数理論理学（数学基礎論）　その12

数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
　若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照）

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/

前スレ 999
直観主義論理では二重否定の除去
¬¬B → B
は出来ないけど三重否定から否定を二つ除去
¬¬¬B → ¬B
するのは出来るんだよな

「「「Bが成り立つなら矛盾が導き出される」が成り立つなら矛盾が導き出される」
が成り立つなら矛盾が導き出される」
から「Bが成り立つなら矛盾が導き出される」が導き出されるという…

削除依頼を出しました

直観主義では(¬(A∧B))→((¬A)∨(¬B))は示せないですが、その対偶の
(¬((¬A)∨(¬B)))→(¬¬(A∧B))を示すことは出来ました。
でも(¬∃x¬A)→(¬¬∀xA)は示せないようです。（もし直観主義で
示せる人がいるなら証明を教えてくれるとうれしいです。）
直観主義では本当に(¬∃x¬A)→(¬¬∀xA)が示せないのなら、
直観主義では∀x¬¬Aと¬∀xAを同時に仮定しても矛盾しない
ことになりますが、なんか不思議な気がします。ここらへんを
うまく説明できる人はいるでしょうか。

>>2
それは一般的な定理で
古典論理が直感論理に埋め込めるって奴

>>4
量化子は無限に関わって来るので
その扱いが古典と直感とで異なるんだろうと思ってるんだけど
詳しい人の見解を聞きたいところだ

>>4
直観論理の位相空間による解釈を知ってるとおかしく感じない。

>>4
丁度直観主義の意味論をかじったところなので回答します

直観主義における論理式の解釈を、以下のクリプキモデルによって定義します
世界Wiの集まり{Wi|i∈I}をクリプキモデルと呼びます

各世界Wiは通常の古典論理における構造に対応します

また、世界Wiには到達可能関係→が定義され、以下が成り立ちます
反射律 Wi→Wi
推移律 Wi→WjかつWj→Wkならば、Wi→Wk

また、Wi→Wjのとき、以下に従います
Dom(Wi)⊂Dom(Wj)
P^Wiが真ならばP^Wjも真
P^Wi(a1,..,an)が真ならばP^Wj(a1,...,an)も真(a1,...,an∈Dom(Wi))

すなわち、クリプキモデルとは、通常の古典的な意味での構造=世界をいくつも持つものであり、それぞれの世界は我々の持つ知識量に対応している、と解釈できます
すなわち、Wi→Wjのとき、Wjの世界においては、Wiの世界よりも我々の知識量が多いため、より多くの事柄に関する真偽を決定できる、というわけです

ある原子命題Pが真であるというのは、「世界Wiにおいて」Pが正しいと判断できる、ということを意味して、Wi|=Pと表します
逆にPが偽であるということは、「世界Wiにおいて」Pが正しいと判断できないということ、を意味して、Wi|≠Pと表します

命題¬Pが真であるとは、Wi→Wjなるすべての世界Wjに対して、Wj|≠Pとなることを意味します
言い換えれば、その世界より後ろは全部偽なわけです

今、Wi|≠P、とわかったとします
このとき、Wi|=¬Pと言えるわけではありません
Wiに関して言えば、真ではない、とわかっただけですから
Pは本当にWi|=¬Pとなるかもしれませんし、到達可能な世界を巡っていけば真だとわかることがあるかもしれません
前者を、Pは真に偽である、後者をPは保留状態にある、と言うことにしましょう

このようにすると、Pが偽、すなわちWi|≠Pであるとは、真に偽である状態であるか保留状態にあるかのどちらかだ、と言いかえることができます

直感主義における偽とは、確証のなさを表していると言えるでしょう
本当は偽なんだけど自信がないときは真の偽、本当は真なんだけど自信がないときは保留状態であり、どちらの場合も断定ができないので、真ではないという意味で、偽を与えるのです

命題∀xP(x)が真であるとは、Wi→Wjなるすべての世界Wjに対して、全てのa∈Dom(Wj)に対してWj|=P(a)となること、を意味します
その世界より後の世界の対象をどれだけ持ってきても真になる、というわけです

¬¬Aの意味を考えましょう
Wi|=¬¬A、Wi→Wjとします
Wj|≠¬A、すなわち、「Wj|=¬A」ではない、となっています
これは、任意のWjに対して『「Wjより後ろは全部偽」ではない』、ということですから、WiにおけるAは真であるか保留状態になっている、ということを意味しています
Wi|=¬¬AとWi|=Aは異なるわけです

Wi|=∀x¬¬A
これは、全てのWjの全ての対象xに対して、Aは真であるか保留状態となっていることを表しています

Wi|=¬∀xA
これは、任意のWjに対して、『「その世界より後の世界の対象をどれだけ持ってきても真になる」わけではない』ことを意味しています
Wjより後の世界には、必ず偽となるような対象が存在する、というわけです

別に矛盾はしていませんよね

>>8
"世界"の定義は？

クリプキモデルもいいんだけど必然的に時間の概念というかモデルの順序関係に依存するので
静的な単独なモデル(位相空間でもイイよ)による意味論の方が何かしっくりくる感じが

>>11
>>8
＞各世界Wiは通常の古典論理における構造に対応します

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惨めな奴

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前スレ http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/897
でもいいましたが直観主義命題論理学は前原昭二の｢復刊 数理論理学序説｣で初歩を扱っています
>>2,4の話も出てきてたと思います

高橋洋一（嘉悦大）
@YoichiTakahashi
統数研。70年代にちょっといて赤池さんと話したことを思い出した。いい概念（AIC）は応用も広いし、道筋の見通しもよくなる。AICについて、AkaikeではなくAn Information Criteria と控えめに言っていたのが印象的

統計数理研究所
@tousuuken
本日は統計数理研究所第8代所長 赤池弘次先生の生誕90周年です。
https://www.google.com/doodles/hirotugu-akaikes-90th-birthday

Aを公理とするとき、A|-BもA|-¬Bも証明可能ではないですから、Bは決定不能命題ですか？

有限の立場からの質問です

普通、(公理的集合論で？)超限帰納法の定理を証明する時って背理法によって証明しますよね？
これを直接(構成的に？)証明することって出来るんですか？

自己解決しました

質問

自然数論の無矛盾性証明の下準備として、その証明に関係することになる順序数の定義を行うじゃ無いですか？
で、そこで定義される順序数って、その証明に必要なことを便宜的に駆け足で定義しているせいか、公理的集合論(ZFC)で議論される順序数の定義とは違ったものじゃ無いですか？
そこで気になったんですが、この順序数の定義と公理的集合論における順序数の定義って同値ですか？
なんとなく　有限の立場から(ZFCを仮定せずに定義されている？)順序数の定義から帰結される命題集合 ⊆　ZFCでの順序数の定義から帰結される命題集合
な感じはするんですが、⊇の主張には何か他の仮定がいるんですかね？

ZFCで習った順序数と違う定義を学んだものでしたので疑問を持ちました

ZFにおける議論において、
順序数がカントール標準形を持つこと、
特にε_0未満の順序数については自然数とωだけを用いた標準形を持つことを示せる。

したがって、有限の立場においても、
自然数と新しく導入した記号ωを用いればカントール標準形と外見上全く同じ有限長の記号列を定義できる。
この記号列に対して順序を入れることもできる。

再びZFにおいて議論すると、
有限の立場で定義されたこの記号列全体は（順序まで含めて）ε_0未満の順序数全体と一対一対応することが示せる。
特に、この記号列全体は整列集合であることが示せる。

この記号列全体がZFでは整列集合であることがわかったので、
「この記号列全体は整列集合である」という仮定を追加して有限の立場を拡張しようと思う。
もちろん「」内の命題は自然数論では証明できない。もしできたら第二不完全性定理に反する。
無矛盾性証明では（自然数に関する）数学的帰納法を拡張した体系で議論することを基本方針としよう。

細かいことだけど以下のように訂正

×　この記号列全体は整列集合である
○　この記号列からなる無限下降列は存在しない

>>42
ジャストミートな回答ありがとうございます
モヤモヤ感が何となく解けました

UAB := ¬∃(Ax∧Bx)
なる U があれば NAND だけで命題論理が作れるようにそれだけで一階述語論理が作れるってマジ？

>>46
もう少し具体的に教えてもらえますか？どこでそんなこと聞いたのかも含めて

>>46
面白い記述を見つけました

竹内外史の「数学基礎論」101ページ
Γ_0＾~の下では、∃xA(x)とA(Min(x)A(x))とは同等である
(この意味でMinを用いれば、∀とか∃とかを取り除くことが出来る)

という記述がありますね。

>>47
コンビネータ論理を考案したシェーンフィンケリが示したけど、あまり知られていないらしい。
コンビネータ論理についてネット検索してた時に見かけた記事で読んだんだけど、今探したらちょっと見つけられなかった。

束縛変項に関する公理がなんか姑息というか、美しくないように感じるので、これを消せないかと思ってコンビネータ論理について色々調べてたんだが、コンビネータ論理って inconsistent らしいのね。

>>48
違うアプローチみたいだけど面白そう。その本は持ってないけど買ってみるわ。でも自分みたいなドシロウトには難しそう…

>>49
>>48ですが、これは昔に出版された時の書籍名です
現在はこの増補版(改題された)として｢証明論入門｣竹内外史(ともう一人の女性)著　が市場に出回っています。
>>48の記述ですがこれは、自然数論の無矛盾性証明の議論において脇道に逸れた話題として出てきた話です
この本は本格的な数学基礎論の書籍です。入門書を終えないとまず理解出来ないでしょう。

これだな
https://www.amazon.co.jp/dp/4320014065
https://www.amazon.co.jp/dp/4320019350

直観主義　と　有限の立場　ってどこが違うんですか？

>>52
あなたが無職だと言うことですよ、東大生さん

>>54
なんで？

>>54
どこからのコピペ?

z>>5
F(P,Q) ⊃ g ( p, p) が tautology だからって、「F(P,Q) ならば g ( p, p) 」が
必ずしも成立するわけではないってことさ。

z>>5
F(P,Q) ⊃ g (P,Q) が tautology だからって、「F(P,Q) ならば g (P,Q」が
必ずしも成立するわけではないってことさ。

>>58
何言ってるか分からないんですが、

P,Qが存在して、
|=F(P,Q)⊃g(P,Q)　かつ　|=F(P,Q)　かつ　|=¬g(P,Q)
が成り立つ

と言いたいのですか？

Jech の「Set theory」の sillver's theorem の証明がわかりません。
間違っているということはありますか？

どんな？

Lemma 8.15 の証明

分からんから書いて

>>59

ｆ(P,Q)⊃g(P,Q) だからと言って、ｆ(P,Q)|=g(P,Q) とは限らないってことさ。

|=ｆ(P,Q)⊃g(P,Q) だからと言って、ｆ(P,Q)|=g(P,Q) とは限らないってことさ。

>>65
なぜそうだと思うんですか？

>>54
＞にも拘わらず、《　[Ｐならば(ＱかＲ)] ならば、[　(ＰならばＱである)か、又は(ＰならばRである)　] 》　は

ああ、これですか
「ならば」を高校数学的に考えてる限りわかりませんよ
まずは命題論理と述語論理の区別から始めましょうね

ちゃんと説明しないうちは無視するのが正しい態度

>>52
> 直観主義　と　有限の立場　ってどこが違うんですか？

直観主義にしても有限の立場にしても明確な記号論理の体系で公理化されているわけでない
研究者によって同じ「直観主義」という言葉で表しているものが違う、「有限の立場」についても同様
だから誰のなのかを明記した「××さんの直観主義（または有限の立場）」とか
場合によっては「××さんが○○という時期に（あるいは△△論文等で）主張している直観主義（または有限の立場）」と指定しなければ
異同の議論はできない

例えば直観主義論理を客観的な公理系として最初に提示したのはBrouwerの弟子のHeytingだが
師匠のBrouwerは「あんなものは俺の直観主義じゃない！」とその公理化の意義を認めなかったそうだ

その辺りの混乱に関しては先日亡くなられたばかりの竹内外史先生が彼のエッセイの幾つかで書いていて著書にも収録されているから
探せば今でも容易に読めると思うが、その竹内先生御自身も有限の立場について哲学的というか教条的というか非教育的だったので
竹内先生の証明論のアプローチを直接に継ぐ弟子は育たなかった（継ごうとした人達はみな討ち死にして挫折した）というような話を
確か八杉先生だったと思うがどこかに書いていた記憶がある

なので上の問は漠然としていて解答不能

>>69
ありがとうございます。
ざっくりと分かりました。

竹内＆八杉のコンビといえば｢証明論入門｣が思いついた。

式SからGodel Interpretation S^Gを作るまでは割と形式的に出来るけど
そこからquantier-freeなreductionを作るのがホント紛らわしい

大学院生が太刀打ち出来るレベルの未解決な問題ってなんかありますか？(発展的専門書の章末問題レベル)
ステップアップにちょうどいい論文も教えて欲しいです

そんなもん知ってたらこんなところに書かず、自分で論文書くか指導学生にテーマとして与えるわ

>>72
社交数でもやったら？

[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。

>>75
どうしたらいいの？

ラッセル・ヒルベルト流にしろ、ゲンツェン流にしろ、[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。

信念の垂れ流しは数学ではない

>>77
直観主義論理というその同値性を認めない論理体系も存在しますよ

まあ、あなたのように命題と述語の区別をつけていない人には関係ない話ですけど

disjoint union いいよね・・・。

>>77
別の規則の体系もある。矛盾していない限り数学上は誤りもクソも無い。

ファジー論理もそのうち勉強するから、俺

数学セミナー
2018年2月号（2018年1月12日発売）予価1090円＋税
特集=「竹内外史と数学基礎論(仮)」

解析学の基礎付けをはじめ、数学基礎論の分野で偉大な足跡を残し，2017年5月に逝去した竹内外史氏。
今回は思い出も振り返りながら、氏が切り拓いた道を紹介する。

“竹内の証明論”における有限の立場(仮題)八杉満利子(京都産業大学名誉教授)
竹内先生の思い出(仮題)難波完爾(東京大学名誉教授)
竹内外史氏の思い出(仮題)一松信(京都大学名誉教授)
竹内先生の証明論(仮題)新井敏康(千葉大学)

待ちに待ってた様相論理学入門が届いた。分厚い奴ね
テンション上がったわ

その定義なら確かに超限帰納法を用いた背理法を含んでるな

>>81
＞矛盾していない限り数学上は誤りもクソも無い。

現実と矛盾したのでは話にならない。

論理とは主観的なものです
どのような推論を推論として認めるのか、というのは絶対的なものではないんですね

間主観的なものだな

>>87
現実と矛盾する、とは何を指すのか？
全ての現実に当てはまる公理が存在するとでも？

様相論理の和書は古いもの以外はほぼ無いけど
黒い本の第1章は割と纏まってて良い感じだったと思う

量子力学が定説となった現代において、数学理論が現実と矛盾するかどうか検証するのは極めて困難

>>87
なんでそんな無意味なこと書くかな

>>85
ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）は完全に反対していた
どうも竹内外史は、predicativeであることが有限の立場では本質的に重要だと考えていたみたいだね

>>94訂正

ごめん、日本語が少し変だった

誤＞ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）は完全に反対していた
正＞ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）については完全に否定的だった

>>93

ブーメラン

>>96
シオモナ

>>90
[　(ＰならばＱである)か、又は(ＰならばRである)　] は偽であって、「現実と矛盾している」。

＞全ての現実に当てはまる公理が存在するとでも？

ある命題が真ならば、その否定は偽である、は恒久的な真である公理の一つ。

>>98
それ現実に矛盾してるかも

>>98
論理学における「ならば」は因果関係を意味するものではない、ということは理解できますか？

>>101
1行目と2行目の繋がりがわからない

>>!00
＞論理学における「ならば」は因果関係を意味するものではない、ということは理解できますか？
Russellb Hilbert, Genzen も「ならば」の解釈を間違えた。

>>90
[　(ＰならばＱである)か、又は(ＰならばＱでない)　] は偽であって、「現実と矛盾している」。

>>90
[Ｐであり　(ＰならばＱである)かつ(ＰならばＱでない)　] は偽であって、「現実と矛盾している」。

>>101
立場の問題かと思います、多分
有限の立場に立つならば、むしろ自然数と対応付けができなければそれは証明とはみなされません

>>103
あなたの考える「ならば」と論理学における「ならば」は異なるものだというだけですね

>>103
論理結合子「☆」(スター)を次で定義します

T☆T=T
T☆F=F
F☆T=T
F☆F=T

このとき
《　[Ｐ☆(ＱかＲ)] ☆[　(Ｐ☆Ｑである)か、又は(Ｐ☆Rである)　] 》　は正しいです

これは現実と矛盾してるんでしょうか？

>>101
自然数に対応させることはもちろん可能だが、証明図を変形したとき、対応する自然数が小さくなるような対応でなければ意味がない
もしそのような対応が存在すれば一階の数学的帰納法でペアノ算術の無矛盾性を証明できることになるが、
これは第二不完全性定理と矛盾する

R.Shoenfield, Mathematical Logic, Addison-Wesley 1967は、基礎論の専門化を目指す人が必ず1度は手にする最高級の教科書
（田中一之｢数学基礎論講義｣ 64ページ)

↑これって本当ですか？

第一不完全性定理についてちょっと理解不足があるんで質問なんですが、
この定理は、ある論理式ψが存在して、
　PA|-ψでない
かつ
　PA|-¬ψでない
だと思います。（PAはペアノ算術です)

この時PAのモデルMを任意に取るとM|=ψなのですか？

M|=Ψの場合もあるし、M|≠Ψの場合もどちらもあり得ます

PAともなるともはや一階述語論理の完全性定理が成り立たなくなる？と思ったので質問したのです。
算術の標準モデルNについてだけ、N|=ψなのだろうか

成り立ちますよ

完全性定理を述べてみてください

あれ？
第一不完全性定理について、たまに｢この定理は正しいにもかかわらず証明出来ない命題が存在することを主張するモノだ｣
という説明を見るんですが、ここでいう"正しい"が何を指しているのか気になったので質問したんですが

あるモデルMに対してはM|=Ψとなることです

ありがとうございます

第一不完全性定理を扱っている議論の最中にモデルの話が出てくるところは見たことが無かったもので、
ついつい、この"正しさ"をモデル論における真ではなく、何らかの直観的な正しさなるものを指していたものとばかり思い込んでいました

前から何となく思っていたんですがロッサーの不完全性定理があるのに何でわざわざゲーデルの第一不完全性定理をテキストに載せるんですか？
ゲーデルに敬意でも払ってるんですかね？

テーラー展開があるのにわざわざx=0の時だけマクローリン展開と言ってるような違和感を感じますｗ

>>117
ゲーデルだからね

第二不完全性定理はGodel文と無矛盾性CONの
同値を言うことで示すでしょ。
Rosser文だとこれが出来ない。
第二は第一の単なる応用ではなくて、それとは全く
独立に重要な定理なので、Rosser文だけでは困る。
Hilbertプログラム云々の歴史的な話は措いといて
単純に数学としての応用としてみても、
集合論や算術のモデル論とかとの関連で
出てくるのは多くは第二の方だしね。

前者が対角線論法ズバリという感じなのに対して
後者はテクニカルな修正を加えて小手先の改良をしている。だから応用には乏しい。
Godel文とRosser文の実際の構成を知ってれば分かると思う。

>>119
それ第二の話で第一の話じゃないじゃん

「恒久的な真理」なんて言うのはオカシイ。
真理とは、すべて。恒久的なものだからだ。

第二不完全性定理の詳細な証明は学んだことが無いんですが、｢第一不完全性定理の証明までの議論を形式化すればいい｣みたいな文句はよく見かけますよね
じゃあロッサーの不完全性定理はゲーデルの第一不完全性定理に比べて前提とする条件が弱い(ω無矛盾ではなく単なる無矛盾性だけ)だけに
そのロッサーの不完全性定理の証明までの議論を形式化することによって、ゲーデルの第二不完全性定理よりも"ちょっとだけ一般化されたロッサーの第二不完全性定理"みたいなものが出てきはしないんですかね？
もし出てこないのであれば、ω無矛盾性・無矛盾性の違いが形式化への流れの中でどのように消えてしまっているのかが気になります

>>121
真理は相対的なもの

>>123
＞真理は相対的なもの

そう信じるのは誤り。

異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は３通り。これは絶対的な真理。

>>124
三段論法や排中律を使わずに証明できて居るかどうか確認できてる？
ルイスキャロルの無限後退法やブラウワーの直観主義というのもあるんだがね

>>124
「異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は３通り
」

あるモデルにおける解釈として、「異なる」を「同じ」という意味だと解釈しましょう

このとき、この論理式は偽となりますね
同じ3つのものから2つ取り出す選び方は1通りしかありませんから

>>124
「真理は全て恒久的なもの」ではない、ということ
「条件付き」の条件が空であることも許される

等号の公理を差し置いて

「異なる」を「同じ」という意味だと解釈

手の付けられない馬鹿だな

>>128
そういう公理が含まれないかもしれませんね

気にくわないなら、3を4と解釈する、でもいいですよ、

>>129
そういう記号の約束事みたいな話は本質的ではない

モデルってなんだか知らないんですか？

直観主義云々は証明論とか統語的な話ですよね

真理云々は意味論、すなわちモデル理論の範疇です

・我田引水
・ああいえばこう言う
・そういうお前をわしゃ食った
論理の通じない相手を相手するだけ徒労

>>131
それ以前の日本語の話
そもそも等号の公理を使わないなら、「同じ」とか「異なる」という日本語も使うべきではない
おまえは上の文中の「日本語」や「使う」をモデルでどう解釈するか考えたりしないだろう
それと同じだ

>>134
でも、理論的には間違ってはないですよ？
自分がからないからって屁理屈言うのはやめたらどうですか？

勘違いした哲学バカだな
おまえは全ての言語にモデルの解釈が可能だとでも思っているのか
無限後退に陥るだけだ

ここは数理論理のスレなんですから、全ての命題は形式言語により書き直して考えるというのは何もおかしくないですよね？

だったら試しに日本語の「同じ」にモデルを当てはめてみな

でも確かに異なるを同じと解釈は無理があったかもしれませんね
3を4と解釈にしましょう

>>138
同じの話はやめましょう

論理学に。モデル論がはいりこむ余地など無い。ｗ

数理論理の話ではないんですか？

>>124
取り出す順番が異なる選び方を異なる選び方だとすると、異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は６通り。
これもまた真理。

「「取り出す順番が異なる選び方を異なる選び方だ」と考えるのはチミくらいのものさ。ｗ

>>144
つ 連勝単式

>>145
数学的に定義してな

>>146
「順列」でいいだろ。
さすがに順列の定義を説明する気にならん。

その昔、イマニュエル・カントは『純正理性批判』（第二版・序文）で
「論理学はどう見ても、アリストテレスの著作でもって完成している
ように見える」と書いたが、その見解が誤りであったことは、その後の
記号論理学の著しい発展を見れば明らかである。では、今日の記号論理学
は、一応なりとも、完成したと言えるのだろうか？　大多数の人々は、
ゲーデルのいわゆる“（述語論理の）完全性定理”を引き合いに出してして、
イエスと答えるであろう。しかし。これも又、カントの轍を踏んで、誤り
なのである。

>>147
しね

>>149
おいおい、レスバに負けたからって低能な返事するなよ。
「プリンキピア・マテマティカ」持ち出すとか、やりようがあるだろ。まあ返事しないけど。

完全性定理が選択公理を使って証明してるからなあ。数理論理って実に
くだらないよな。論理学の正当化には微塵も役立たない。

ID固定するかコテ付けて

(ﾟДﾟ)＜死ね

>>151
使ったとしても、それはメタな選択公理だから問題ないですね

>>154
勿論。だけど正当化にはならないだろ。ただの記号遊び。
論理に関して何にも明らかにならない。PAの（相対）無矛盾性証明と同じ。
eスポーツと呼ばれるFPSとかのゲームと同類。何も生み出さない。

>>155
形式化された論理を用いた定式化、という面では意味があると思います

>>151
ω無矛盾という言葉は、メタと対象の区別を行うからこそ捉えることが出来る概念

■モンティホール問題（空箱とダイヤ）

このゲームができるのは1回だけです

ダイヤモンド1個を外からは中が見えない空箱100個の
中のどれかひとつに入れます

その中から1個の箱を選びます

98個の空箱を取り除きます

最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます

ダイヤモンドが当たる確率は何％でしょうか？

>>150
誰と闘ってるんだ？

絶対的な真理とか言っているマヌケ

それ、別スレで0は自然数ではないと言い続けてる奴だろ

PAが無矛盾だというのはただの信仰だからな。
ZFCに関しては言わずもがな。AV見てる方がロジックやるより有意義だろ。

んなこと言ってたら1+1=2まで信仰とかいうことになるカモだよ

>>160
お前はおめこか

書籍紹介
鹿島亮准教授によれば、
G.Boolos, The Logic of Provabilityは第二不完全性定理の証明が非常に詳細に書かれているとのこと

諸君は、（Ｐ⊃Ｑ）⊃（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ
「現行の論理学理論」を正しいものと信じて疑いないのか？　ｗｗｗ

(P⊃Q)∨(Q⊃P)ではないですか？

P=F、Q=Tのとき成り立ちませんよ、それ

諸君は、（Ｐ⊃Ｑ）v（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ
「現行の論理学理論」を正しいものと信じて疑いないのか？　ｗｗｗ

ならばやまたはの解釈が違うんですね

古典論理においては(P⊃Q)∨(Q⊃P)は正しいですが、直観主義論理においては、(P⊃Q)∨(Q⊃P)は正しくないです
証明もできません

あなたの考えはもしかしたら直観主義的なのかもしれません
そっちの方の論理学を勉強してみると良いかもしれませんね

まあ、でも多分あなたの場合は、命題と述語の区別をつけて、量化記号の使い方を学べば済む話だとは思いますけど

論理学を、“命題論理”と“述語論理”とに分けるのがそもそもの間違いだ。

例えば、ｐ⊃（ＰｖＱ）は恒真式（tautology）だと言うが、それは取りも
直さず∀p,q{ｐ⊃（ＰｖＱ）} ってことであって、“命題論理”の段階で、
全称概念を「密輸入」しているからだ。

>>169

直観論理なるものは、飽きるほど研究した。

排中律を否定する様では、ハナシニナラヌ。ｗ

基地外警報発令中

>>!70
「命題と述語の区別をつけて、量化記号の使い方を学べば済む話」と思うのは、
早がってんだ。
量化記号を使えば、∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]
となり、これは恒真だからだ。

>>171
メタと対象は違う

二階論理は一階論理のある種の拡大になっているとでもいうのか？

>>175

逃げているに過ぎない。ｗ

>>175

>>171 の何処ががメタで何処が対象なんだよ？？？

>>174
＞量化記号を使えば、∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]

∀p,qの部分は、命題変数に対する量化記号であり、これはメタな記述ですね

∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]

これは、∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ∀x[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]でしょうか
だから、このあなたの解釈が間違ってるんです
∀x([Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)])
これなら正しいですね

てか、命題論理を考えずに述語論理にいきなり飛ぶからわからないんだと思いますよ

命題変数を経由しない立場としては、PやQはある形式的言語にアプリオリに含まれる命題記号および述語記号となりますね

ごめん！　入力ミスをしていた。

∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]

は、正しくは

∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] ｝

直ってませんよー

いわゆる“命題論理”では、全称記号こそ用いないが、「全称」の概念のほうは、
チャッカリ、密輸入している。　それが問題なのだ。

>>181 直ってませんよー

スマン！

∀p,q【∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] ｝】

>>182
命題変数の全称量記号を用いない定式化については>>179に書きました

そのような命題変数を考える二階の論理は、通常の一階の述語論理から見ればメタな記述となります

>>183
てかまだ直ってませんね

∀xはどこにかかってるんですか？
私にはP(x)⊃Q(x)にだけかかってるように見えます

確かに、未だ直っていなかったな。ｗ

∀p,q【∀x［ [Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] ｝】

これで、どうや？　ｗ

# ∀x は［ [Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] まで掛る。

下らなさすぎ

>>186
カッコの対応が変ですけどまあ良しとしましょうか

あなたは(P⊃Q)∨(Q⊃P)を認めていないのではないですか？
恒真だとは認めるということですか？

>>184

肝腎なのは、概念であって、記号ではないのだよ。ｗ

>>189
私は、あなたは記号の意味を曖昧にしてるから混乱してるだけだと思いますけどね

命題変数と命題記号の違いわかりますか？

>188 あなたは(P⊃Q)∨(Q⊃P)を認めていないのではないですか？
恒真だとは認めるということですか？

(P⊃Q)∨(Q⊃P) は、言う迄もなく、恒真式です。

一方、(P⊃Q)⊃(〜Q⊃〜P) は恒真式であり。「（PならばQ)ならば(〜Qならば〜P) 」
が成立します。

しかるに、(PならばQ)かまたは(QならばP) は成立しません。

>>191
なぜですか？

>>192

Frege流の論理学理論は、根幹的な部分で、間違っていたからです。

（『Philosophy of Logic[[s]』 by Susan Haack: Cambridge Uni. Press）

>>193
どこが間違ってるんですか？

>>194
＞どこが間違ってるんですか？

あげれば、きりが無いほど間違っているんだけれども、このスレッドの関連で言えば、
恒真式、即、論理法則と考えた点。

>>195
どういうことですか？

P→Qを論理演算と考えたくないってことでしょ
じゃあどうしたいかの代替案があるわけでもなくてさ

「ＰならばＱである」ならば、「ｐでないか又はＱである」。しかし、逆は成立しない。

>>198
対偶は同値？

>>198
裏も成立しないの？

対偶は、無論、成立するがが、同値であるわけがない、逆が成立せぬのだから。

Frege流の論理学理論でも、命題とその対偶、逆、裏との関係については反故は無かった。ｗ

その点はよしとしよう。

こいつのキーボード、Shiftキーが壊れてんのか

>>201
対偶の対偶は成立するけどそれが元の命題とは違うという直観主義の人ね？

>>201
誤解させたか
対偶は同値？とはp→qの成立とその対偶命題の成立が同値という立場なのかってことだよ
>>202
ってことは対偶命題は元のと同値って立場ってことね

>>204
この質問は撤回

代わりに
¬¬pとpは同値って立場なのか質問

>>203
しねカス

＞¬¬pとpは同値なのか

勿論、同値！

「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。　あれは「失敗した理論」やからね。

「失敗した理論」 or 「失敗する運命にある理論」

>>209
私はピーマンが好きだ
私はピーマンが嫌いなわけではない

でも、ニュアンスが明らかに異なりますよ？
必ずしも同じとは言えないですよね？

失敗どころかむしろメインストリームだと思うが
プログラミングと関係する場合は特に

初学者の人でも気軽にスレに書き込むっていうこと自体は悪くないことだと思いますよ
ただでさえ日本では数理論理学は忌避っていうか相手にすらされてない学問ですから

>>209
>ID:DBa9oALT
こういうのは？
(P∧Q→人)→(P→¬Q)
背理法だけど

ブール代数

>>212
「好き」が真偽2値の述語で
「好きでない」＝「嫌い」なら
「嫌いなわけではない」＝「好き」となりますよ
ニュアンスで異なるということは
「好き」や「嫌い」が真偽2値の述語では無いということでしょう
あるいは「様相」も考えるべきかも

このスレの住人は年末年始も数理論理学(数学基礎論)やってますか？

ぼーっとすると頭に浮かんてくる。
そんなもんじゃない？

安売りしてるいいテキストありますかね？
Amazonで数百円で見つけても殆どが完全性定理までだから

新井俊康の数学基礎論っていいんですか？
誤植が多いらしいですが

>>220
網羅的でいい本だよ

>>218
あたりまえだろボケ
二度と来るなカス

帰誤法（背理法）を認めないような理論は、話にならんよ。ｗｗｗ

で、(P⊃Q)∨(Q⊃P)が成り立たないと思うのはなんでなんですか？

>>224
> で、(P⊃Q)∨(Q⊃P)が成り立たないと思うのはなんでなんですか？

その問題を言い出した人間とは私は別人だから横レスなんだけど、それが正しいということは、
２つの論理式PとQとを任意に選んだら両者は常に強弱の比較が可能だということになるだろう。
つまり論理式は強弱（含意が定める順序関係）について線型順序を成すってことだよ。
比較できない、つまり互いに無関係な、論理式のペアは存在し得ない、世の中のどんな命題も
どちらかが他方を含意しているという意味で必ず互いに関連しているってことになり
全ての命題は（互いに含意し合う同値関係で商を取れば）線型順序を成しているってことになる。

これは論理を現実世界の命題に適用すると極めて不自然だと思わない？
だって、>>224君はラーメンを喰うという命題と私はご飯を食べるという命題とが必ずどちらかが他方を含意するってさ。
つまり古典論理での論理演算子の含意⊃は、日常的な感覚でのつまり日常言語での「ならば」とは全然別物になっちゃってるってこと。
そのことを端的に示しているのが古典論理では(P⊃Q)∨(Q⊃P)が妥当になっちゃうという事実だよ。

>>197
こういうことなんですかね、結局
気持ちは分からなくもないですけどね
ならば、を論理演算と考える限り、日常語では定義されていない、前件が偽の場合の「ならば」を考える必要があるわけですから、結果が直観と違って当然だと思いますね

>>225
>全ての命題は（互いに含意し合う同値関係で商を取れば）線型順序を成しているってことになる。
古典論理なら線形順序というより真偽の2値のみ
つまり偽である命題の全体と真である命題全体とがあって
偽<真
という順序を入れることが出来るというだけだよ

>>227
なんか、わかってないですね

日常語の「ならば」に「近い」のは古典論理よりむしろ直観主義

現行の理論、つまり Fregean理論（古典論理）では，内含概念の把握が間違っていた。

集合･位相･代数の知識を使って数学基礎論の定理を証明するのは、別にそれはそれで研究としていいんですよ
でもそれっておかしい気はしませんか？
数学基礎論はその名の通り数学の基礎付け的な学問なのに、その場で数学の定理を用いて議論を進めるというのは、(循環論法という意味ではなくて)ある種の議論のループみたいな感じになっているような気がします
｢ミイラ取りがミイラになる｣みたいな？

>>230
では、本当はどうなんですか？

>>231
メタと対象という区別をしてるんですね
そこら辺の難しい部分は、メタに押し付けてしまってるんですね

>>230
前件が偽のならば、をあなたはどう考えますか？
偽ならば真、もしくは、偽ならば偽、のタイプの命題です
このような命題が存在することは認めますか？

>>229
＞日常語の「ならば」に「近い」のは古典論理よりむしろ直観主義

帰誤法（背理法）を認めないような理論は、話にならんよ。ｗｗｗ

>>234
＞このような命題が存在することは認めますか？

認めません。

>>228
だから「PならばQ」は真偽で「偽<真」を言い換えただけってこと
つまり古典論理には自動的に線形順序（といえるもの）が入ってる

>>231
数学は基礎から発展へ土台を積み重ねていくものだから
数学「基礎」論がすべてのベースであるべきと思いがちだけど
数学基礎論って「数学の基礎を形式化して探求しよう」という学問分野であって
数学全体の基礎じゃないのよ

>>236
P→Qを¬P∨Qと同値にしないんだから「真ならば真」も一概には認めないんじゃないの？

>>235
世間では背理法はたぶん受け入れられない
「そんなこというても〜」って言われるのがオチ

>>236
んで対偶は認めるんだから「偽ならば偽」も有り得るとするんじゃないの？

「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。　あれは「失敗した理論」やからね。

"P ならば Q である"と言ったとき、P, Q の正体は「変項をおなじくする述語」であって、
命題ではないのです。だから、それらに真偽などありません。

えーそれは命題論理じゃないよ
命題論理に変項なし

それに述語は変項の値毎に真偽が定まる真偽関数なんだから

Non-Standard-Logic を研究し尽くした者からの忠告：−

「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。　あれは「失敗した理論」やからね。 ｗ

>>244
＞えーそれは命題論理じゃないよ

論理学を、命題論理と述語論理に分けるのは間違いだったのさ。ｗ

「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[〜Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。

>>247
勝手なことを
むしろそう解釈するから
>>243みたいなトンチンカンなことをいう

>>236
では、あなたは、ならばは、またはやかつなどと言った論理演算とは区別されるべきだと考えるわけですね
論理演算ではないなら、なんなんですか？

>>243
命題は、xの値によらず一定値を取り続ける述語だと考えることができますね
その場合、PならばQは、P(x)ならばQ(x)と見ても良いわけです

この場合はどうなりますか？

「P(x)ならばＱ(x)である」は仮言命題といい、「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」とは
区別します。

「Ｐ(α)がＱ(α)を内含する」ときに限り、「P(x)ならばＱ(x)である」が成立する。

二つはどのように異なるのですか？

ヴェン図で説明すると、円Ｐが円Ｑに包まれていさえるれば、
「P(x)ならばＱ(x)である」が成立します。

「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」は、それでは未だ不充分で、αが実際に
論議世界の要素となっているぉとを示す必要があります。

尚、それが示されたならば、「P(x)ならばＱ(x)である」が成立して
いる限り、「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」の真偽は、Ｐ(α)やＱ(α)の真偽
には依存しません。

議論世界以外の要素は普通は考えませんね
あなたの論理は通常の常識とは異なるようです

そもそも、P(x)とP(α)の違い、ならばと内包する、の違いが不明瞭ですね
詳しく説明してください

円Ｐが円Ｑに包むように描いたのが「P(x)ならばＱ(x)である」のヴェン図
であり、そのなかにαを表わす点を添えたのが「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」の
ヴェン図です。

そのなかにαを表わす点を添えた

とはどのようなことですか？

>>256
＞P(x)とP(α)の違い

P(x)は述語。P(α)は命題。言い換えれば、ｘは変項、αは定項。

>>259
Ｐ(α)はＱ(α)を内含する
とはどのようなことですか？

＞＞そのなかにαを表わす点を添えた
＞とはどのようなことですか？

ヴェン図において、論議世界を表わす矩形の中に、任意にαを表わす点を描くってこと。

＞Ｐ(α)はＱ(α)を内含する
＞とはどのようなことですか？

「P(x)ならばＱ(x)である」が成立して尚かつαがP(x)やＱ(x)の論議世界の元であるってこと。

>>250
＞あなたは、ならばは、またはやかつなどと言った論理演算とは区別されるべきだと
＞考えるわけですね 論理演算ではないなら、なんなんですか？

ヴェン図の（換言すれば、集合の）演算によって定義されるべきもの。

>>38
定義してよ

形式的に定義述べれば済む話では？

>>262
P(x)ならばQ(x)が成り立つ時、円Pは円Qの中に入ってますね
任意のxでP(x)ならばQ(x)が真であるので、αがPに入ってない時はP(α)ならばQ(α)は真である、と考えるのは間違ってますか？

つまり、P(x)ならばQ(x)、は円Pと円Qの関係性だけを定めていて、αがPの中に入っていようがいまいが、常に成り立つ、というわけです

アホらし
U⊃Q⊃PかつU∋a <=> P(a)→Q(a)
かよ
ナンも面白味も妥当性もない定義

それって単に、一階の理論のモデルを一つ固定して考えてるだけじゃないの

議論世界はそもそも最初から定まっているんですから、αは必ずその中に入ります
α∈Uであるか、という条件は、なんの意味も持たないものです

[Q⊃P]かつU∋a <=> P(a)→Q(a)

アホはソチのほうじゃｗ。　この定義によって多くのパラドックスが解消する。

たとえば、何がパラドックスになっていて、それはどのようにして解決されるんですか？

>>246
し尽くせるわけがない

>>272
”実質的内含のパラドックス”は完全に解消する。

実質的内含のパラドックスとは、「ＰならばＱである」を
「ｐでないか又はＱである」と同値と考えることによって
生ずるいろいろなパラドックスのこと。

>>274
たとえばどのようなものがパラドックスなのですか？

通常、そのようなものが原因のパラドックスなんてないんですけど

例えば、「ｘは光の三原色のひとつである」という述語に対して、

赤はその論議世界に属するが、牛は属さない。

>>276
議論世界=議論領域=対象領域etcはモデル毎に我々が設定し得るものですから、赤は属するが牛は属さない、というようなことは意味がありません

牛も入れたいなら議論世界に加えればいいだけの話です

あなたの議論世界の定義を教えてください

>>274
P→Qが真とは集合としての包含P⊂Qがあるということが定義であると
ならばP∧QやP∨Qや¬Pの真偽の定義は？

>>276
述語毎に定義域を考えるのなら``Pの丸''の外の元って議論世界に含まれないのね？
じゃあP→Qの定義域はなんなの？Pの外でQの中の元は考えないの？Qの外の元は？¬(P→Q)の定義域はなんなの？

>>275
「実質的内含のパラドックス」は。日本語の論理学の本だとかくしているケースが多いからね。

英語本を読んでみなよ。Paradox of material implication として載っているから、ｗ

＞P∧QやP∨Qや¬Pの真偽の定義は？

それぞれ、共通部分、和集合、補集合。

「牛は光の三原のひとつである」という文は無意味。

よって、牛は「ｘは光の三原色のひとつである」という述語の論議世界には含まれない。

>>281
いやいやいや
それが「真」「偽」であることの定義は？

>>282
「「光の三原色」は「自然なもの」ではない」
って文の論議世界は何？

>>274
大体P→Qを「議論世界」におけるP⊂Qが成立することと定義するってことはP-Qが空集合だということなんだからP∧¬Qが偽と同値なんだよな

>>268
やかましいわボケ

>>280
>Paradox of material implication
The paradoxes of material implication are a group of formulae that are truths of classical logic but are intuitively problematic.
のこと？
なあーんだｗ

"Introduction to Logic and Deductive Sciences" by Alfred Tarski p.27

>>266
＞αがPに入ってない時はP(α)ならばQ(α)は真である、と考えるのは間違ってますか？

[PならばQ]は、Ｐ，Ｑが変項を同じくする述語である場合にのみ定義されます。

>>267

その通り。

＞円Pと円Qの関係性だけを定めていてαがPの中に入っていようがいまいが、常に成り立つ、というわけです

円Ｐが円Ｑに包まれている限り、

>>277
＞議論世界=議論領域=対象領域etcはモデル毎に我々が設定し得るものですから

論議世界は人が恣意的に設定できるものではありません。

>>285

「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[〜Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。

”実質的内含のパラドックス”の一例：−

「日が西から登るならば、スペロヘータは梅毒の病原体である」は真であることになる。

＞αは必ずその中に入ります

そんなことは無い。例えば「ｘは光の三原色のひとつである」において、
”紫”はこの述語の論議世界の元だけれども、”恋”は元ではない。

「紫は光の三原色のひとつである」は偽。
一方、「恋は光の三原色のひとつである」は（偽ではなくて！）ナンセンス。

>>269
＞それって単に、一階の理論のモデルを一つ固定して考えてるだけじゃないの

論理学にモデル理論が入り込めると考えたのは、古典論理の愚かな誤り。

>>294
真です
これが真と考えられないのは素人

エムシラ降臨

>>298 Russell や Hilbert 達に「洗脳」されたマヌケ。ｗ

”実質的内含のパラドックス”の例をもうひとつ：−

「ライオンは哺乳動物である」は「ライオンおよびクジラは哺乳動物である」を内含する

は真である！

>>298 Russell や Hilbert 達に「洗脳」されたマヌケ達に二次洗脳されたどマヌケ。ｗ

洗脳とかいってる人は、論理学と数理論理学の区別がついてないことからくる混乱を起こしている。

数理的ではない論理学においても、ならばの真理値表くらい同じですよ


>>292
議論世界の定義を教えてください

>>301
それは普通の数理論理でも成立しませんよ？
P(x)→(P(x)∧P(y))
真→(真∧偽)
真→偽
ですからね

日本語ではあまり問題にならないが、∨と「or」のズレは、ついに「and/or」という、論理記号の影響を受けた新語を生んだ。

>>305
＞議論世界の定義を教えてください

述語Ｐ(x)の*論議世界*とは、xに代入したときに「意味を持つ（真偽が言える）」
すべての元から成る集合。

>>307
「意味を持つ（真偽が言える）」

普通の論理学では、意味を持たないということはないですね
どんな対象を代入しても真偽が言えますから
意味を持つ、とはどのようなことですか？

>>301
クジラも哺乳類でしたね

え、じゃ真→(真かつ真)が認められないということですか？
理解できないですね

>>305
＞＞それは普通の数理論理でも成立しませんよ？
＞P(x)→(P(x)∧P(y))
？真→(真∧偽)
？真→偽

P(x)→(P(x)∧P(y))
真→(真∧真)
真→真
でしょう？

>>309
仮言命題は、Venn図でもって定義されるのであって、審理表で定義されると考えるのは幻想に過ぎない。

??308
＞どんな対象を代入しても真偽が言えますから

「紫は光の三原色のひとつである」は偽。
一方、「恋は光の三原色のひとつである」は（偽ではなくて！）ナンセンス。

述語：「ｘは光の三原色のひとつである」は、どんな対象を代入しても真偽が言えるわけではない！

審理表 ---> 真理表

>>303

バカモン！　論理学に、数理もへったくりも無いワ！ｗｗｗｗ

あるのは。「遅れた理論」と「進んだ理論」との差だ。ｗ

論理学自体は数理的なもの以外も扱うからね

>>311
ベン図だとどのような問題があるんですか？

>>312
ナンセンスである、の定義を教えてください

>>308

>>308
述語：[x>2]　の変項 x に ”恋”を代入した [恋>2] には≪意味≫が無い。
従って、”恋”は述語：[x>2]　の論議世界の元ではない。

≪意味≫が無い。

の定義を教えてください

>>317
＞ナンセンスである、の定義を教えてください

≪無意味≫ってことだよ。それ以上、説明しようにも説明できない。ｗｗｗ

意味とは主観的なものだと思います
客観的、もしくは数学的な定義をして欲しいんです
モデル理論ならそこらへんは明確ですよね
モデル理論における意味とは、記号と真理値との対応のことです

あなたのいう意味とはなんですか？

「キミがいま使っているパソコン」の意味は明解だろう。ｗ

「xが今使っているパソコン」のxの議論世界はなんですか？

「意味とは何か？」が気になるのであれば、semantics(意味論)の本でも買って、研究してみなはれや。ｗ

xが今パソコンを使っている、の議論世界はなんですか？

>>324
＞「xが今使っているパソコン」のxの議論世界はなんですか？

述語でないものに論議世界もくそも無い！

>>300
>ID:0MEpwTLv
数学的に何も定義できてないのに批判だけするって
民進党か

>>322
＞意味とは主観的なものだ

そんなことはない。「キミがいま使っているパソコン」は、君の主観と無関係に存在している。

>>329
xがパソコンを今使っている、の議論世界はなんですか？

>>330
自分で考えてみようね。

>>331
たとえば、猿や人造人間は議論世界に入りますか？

>>307
落第

>>322
＞たとえば、猿や人造人間は議論世界に入りますか？

異論もありそうですが、私は入ると思います。

>>334
異論があるとはどういうことですか？
議論世界は明確に定まるんじゃないんですか？
ブレがあるのでしょうか？

>>335

Only Heaven Knows.

>>336
それでは、私達は神ではないので、議論世界を知ることができないということですね

逆に、どのような述語なら我々に議論世界がわかるんですか？

>私達は神ではないので、議論世界を知ることができない

私達は神ではないので、すべての述語について、その議論世界を知っているわけではない。

具体例でいいですよ
議論世界がわかる述語の例をあげてください

>>337
＞どのような述語なら我々に議論世界がわかるんですか？

Only Heaven Knows.

具体例でいいですよ
議論世界がわかる述語の例をあげてください

もしかして、具体例すらないんですか？

>>339

述語：[x>4]の論議世界は、x>4である様な実数 x のすべてから成る集合。

ゴメン！　まちごうた。ｗ

述語：[x>4]の論議世界は実数のすべてから成る集合。

>>342
¬(x>4)の論議世界は？
(x>4)∧¬(x>4)の論議世界は？

>>343
それって定義域じゃん
定義域は制限されることも拡張されることもあるんだけど
x>4→|x|>4
の論議世界にx=√(-1)は入らないの？

"x>4である様な実数 x のすべてから成る集合"は、述語：[x>4]の論議世界ではなくして、
カテゴリー空間。

>>346
カテゴリー空間とはなんですか？

[P(x) ならば Q(x)]において、これが成立する為には P(x) のカテゴリー空間が Q(x) の
カテゴリー空間に包摂されることが必要充分であり、その場合、 P(x) の論議世界と
Q(x) の論議世界とが一致する必要はない。

>>348
P(x)のカテゴリー空間とは、P(x)を満たすようなxの集まりのことですか？
数理論理の言葉では真理集合と言います
勝手に用語作らないでくださいね

「∀x P(x)→Q(x)」の議論世界、というものは定義されますか？

述語R(x)を次のように定義します
R(x)=P(x)→Q(x)

R(x)の議論世界は定義可能ですか？

カテゴリー空間の例：−


述語「ｘは光の三原色のひとつである」のカテゴリー空間は、集合{赤い光，青い光，緑の光}。

>>349
P(x)のカテゴリー空間とは、P(x)を満たすようなxの集まりのことですか？
数理論理の言葉では真理集合と言います

そんなことは。百も承知だ。　

真理集合では都合の悪いことがある故、カテゴリー空間としたのだ。

「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[〜Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。

>>352
どんなことですか？

述語R(x)を次のように定義します
R(x)=P(x)→Q(x)

R(x)の議論世界は定義可能ですか？

任意の述型Ｐ(x) に対して「x とはαのことである」を＜x：α＞と書き、Ｐ(x) の型素(keiso)と呼ぶ。
Ｐ(α) が真であるとき、＜x：α＞はＰ(x) を満たすと言い、Ｐ(x) を満たすすべての型素からなる集合
を述型Ｐ(x) のカテゴリー空間と呼ぶ。一方、Ｐ(α)が意味を持つ様なすべての型素の集合をＰ(α)
の論議世界という。

一方、Ｐ(α)が意味を持つ様なすべての型素の集合をＰ(x)の論議世界という。

>>355
P(α)が意味を持つ、とはどのようなことですか？

>>357

術型P(x)： [ x > 4] に対して、[ 5＞4 ] は真であるから、P(5) は意味を持つ。
又、[ 3＞4 ] は偽であるから、P(3) も意味を持つ。

一方、[豚＞4] はナンセンスであり、P(豚) は意味を持たない。

>>356
意味を持つとは？論議世界とやらの元ってことでしょ？
結局
U⊃P∧U∋a
ってだけ
なんも面白くも無し

>>358
>一方、[豚＞4] はナンセンスであり、P(豚) は意味を持たない。
ただ定義域が拡張されているだけであってP(豚)にも意味はあります

ところでさ
P→Qが真であることの定義はU⊃Q⊃P
だったんだよね？
P∧QやP∨Qや¬Pが真であることの定義は？

>>360
＞P(豚)にも意味はあります

笑わせちゃあいけない。　[ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？　ｗｗｗｗ

>>358
ナンセンスであるかは誰が決めるんですか？
Heavenですよね？

>>362
>笑わせちゃあいけない。　[ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？　ｗｗｗｗ
成立しないということですが？

「豚が4より大きいということは成立しない」でなんの不思議もありませんが？

>>361
＞P→Qが真であることの定義はU⊃Q⊃Pだったんだよね？

P(x) の論議世界とQ(x) の論議世界とが一致する必要はない。

まあ定義域の拡張は一意ではないので
「豚が4より大きいということが成立する」
という拡張であってもなんの問題もありませんが？

>>366
君は集合としての包含って謂ってたんじゃない？
じゃあ定義をｗ

P→QとP∧QとP∨Qと¬Pの定義を早う

>P∧QやP∨Qや¬Pが真であることの定義は？

集合の共通部分、和集合、補集合でもって行う。

あと
>>215
はどうなの？

>>370
それが真であることが共通部分？？
共通部分って命題じゃないよ集合なんだけど
P∧QやP∨Qや¬Pが真であることの定義は？

訂正
>>369
>P→QとP∧QとP∨Qと¬Pの定義を早う
P→QとP∧QとP∨Qと¬Pが真であることの定義を早う

＞>笑わせちゃあいけない。　[ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？　ｗｗｗｗ
＞成立しないということですが？

偽であることと、ナンセンスであることとを混同してはいけないのこころよ。ｗ

>>373
＞P→QとP∧QとP∨Qと¬Pが真であることの定義を早う

自分でやりな、ｗ

>>374
ぷ
ナンセンスの定義は？

>>375
君の議論ではこの定義は存在しないんだな
アホラシ
下らなさすぎて死にそう

>>376

意味が無いってことだよ。おわかり？　ｗ

だいたい「豚>4」を論証から排除したければ
(R∋x)∧(x>4)
とするのがごくごく普通
（まあこれでもx=豚は有り得ますが)
無意味な定義「もどき」をいじり倒してもダメよ

>>378
猿がコンピューターを使っている、がナンセンスかどうかはHevenしか知らないんですよね？
どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？

>>378
君は→∧∨¬の真偽の定義さえも出来ないんだから
自分に意味がないことを自覚した方が賢明ですよ

>>299
＞エムシラ降臨

いかにも、余は、M_SHIRAISHI(俗にいう。エムシラ御大)だ。ｗ

以下、次の Web ページを読んでいることを前提とする。

http://www.ne.age.jp/x/eurms/

http://www.ne.age.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

入力ミス！

>>382のＵＲＬは。それぞれ、以下の入力ミス・

http://www.age.ne.jp/x/eurms

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

>>365
＞「豚が4より大きいということは成立しない」でなんの不思議もありませんが？

正気かい？

＞エムシラはただものではない・
＞その実力をみくびることは非常に危険だ。
＞かつて fj でコテンパンにやられた松芯痰の例もある・

>>382
＞→∧∨¬の真偽の定義さえも出来ないんだから

ソチに任しただけの話だ。ｗ

>>354
＞R(x)を次のように定義します R(x)=P(x)→Q(x) R(x)の議論世界は定義可能ですか？

ソチはどう思う？

任意の述型Ｐ(x)のカテゴリー空間をＣx{Ｐ(x)と書き。
仮言命題「Ｐ(x) ならば Ｑ(x) である」を [Ｐ(x) ⇒/x/ Ｑ(x) ]と書き、「Ｃx{Ｐ(x)」⊆Ｃx｛Ｑ(x)」と定義する。

仮言三段論法の原理は、

[Ｐ(x) ⇒/x/ Ｑ(x)]&[Ｑ(x) ⇒/x/ Ｒ(x)]⇒/p,q,r/[Ｐ(x)⇒/x/ Ｒ(x)]｛Ｑ｝

として定式化される。

>>380
＞どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？

全部わかるってわけじゃないよ。ｗ

>>380
＞どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？

ここだけの話だが、実は、神なのだ、ｗ

>>392
豚＞4がナンセンスであることはなぜわかるんですか？

>>393
つまり、意味とはあなたの主観により定まるものと考えて良いですか？

対偶律は、RL(the Reformed Theory Logic)では。[Ｐ⊃Ｑ]⊃[〜Ｑ⊃〜Ｐ] ではなくて、
[Ｐ(x)⇒/ｘ/Ｑ(x)] )⇒/p,q/ [〜Ｑ(x) ]⇒/ｘ/〜Ｐ(x)] と。正しく、定式化される。

”２より大きい実数”の意味は、主観によらない。

ただしい対偶律の意味も主観によらない

「豚が４よりおおきい」ことがナンセンスであることも主観によらない。

＞ どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
＞
＞ 例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
＞ と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
＞
＞ そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
＞ こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
＞
＞ M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformation は、おそらく、世界を
＞ 席巻することとなろう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

>>398
でも、猿がコンピューターを使っている、は主観によるんですよね？
神はどちらかは知っているみたいですけど

10年以上同じことをしてる構ってちゃんエムシラ

背理法の原理は、フレーゲアン理論では、 (〜Ｐ⊃Ｑ＆¬Ｑ)⊃Ｐであると信じられて来た。
しかし、これは誤りであって、正しくは、[[P(x)&¬Ｑ(x)]⇒/x/0(ｘ)］⇒/p,q/［P(ｘ)⇒/x/Q(ｘ)］である。
但し、0(ｘ) は x に関する矛盾を表わす。”x に関する矛盾”とは、例えば、x が実数の
場合、 [x>2]&[x<0] などである。

論理学には２４００年に及ぶ歴史があるのだ。　１０年そこらもののかずではないわ。＼(-ｏ-)／