距離空間 X はコンパクトでなくかつ全有界であるとする。

(U_λ)λ∈Λ を X の開被覆とし、 X が U_λ のうちの有限個では被覆されないと仮定する。
X は全有界であるから、半径 1/2 の有限個の開球によって被覆される。もし、これらの有限個の
開球がすべて U_λ のうちの有限個で被覆されるならば X 自身被覆可能となるから、これらの
開球のうちには U_λ のうちの有限個では被覆されないものが存在する。その1つを B_1 とする。
次に、 X は半径 1/2^2 の有限個の開球によって被覆されるが、上と同様の考察からわかるように、
それらのうちに、 B_1 と空でない共通部分をもち、かつ U_λ のうちの有限個では被覆されない
ものが存在する。その1つを B_2 とする。


「B_1 と空でない共通部分をもち、かつ U_λ のうちの有限個では被覆されない
ものが存在する。」とありますが、それはなぜでしょうか？