ユークリッド空間 R^n は可分であることを証明せよ。

以下の解答であっていますか？

可算集合 Q^n が R^n において密であることを証明する。

Q^n が R^n において密である

⇔

R^n の任意の空でない開集合 U に対して U ∩ Q^n ≠ 空集合


U を R^n の任意の空でない開集合とする。

a = (a_1, …, a_n) を U の任意の元とする。

∃r > 0 s.t. B(a ; r) ⊂ U.

R における Q の稠密性により、 |x_i - a_i| < r/n をみたす x_i ∈ Q が存在する。

x = (x_1, …, x_n) ∈ Q^n.

sqrt( (x_1 - a_1)^2 + … + (x_n - a_n)^2 ) ≦ |x_1 - a_1| + … + |x_n - a_n| < r

であるから、

x ∈ B(a ; r) ⊂ U.

∴U ∩ Q^n ≠ 空集合