの魅力は測度の魅力
新しく知った魅力に逆上せ上がるガキは常にいる

一回読んで理解できなきゃ覚えるまで何回も読むんだよ

ルベーグ積分のいいところは積分と極限の交換、関数空間で考えるところ
三大収束定理とフビニの定理を覚えておけば十分

>>382
測度の魅力とは、具体的に何だろう
>>383
あくまで一般論として
隅々まで理解してそれでもしっくりこない証明ってのはある
その証明に対する自分の不理解というより
その証明法自体がよくないという美的理由による健全な違和感
>>384
微分との関係なども一通り押さえて完全にリーマン積分を不要なモノにしたい