分からない問題はここに書いてね436

さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね434
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1507993404/

削除依頼を出しました

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前スレの>>1000の人。
ありがとうございます。

ただ、f(x)= sinx-2x/πにしてグラフを調べるのは分かるのですが、不等式を証明せよという問題でグラフを調べれば証明した事になりますかね？

グダグダ書き込む前に実際にグラフを書いた方が良いでしょうね

[前スレ.997]
　Jordan の不等式（微分を使わない方法）

円c（半径r）の直径をABとする。
A，Bを通るもう一つの円C（半径 R >r）がある。

このとき線分ABの長さは
　2R sin(x）= 2r,

また横方向のズレ幅からみて、明らかに
弧AcB > 弧ACB,
　πr > 2R x,

辺々掛けて
　sin(x）> 2x/π,

次の微分方程式の解法が全く分かりません。ご教授お願いします。
y=-xdy/dx+x^4(dy/dx)^2

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>>18
ありがとうございました！

距離空間 X の任意の部分集合 A に対し、 A の内部の閉包は A の閉包に含まれる
ことを証明せよ。

お願いします。

int(A) ⊂ A より cl( int(A) ) ⊂ cl(A)

A ⊂ B → cl(A) ⊂ cl(B)
が分からんて事？
cl(B) は B を含む、つまり Aを含む閉集合である。
cl(A) は Aを含む閉集合の族の共通集合 (Aを含む最小の閉集合)である。
Aを含む閉集合には cl(B) が含まれるので、cl(A) ⊂ cl(B) である。

>>23
ありがとうございました。

閉包の定義から証明するんじゃねーかよ

以下の問題の解答ですが、もっと簡単になりませんか？

距離空間 X において部分集合 A の集積点全部の集合を A' で表すことにする。
A' は閉集合であることを証明せよ。

A の孤立点の集合を A'' で表すことにする。
A の内部を A^i で表すことにする。
A の外部を A^e で表すことにする。
A の閉包を cl(A) で表すことにする。
点 a を中心とする半径 r の開球を B(a ; r) で表すことにする。

A' = cl(A) - A'' = cl(A) ∩ (A'')^c

である。

(A')^c = [cl(A) ∩ (A'')^c]^c = cl(A)^c ∪ A'' = A^e ∪ A''

a ∈ (A')^c とする。

a ∈ A^e ならば、 A^e は開集合だから、 B(a ; r) ⊂ A^e ⊂ (A')^c となるような r > 0 が存在する。
∴ a ∈ ((A')^c)^i

a ∈ A'' ならば、 B(a ; r) ∩ cl(A) = {a} となるような r > 0 が存在する。
∴ B(a ; r) ⊂ cl(A)^c ∪ {a} ⊂ cl(A)^c ∪ A'' = (A')^c
∴ a ∈ ((A')^c)^i

以上より、

(A')^c は開集合である。
∴ A' は閉集合である。

「無」は至高ですか？

>>26
【 A' := { x ∈ X | 任意のU∈V(x) に関して (U-{x}) ∩ A ≠ φ } (V(x)は xの開近傍族) 】
任意の x ∈ X - A' について、定義より ある U∈V(x) が存在し (U-{x}) ∩ A = φ である 。
任意の y ∈ (U-{x}) について、 yの開近傍 U' で U' ⊂ U かつ U' ∩ {x} = φ となるものが存在する。
(∵ Uは開集合であり、距離空間Xはハウスドルフ空間である)
(U'-{y}) ∩ A ⊂ U' ∩ A = (U'-{x}) ∩ A ⊂ (U-{x}) ∩ A = φ である。
つまり、ある U'∈V(y) が存在し (U'-{y}) ∩ A = φ である。xの件と合わせて、
「任意の x ∈ X - A' について、ある U∈V(x) が存在し U ⊂ X - A' である」事が示せた。
よって X - A' は開集合、つまり A' は閉集合である。

"簡単" と感じるかどうかは人によるかも

回りくどい事しないで U' = U - {x} としてもよかった....。

前スレで塗りつぶされた正三角形の個数を聞いた者です
教えていただいたことを参考に、正六角形で初期配置を近似する方法で極限が1になる証明ができました！
先生曰くほとんど白紙提出だったとのことですが、ありがとうございました！

>>26
x をA'の集積点とし x に収束するA'の点列を{a_n}とすると
|b_n − x|＜1/n となる部分列{b_n}⊂{a_n}が存在する
{b_n}⊂{a_n}⊂A'だから b_n∈A'であり b_nはAの集積点だから
b_nに収束するAの点列{c(n)_m}が存在し
|c(n)_m − b_n|＜1/m となる部分列{d(n)_m}⊂{c(n)_m}が存在する
d(n)_n∈Aであり |c(n)_n − x|＜|c(n)_n − b_n| + |b_n − x|＜2/n だから
x はAの集積点であり x∈A' となる
∴　A'はA'の集積点全部を含むから閉集合である

「無」になってもう二度と「有」になりたくない。
それが唯一にして最大の願い。

>>32
あきらめるのは、まだ早い
https://ameblo.jp/monsters55/entry-12003176219.html
ちょっと感動した

この6次元とか１０次元ってのはどこからくるんですか？一般の公式もあるのでしょうか？

ファインマンbot? @feynmannnn
3次元空間の中に埋め込んだ2次元曲面は、曲がった空間の簡単な例として考えられた。
しかし3次元空間の曲率を同じように表現するには6次元空間に埋め込む必要があり、
また4次元空間の場合には、10次元空間に埋め込んで考える必要がある。時空の曲率は、面の曲率よりもかなり複雑なのである。

超弦理論の話です、多分
まだ未完成の理論ですから、話半分に聞いておけば良いでしょう

やっぱり数学って才能が必要なんですかね・・・？
受験数学レベルなら才能はもしかして必要ないかもしれないけど、
東大の院で博士号を取得するレベルになると、もはや才能無しでは太刀打ちできない気がするのですが・・・・・。

東京大学理学部数学科卒　→　東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻修士課程修了　→
東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻博士課程修了

というルートを辿りたいのですが、どうすれば良いですか？

やっぱり猛烈に努力するしかないのでしょうか？
それでも絶対に無理ですか？

>>36
内容云々ではなく、東大でそういう道を辿るのは難しいでしょうね
まず受験という壁がありますし、進振りとかいう制度のせいで、大学入った後も競争に勝つための勉強をしなければなりません
そこで失敗すると自分の好きな学科に行けないそうです

まああなたの場合は白チャートもできないんですから、杞憂というやつですね

>>36
>>33 にも書いておいたが、まず到達可能な目標をたててみるのがいいでしょう。
日本で一番難しい資格試験・司法試験を攻めてみてはいかが？それなりに評価が高いと思います

>>38
すいません。
司法試験は、まったく興味がないというわけではないのですが、
やはり>>36に示したルートを辿りたいという夢の方が遥かに大きいのです。
なんとしてでも>>36に示したルートを辿りたいです。
なんとかならないでしょうか？

用語についての質問なのです
特性方程式と決定方程式では何か違いはあるのでしょうか？

常微分方程式の級数解法にて、フロベニウス級数解を持つと仮定して式変形をして出てきた式が
決定方程式と呼ばれていたのですが、特性方程式と大きく変わらないような気がしました

ただ私が勝手に大した違いは無いだろうと思い込んでしまっているかもしれないので
質問してみることにしました

>>39
最終目的って何なの？
世の中には、目的達成のため正面きって真っ正直に難しい道を行く奴はバカだ・・
って価値観の人もいるし、目的が同じなら他大学の理学部数学科じゃだめかよ

>>27
色即是空 空即是色

（大意）
色（物質：フェルミオン）と空（力：ボゾン）とが同等（超対称）だということ。

SUSYってどうなんですかね？
実験的にはそんなのがあるかけらも無いみたいですけど

「色」ってクォークの color のことか（"＾ω＾）・・・

>>26
xが集積点
⇔∀e>0 U(x,e)∩A≠φ
xが集積点でない
⇔∃e>0 U(x,e)∩A=φ
⇔∃e>0 U(x,e)⊂X-A
⇔X-Aは開
⇔Aは閉

あちゃ
>>45
>⇔X-Aは開
>⇔Aは閉
⇔x∈(X-A)^iは開
xは集積点
⇔x∈X-(X-A)^iは閉

↑これが数学板の実力です
専門板なのに異常にレベルが低い
せいぜい数学の少しできる高校生レベル

>>47
もう止めたら？

>>48
集積点と触点が一致することを証明してください

>>49
あそうか

>>49
じゃ
証明してください

既に上に回答がいくつか上がってますよね？

>>52
もっと簡単な奴でどうぞ

xが集積点
⇔∀e>0 U(x,e)-{x}∩A=U(x,e)∩A-{x}≠φ
xが集積点でない
⇔∃e>0 U(x,e)∩A-{x}=φ
⇔∃e>0 U(x,e)⊂X-A∨U(x,e)∩A={x}
⇔∃e>0 ∀y∈U(x,e) ∃d>0 U(y,d)⊂U(x,e)⊂X-A∨U(y,d)∩A={y}
⇔∃e>0 ∀y∈U(x,e) yは集積点でない
⇔集積点でない点の全体は開
⇔集積点の全体は閉

>>54
>⇔∃e>0 U(x,e)⊂X-A∨U(x,e)∩A={x}
>⇔∃e>0 ∀y∈U(x,e) ∃d>0 U(y,d)⊂U(x,e)⊂X-A∨U(y,d)∩A={y}
⇔∃e>0 U(x,e)∩A=φor{x}
⇔∃e>0 ∀y∈U(x,e) ∃d>0 U(y,d)∩A=φor{y}
のがいいや}

>>55
>⇔∃e>0 ∀y∈U(x,e) ∃d>0 U(y,d)∩A=φor{y}
⇒

xが集積点
⇔∀e>0 U(x,e)-{x}∩A=U(x,e)∩A-{x}≠φ
xが集積点でない
⇔∃e>0 U(x,e)∩A-{x}=φ
⇔∃e>0 U(x,e)∩A=φor{x}
⇒∃e>0 ∀y∈U(x,e) ∃d>0 U(y,d)∩A=φor{y}
⇔∃e>0 ∀y∈U(x,e) yは集積点でない
⇒集積点でない点の全体は開
⇔集積点の全体は閉

誤答なんちゃらさんを思い出しますね

>>58
何もできないんですね

>>57
>U(x,e)
距離でなくて開近傍で十分

神と無はどっちの方が凄いですか？

代数方程式の解求める問題
A1x^n+A2x^n-1 ... Anx + An+1 = 0
みたいなものがあるとします。

A2~An+1は実数なんだけど、A1だけ１から２の区間？の場合はどうすれば解の集合が求まるか分かる人いますか？
無数の方程式の求根をしてその全てを包含するような解の区間を求めたいのですが…

先生は一番難しい問題と言っていましたし、自分自身では何も思いつきません…

それ複素数全体にならん？

この本ってどうですか？

現代数学序説 集合と代数 (ちくま学芸文庫)
松坂 和夫
固定リンク: http://amzn.asia/hbjyymd

A2〜An+1は与えられた実数定数でA1だけ幅があるってことだろ

荒井秀男って岩波書店の人ですよね。
まだ生きていたんですね。

内容紹介
『集合・位相入門』などの名教科書で知られる著者による、懇切丁寧な入門書。
組合せ論・初等数論を中心に、現代数学の一端に触れる。解説 荒井秀男

>>61
神無月　ぢゃなくて　「神無一族の氾濫」です。

（詰将棋パラダイスに掲載されたフェアリー詰）

次の(1), (2), (3)をみたす R 上の C^∞ 関数 f(x) と g(x) が存在する。

(1) lim_{x → ∞} f(x) = lim_{x → ∞} g(x) = +∞
(2) lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) は存在して有限値
(3) lim_{x → ∞} f(x)/g(x) は存在しない

例

f(x) = x + sin(x)*cos(x)
g(x) = exp(sin(x)) * f(x)

と書いてあるのですが、

g'(x) = exp(sin(x))*(f(x) + 2*cos(x))*cos(x)

なので、

lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) は考えられないと思います。

これはどういうことなのでしょうか？

lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) = a の定義は、

任意の正の実数 ε に対して、

K < x ⇒ |f'(x)/g'(x) - a| < ε

となる実数 K が存在する

です。

K < x かつ g'(x) = 0 となるような x がかならず存在しますので問題ではないでしょうか？

f(x)=1/2*(1-(-1)^x)*(-1)^((x-1)((1-(-1)^x))/4)

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>>68
f'/g'を具体的に書いてみろよ

f'(x) / g'(x) = 2*(cos(x))^2 / exp(sin(x))*(f(x) + 2*cos(x))*cos(x)

ですね。

分母に cos(x) があるため、 f'(x) / g'(x) が定義されない x の値が無数にありますね。

神　vs　全　vs　無

ファイッ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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リチャードって誰ですか？
https://page.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/v524715453

微積分形式って何ですか？
https://page.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/k278143925

この証明の例が分かりません。明らかに間違っている（正しくMPが使われていない）と思うのですが……

https://i.imgur.com/JReZQZ2.jpg
https://i.imgur.com/4zLyYdy.jpg

最近調べたらなかなか難しくて感心した（呆れた）問題

W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd.ed. pp. 229,
Chapter 10 Exercise 23.
指数関数e^zのテイラー展開のn次までの和をP_n(z)
P_n(z) = 1 + z + z^2 / 2! + ... + z^n / n!
Q_n(z)=1-P_n(z)とするとき、P_n(z)、Q_n(z)の零点の位置についてどのようなことが言えるか

（stackexchangeを探すと答えがいくつかあります）

松坂和夫著『解析入門3』を読んでいます。

「X をコンパクトとし、 A を X の任意の無限部分集合とする。もし A が X の中に集積点をもたないとすれば、
X の任意の点 a に対し、適当な正の実数 r(a) をとれば、開球 B(a ; r(a)) は A の点をたかだか有限個しか
含まない。（前節12.1の命題6(b)参照。）」

と書かれています。参照先の命題6(b)は以下です。

「命題6(b)

a ∈ X が A の集積点ならば、任意の r > 0 に対して B(a ; r) は無限に多くの A の点を含む。」

この命題を参照させるのはおかしいですよね。



任意の正の実数 r に対して、開球 B(a ; r(a)) が A の点を無数に含むとすれば、 a は明らかに
A の集積点である。仮定により、 X の任意の点 a は A の集積点ではないから適当な正の実数 r(a)
をとれば、開球 B(a ; r(a)) は A の点をたかだか有限個しか含まない。

ということですよね。

松坂和夫さんの解析入門シリーズは、かなり詳しく位相について書かれていますね。

杉浦光夫の解析入門よりも細かいことが書いてあるのではないでしょうか？

>>95
それなりに検索しても答え見つからなかった。
よければリンク先教えて。

>>81
それ極限のこととは別

てゆか詰まらない

>>95
むかしむかし、P_n（z）の零点を Wolframalpha に書かせて twitter に上げてる人がいました。（"＾ω＾）・・・

馬蹄形にきれいに並んでましたよ。

nが奇数のときの負根は -（0.28125n+0.85）ぐらいで遠ざかってましたね。

>>98
ほい
https://math.stackexchange.com/questions/1976891/the-location-of-zeros-of-partial-sum-of-exponential-series
https://mathoverflow.net/questions/4329/roots-of-truncations-of-ex-1/16500

>>101
イヤ別にいいんだけどさ
n次までの近似というものを特別視する
積極的な理由ってあるのかなあ

>>103
それもそうだけどさ
nが増すほどピカール性が増して
零点を追っ払うのが目に見える。

アメリカ合衆国大統領とダライ・ラマはどっちの方が偉いですか？

次の問題が分かりません。
（2）はn=3のときで楽勝です。(1)はk=1で固定して楽勝と思いきや、k=1で固定して良いことをどう記述するか悩みます。
（3）は色々実験しましたが手が出ません。解の公式に代入したり規則性をつかもうとしたのですがよく分かりません。

n,kを自然数とする。xの2次方程式
x^2-(n!)x+n^k=0
について、以下の問に答えよ。
（1）次の条件をみたすnの範囲を、理由をつけて答えよ。「この方程式が実数解を持つようにkの値をとれる」
（2）この方程式が整数解をもつような(n,k)の組を1つ求めよ。
（3）この方程式が整数解をもつような(n,k)の組は無数に存在するか。

数学者は天才ですよね？

>>106
n^1≦n^kなのだから、
判別式を考えれば
あるkで実数解をもてば必ずk=1の時に実数解をもつ
従って実数解を持つようにkが取れることとk=1の時に実数解を持つことは同値

>>106
（3）に関しては、
解と係数の関係などを考えて
整数解を持つというのは片方だけ持つのか、両方とも整数になっていなくてはならないのか
とか
両方整数なら、素因数を考えてどういう形をしてるか、

等を考えいくとできる

楕円x^2+2y^2=1 放物線4y=2x^2+a
2つの式からxを消去して，
4y^2+4y-(a+2)=0・・・�@
このyについての2次方程式の判別式をDとすると，
D=4a+12
ここでD≧0ならば�@は実数解をもち，この2つの曲線は共有点をもつと考えたのですが，4a+12≧0を解くとa≧-3
これは2つの曲線が共有点をもつための条件になっていません。
なぜこんなことが起こるのか，間違いはどこにあるのか，教えてください

https://i.imgur.com/C93pCWC.png

ん

>>110
�@がｙの方程式として実数解をもっても、もう一方の未知数xが実数になるとは限らない。

>>113
感動しました。ありがとうございます

>>101

-（0.28125n +0.865 -0.6/n + …）ぐらい

距離空間 X はコンパクトでなくかつ全有界であるとする。

(U_λ)λ∈Λ を X の開被覆とし、 X が U_λ のうちの有限個では被覆されないと仮定する。
X は全有界であるから、半径 1/2 の有限個の開球によって被覆される。もし、これらの有限個の
開球がすべて U_λ のうちの有限個で被覆されるならば X 自身被覆可能となるから、これらの
開球のうちには U_λ のうちの有限個では被覆されないものが存在する。その1つを B_1 とする。
次に、 X は半径 1/2^2 の有限個の開球によって被覆されるが、上と同様の考察からわかるように、
それらのうちに、 B_1 と空でない共通部分をもち、かつ U_λ のうちの有限個では被覆されない
ものが存在する。その1つを B_2 とする。


「B_1 と空でない共通部分をもち、かつ U_λ のうちの有限個では被覆されない
ものが存在する。」とありますが、それはなぜでしょうか？

>>116

あ、分かりました。

X ⊃ B_1 は半径 1/2^2 の有限個の開球によって被覆される。
B_1 と空でない共通部分をもつ半径 1/2^2 の（有限個の）開球がすべて U_λ のうちの有限個で
被覆されるならば B_1 も U_λ のうちの有限個で被覆されることになる。

>>101

-（0.282n +0.835 -0.312/n +…）ぐらい

>>102 ありがとうがざいます。
これで練習問題とか Rudin は何考えてたんだ...

簡単な手の運動以外は練習問題に載せるなってことか？

載せるなら載せるで多少の配慮が欲しいところ。
よくある、ちょい難し目の問題には ✳ マークみたいなので ２、３日考えて分かんない時の見切り判断にはなるでしょう。延々と心残りにしなくて済むし。

>>120
いえいえ
ちょっと難易度高すぎよね
深く考えると面白い結論を自分で再発見できるから良い演習問題なんだろうけど

Szegőの1920年代の結果と知って昔の人はこの手の方向では
物知りだったんだろうなぁと思ったわ

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ガウス積分の解法ってこれでええの？→
∫[-∞→∞]e^-x^2dx=I
とおいて
I^2=∫[-∞→∞]e^-x^2dx∫[-∞→∞]e^-y^2dy
=∫[-∞→∞]e^(-x^2-y^2)
x=rcosθ y=rsinθ と置換するとヤコビアンはrなので
I^2=∫[0→∞]∫[0→2π]e^-r^2 rdθdr
=2π∫[0→∞]e^-r^2 rdr
=(計算していくと…)
=π
∵I=√π

津田

自作問なんですけど
f(x)=xlogx-100=0の根をニュートンの方法を使って求めなさい。
御教授お願いします。

いいとおもうけど　よけいなこといわないで
=2π∫[0→∞]e^-r^2 rdr
（=(計算していくと…) ）
=2π∫[0→∞]e^-r^2 d(r^2)/2=π∫[0→∞]e^-x dx
=π

x-f(x)/f'(x)=x - (-100 + x log(x))/(1 +log(x))

を繰り返し適用する
x=29.5366.... に収束する。

大日如来とアルキメデスはどっちの方が凄いですか？

無意味な事書いて楽しい？

数学板の皆さんは、「最強妄想キャラクター議論スレ」というのをご存知でしょうか？
あれで暫定1位のキャラを作れますか？
数学板の皆さんの知力で暫定1位のキャラを作ってみてください。

最強妄想キャラクター議論スレ32
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/ranking/1494767095/

これで暫定1位のキャラを作るのってかなり難しいんですよ。
フィールズ賞を受賞するのより難しいかもしれません。
是非挑戦してみてください。

>>137
ありがとうございます。

>>138
分かりました。ありがとうございます。

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ヒルベルト形式の証明体系の話です（命題論理）。
系の証明が分かりません。無矛盾の定義もかなり特殊なような気がするのですが……どなたかお願いします。
https://i.imgur.com/YRtu8Sg.jpg

>>134

余計なこと言いますが
∫[-R→+R］e^(-xx）dx = I(R),
とおいて

I(R)^2 =∫[-R→＋R］e^(-xx）dx∫[-R→+R］e^(-yy）dy
≧∫[半径Rの円］e^{-(xx+yy)｝dxdy
=π{1 -e^(-RR)},

I(R)^2 =∫[-R→+R］e^(-xx）dx∫[-R→+R］e^(-yy）dy
≦∫[半径R√2の円］e^{-(xx+yy)｝dxdy
=π{1-e^(-2RR)},

にて挟み撃ち。

>>154
読めません

>>120 >>123

Rudin（の問題）のツボが割れた

>>156
申し訳ない
https://i.imgur.com/p9pzQBk.jpg

劣等感婆の香りがする

>>158
対偶を取り、充足可能ではないならば矛盾していることを示します

Γは充足可能ではないので、Γのある論理式の集まりφが存在して、φがトートロジーとなるようなφ∈Γが存在します
完全性定理により|-¬φすなわちφ|-すなわちΓ|-証明可能となり、Γは矛盾しています

φは集まりではなく論理式ですね、ただの

>>158
対偶を取り、充足可能ではないならば矛盾していることを示します
Γは充足可能ではないので、Γのある論理式の集まりφが存在して、¬φがトートロジーとなるようなφ∈Γが存在します
完全性定理により|-¬φすなわちφ|-すなわちΓ|-証明可能となり、Γは矛盾しています

>>158
対偶を取り、充足可能ではないならば矛盾していることを示します
Γは充足可能ではないので、Γのある論理式φが存在して、¬φがトートロジーとなるようなφ∈Γが存在します
完全性定理により|-¬φすなわちφ|-すなわちΓ|-証明可能となり、Γは矛盾しています

あーもう

>>163
素早い回答ありがとうございます。とても分かりやすく理解できました！

今日も「解いた側」の圧勝かぁ・・・。
毎日毎日、ラクラク解ける問題ばかりだから常勝なんだよね・・・。
たまには、解けない解けないっと悩んで負けてみたい、それが今の切実な悩み。

関数f(x)がf(x)=��0→1(x+t)f(t)dtという関係を満たすとき、f(x)を求めよ

0

nを自然数とする。(n^n)/k!が整数になるような自然数kの最小値をf(n)とおく。
lim(n→∞)f(n)/n^aが0でない実数値に収束する実数aを求めよ。また、f(n)を求めよ。

>>168
kの最小値ではなく最大値では

そもそも命題はただしいか？これ

アルキメデスは人類史上トップクラスの天才なのでしょうか？

>>168
a=0、f(n)=1

秘密曼陀羅十住心論を独力で読破するのは不可能ですか？

>>169
すいません最大値です

>>172
最大値でした、すいません

段階的な質問（何度かに分けた質問）になるかもしれません

同じ大きさ（面積S1とします）、形のn枚の紙に合計面積がS2となるように複数の穴を開けます（穴の数、大きさ、分布はある適当な法則にしたがってそれぞれの紙でランダムに決まります）
うちk枚の紙を重ねて1枚の紙にしたときに出来る穴の面積をS(k)とします
実際に数値としてS(1)〜S(n)が与えられた時、それぞれの数値から近似関数S(x)を求めたいです
その際はどのような手法を用いるのが適切でしょうか

n、S1、S2によって全く異なるとは思うのですが、一応下記を想定しております
nは十分に大きく、S1>S2かつS1≒S2、S(n)≒0

非常に要領を得ない質問かと思いますが、何かヒントを頂けますと幸いです

>>166
？となっている部分はインテグラルです

>>159
鋭い

>>166
f(x)=(∫[0,1]f(t)dt)x+(∫[0,1]tf(t)dt)
という1次関数だから
a=∫[0,1]f(t)dt
b=∫[0,1]tf(t)dt
と置いて
a=∫[0,1](at+b)dt
b=∫[0,1]t(at+b)dt
の連立1次方程式を解く

>>168
nが奇数ならf(n)=1でしょ
だったらa=0しかあり得ない

ユークリッド空間 R^n は可分であることを証明せよ。

以下の解答であっていますか？

可算集合 Q^n が R^n において密であることを証明する。

Q^n が R^n において密である

⇔

R^n の任意の空でない開集合 U に対して U ∩ Q^n ≠ 空集合


U を R^n の任意の空でない開集合とする。

a = (a_1, …, a_n) を U の任意の元とする。

∃r > 0 s.t. B(a ; r) ⊂ U.

R における Q の稠密性により、 |x_i - a_i| < r/n をみたす x_i ∈ Q が存在する。

x = (x_1, …, x_n) ∈ Q^n.

sqrt( (x_1 - a_1)^2 + … + (x_n - a_n)^2 ) ≦ |x_1 - a_1| + … + |x_n - a_n| < r

であるから、

x ∈ B(a ; r) ⊂ U.

∴U ∩ Q^n ≠ 空集合

>>181
いんじゃね

>>182

ありがとうございました。

>>176
確率の問題とすれば
1枚で穴に当たる確率はS2/S1だから
k枚で共通に穴になる確率は(S2/S1)^k

>>179
ありがとうございます

位数60未満の有限群は可解であることを示せ

>>184
非常にクリアカットな解答ありがとうございます
恥ずかしながら確率の問題として捉える頭がなかったのですが、僕の求める解答に最も近いと思います

それではもう一つお願いします
上記の問題でS1,n,S2の設定は同様です
それとは別にある定数S3があります
ｋ枚の紙を重ねた時、開いている穴の数をm(k)とします
そしてそれぞれの穴の面積をs(m)とします（m=1〜m(k))
その際、
s3<s(m)となるような穴の数N(k)が各kについて実際の数値として与えられた時、N(k)の近似関数を求めたい
もう一つは
S(k)＝Σ[m=1,m(k)] [s(m)/s3]　と定義して各ｋについてそれが実際の数値として与えられた時、その近似関数を求めたい（[x]はxを超えない最大の整数（床関数）です）

言ってしまったらｋ枚の紙を重ねた時、面積s3の紙がどれだけ穴に収納できるかを知りたいです
もちろん穴や当てはめる紙の形によって異なるんですが、もうそこまでは難しいような気がするので

次の条件を満たす勝負を作成し、そのポイントと勝つ確率が正しいことを数学的に説明せよ。

・二人間で勝ち負けの定義ができる勝負
・引き分けを除いた勝つ確率が、1/2または2/3になる勝負
・勝負の中で選択肢がある時、どちらも最善手を選択する、最善手が無ければ無作為に選択する
・理解しやすく、興味を引く勝負
・勝つ確率の計算が数学的にみて質が高い

また、結果に意外性があるとよい。

分からない問題だからスレチじゃないけど
どこらへんが数学なの？

松坂和夫著『解析入門3』を読んでいます。

距離空間の「可分」という概念はどのような場面で役に立つのでしょうか？

解析入門にはその後、おそらく「可分」は使われないと思いますが。

ダライ・ラマとオックスフォード大学総長はどっちの方が凄いですか？

↑
マラとドブスのどっちがすごいのですか？

googleの人は伊藤さん？

世界の宗教権威の序列ってこんな感じですか？

1位、ローマ教皇
2位、コンスタンディヌーポリ総主教
3位、アル＝アズハル大学総長
4位、ダライ・ラマ
5位、天皇

>>1


人類初！自分が作ったロボットに暴行を受けた男

https://youtu.be/pOdUO8DmPoU

>>193
　赤池弘次さん生誕90周年らしい

>>194
名誉博士号の数ならこの人？
http://www.totetu.org/about/about-founder/1.html

すみません
x→x0の時に、(f(x)-f(x0))/(x-x0)が発散することはありますか？
また、ないならそれを示すことはできますか？
証明の途中にそれを使いたくて、分かんなかったので、教えてください。

x0 = 0

f(x) = 1 (x ≠ 0)
f(0) = 0

f(x)=x^(1/3)
x0=0

微分係数が発散する(かもしれない)ことくらいはイメージ出来るようにね

ゴールドバッハ予想、6以上の偶数は二つの奇素数の和で表現できる。

３以上の整数Nに対して、ある正整数Kが存在して
N−K　N＋K　ともに素数となる、これは同じ命題で良いですか？？

>>201
よいよ

素数が無限にあるのを背理法で証明する問題ありますけど
素数みたいに範囲の有無というか範囲の内外にあるかないかで矛盾を指摘するみたいなものじゃなくて
量を測れないものの性質の有無を背理法で証明する具体例で適当なのなんかないですか？
なんかイメージしにくくて…ｗ

「人生に飽きたから自殺したい」

これを数式で表すとどうなりますか？

>>203
背理法がわからないので素数以外の具体例が欲しい、ということで良いでしょうか？

>>203

一応分かってるつもりなんですが
他に具体例があれば…

>>204

やっぱアホな質問でしたｗ

>>206
今日の正午に公園で殺人事件が起きたとします
容疑者としてXがあがりました
しかし、Xにはアリバイがあり、今日の正午には遊園地にいたとします

Xが犯人ではないことを背理法を用いて証明します

Xが犯人だと仮定します
すると、Xは今日の正午には公園にいたことになります
しかし、実際にはXは今日の正午には遊園地にいたので公園にはいませんでした
よって矛盾が生じたため、最初の仮定は誤りだったことがわかります
すなわち、Xは犯人ではありません

>>208
どうもわざわざありがと。

数学にも論理にも収まらないような
漠然とした背理法というか
背理法的だけど背理法と言っていいのか分からないような
感情的な背理法？につまずいてて…ｗ

>>209
あんまりそういうことを深く考えると、数理論理学という分野の話が出てきたりしますから、なんとなくわかってればいいんですよ

>>210

とりまなんとなくわかっときますｗ
さんくす。

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惨めな奴

斎藤正彦著『線型代数入門』を読んでいます。

付録の代数学の基本定理の証明ですが、ひどい証明ですね。

正しいことは分かるが、何の勉強にもならない証明ですね。

物理板と違ってNGできる数学板は幸せだ

正直、東京大学理学部数学科に入りたい。

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1以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2017/11/06(月) 19:11:25.756ID:S/Jsj/CRM
P(n)=[cos^2(((n-1)!+1)π/n)]
([x]はxを超えない最大の整数)
とすれば、

nが素数のときはP(n)=1

nが素数でないときはP(n)=0

に必ずなる

4以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2017/11/06(月) 19:12:15.114ID:S/Jsj/CRM
さらにこのP(n)を使えば
n以下の素数の個数が
(k=2,n)P(k)と書けてしまう

10以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2017/11/06(月) 19:14:52.904ID:S/Jsj/CRM
>>4
しかもこれを
π(n)=(k=2,n)P(k)とおいてしまえば

n番目の素数もπ(n)使って簡単に表せる


これが正しいのか
正しいとして凄い発見なのか誰か教えてくれ

nP(n)でよくね

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>>231
勉強に なる/ならない の線引きは
松阪くんがするの？

>>244
(n-1)!/nが、非整数か整数かは、nが素数か非素数かに一致する・・・・（☆）
ただし、n=4(=2^2)は例外

というのとほぼ同値

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W.Rudin, Real and Complex Analysis, Exercise 11.11
I=[a,b]、ΩをIを含む連結な開集合、fをΩで連続かつΩ-Iで解析的な関数ならば、
fがΩ上で解析的となることを示せ
同じ結論が成り立つ集合はI以外にどのようなものが考えられるか

（答え？）
https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_capacity
https://books.google.co.jp/books?id=Qhz0CAAAQBAJ

R の部分集合 I が区間であることとつぎの二条件をみたすことは同値である。

1) I は少なくとも二点を含む。
2) x, y ∈ I, x < z < y なら z ∈ I.

これを証明してください。

>>269
実数は全順序集合
Iが上に（下に）有界ならば、Zornの補題から上限の（下限）存在がいえる
有界でなければ無限大を含む（半）直線になる

フラッグマン・リンデレーエフの定理ではどうして、仮定では領域Dは有界とあるのでしょうか？
最大値の原理では有界は条件では無いのに、拡張されたフラッグマンの定理では有界が仮定されている理由が分かりません
勉強中で若輩者ですが、どなたか心優しい方教えて頂けないでしょうか？

>>270
そんなに詳しくないのですが、それZornの補題いりますか？
上限の（下限）存在は実数の性質から言えるかと...

>>272
確かに実数の性質っていった方がわかりやすいですね

僕も詳しくないですが、有界な実数集合の上限の存在がZornの補題から従うので
恐らく連続体公理を仮定するか、Zornの補題（選択公理と同値）を仮定するかの違いです

は？

>>269

松坂和夫著『解析入門1』に書いてありました↓
でも、まずいところがありますよね。

A を少なくとも2つの数を含むような R の部分集合とし、
s, t ∈ A, s < t ならば、 s < c <t を満たす任意の
c も A に属するとする。

そのとき、 A は1つの区間である。

証明

まず A が上下に有界であるとする。そのとき、 a = inf A, b = sup A とおけば、
A ⊂ [a, b] で、一方 a < c < b とすれば、下限、上限の定義によって
a < s < c < t < b を満たす s, t ∈ A が存在する

↓のように書かないとダメですよね。

まず A が上下に有界であるとする。

a = inf A
b = sup A

とおく。

A ⊂ [a, b] である。

a < c < b とする。

(1) a ∈ A であり, b ∈ A でない場合

上限の定義により、 c < t < b となる t ∈ A が存在する。
a < c < t だから、 c ∈ A である。

(2) a ∈ A でなく, b ∈ A である場合

下限の定義により、 a < s < c となる s ∈ A が存在する。
s < c < b だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A でなく, b ∈ A でない場合

上限下限の定義により、 a < s < c < t < b となる s, t ∈ A が存在する。
s < c < t だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A であり b ∈ A である場合

a < c < b だから、 c ∈ A である。






a < s < c < t < b を満たす s, t ∈ A が存在する

>>276

訂正します：

↓のように書かないとダメですよね。

まず A が上下に有界であるとする。

a = inf A
b = sup A

とおく。

A ⊂ [a, b] である。

a < c < b とする。

(1) a ∈ A であり, b ∈ A でない場合

上限の定義により、 c < t < b となる t ∈ A が存在する。
a < c < t だから、 c ∈ A である。

(2) a ∈ A でなく, b ∈ A である場合

下限の定義により、 a < s < c となる s ∈ A が存在する。
s < c < b だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A でなく, b ∈ A でない場合

上限下限の定義により、 a < s < c < t < b となる s, t ∈ A が存在する。
s < c < t だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A であり b ∈ A である場合

a < c < b だから、 c ∈ A である。

Kを代数体
d(K)をKの判別式
d(a_0,a_1,•••,a_n)をはa_0,•••,a_nの判別式とする
ただし、a_iはKの整数
このとき、d(K)がd(a_0,a_1,•••,a_n)を割る条件を求めよ
これがわかりません。お願いします。

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斎藤正彦さんの『行列と群』という本の中で、


f(z) を実係数多項式とし、複素係数の多項式として

f(z) = g(z)*h(z)

と分解されるとする。

このとき、g(z) が実係数多項式ならば h(z) も実係数多項式である


という論法が使われているのですが、証明を教えてください。

ほとんど自明なのでは

わからないんですね(笑)

複素共役を使うのでは

その本は読んだことないですが、全く自明ではありませんね

f(z) の係数をすべてその共役複素数にした多項式を f'(z) と書くことにする。

f(z) = g(z) * h(z)
f(z) は実係数多項式かつ f(z) ≠ 0
g(z) は実係数多項式かつ g(z) ≠ 0

とする。

明らかに、以下が成り立つ。

f'(z) = g'(z) * h'(z)

f(z) = f'(z)
g(z) = g'(z)

だから

f(z) = g(z) * h'(z)

∴ g(z) * h(z) = g(z) * h'(z)

g(z) * (h(z) - h'(z)) = 0

g(z) ≠ 0 だから h(z) - h'(z) = 0

∴ h(z) = h'(z)

∴ h(z) は実係数多項式である。

>>289

今見てみたら、この論法が、佐武一郎さんの『線型代数学』の代数学の基本定理
のところで使われていました。

>>294は読まないことを強くおすすめします

>>295

佐武一郎著『線型代数学（新装版）』のp.32の定理Bで、

>>289

の論法を使っています。

自明なことなのでしょうか？

背理法でzに適当な実数たくさん入れれば示せない？

具体的に言うと、

fx) = (x - ξ1) * (x - ξ1') * f1(x)

f1(x) に対して再帰的に同じことを繰り返せば

みたいな記述があります。

再帰的に同じことを繰り返すためには、 f1(x) も実係数多項式でなければなりません。

>>294
横レスすまん

細かいが、zを実数変数x に置き換え
h(x)＝f(x) /g(x)
としておく方が、すっきりしていると思う

複素共役の上線が書けないので、下記の上付きのアスタリスク (z*) を使う

>>294の屋上屋だが、h(x)の複素共役は
h(x)* ＝ ｛f(x) /g(x)｝* ＝ f(x)* /g(x)* ＝f(x) /g(x) ＝h(x)
h(x)* ＝ h(x) だから、h(x) も実係数多項式である

（下記の複素共役 * の２つの性質１）２）を使った）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%85%B1%E5%BD%B9
複素共役
(抜粋)
複素共役を表すのには上線がよく使われる。上付きのアスタリスク (z*) なども使われるが、行列での随伴行列などとの混乱を避けるためにあまり使われない。

性質
１）z が実数 ←→ z*=z
２）(z/w)*=z*/w* (w ≠ 0)。

(引用終り)

>>300
ああ、>>294みたく、g(z) ≠ 0 を断っておく必要があるね

実数係数多項式環の除法の定理使えば一瞬だろ

a(b+c)2乗+b(c+a)2乗+c
(a+b)2乗-4abc　
をaについて整理せよ。

解説読んでも理解できません。
お願いします。

>>303
整理せよの意味が分かってないのか、意味が分かってるけど整理する計算が分からないのか
参考書に計算過程書いてあるだろ
それ丸写しして、どこがどう分かりませんくらい書けや

>>303
2乗の項を全部展開してからaについて整理すると
(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+bc^2+cb^2
となる。

>>304
わからないんですね

>>305
そいつの教育にならんのじゃ
カスみたいなレスするヒマあったらそいつを追い込むレスの1つでも考えろ！

>>273
>有界な実数集合の上限の存在がZornの補題から従う
切断で定義する実数では連続性に別に選択公理要らないよ

>>306
もう止めなよ
可哀想な人

>>289
実係数多項式をR、複素係数多項式をCとすると、

R*R=R
R*C=C
C*R=C
C*C=CまたはR
のパターンしかない。

R*X=R　なら、XはRで確定。

A(−3,1)を通り，傾き2の直線をLの方程式は
y - 1 = 2(x + 3)
が正解みたいなんですけど、y = 2x + 7 の可能性はどこで消えるんでしょうか？

どちらも同じですよね
どっちも正解です

>>312
ありがとうございます。こういうケースに柔軟に対応できるよう慣れていこうと思います。

>>310
うーん
弱いな

>>307
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ、という問題がわかりません

複素解析におけるポテンシャル論の有用性を教えて

>>313
�@「y-1=2(x+3)」
意味を重視した式
・x=-3、y=1で等式が成り立つ→点(-3,1)を通る
・2(x+○)→傾きが2
この意味を式中に埋め込んでいる
計算可能な部分が残っているから指示がない限り最終的な解答として不向き

�A「y=2x+7」
y=ax+b のように一次関数の基本形
一般的な解答としてはこちらが好まれる
答え方に迷ったらこちら

�B「2x-y+7=0」
直線の方程式の表示形式
多変数を扱う場合はこういう表記もあるけど、あまり気にしなくていい

>>317
三段論法を用いる任意の数学の証明は、三段論法を用いない別証明を持つことを示せ、という問題がわかりません

線形写像f:U→Vにおいてa∈Uに対して-f(a)=f(-a)ってどう証明すればいいんですかね
f(a-b)=f(a)-f(b)と同じ方法で示そうとすると結局堂々巡りになってしまうのですが

f(0)=0=f(a-a)=f(a)+f(-a)
f(-a)=-f(a)

>>318
下らん

>>320
しょうも無

今全財産が3000円しかありません

何とかして20万円まで増やしてiPhoneかギャラクシー買いたい

その方法とは？

腎臓を売ります

>>321
わからないんですね(笑)

別宇宙・別世界・別次元・別階層にワープする技術を独力で構築したらノーベル賞9999不可説不可説転個貰えますか？

新たな宇宙・世界・次元・階層を独力で構築したらノーベル賞9999不可説不可説転個貰えますか？

>>318

〔ゲンツェンの基本定理〕(1935)
　シーケンスSが証明可能ならば、三段論法を用いないでもシーケンスSは証明可能である。

（大意）
第一階述語論理体系LKおよびLJにおいて、「シーケンスSを終式にもつ証明図」が与えられたとする。
この証明図から「同じシーケンスSを終式にもちかつ三段論法を含まない証明図」を構成する一連の手続きを、定義することができる。

(P(x),Q(x),R(x))がR[x]≦2の基底であるとするとき
(P(x+1),Q(x+1),R(x+1))もR[x]≦2の基底であるか判定せよ
また、そのとき(P(x),R(x),Q(x))から(P(x+1),Q(x+1),R(x+1))への変換行列はどうなるか求めよ

前スレでも書きましたが答えが頂けなかったのでお願いします

>>328
ぢゃあ、後者の証明図に現れる論理式はどれも
終式Sに現れるいずれかの論理式の一部（部分論理式）になるな…

どうせどっかのpdfからコピってきたんでしょうね

そうだったのか。

>>329
> (P(x),Q(x),R(x))がR[x]≦2の基底であるとするとき
まず、「R[x]≦2」の書きっぷりが、なんじゃこいつ、ということになったんだろうな。
「R[x]」は多項式環を表すのが普通の意味なので、
多項式環が2以下って何？ということになっちゃうね。　

残念
（エスパーの暗闘は密かに繰り広げられているのかな？）

>>329
次数2以下ってことなら適当に文字使って表して変換行列が正則かどうか見ればよくね

大日如来とアメリカ合衆国大統領はどっちの方が偉いですか？

全宇宙全次元全世界全階層になりたいのですが、どうすればなれますか？

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>>333
R[x]_(≦2)と書けば分かりやすかったですかね
[x]の添字に≦2が付いてる意味で書いてました
意味は次数が最大2の多項式環らしいです(自分もこの問題で初めてこの記号を見ました)

>>347
次数が2次以下の多項式の全体がなす加群、ね。
多項式「環」にはならない。

解答は>>334さんが書いている

>>329
T:R[x]→R[x]:f(x)→f(x+1)は線形同型（線形性は明かで逆写像の存在も明か）
よって
P,Q,Rが1次独立→TP,TQ,TRは1次独立
P,Q,Rが生成→TP,TQ,TRが生成
すなわち
P,Q,Rが基底→TP,TQ,TRが基底
(TP,TQ,TR)=(P,Q,R)A
(TP',TQ',TR')=(P',Q',R')A
(TP'',TQ'',TR'')=(P'',Q'',R'')A
A=(PQR/P'Q'R'/P''/Q''/R'')^-1(TPTQTR/TP'TQ'TR'/TP''TQ''TR'')

注：n個のn-1階微分可能関数が1次独立ならロンスキアンは0にならないので正則

>>349
> >>329
> T:R[x]→R[x]:f(x)→f(x+1)は線形同型（線形性は明かで逆写像の存在も明か）

え？

失礼

>>289
>f(z) を実係数多項式とし、複素係数の多項式として
>f(z) = g(z)*h(z)
>と分解されるとする。
>このとき、g(z) が実係数多項式ならば h(z) も実係数多項式である

もう話終わったかもしれんけど...
f, g, h それぞれの係数を a[0...n+m] (∈ R), b[0...n] (∈ R), c[0...m] (∈ C) で表す。
h(z) に非実数係数項が存在すると仮定し、その最大次数 を k (≦m)とする。
a[n+k] = Σ{i+j=n+k} b[i]*c[j] = b[n]*c[k] + b[n-1] * c[k+1] + ....
仮定より和の初項は非実数、その他の項は実数である。これは和の a[n+k] が実数であることに矛盾する。
背理法により h(z) に非実数係数項 は存在しない。
よって h(z) は実係数多項式である。

>>330
「三段論法」を凄く狭く定義してるだけよ

>>354
>>330が間違えだとでも言いたそうですね(笑)

カット以外の三段論法てあるんか？

高校数学です

lim[n→∞]((3^n)/n!)の極限を求めよ
やり方がわからないので教えて下さい

>>357
an＝(3^n)/n!とおく
a(n+1)＝(3/(n+1))an より
n+1＞3、つまりn≧4に対してa(n+1)＜(3/4)an
ここから0＜an＜(3/4)^(n-3)a3
n→∞で、はさみうちの原理からan→0

距離空間 X において A, B を A ∩ B = 空集合である2つの閉集合とする。
A ⊂ U, B ⊂ V, U ∩ V = 空集合を満たす X の開集合 U, V
が存在することを証明せよ。

証明：

X 上で関数

φ(x) = d(x, A) - d(x, B)

を考えれば、 φ : X → R は連続である。よって、

U = {x | φ(x) < 0}
V = {x | φ(x) > 0}

は開集合で、 A ⊂ U, B ⊂ V, U ∩ V = 空集合となる。

A ⊂ U, B ⊂ V となるのはなぜでしょうか？

証明をお願いします。

あ、分かりました。

d(a, B) = 0 となるような a ∈ A が存在したとすると、

a ∈ Bの触点 = B となり、 A ∩ B = 空集合に矛盾する。

以下の問題に対する解答はあっていますか？


完備な距離空間に一様同相な距離空間は完備であることを証明せよ。

証明：

X を距離空間
Y を完備な距離空間
f を X から Y への一様同相写像

とする。

f は一様連続だから、

ε を任意の正の実数とすると、

d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε

となるような正の実数 δ が存在する。

(x_n) を X のコーシー列とすると、

m, n ≧ N ⇒ d(x_m, x_n) < δ となるような自然数 N が存在する。

m, n ≧ N ⇒ d(f(x_m), f(x_n)) < εが成り立つ。

よって、 (f(x_n)) は Y のコーシー列である。

Y は完備であるから、

lim f(x_n) = b となるような b ∈ Y が存在する。

a := f^(-1)(b) とおく。

f^(-1) は連続写像だから、

lim x_n = lim f^(-1)(f(x_n)) = f^(-1)(b) = a

である。

これは、 (x_n) が X の中で収束することを示す。

よって、 X は完備である。

微分関係でわからない問題が3つありますのでどうか宜しくお願い致します

・関数 f:I→R を I 上で微分可能かつ単調非減少とするとき、I 上で f'(x)≧0 が成り立つことを示せ
また、f が I 上で狭義単調増加ならば I 上で f'(x)＞0 が成り立つか調べよ

・f:R→R を微分可能な関数とする
「f(x_0)=0 かつ f'(x)＞f(x) (∀x∈R)」が成立してるならば
∀x＞x_0 に対して f(x)＞0 を示せ

・C^n級関数 f:(a,b)→R が α∈(a,b) とk=1,2,...,n-1 に対して f^(k)(α)=0 を満たし、f^(n)(α)≠0とするとき
n が偶数ならば f は α で極値をとり、n が奇数ならば f は α で極値をとらないことを証明せよ

こちらこそ宜しくお願い致します

信号処理とかもここでいいかな？
y(n)=x(n)+1/2y(n-1)-1/2y(n-2)
の式をz平面で表したいんだけど、どうしたらいい？

>>359
意味不明

>>353

直接的で分かりやすい証明ですね。

ありがとうございました。

以下は R の任意の区間が連結であることの証明です。

「P は I の開集合、したがって R のある開集合と I との共通部分であるから」

は

「P は I の開集合であるから」

ではなぜ駄目なのでしょうか？


R の任意の区間が連結であることを示す。

I を R の任意の区間とする。 I が2つの空でない I の開集合 P, Q の直和に分割されたと仮定して、矛盾を導こう。
P, Q からそれぞれ1つの点 a, b をとれば、 a ≠ b であるから a < b または a > b .どちらでも同じことであるから
a < b と仮定する。
I は区間であるから、もちろん [a,b] ⊂ I である。いま M = [a, b] ∩ P とおく。そのとき a ∈ M であるから
M ≠ 空集合 で、 b は M の1つの上界であるから、 sup M = c が存在して a ≦ c ≦ b である。
c ∈ I であるから c ∈ P または c ∈ Q .もし c ∈ P ならば、 c < b で、 P は I の開集合、したがって R の
ある開集合と I との共通部分であるから、 ε > 0 を十分小さくとれば、 c < c + ε < b, c + ε ∈ P となる。
よって c + ε ∈ Mとなるが、これは c が M の上界であることに反する。

訂正します：

以下は R の任意の区間が連結であることの証明です。

「P は I の開集合、したがって R のある開集合と I との共通部分であるから」

を

「P は I の開集合であるから」

としては、なぜ駄目なのでしょうか？


R の任意の区間が連結であることを示す。

I を R の任意の区間とする。 I が2つの空でない I の開集合 P, Q の直和に分割されたと仮定して、矛盾を導こう。
P, Q からそれぞれ1つの点 a, b をとれば、 a ≠ b であるから a < b または a > b .どちらでも同じことであるから
a < b と仮定する。
I は区間であるから、もちろん [a,b] ⊂ I である。いま M = [a, b] ∩ P とおく。そのとき a ∈ M であるから
M ≠ 空集合 で、 b は M の1つの上界であるから、 sup M = c が存在して a ≦ c ≦ b である。
c ∈ I であるから c ∈ P または c ∈ Q .もし c ∈ P ならば、 c < b で、 P は I の開集合、したがって R の
ある開集合と I との共通部分であるから、 ε > 0 を十分小さくとれば、 c < c + ε < b, c + ε ∈ P となる。
よって c + ε ∈ Mとなるが、これは c が M の上界であることに反する。

>>369

は松坂和夫著『解析入門3』に載っている証明です。

>>365

Y=X+(1/2)Z^(-1) Y-1/2 Z^(-2)Y
H（ｚ）=Y/X= 2 Z^2/(1-Z+2 Z^2)＝1+(Z-1)/(1-Z+2 +Z^2)
この伝達関数をｚ平面（ｚ＝Exp(j w )）で書けばいいんじゃないの？
ちょっと振動するのかな？

仏教学と数学はどっちの方が真理に対する信憑性が高いですか？

>>163
Γ＝｛P,¬P｝とするとΓは充足不可能ですが¬φがトートロジーとなるφ∈Γはとれないのでこの証明は間違ってませんか？

>>373
コンパクト性定理より、ある論理式の集まりφ1〜φnが存在して、¬φ1∨¬φ2∨...∨¬φnがトートロジーとなる、の間違えでした

全＝外側の絶対王者
無＝内側の絶対王者

ですか？

>>375
絶対王者=神です

>>363
全部でなくともいいのでお願いします…

>>369
相対位相で開は全体では開かわからんやろ
ケチ付けるのが趣味のくせにレベル低いな

>>376
神は全に含まれるから、全＞神
じゃないでしょうか？

>>369
P = P' ∩ I ( P' はRにおける開集合) と書ける
c ∈ P, P⊂ P' なので、 (c-ε1, c+ε1) ⊂ P' となる ε1 が存在する
また c < c+ε2 < b となる任意の ε2 について、 c+ε2 ∈ I
ε = min(ε1, ε2) とおけば、c+ε ∈ P' ∩ I = P
(分からなかったら部分空間の位相について読み直した方がいいかも)

>>363
＞・関数 f:I→R を I 上で微分可能かつ単調非減少とするとき、I 上で f'(x)≧0 が成り立つことを示せ

∃a∈I s.t. 0＞f'(a)=-εとします
ε/2に対して∃δ＞0 s.t.|h|＜δ→ |(f(a+h)-f(a))/h+ε|＜ε/2
-3ε/2＜(f(a+h)-f(a))/h＜-ε/2＜0
h＞0のときf(a+h)＜f(a)となっており、これはfが単調減少ではないことに矛盾します

＞また、f が I 上で狭義単調増加ならば I 上で f'(x)＞0 が成り立つか調べよ

反例 f(x)=x^3
y^3-x^3=(y-x)(y^2+xy+x^2)＞0(y＞x)ですが、f'(0)=0です

>>363
2問目は対偶とってロルの定理で証明できると思う

>>363
3問目はx=αで第(n-2)次テイラー展開して
f(x)＝剰余項f^(n-2)(α+θ(x-α))(x-α)^(n-2)/(n-2)!
f'(α)=0と、nの偶奇によるf''(x)の0か否かの判定で極値の有無を言えると思う

>>381
>>382
>>383
ありがとうございます
2問目3問目も解への道筋が分かったので有難いです