以下の問題の解答ですが、もっと簡単になりませんか？

距離空間 X において部分集合 A の集積点全部の集合を A' で表すことにする。
A' は閉集合であることを証明せよ。

A の孤立点の集合を A'' で表すことにする。
A の内部を A^i で表すことにする。
A の外部を A^e で表すことにする。
A の閉包を cl(A) で表すことにする。
点 a を中心とする半径 r の開球を B(a ; r) で表すことにする。

A' = cl(A) - A'' = cl(A) ∩ (A'')^c

である。

(A')^c = [cl(A) ∩ (A'')^c]^c = cl(A)^c ∪ A'' = A^e ∪ A''

a ∈ (A')^c とする。

a ∈ A^e ならば、 A^e は開集合だから、 B(a ; r) ⊂ A^e ⊂ (A')^c となるような r > 0 が存在する。
∴ a ∈ ((A')^c)^i

a ∈ A'' ならば、 B(a ; r) ∩ cl(A) = {a} となるような r > 0 が存在する。
∴ B(a ; r) ⊂ cl(A)^c ∪ {a} ⊂ cl(A)^c ∪ A'' = (A')^c
∴ a ∈ ((A')^c)^i

以上より、

(A')^c は開集合である。
∴ A' は閉集合である。