分からない問題はここに書いてね436

距離空間 X において A, B を A ∩ B = 空集合である2つの閉集合とする。
A ⊂ U, B ⊂ V, U ∩ V = 空集合を満たす X の開集合 U, V
が存在することを証明せよ。

証明：

X 上で関数

φ(x) = d(x, A) - d(x, B)

を考えれば、 φ : X → R は連続である。よって、

U = {x | φ(x) < 0}
V = {x | φ(x) > 0}

は開集合で、 A ⊂ U, B ⊂ V, U ∩ V = 空集合となる。