分からない問題はここに書いてね436

さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね434
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1507993404/

物理板と違ってNGできる数学板は幸せだ

正直、東京大学理学部数学科に入りたい。

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1以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2017/11/06(月) 19:11:25.756ID:S/Jsj/CRM
P(n)=[cos^2(((n-1)!+1)π/n)]
([x]はxを超えない最大の整数)
とすれば、

nが素数のときはP(n)=1

nが素数でないときはP(n)=0

に必ずなる

4以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2017/11/06(月) 19:12:15.114ID:S/Jsj/CRM
さらにこのP(n)を使えば
n以下の素数の個数が
(k=2,n)P(k)と書けてしまう

10以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2017/11/06(月) 19:14:52.904ID:S/Jsj/CRM
>>4
しかもこれを
π(n)=(k=2,n)P(k)とおいてしまえば

n番目の素数もπ(n)使って簡単に表せる


これが正しいのか
正しいとして凄い発見なのか誰か教えてくれ

nP(n)でよくね

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>>231
勉強に なる/ならない の線引きは
松阪くんがするの？

>>244
(n-1)!/nが、非整数か整数かは、nが素数か非素数かに一致する・・・・（☆）
ただし、n=4(=2^2)は例外

というのとほぼ同値

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W.Rudin, Real and Complex Analysis, Exercise 11.11
I=[a,b]、ΩをIを含む連結な開集合、fをΩで連続かつΩ-Iで解析的な関数ならば、
fがΩ上で解析的となることを示せ
同じ結論が成り立つ集合はI以外にどのようなものが考えられるか

（答え？）
https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_capacity
https://books.google.co.jp/books?id=Qhz0CAAAQBAJ

R の部分集合 I が区間であることとつぎの二条件をみたすことは同値である。

1) I は少なくとも二点を含む。
2) x, y ∈ I, x < z < y なら z ∈ I.

これを証明してください。

>>269
実数は全順序集合
Iが上に（下に）有界ならば、Zornの補題から上限の（下限）存在がいえる
有界でなければ無限大を含む（半）直線になる

フラッグマン・リンデレーエフの定理ではどうして、仮定では領域Dは有界とあるのでしょうか？
最大値の原理では有界は条件では無いのに、拡張されたフラッグマンの定理では有界が仮定されている理由が分かりません
勉強中で若輩者ですが、どなたか心優しい方教えて頂けないでしょうか？

>>270
そんなに詳しくないのですが、それZornの補題いりますか？
上限の（下限）存在は実数の性質から言えるかと...

>>272
確かに実数の性質っていった方がわかりやすいですね

僕も詳しくないですが、有界な実数集合の上限の存在がZornの補題から従うので
恐らく連続体公理を仮定するか、Zornの補題（選択公理と同値）を仮定するかの違いです

は？

>>269

松坂和夫著『解析入門1』に書いてありました↓
でも、まずいところがありますよね。

A を少なくとも2つの数を含むような R の部分集合とし、
s, t ∈ A, s < t ならば、 s < c <t を満たす任意の
c も A に属するとする。

そのとき、 A は1つの区間である。

証明

まず A が上下に有界であるとする。そのとき、 a = inf A, b = sup A とおけば、
A ⊂ [a, b] で、一方 a < c < b とすれば、下限、上限の定義によって
a < s < c < t < b を満たす s, t ∈ A が存在する

↓のように書かないとダメですよね。

まず A が上下に有界であるとする。

a = inf A
b = sup A

とおく。

A ⊂ [a, b] である。

a < c < b とする。

(1) a ∈ A であり, b ∈ A でない場合

上限の定義により、 c < t < b となる t ∈ A が存在する。
a < c < t だから、 c ∈ A である。

(2) a ∈ A でなく, b ∈ A である場合

下限の定義により、 a < s < c となる s ∈ A が存在する。
s < c < b だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A でなく, b ∈ A でない場合

上限下限の定義により、 a < s < c < t < b となる s, t ∈ A が存在する。
s < c < t だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A であり b ∈ A である場合

a < c < b だから、 c ∈ A である。






a < s < c < t < b を満たす s, t ∈ A が存在する

>>276

訂正します：

↓のように書かないとダメですよね。

まず A が上下に有界であるとする。

a = inf A
b = sup A

とおく。

A ⊂ [a, b] である。

a < c < b とする。

(1) a ∈ A であり, b ∈ A でない場合

上限の定義により、 c < t < b となる t ∈ A が存在する。
a < c < t だから、 c ∈ A である。

(2) a ∈ A でなく, b ∈ A である場合

下限の定義により、 a < s < c となる s ∈ A が存在する。
s < c < b だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A でなく, b ∈ A でない場合

上限下限の定義により、 a < s < c < t < b となる s, t ∈ A が存在する。
s < c < t だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A であり b ∈ A である場合

a < c < b だから、 c ∈ A である。

Kを代数体
d(K)をKの判別式
d(a_0,a_1,•••,a_n)をはa_0,•••,a_nの判別式とする
ただし、a_iはKの整数
このとき、d(K)がd(a_0,a_1,•••,a_n)を割る条件を求めよ
これがわかりません。お願いします。

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斎藤正彦さんの『行列と群』という本の中で、


f(z) を実係数多項式とし、複素係数の多項式として

f(z) = g(z)*h(z)

と分解されるとする。

このとき、g(z) が実係数多項式ならば h(z) も実係数多項式である


という論法が使われているのですが、証明を教えてください。

ほとんど自明なのでは

わからないんですね(笑)

複素共役を使うのでは

その本は読んだことないですが、全く自明ではありませんね

f(z) の係数をすべてその共役複素数にした多項式を f'(z) と書くことにする。

f(z) = g(z) * h(z)
f(z) は実係数多項式かつ f(z) ≠ 0
g(z) は実係数多項式かつ g(z) ≠ 0

とする。

明らかに、以下が成り立つ。

f'(z) = g'(z) * h'(z)

f(z) = f'(z)
g(z) = g'(z)

だから

f(z) = g(z) * h'(z)

∴ g(z) * h(z) = g(z) * h'(z)

g(z) * (h(z) - h'(z)) = 0

g(z) ≠ 0 だから h(z) - h'(z) = 0

∴ h(z) = h'(z)

∴ h(z) は実係数多項式である。

>>289

今見てみたら、この論法が、佐武一郎さんの『線型代数学』の代数学の基本定理
のところで使われていました。

>>294は読まないことを強くおすすめします

>>295

佐武一郎著『線型代数学（新装版）』のp.32の定理Bで、

>>289

の論法を使っています。

自明なことなのでしょうか？

背理法でzに適当な実数たくさん入れれば示せない？

具体的に言うと、

fx) = (x - ξ1) * (x - ξ1') * f1(x)

f1(x) に対して再帰的に同じことを繰り返せば

みたいな記述があります。

再帰的に同じことを繰り返すためには、 f1(x) も実係数多項式でなければなりません。

>>294
横レスすまん

細かいが、zを実数変数x に置き換え
h(x)＝f(x) /g(x)
としておく方が、すっきりしていると思う

複素共役の上線が書けないので、下記の上付きのアスタリスク (z*) を使う

>>294の屋上屋だが、h(x)の複素共役は
h(x)* ＝ ｛f(x) /g(x)｝* ＝ f(x)* /g(x)* ＝f(x) /g(x) ＝h(x)
h(x)* ＝ h(x) だから、h(x) も実係数多項式である

（下記の複素共役 * の２つの性質１）２）を使った）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%85%B1%E5%BD%B9
複素共役
(抜粋)
複素共役を表すのには上線がよく使われる。上付きのアスタリスク (z*) なども使われるが、行列での随伴行列などとの混乱を避けるためにあまり使われない。

性質
１）z が実数 ←→ z*=z
２）(z/w)*=z*/w* (w ≠ 0)。

(引用終り)

>>300
ああ、>>294みたく、g(z) ≠ 0 を断っておく必要があるね

実数係数多項式環の除法の定理使えば一瞬だろ

a(b+c)2乗+b(c+a)2乗+c
(a+b)2乗-4abc　
をaについて整理せよ。

解説読んでも理解できません。
お願いします。

>>303
整理せよの意味が分かってないのか、意味が分かってるけど整理する計算が分からないのか
参考書に計算過程書いてあるだろ
それ丸写しして、どこがどう分かりませんくらい書けや

>>303
2乗の項を全部展開してからaについて整理すると
(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+bc^2+cb^2
となる。

>>304
わからないんですね

>>305
そいつの教育にならんのじゃ
カスみたいなレスするヒマあったらそいつを追い込むレスの1つでも考えろ！

>>273
>有界な実数集合の上限の存在がZornの補題から従う
切断で定義する実数では連続性に別に選択公理要らないよ

>>306
もう止めなよ
可哀想な人

>>289
実係数多項式をR、複素係数多項式をCとすると、

R*R=R
R*C=C
C*R=C
C*C=CまたはR
のパターンしかない。

R*X=R　なら、XはRで確定。

A(−3,1)を通り，傾き2の直線をLの方程式は
y - 1 = 2(x + 3)
が正解みたいなんですけど、y = 2x + 7 の可能性はどこで消えるんでしょうか？

どちらも同じですよね
どっちも正解です

>>312
ありがとうございます。こういうケースに柔軟に対応できるよう慣れていこうと思います。

>>310
うーん
弱いな

>>307
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ、という問題がわかりません

複素解析におけるポテンシャル論の有用性を教えて

>>313
�@「y-1=2(x+3)」
意味を重視した式
・x=-3、y=1で等式が成り立つ→点(-3,1)を通る
・2(x+○)→傾きが2
この意味を式中に埋め込んでいる
計算可能な部分が残っているから指示がない限り最終的な解答として不向き

�A「y=2x+7」
y=ax+b のように一次関数の基本形
一般的な解答としてはこちらが好まれる
答え方に迷ったらこちら

�B「2x-y+7=0」
直線の方程式の表示形式
多変数を扱う場合はこういう表記もあるけど、あまり気にしなくていい

>>317
三段論法を用いる任意の数学の証明は、三段論法を用いない別証明を持つことを示せ、という問題がわかりません

線形写像f:U→Vにおいてa∈Uに対して-f(a)=f(-a)ってどう証明すればいいんですかね
f(a-b)=f(a)-f(b)と同じ方法で示そうとすると結局堂々巡りになってしまうのですが

f(0)=0=f(a-a)=f(a)+f(-a)
f(-a)=-f(a)

>>318
下らん

>>320
しょうも無

今全財産が3000円しかありません

何とかして20万円まで増やしてiPhoneかギャラクシー買いたい

その方法とは？

腎臓を売ります

>>321
わからないんですね(笑)

別宇宙・別世界・別次元・別階層にワープする技術を独力で構築したらノーベル賞9999不可説不可説転個貰えますか？

新たな宇宙・世界・次元・階層を独力で構築したらノーベル賞9999不可説不可説転個貰えますか？

>>318

〔ゲンツェンの基本定理〕(1935)
　シーケンスSが証明可能ならば、三段論法を用いないでもシーケンスSは証明可能である。

（大意）
第一階述語論理体系LKおよびLJにおいて、「シーケンスSを終式にもつ証明図」が与えられたとする。
この証明図から「同じシーケンスSを終式にもちかつ三段論法を含まない証明図」を構成する一連の手続きを、定義することができる。

(P(x),Q(x),R(x))がR[x]≦2の基底であるとするとき
(P(x+1),Q(x+1),R(x+1))もR[x]≦2の基底であるか判定せよ
また、そのとき(P(x),R(x),Q(x))から(P(x+1),Q(x+1),R(x+1))への変換行列はどうなるか求めよ

前スレでも書きましたが答えが頂けなかったのでお願いします

>>328
ぢゃあ、後者の証明図に現れる論理式はどれも
終式Sに現れるいずれかの論理式の一部（部分論理式）になるな…

どうせどっかのpdfからコピってきたんでしょうね