大学学部レベル質問スレ 9単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 8単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1500294768/

グラフ理論で距離の対称性を証明したいのですが、教えてください

任意のu,v∈Vについて、
d(u,v)≦d(v,u)
d(u,v)≧d(v,u)
を証明すれば、対称性を示せると思うのですがどのようにして示したら良いのでしょうか

また、距離空間では距離の定義であると書いてあったりしますが、グラフ理論において対称性は定義なのですか、、、？
もしそうであれば、話が本末転倒なのですが、、

無向グラフなら、u-v道からv-u道をつくれることを示せばいいのでは

うるせえ黙れ

なぜ位相空間というものを考えるのですか？
群は対称性を表す基本概念だから考察する理由はなんとなく分かるのですが。
やわらかい幾何？なぜそういうものを考える必要性があるんでしょう？

定義域Dで定義された2変数の連続関数f(x,y)を考えましょう
これが最大値や最小値を持つかどうかを調べたいとします
1変数の場合には、閉区間であれば最大値や最小値を持つという最大値の定理がありました
同様にして2変数の場合も、閉区間のようにDが端っこを含む場合はfは最大値や最小値を持つということが予想できます

しかし、端っこを含むとはなんでしょうか？また、それはどのようにして証明できるものなのでしょうか

位相の考え方を使うと、1変数と2変数、どちらの場合も、コンパクト性は連続写像によって保存される、という一般論として記述できるのです

端っこを含む含まない、といった曖昧なイメージも表現することができるのです
また、距離の概念のない集合があったとしても、位相を入れることにより、端っこの有無などというものがちゃんと定義できるんです

結局、位相は便利なんですね、色々と

>>5
位相幾何と位相空間論をごっちゃにしてると嵌るぞ

勉強したくないだけだろ

>>6
１変数２変数という話がでてきてますが、実数の直積R^nの部分集合程度なら抽象的な位相空間論など持ち出さなくても
開集合と閉集合やコンパクト性は定義できますよね。
私の質問はなぜそういった概念を抽象化する必要があるのか、なのです。
抽象化することによって得られるメリットが知りたいのです。
R^nの部分集合でかけるもの以外の位相空間が
わかりやすいもので言うとどのようなものの役に立っているんでしょうか。

不要だと思えば勉強しなければいいだろ

学部で勉強するくらいの内容だから不要でない可能性が高いが、
その価値や理由を知っておくことくらいは重要じゃないのか？
というかそもそも説明する気もない方には聞いていない。

>>9
一見異なるものを同じように扱うため

ルベーグ積分とか多様体で使うから

>どのようなものの役に立っているんでしょうか。

代数幾何

つべこべ言わずに勉強しろ

数学史的に位相空間論って多様体や代数幾何を扱うために必要だからでてきて研究されてきたの？

確率論の問題を教えてください

N={1,2,...}とする.θを正の定数,p≧1とする.確率空間(Ω,Ϝ,Ρ)上で定義された確率変数
X_1,X_2,X_3,...,N_1,N_2,N_3,...
は独立であるとし,各j∈Nに対してX_jの分布は確率密度関数
1/θexp(-γ/θ) (x>0)
を持ち,N_k(k∈N)は
P[N_k=y]=2^(-y) (y∈N)
を満たすとする.
n∈Nとする.t>0の関数
F_n(t)=Π[k=1,n]
{Π[j=1,N_k]1/texp(-X_j/t)}
を最大にするtの値をT_nで表す.n→∞のときT_nが概収束かつLp収束することを示せ.

読めるように書け

>>13　>>15
結局、位相空間論って多様体論などで使うからやっているだけで、それだけではありがたみは説明できないものなのですか？
実をいうと既に勉強済みなんですが、脳無しの物理屋にそんなのやって何がおもしろいんだと言われて良い説明が思い浮かばないので聞いてます。
あいつらは理論を抽象化するということをしないから、ただ一般化しましたじゃ喜びは伝えられないし、
理論の一般化や抽象化は具体的な問題を解くために行われるものだと聞いたことがあります。
あと高校数学で言えばベクトル理論は内積を使うと仕事量の計算に役立つとか
微積分学は高速道路の曲率が連続になるように計算するのに使えるとか
ありがたみが素人でもわかる説明ができるけど、
位相空間論でそういう素人でもありがたみが分かるような説明の仕方とかないものでしょうか。

穴の数でも数えたら？

後出しワロタ

>>20
結局、ベクトルは内積を使うためにやっているだけで、抽象ベクトル空間だけではありがたみは説明できないものなんですか？

それなら物理(理論物理)の本でも見ればいいだろうが

>>21
穴の数って数えて正直なにがおもしろいんでしょう。分類理論で役立つのはわかりますが。

>>23
なんで一例を挙げただけなのに「ベクトルは内積を使うためにやっている「だけ」」という話になってしまうのかというつっこみは置いておいて、
扱いたいベクトル空間はそもそも数ベクトル空間だけじゃなく、関数空間とかもそうですからね。
量子力学でやる波動関数の空間は関数空間ですし。

>>24
理論物理と一言でいってもいろいろ分野があるのですが、どの分野の本でしょうか？

ヒルベルト空間にも内積入ってますよね
抽象ベクトル空間の理論それだけではありがたみは説明できないものなのですか？

オマエ自身が感じてないなら説明できるわけがない
説明できる相手は同じ事を感じる人だけ
無意識に感じてることを自覚させる説明のみ
視覚聴覚など他の感覚でも同じ事よ

数の収束だけでなく、関数の収束を考える必要が出てくる。
関数は無限次元なので、R^nでは不十分で距離空間とかが必要となる

関係Rと関係Sの合成って一般的にはS○Rって書きますよね
なんで純粋にR○Sとしないのですか？

どっちでもいいよ

左に係っていくほうが感覚にあってる

あ

>>29
俺はS⚪︎Rだな

ああ逆だR⚪︎S

関係の合成って何？

関数の合成の拡張
aRbScとなるときをaRScと定義

サンクス

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1322828288
誰かこの質問に答えてくれ。知恵袋ですでに別の人が質問してたけど回答になっていなくて未解決になってる。
>>
多様体についての質問です。
局所座標とはなんですか。ただしここで考える多様体は、Rn(n次元数空間のこと)に含まれているとします。(もっといえばk次元Cr級多様体です)
「k次元Cr級多様体の一点pにおいて、fをpのまわりの局所係数とするとき、xi=ui○f-1とおいて(x1,x2,・・・,xk)をpのまわりの局所座標という」と書かれています。(f-1はfインバースのことです)この合成の意味がよく分かりません。

多様体入門を読め

なるほど、松島多様体の方が丁寧でわかりやすいんですね、ありがとうございます

どう考えても松本

丁寧さでいったら多様体の基礎じゃないの
冗長って意見もあるが

同じ本を持ってる奴にしか意味の分からん質問をする馬鹿

>>38
R^n（の開集合）を多様体に（適当に連続変形して）貼ってるだけの話に見えるが……？

それ以外に無いわな

「座標」というとユークリッド平面の「グローバルな」座標しか考えられないので、「局所」とはなんぞや、ということなのかな？

座の標なんて言うと寄席の座布団を連想する

数学はいい、ボケ防止に

なりません

複素関数の不定積分が分かりません。留数は使いません。
1/(z^2+1) (2<|z|<4 負の実軸を除く)

arctanをlog使って書けば良い

2の(1)と(2)がわからないです。
とりあえず(2)はp>2のときは1になるってわかったんですが、p<2のときがわかりません。
(1)においては何をやったらいいのかもわからないです。
お願いしますm(._.)m
https://i.imgur.com/kmT7Sok.jpg

貼った物を見るなんて危険な事はしない

おまえのPCはWindows95か？

そういう危険しか知らんと酷い目に遭うぞ

むかし複素積分とか留数定理とかわけの分からん計算散々やらされた想い出
出来なくて単位落とした人らは留年したり大学を去って行った
就職した職種が違ったからかしらんが結局一生使わなかった
あれは本来は何のためだったのだろうか
分かるおっさん居る？

雑談スレへ

>>56
何の為って複素積分を計算する為だよ？

そもそも何でその進路を選んだんだ？

>>56をみて「プログラムは思った通りには動かない、書いた通りに動くのだ」って言葉を思い出した

>>59
どの分野に進むにせよ2年までの教養でそういう基礎数学などの演習をやらざるを得ないからな
大学によっては入学時に電子だの電気だの通信だのと分けられてるみたいだけど
土建屋に行くか車屋さんに行くか通信事業に行くか電力会社に行くかすら進路未定の学生たちが2年次までは同じクラスで学び
複素積分や代数みたいなこれ何のために勉強するのみたいな面白くもない高校の続きな演習問題をひたすらやって
そして少なからずの学生がドロップアウトして辞めていってたw
尤も結局はそのどれでもない文転に近い方向に行ったが

>>61
それって、あんたらが本当に行くべきだったのは
少しでも進路の選択肢を増やす可能性を探るための大学じゃなく
将来の業務に関係あることだけ教えてくれる職業訓練校だった
ってだけのことでは？

>>62
それ、、
やりたいことを大学1年の一学期始めに同級生に打ち明けたらそいつから言われた言葉と奇しくも同じだw
そうなのかなあ
高校生までは何やりたいかなんて医師や弁護士みたいな専門職目指す以外は想像もつかないからなあ

複素回線

この国の大学では職業訓練はできない
この国の企業も大学にそれを求めてない

私大「せやろか？」

>>65
いや、即戦力求めてる
メーカー訪問で「××の設計は出来る？じゃあ○○は？」って訊かれたの
そんなもの卒検でもその専門ズバリの研究室(学内で一つだけ)でないとやってないわw
しかもうちはそこですらそんな実業的ことやらない

>>67
>いや、即戦力求めてる
全然求められてないがなｗ

>>68
普通の大学では設計とかやるの？

>>67
そうね
だから企業が即戦力を求める場合は大卒以外の人材をあたるのです

馬鹿の妄想話、いつから企業の人事がこのスレにいるようになった（笑）

居ちゃいかんのかね？

即戦力なんて求めてんのかね？

出会って2秒で即戦力

就職率を売りにしてる就職予備校もとい大学とかあるやん

あとワードとエクセルくらいは使えんといかんでしょ

使い捨て力じゃねーの？

>>75
就職率と即戦力には実は相関はない

関数と数に同じ記号を使うのが気に食わないんだが
x=x(t)みたいなの

x=x(t)を「xとx(t)は等しい」と読むからおかしくなる
それは「関数xの独立変数をtで表す」と読むんだよ

>>79
同じほうが記号増えなくていいよ

河東泰之氏と油井亀美也氏はどっちの方が頭が良いのでしょうか？

複素数の範囲で双曲線関数
w=cosh(z)=(e^(z)+ e^(-z))/2
の逆関数を求める際、zについてといて
z=ln(w+√(w^2-1))
となると思うんですが複素数をlnのなかに入れるなら正にする必要はないので
z=ln(w±√(w^2-1))
とならないのはなぜでしょうか？

ユークリッド空間 R^n の部分集合 M で

M^af が M^f の真部分集合となる例を挙げよ。
M^iff が M^f の真部分集合となる例を挙げよ。

ただし、

M^i は M の内部
M^a は M の閉包
M^f は M の境界

とする。

ユークリッド空間 R^n の部分集合 M で

M^af が M^f の真部分集合となる例を挙げよ。
M^if が M^f の真部分集合となる例を挙げよ。

ただし、

M^i は M の内部
M^a は M の閉包
M^f は M の境界

とする。

有理点全部の集合と一点だけの集合

>>86

ありがとうございました。

M ⊂ N ⇒ M^f ⊂ N^f

が成り立たないというは意外じゃないですか？

より広い集合の境界はより広い

ような気がしませんか？

>>83
> z=ln(w+√(w^2-1))
> となると思うんですが
ならないでしょというか
なるでしょというか
√を1価にするか2価にするかの違いよ

>>83
＋と−のどちらも解となりうる
両方を選んだら多価関数となるが、一価関数が求められている場合は主値としていずれかを選ぶ

↓ M が「普通の」集合のときには、

M^af = M^f

になるような気がするのですが、どうですか？


ユークリッド空間 R^n の部分集合 M で

M^af が M^f の真部分集合となる例を挙げよ。
M^if が M^f の真部分集合となる例を挙げよ。

ただし、

M^i は M の内部
M^a は M の閉包
M^f は M の境界

とする。

↓ M が「普通の」集合のときには、

M^af = M^f

になるような気がするのですが、どうですか？


ユークリッド空間 R^n の部分集合 M で

M^af ⊂ M^f が成り立つ。

ただし、

M^i は M の内部
M^a は M の閉包
M^f は M の境界

とする。

↓ M が「普通の」集合のときには、

M^af = M^f

になるような気がするのですが、どうですか？


M をユークリッド空間 R^n の部分集合とする。このとき、

M^af ⊂ M^f が成り立つ。

ただし、

M^i は M の内部
M^a は M の閉包
M^f は M の境界

とする。

境界は閉包から内部を除いたものですからどんな集合においても成り立ちますね

>>88
実数直線Rで，通常の位相，
M=(0, 1)
N=(0, 2)
とするとき，
M^f=?
N^f=?
って考えてみれば？

質問です。
ベクトル空間の公理なのですが、どの公理もほかの7つの公理から証明できないことを証明したい（7つは真で結論が偽と解釈できるストラクチャーが存在することから、健全性定理より導出図が存在しないことになり、証明できないことが証明できる)
のですが、そのことが載っているpdf や本はありますでしょうか？

M^f=ｆMf^(-1)
(1,2)^s3 ==>[(1,2),(1,3),(2,3)]
s2^s3 ==> Group((2,3),Group([1,2],Group(1,3)

＞「エビデンス？　ねーよそんなもん」！
教科書検定問題や売春婦問題(KY珊瑚事件は意図的な捏造)など裏取りをしない記事が世間を騒がし日本の国益を大いに損うことが山ほどあるが、今回高橋純子という政治部次長経験者の論説委員が記事の裏取りを否定したのである。
クオリティペーパーを自称する朝日新聞に取っては自殺行為という他はない。
報道機関としての朝日新聞は死んだ。この発言をもって自殺したのである。

>>89
>>90
±にした場合も間違いではないと言うことで安心しました
https://i.imgur.com/ol7gVZe.jpg
と言うことはこの問題の答えは間違いと言うことですかね？(はじめのカンマまでが問題、そのあとが答えです)
これは双曲線関数ではなく三角関数の逆関数を使って解いてあるのですがルートの前をプラスでしか考えてないみたいです
ルート前を±にするならπ/2 +2nπ,3π/2 +2nπという見知った答えが出てくると思うのですが

>>96
>ほかの7つの公理
てなに？

束論はなぜ廃れたのでしょうか？

>>96
ベクトル空間くらいなら自力でモデル作れるだろ
けっこう面白い物が作れるから試してみな

(2)(x+y)+z=x+(y+z) (∀x,y,z∈V)
(3)∃0∈V s.t. x+0=0+x (∀x∈V)
(4)∀x∈V ; ∃x'∈V s.t. x+x'=x'+x=0
(5)k(x+y)=kx+ky (∀x,y∈V, ∀k∈ℝ)
(6)(k+l)x=kx+lx(∀x∈V, ∀k,l∈ℝ)
(7)(kl)x=k(lx) (∀x∈V, ∀k,l∈ℝ)
(8)1x=x (∀x∈ℝ)
が成り立つとき、次が成り立つことを示せるので違いました
(1)x+y=y+x (∀x,y∈V)

>>102
公理1個ずつにそれだけ成り立たないモデル作るの？

8つだけだから

学部レベルではなく，教養教育レベルなのですが…
スレが見つからなかったので質問させてください…

線形代数学，行列の符号判定問題についてです
A=[ 1 2 3 1 ; 2 5 4 2 ; 2 4 5 1 ; 1 2 1 -1 ] (;は改行を表します)となる4次正方行列の符号判定です

主対小行列式を用いて解く問題なのですが，
|A_1|=1
|A_2|=1
|A_3|=-1
|A_4|=0となり，定理を用いると不定符号となります．

しかし，問の解答には「半正値」と表記されております
私は誤植だと思うのですが，もし，私の解法にミスがありましたらご教授願います！

長文失礼致しました．

>>106
固有値計算してごらんな

>>107
返答ありがとうございます．
言葉足らずでした．
問題の趣旨として，固有値は用いないで解く，とのことなので
主対角小行列式による解法の正誤を教えていただきたいです…

いや、固有値計算した結果見たら誤植かどうかわかるだろw

>>109
確認いただきたいのは，誤植か否かではなく，解法の正誤です

>>110
正誤なら真の回答と比較するでしょ？
真の回答は固有値で分かるわけで

人に聞くより先ず確認できることを確認してからだよ

だって解法として正しいかどうかは結局それを確認することなんだから
その作業を他人にやらせる前に自分で確認してから質問でしょうに

>>111-113
色々言葉足らずでした
論点がずれてしまっているようですが…
固有値の確認は出来ています
誤植云々は正直どうでもよく，お聞きしたかったのは
|A_1|=1
|A_2|=1
|A_3|=-1
|A_4|=0
が果たして合っているのか，またそれは(定理によって)不定符号であるのかを確認していただきたかったのです．

自己解決いたしました．
拙い質問で誠に申し訳ございませんでした．以後気をつけます．
ご対応，ありがとうございました．

|A_1|=1
|A_2|=1
|A_3|=-1
|A_4|=0
が何を計算したのかわからない

lim (x → 0) 1/(1-e^(-x)) - 1/x = 1/2

上記の式の等式の導き方が分かりません
lim (x → 0) (e^x-1)/x = 1　を使うことは察しがつくのですが
どう変形すれば良いのやら。誰か助けて

ちなみに、サイエンス社から出版されている野本/岸の解析演習の
p138の問題5.2 1.(9)の解説にある数式です

>>116
ロピタルでいいんじゃね

かっこわるｗ

e^(-x) をテイラー展開すれ

なるほど。ロピタルは分からなかったけど、テイラー展開でいけた
参考書にまだテイラーが出てきてないから問題集のその部分だけ飛ばして先に進んでたわ
皆、ありがとう

ロピタルは頭使わなくていいぞ
ロピタルよりテイラーのほうが汎用的であるという意見はわかるけど
ロピタルは考えなくていいから楽よ

何も考えずにロピタルを使うと失敗する問題が出されるから結局テイラーのがいい

すみません質問です。
線形代数の商空間が分かりません…Wikipediaとかを見ると「各要素を0に潰して云々」と書いてあるのですが、何が言いたいのかよく分かりません。
何か理解するコツなどありますでしょうか…

>>123
同値関係、同値類そして同値類の代表元、同値類の集合に定められる演算、
これらを把握しないと「潰す」の意味は掴めないと思うよ。

雪江代数を独学で読んでいるのですが分からないところがあるので質問させてもらいます

2巻の局所環の話なのですが、局所環(A,m),(B,n)でφ(m)⊂nとなるような準同型φ:A→Bを考えたとき、1∉φ^(-1)(n)なのでφ^(-1)(n)=mとなると書いてあります
これはなぜでしょうか？
そもそもなぜ準同型の逆写像を考えられるのかわかりません

ご教授お願いします

>>125
この文脈での記号φ^(-1)(n)は逆写像ではなく、
nの逆像と呼ばれる　集合　{x∈A| φ(x)∈n}　のこと。

それが分かったものとして、　1?φ^(-1)(n) なので　φ^(-1)(n) は真のイデアルとなり
更に　φ(m)⊂n から　m⊂φ^(-1)(n) 、そして
m　が極大イデアルであるので　φ^(-1)(n)=m　となります。

>>126
明快な説明ありがとうございます
理解できました

>>122
ロピタルは何度微分するか結局分からない
テイラー展開だと一発

テイラーの定理だろ

>>121
マジだ。勉強範囲がやっとロピタルに追いついたんで、そのやり方で解いてみたら
二回微分で簡単に1/2が出てきた。ありがとう

>>121
テイラー展開全然頭使わんやん

>>128
何次までテイラー展開すればいいのかは事前には判らない。
それが何回ロピタルするかと同じことだから、結局
チラシ裏の計算を答案に残すか否かの違いでしかない。
気持ち的には、テイラーが好きだけどね。
ロピタルは、教えこまれた公式臭が酷いから。

>>132
違いが出るところまでよ
テイラー展開はするモノじゃなくて
書き出すだけ
何も考えなくてイイ
微分は実にめんどくさい
やってみて初めてもう一度必要か分かる
何度やっても無駄かも知れないしな

コンパクトサポートな関数は一様連続
がわかりません
コンパクトである条件をどこで使っているのかがわかるような解説をいただけると嬉しいです
よろしくお願いします

εδ論法でδの下界を求める所に使う
δ近傍での被覆でコンパクトなら有限個で済むから最小値が求まる

連続性は不要（笑）

一般論でわからなければ具体例を考えてみればいい
R^nのとき有界閉集合(=コンパクト)上の連続関数は一様連続、これに有界性や閉であるという条件を落とせば連続であっても一様連続ではない関数は簡単に作れる

「座標」の定義って何なのでしょうか？

デカルト座標や極座標等々ありますがこれらを数学的にどう定義すればよいか分かりません。
座標、基底、ベクトル空間、ユークリッド空間、アフィン空間このへんのキーワードがゴチャゴチャして整理できません。曖昧な質問で申し訳ないですがどなたかよろしくお願いします。
参考文献の紹介だけでもけっこうです。

>>138
Wikipediaで間に合わんかいな？

束論は役に立ちますか？

>>138
まずベクトル空間をひとつ決めて、そこに基底を定義すれば各ベクトルは成分表示できる。
このとき位置ベクトルを導入して、位置ベクトルと空間内の点を同一視すれば、位置ベクトルの成分を空間内の点の座標として定義できるのではないかと！
基底の定義の仕方によってデカルト座標も極座標も定義できるのではないかと！

事実上局所ユークリッドから全部構築するような形になるんじゃないの？。

ランダムウォークの方をまず公理的に使ってすべてを定義した方が量子的な将来的な空間像に現代で出来る最善のやり方な気もするなあ。
基点と基点にたまたま戻ってきたことだけしか検知できない存在から創めて。

>>138
点に対応する値の組で充分やろ

タプルから構成するのもいいね。
グロタンディーク構成が同値類で割ったタプルなのをにちゃんで聞いたのを理解して感動したのを思い出す。

>>142
R^n(C^n)からの全単射（連続・微分可能・高階連続微分可能・解析・正則など）

>>139
>>141
>>144
ありがとうございました！納得できました。

集合の定義ってなんなん
いろいろさかのぼっていくと何でも数学の擁護って結局集合に行きつくんだけど
集合って言葉調べてもものの集まりとしか書いてないんだよね

やっぱそれ以上は数学も厳密にはできないんか

集合の公理を満たすクラスのことです

プログラミングかな？

ラッセルのパラドックスの集合は、集合だから矛盾が起きるのであってクラスだと考えれば問題ない概念です

今年はラッセル車が大活躍

>>148
すべては無定義述語に行き着く

H^{1}(S^{2}) ~= 0 を示すにはどうしたらよいでしょうか．

坪井俊・著「幾何学III」を独学しているのですが，p.64

(定理) k >= 1 で，H^p(S^{k}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2, H^{k}(S^{k}) ~= R が成り立つ．

マイヤービエトリス系列を使って数学帰納法で示す証明がありますが，アンカーケースとして
H^{1}(S^{2}) ~= 0 を別途示す必要があるように思われます．あるいは証明を誤解していて
帰納法の中で示せるのかもしれません．

自己解決できなて先に進めなくなっているので，ヒントでも教えていただけますとうれしいです．
教科書での証明のアウトラインとどこで詰まっているかを次以降のレスで書き出してみます．

(記号)
S^k: k次元球面, M1: S^k - 北極, M2: S^k - 南極, M12 = M1 && M2
H^p(M): M上のp次ドラムコホモロジ
Δ*: H^p(M12) -> H^{p+1}(S^k) : 連結準同型写像

(アンカーケース, k = 1の場合の仮定)
(1) H0(S1) ~= R
(2) H0(M1) (+) H0(M2) ~= R (+) R
(3) H0(M12) ~= R
(4) H1(M1) ~= R

(1)-(3)は0次閉形式は連結成分上で定数をとる関数であることよる．
(4)は H1(M1) ni α -> ∫α in R という同型写像を直接構成することでわかる．

(再帰 k >= 2として)
以下を仮定
(5) H^p(S^{k-1}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2
(6) H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R

このときマイヤービエトリス完全系列
H^{k-1}(S^{k}) -> H^{k-1}(M1) (+) H^{k-1}(M2) -> H^{k-1}(M12) -Δ*-> H^k(S^k) -> 0
は
H^{k-1}(S^{k}) (10) -> 0 (7) (+) 0 (7) -> R (8) -----> H^k(S^k) (9) -> 0
と同型である．

ここで M12 ~= [0,1] x S^{k-1} なので，H^{k-1}([0,1] x S^{k-1}) ~= H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R
より(8)を， M1 ~= (k-1)次円盤とポアンカレの補題より (7) を得ている．

したがって，(9) H^k(S^k) ~= R, (10) H^{k-1}(S^{k}) ~=0, [さらに低次へ系列を巻き戻して]
(11) H^p(S^{k}) ~=0, for p = 1, ...., k - 1.

これで (5),(6)で k <- k + 1としたものが成立することが示された．

(私の理解と疑問)
(9) について．
完全系列であることより im(Δ*) ~= ker(->0) = H^k(S^k)．
また，dom(Δ*) ~= H^{k-1}(M12) ~=R よりも im(Δ*) の方がランクは小さいか等しい
よって，H^k(S^k) ~= 0 または H^k(S^k) ~= R.

いっぽう，S^k のk次完全形式 ω=dηの積分は 0 (ストークスの定理)．
したがって，2つのS^kのk次(閉)形式α,α'が同じコホモロジー類に族する場合，その積分値
は一致し，積分値が異なる場合は別のコホモロジー類に属する．
S^kのk次(閉)形式でその積分が0でない実数値をとるものを2つ以上つくれるので，
H^k(S^k) ~= 0 はありえない．よって H^k(S^k) ~= R である．

(10)について
H^{k-2}(M12) ~= H^{k-2}(S^{k-1}) ~= 0 ((5)でp = k - 2の場合) より
系列をさらにさかのぼって，
H^{k-2}(M12) -Δ*-> H^{k-1}(S^{k})
は
0 -Δ*-> H^{k-1}(S^{k})
と同型．(9)と同様にランクを考えると，H^{k-1}(S^{k}) ~= 0.

しかし，こう考えて再帰を辿ると，これとは違う方法で
H^1(S^2) ~= 0
を示さなければならなくなる．これはどうすればよいか?

>>151
ん？
クラスは自分を含まないからイイってこと？
クラスの集まりを考えたりしてもいいんだけど
クラスのクラスのクラスのクラス･･･で矛盾が起こらないのね？

>>148
「モノの集まり」というしかないね
究極には数学の概念は無定義/天与とならざるを得ない
それが皆の（数学者の）直観に合致していれば受け入れられるってこと

>>155
S^n=D1^n∪D2^n
S^(n-1)=D1^n∩D2^n
で

ドラムでないなら単体分割で終い

H0Sn=Z(n>0)orZ+Z(n=0)
HmDn=Z(m=0)or0(m>0)
HmS0=Z+Z(m=0)or0(m>0)
0->H0Sn->H0Dn+H0Dn->H0Sn-1->H1Sn->H1Dn+H1Dn->H1Sn-1->H2Sn->
n=1
0->Z->Z+Z->Z+Z->H1S1->0->0->H2S1->0->0->H3S1->0->0
HmS1=Z(m=0,1)or0(m>1)
n>1
0->Z->Z+Z->Z->H1Sn->0->H1Sn-1->H2Sn->0->H2Sn-1->H3Sn->0->
H1Sn=0
Hm-1Sn-1=HmSn(m>1)

>>160 >>161
ありがとうございます．鮮やかですね．しかし，完全系列を0やZで置き換えるところまでは理解できましたが，
その結果から H1Sn=0 を推論する論理がわかりません．
# 教科書でも類似の推論が使われている箇所がありますが「この系列が完全だから」としか書かれていません．

ドラムじゃなくて特異ホモロジーは計算したことないの？

はい．ないです．この本の2章の「ドラム・コホモロジー」で初めてホモロジーという用語を知りました．
3章「微分形式の積分」で特異ホモロジーを扱うことになっていますが，先にこっちを読んで
戻ってきた方がよかったりしますか?

{a} ⊂ A ⊂ {a, b} ⇒ A = {a} または A = {a, b}

これを証明するとすると、どうやって証明するんですか？

(1) A = {a, ...}
(2) A = {} または A = {a}, A = {b}, A = {a,b} のいずれか．

(1),(2)をともに満たすのは A = {a} または A = {a,b} に限られる．

デデキント整域Aにおける素イデアル分解の証明のところの質問なのですが
任意の分数イデアルⓑに対して共通分母ｄ∈Aを取ってくると
ⓑ＝（ｄⓑ）・（Ad)＾（−１）
の等式がわかりません（⊂はわかりました）
イデアルと元の区別のためにⓑを使いました読みにくかったらすみません
ちなみにサミュエルの63ページです（数の代数的理論）
わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします

db=dA・b なんだから当たり前

そうだそうだそうですねありがとうございます

>>165
ドラムなら>>162でZをRにして終い

>>166
結論が「…または…」の場合は片方を否定した場合で考えれば良い
たとえば、(A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒A={a,b} を証明する
A={a}⇔(a∈A)∧(∀x∈A[x=a]) だから A≠{a}⇔(a∉A)∨(∃x∈A[x≠a])
従って
(A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒(a∈A)∧(∃x∈A[x≠a])∧(A⊂{a,b})
⇒(a∈A)∧(b∈A)∧(A⊂{a,b})⇒A={a,b}
となる

>>167
>>172

ありがとうございます。

{(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)}

=

(A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C)

を示してください。

{(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)}

⊃

(A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C)

を簡単に示すことはできますか？（場合分けをできるだけ少なくするなど） 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

0<β<α を満たす任意の α, β について
u∈H^α ⇒ {(‖u‖_α)^(β/α)}{(‖u‖)^(1-β/α)}
を示せ。(H^αはハーディ空間)

をどなたかお願いします...
ヘルダーの不等式を使うのはなんとなくわかるんですけど...

>>174
いったん積和か和積かにするのが確実
{(A∪B)−(A∩B)}∪{(B∪C)−(B∩C)}
={(A∪B)∩¬(A∩B)}∪{(B∪C)∩¬(B∩C)}
={(A∪B)∩(¬A∪¬B)}∪{(B∪C)∩(¬B∪¬C)}
={(A∪B)∪(B∪C)}∩{(A∪B)∪(¬B∪¬C)}∩{(¬A∪¬B)∪(B∪C)}∩{(¬A∪¬B)∪(¬B∪¬C)}
={A∪(B∪B)∪C}∩{A∪(B∪¬B)∪¬C}∩{¬A∪(¬B∪B)∪C}∩{¬A∪(¬B∪¬B)∪¬C}
={A∪B∪C}∩{T}∩{T}∩{¬A∪¬B∪¬C}
={A∪B∪C}∩{¬A∪¬B∪¬C}
={A∪B∪C}∩¬{A∩B∩C}
={A∪B∪C}−{A∩B∩C}

>>176

ありがとうございました。

幾何学の開集合、閉集合の判定についての問題です。
現在、ユークリッド位相の開集合、閉集合の判定について学んでいますが、いまいち理解できてません

例えば
ユークリッド位相をもつ実数直線Rに対して、
(1)(0,1)U(3,4)
(2)[0,1]
(3){1/2n+1 n€N}
(4)NU{√3}
(5){0,1,2}
(6)[0,1]U(2,3)
(7)(0,1)U[2,3]
(8)Z
(9)Q
(10)R-{0,1}
(11){n+√2 n€Z}
それぞれRの開集合か閉集合か判定し、閉集合でないと判定したものに対して、その閉包を求めよ。
また、(0,1)が(1)の開集合か閉集合か判定しろ。

という問題で、開区間同士の和集合は開集合になる といった解法だけで過ごしてきた結果、それ以外が出てきたときに解けなくなりました。
開集合や閉集合の判定、閉包の求め方を教えてください。

>>178
各店の適当な解禁棒を含むのが開集合
保守都合が会なのが閉鎖
それで大方ガタック

>>178
(3)0は触点(0を含む開集合と(3)の集合は必ず交わる)
(3)∪{0}が閉包
閉包と自分自身が一致しないから閉集合でない
内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない

(4)...∩[0,1]∩[1,√3]∩[√3,2]...だから閉集合

(5)1点集合は閉集合
閉集合の有限和は閉集合

(6)(7)閉包[0,1]∪[2,3]
閉でも開でもない

(8)...[-1,0]∩[0,1]∩[1,2]...だから閉集合

(9)任意の点は触点
閉包はR
自身と閉包が一致しないから閉集合でない
内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない

(10)1点集合の有限和{0,1}は閉集合
閉集合の補集合は開集合

(11)... [-1+√2,√2]∩[√2,1+√2]∩...
閉集合

A, B, A', B' を有限集合とする。

A ⊂ A'
B ⊂ B'
#A' = #A + 1
#B' = #B + 1
A は B' の真部分集合
B は A' の真部分集合
A ∪ B ⊂ A' ∩ B'

とする。

このとき、

A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。

訂正します：


A, B, A', B' を有限集合とする。

A ⊂ A'
B ⊂ B'
#A' = #A + 1
#B' = #B + 1
A は B' の真部分集合
B は A' の真部分集合

とする。

このとき、

A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。

>>178
教科書読まずに問題やるタイプか
定義くらいは読んどけよ

>>180
ありがとうございます！！
めちゃめちゃわかりやすかったです

>>183
大学の数学の教科書、読んでも理解できないんです泣 なんとなくイメージが取りにくいというか、、

実数直線R上に次のような部分集合族をあたえる
{O€R l x€O x2乗€O}

(1)この位相に関して、Rの3つの部分集合{1},(0,1),(0,2)がRの開集合か否か判定し、開集合でないと判定にしたものについてその理由を簡潔に述べよ。
(2)この位相に関して、Rの空でない有限部分集合で開集合になふのは全部で5つ。その全てを上げよ。
(3)この位相に関して、(-1/2,1/2)の兵法を求めよ。


178のような問題は解けるようになったのですが、上記のような条件が出された際の問題が解けないです。
どのようにしたら解けますか？

{1},(0,1)は開集合
(0,2)は開集合でも閉集合でもない
定義よりある元の2乗もその集合に入っていれば開集合となるから

{0}{1}{0,1}{1,-1}{0,1,-1}

触点を求める
xが0,1,-1以外の時、xを含む最小の開集合は{x,x^2,x^4,...}とかける
これに(-1/2,1/2)内の値が含まれるxが触点となる
(-1,1)

>>185
開集合をイメージできたら終いよ
開集合は各点の適当な開近傍を含むという定義
各点でどうなってるかいちいち見てやるだけ
閉は開の補集合あるいは点列の極限を全て含むことを確かめたら終い

自然数の定義は、

0 := φ
n + 1 := n + {n}

みたいに定義します。

このとき、自然数 m, n に対し、

m ⊂ n と m + 1 ⊂ n + 1 は同値であることを示せ。

その解答が、以下です。

m ⊂ n とする。

1. より、 m + 1 ⊂ n + 1 でなかったとすると m ⊂ n ⊂ n + 1 ⊂ m + 1（かつ n + 1 ≠ m + 1)
である。よって m = n となり矛盾である。 m + 1 ⊂ n + 1 とする。 2. より、
m ∈ m + 1 ⊂ n + 1 ⊂ P(n) だから m ⊂ n である。

1. とは「自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序である」ことです。
2. とは「自然数 n に対し、 N ∩ P(n) = n + 1」であることです。

自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序であることは明らかではないでしょうか？

0 := φ
1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ}
2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}
3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}}
…

なので、明らかです。

0 := φ
1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ}
2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}
3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}}
…

のようにして自然数は作られていきます。

ですので、 m, n を自然数とするとき、

より早く作られた自然数はより遅く作られた自然数に含まれるのは自明です。

自明であるといって済まさない。
かといって、公理から自然数の理論を説明しているわけでもない。

非常に中途半端で害悪さえあるといえる書き方ではないでしょうか？

君は自然数に数学的帰納法が適用できることをいつ知ったの？

>>187
ありがとうございます！！

>>188
開近傍 っていうのは、ある位相空間Ｘとその要素xに対して、要素xを含むXの開集合を意味する
って教科書に書いてるんですけど、具体例がないのでイメージできないです。

例えば186の問題の(1)なら、開近傍はどのように取れるのですか？

その本の題名は？

>>196
それはダメ

とりあえずR^nで考えとけ

>>198
それはダメって何がダメなの？

>>194
大学一年で杉浦の解析入門の一巻を読んだ時に、その証明が鮮やかに書かれていて笑った
でも、あの本の序章のピークはそこだったなあ

>>196
近傍てのは周りのこと
ある点の近傍が開集合になってるとき、開近傍という
Rで考えれば、(-1,1)は0の開近傍
[-1,1]は0の近傍だけど開近傍じゃない

>>197 大学の教授が作ってコピーしてるやつなので、本になってないです泣

斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」

と書いてあります。

これはなぜなのでしょうか？

空集合から Y への写像がただ一つ存在するというのは分かりますが、
それがなぜ包含写像になるのでしょうか？

>>186
⊂　とか　∈　という記号は打てないの?

>>203
捨てなさい

{O€R l ∀x€O ∃ε>0 [x,x+ε)€O}

(1)Rの3つの部分集合[0,1) (0,1] (0,1)がそれぞれRの開集合か判定し、理由を述べよ

(2)Rの5つの部分集合[0,1) (0,1) {n/(n+1) l n€N} N Q の閉包をそれぞれ求め、理由も述べよ


みなさんのおかげで、なんとなく開集合がわかってきました
自分の理解の確認をしたいので、これの答え教えてください！

>>200
イメージ持つのが特殊

>>208
私は、
(1) [0,1)、(0,1]は近傍をとろうとしたら、0と1があって邪魔で取れないので、(0.1)だけが開集合である
という感じで解きました！
答えがないので、正解がどうかわからないです

分かって聞いてるのに答えるって無様ね

>>209
イメージって持たないほうがいいんですか？

>>185
定義を知らずに読むとそうなる
定義を読んだら自分で例を作って理解しとけ
自分で例を多く作ればイメージが出来る
これが出来なきゃ数学はできんから問題やるだけムダ

物理的な対応物がない求積に邁進する数3ベースの受験数学って素敵やん？

斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」

と書いてあります。

これはなぜなのでしょうか？

空集合から Y への写像がただ一つ存在するというのは分かりますが、
それがなぜ包含写像になるのでしょうか？

空集合はPの部分集合だから

Yの

問. 半群S(可換でなくても)において (ab)^m = a^m b^m が m=2, 3 で成立するならば、すべての mについて成立することを証明せよ。
(ヒント: m=2, n, n+1, n+2 のとき成立するならば m=n+3 のときにも成立することを示せ)
田村孝行, 半群論 (共立講座 現代の数学) p.4 より

半群ってのは群の公理のうち [単元の存在][逆元の存在] が抜けてるやつの事です。
ヒントに沿うどころか m=5 ですらお手上げでした。どうか証明をお願いします。
m=4 の場合
(ab)^4 = abab abab = aabb aabb
= aa aa bb bb = a^4 b^4

追記: 文脈上 a, b ∈ S は特別な a, b じゃなくて一般的な要素を表してると思います。

(ab)^(n+3)
= aba (ba)^n bab = aba b^n a^n bab [m=n]
= (ab)^2 b^(n-1) a^(n-1) (ab)^2 = a^2 b^2 b^(n-1) a^(n-1) a^2 b^2 [m=2]
= a^2 b^(n+1) a^(n+1) b^2 = a^2 (ba)^(n+1) b^2 [m=n+1]
= a (ab)^(n+2) b = a a^(n+2) b^(n+2) b [m=n+2]
= a^(n+3) b^(n+3)
一種のパズルだね

>>220
しゅ、しゅごい... 完全に理解できました。ありがとうございます。

ちょうど試行錯誤で m=5 が出来てたとこだったのでついでに貼っておきます。
(ab)^5
= abab[ab ab ab] = abab[aaa bbb] (∵m=3)
= ababa[aabb]b = ababa[abab]b (∵m=2)
= ab[a ba a ba]bb = ab[aa baba]bb (∵m=2)
= [a ba a ba] babb= [aa baba] babb (∵m=2)
= a[ab ab ab ab]b = a[aaaa bbbbb]b (∵m=4)
= a^5 b^5

行列X, A について
A = X^(-1) A X
が成り立つことを
これをただの微分方程式に当てはめると
X を dx 微分とすると
a = ∫ a dx
ってことになるの？

何の関係もない

a=(d/dx)∫adx なら、どうよ？

そもそも行列に関数や作用素を代入して意味があると思うのか
しかもこの場合同じ行列(空間の元)に作用素と微分形式という全く異なるものを代入してるし

作用素 X,A について A = X^(-1) A X が成り立つことを、
線型作用素 X,A にあてはめた場合と
微分作用素 X,A にあてはめた場合を比較したと考えたら
どうよ？

行列や作用素で A = X^(-1) A X は恒等式じゃなかろうに

>>225
単に次元(ランク)が違うだけでしょ

>>227
そりゃ恒等じゃないでしょ
相似行列ってことでしょ
微積だと相似微積方程式みたいな？

「実数x,aについてa=x^(-1)axが成り立つことを
これをただの関数方程式に当てはめると
a=hag(hはgの右逆写像、aは定値関数)
ってことになるの？」


もう一度聞くが、こんなことに意味があると本当に思っているのか？
んで「次元(ランク)が違うだけ」の意味も分からん
後はどうでもいいけど、∫adxはaという関数に積分作用素が掛かってるんだから比較するとしたらA=X^(-1)AXじゃなくてA= X^(-1)XAじゃね？

関数空間を無限次元ベクトル空間だと考えて、微分積分を線形写像と考えれば、微分積分は行列で表すことができるかと思います

N=2(n−1乗)×(2(n乗)-1)
2(n乗)-1 が素数のとき、NのN以外の約数の和を求めよ

これどうやったらええか分からないです。これの前の問題でNの約数の個数を求める問題があって、それは2n個と出せたのですが、、、、、

>>232
これは「大学学部レベル」ではないぞ
1,2,2^2, と、1×(2(n乗)-1),2×(2(n乗)-1),(2^2)×(2(n乗)-1)
という二つの有限等比数列の和からNを引くだけ

>>230
>後はどうでもいいけど、∫adxはaという関数に積分作用素が掛かってるんだから比較するとしたらA=X^(-1)AXじゃなくてA= X^(-1)XAじゃね？
だね

「よりみち33」が言っていることがよく分かりません。
解説をお願いします。


問題2.3.3

f : X → Y を写像とする。次の条件 (1) と (2) は同値であることを示せ。

(1) f は可逆である。
(2) 任意の集合 Z に対し、写像 f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は可逆である。

よりみち33

問題2.3.3 より、集合は、その集合から他の集合への写像が決まれば、
決まってしまうものと考えられる。このことを使って、集合を他の集合への
写像を使って特徴づけることを、普遍性（universality）による特徴づけという。

f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は、

Map(Y, Z) ∋ g → g 〇 f ∈ Map(X, Z)

という写像です。

>>235

は

問題2.3.3 より、集合（X や Y）は、その集合（X や Y）から他の集合（Z）への写像が決まれば、
決まってしまうものと考えられる。

という意味ですか？

まあそれでもいいんじゃない？

(∂u/∂t)+5(∂u/∂x)=0 (x＞0,t＞0)

u(x,0)=0 (x≧0)

u(0,t)=(t^2)*(e^t) (t≧0)


の条件下でu(x,t)を求める問題が分かりません…
学部二年生です

(1/25) (5t - x)^2 exp(t - x/5)

>>240
ありがとうございます！
導出もお願いします…

連投すみません
>>240
tが0のときxに関係なくuが0になりますかこれ

xyに線形変換
y=x-5t
ux=ux+uy
ut=-5uy
ut+5ux=5ux=0
u=fy=f(x-5t)
NG

斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

「X を集合とし、 (X_i) i ∈ I を X の部分集合の族とする。
X の元の族 (x_i) i ∈ I が、任意の i ∈ I に対し、 x_i ∈ X_i をみたすとき、
(x_i) i ∈ I は (X_i) i ∈ I の元の族であるという。

Π X_i = {(x_i) i ∈ I ∈ Map(I, X) | ∀i ∈ I x_i ∈ X_i}

は、 (X_i) i ∈ I の元の族全体のなす集合ということになる。これを、
集合族 (X_i) i ∈ I の積とよぶ。」

と書いてあります。

その後、選択公理のところで、

「(X_i) i ∈ I を集合族とし、任意の i ∈ I に対し X_i ≠ φ であるとする。
このとき、積 Π X_i も空集合でない。」

という箇所があります。

選択公理のところでは、 (X_i) i ∈ I は X の部分集合の族とは仮定されていません。
「積」が定義されているのは、 (X_i) i ∈ I が X の部分集合の族のときだけです。

これはごまかしではないでしょうか？

(X_i) i ∈ I は ∪ X_i の部分集合の族と考えるということでしょうか？

分かってる事を何故聞く

斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

「I が有限集合のときは、選択公理を仮定しなくても、任意の i ∈ I に対し
X_i ≠ φ ならば、 Π X_i ≠ φ である。これは、 I の元の個数が 2 以下
なら明らかであり、」

と書いてあります。

「I の元の個数が 2 以下なら明らか」と書いていますが、なぜ、
I の元の個数が 3 以上のときには明らかではないのでしょうか？

なぜ「2以下」と書いたのでしょうか？

積はまず2個で定義するから

>>248

でも斎藤毅さんの本では、まず I = φ のときに積を定義しています。

>>249
げソーナンスか

でも3以上で定義に使うのは本質的には2個の場合だからでしょうね

ただの自慢

斎藤毅著『線形代数の世界』を読んでいます。

n ≧ 0 を自然数とすると、
K^n = {(a_1, …, a_n) | a_1, …, a_n ∈ K} はベクトル空間になる。

という内容が書いてあります。

(a_1, …, a_n) と書いた以上、 n ≧ 1 でなければならないのではないでしょうか？


n = 0 の場合は、 K^0 は空写像からなる線形空間ということでしょうか？

空写像の和なんて定義できるんですか？

>>253
I=φで積を定義してるんでしょ？
K^0もそれで定義するから何が含まれるかあなたは知っているのでしょ？

知ってて質問する奴は荒らし

K^0 = {0} の2番目に出てくる 0 は空写像のことですか？
空写像の和など定義できるのでしょうか？

K^0 = {0} は単なる定義でしょうか？

K^n というのは {i ∈ N | 1 ≦ i かつ i ≦ n} から K への写像の集合ですよね？


ベクトル a : {i ∈ N | 1 ≦ i かつ i ≦ n} → K
ベクトル b : {i ∈ N | 1 ≦ i かつ i ≦ n} → K

に対して、その和は以下で定義される。

(a + b)(i) := a(i) + b(i)

n ≧ 1 ならば問題ありませんが、 n = 0 のときには、

a + b が定義できませんよね？

空写像 + 空写像 = 空写像
任意の K の元 c に対し、 c * 空写像 = 空写像

と定義すれば、 K^0 = {空写像} はベクトル空間になる。

ということですよね？

n ≧ 1 のときの K^n における加法やスカラー倍の定義を
n = 0 の場合には適用できませんよね？

いずれにしても、斎藤毅さんの『線形代数の世界』には問題がありますね。

そもそも空写像について説明していません。

>>258
その定義だと確かに3個以上を別にする必要ないような
まあそれはそれとして
その定義のベクトルは
v,w:I->K
であり
Δ:I->I×I
p:K×K->K
を
Δi=(i,i)
p(a,b)=a+b
としたとき
ベクトルの和は
p(v×w)Δ
のことです
I=φ
でも問題なく定義されるでしょ？

空写像の奴ここで相手されててよかったね

>>262

ありがとうございました。

log : {x ∈ R | x > 0} → R を対数関数とする。

このとき、

log(-1) = 1

は命題でしょうか？

log は正の実数に対して定義されているので、 log(-1) というのはナンセンスです。

だから、

log(-1) = 1

の真偽は問題にできないと思います。だから命題ではないように思います。

スカラー倍は
μ:K×K->K
を
μ(a,b)=ab
と定義して
a:I->K×I
を
a(i)=(a,i)
と定義して
μ(1×v)a
で定義するから
I=φでもなんの問題もない

>>249
写像を定義するのに積集合は使わずに素朴な定義でやってるの？

その人、数日前には空写像なんてものは存在しないと言ってた人だからね
厳密さに拘りまくって数学者に駄目出ししてやるぜ、ってなつもりなんだろうけど、それが錯覚だと気付いてない

理解力が無いと言葉尻しか追えないんさ

基礎論厨乙

>>267

f = (Γ, X, Y) を写像と定義しています。

https://imgur.com/sDQN178.jpg
https://imgur.com/KuG4vDI.jpg

↑2枚目の画像の赤線で囲ったところはおかしいですよね。

「A ならば B」は真である

が正しいですよね。

N=A ならば N=B

と書いてありますが、ナンセンスですよね。

N=A ならば B

が正しいですよね。

>>271
Γってたぶん``graph''からだろうから
(x,y),(x,z)∈Γ->y=z
が成り立つX×Yの部分集合のこと？なら積集合が写像より前に定義されているんだよね
なら
K^0,K^1,K^2の定義が{0},K,K×Kと同一視（同等）できることを見た上で
K^(n+1)とK×K^nが同一視（同等）できることを帰納的に証明するのかしら

AならばB が真 ⇔ Aが真 ならば Bが真

A → B が真 ⇔ Aが偽 または Bが真

ではないでしょうか？

>>276
N|=AならばN|=B
↑の「ならば」というのは、メタの意味で、数学で通常定義される「ならば」と同じです
すなわち、あなたの解釈で合っていますが、本が間違っているわけではありません

文脈がわからんからどうしょうもない

文脈も何も、数学で「ならば」といったら意味は一つしかないですよ

>>265
-1はR+の要素ではないので
(-1,1)はR+×Rの要素ではない
つまり
log(-1)=1
は偽の命題です

じゃあその意味を言ってみて？

考えにくければ
i∈R
が偽の命題だという認識を持つと良いでしょう
写像も只の集合なのですから
集合の要素であるかどうか
定義域や値域に入っていようが居まいが
真偽が定まります

>>281
私にですね？
その上に書いたではありませんか
(-1,1)∈log
が偽であるということです

>>281は>>279へのレス

>>284
すんません

>>284
>>276

>>286
それ、述語論理での話だろ？

>>287
数学でならばと言ったら、述語論理のこの意味しかあり得ません

あなたは何だと思ってたんですか？
この意味ではないと思っていたような雰囲気ですね

>>287

正しくはＡ→Ｂ⇔ Ａの否定∨Ｂ.　

>>289
そういう話ですか？
あなたのそれは、あくまで統語的な定義ですよね
今は意味論的な話をしているわけで、>>276でも問題ないかと思います
N-構造における論理式の解釈の話ですから

>>288 >>290
実無限を導入するかしないかで変わってくる。

>>291
自分の知っている言葉を並べるだけでは、わかっていることになりませんよ？

今関係ないですよね、そんなこと

余計関係ないけど、深夜の１時からここに貼り付いてるとか、ニート？

>>280

納得しました。ありがとうございました。

条件が偽だとどんな結論を持ってきてもその命題は真になるということが大発見であって笑
それを使えば数学の不完全な部分が指摘できる笑というひとが書き込みを続けているみたいだな。マルチで。

実無限を導入するかしないかで変わってくるんですか？笑

Π_{i ∈ I} X_i := {(x_i)_{i ∈　I} ∈Map(I, X) | ∀i ∈ I x_i ∈ X_i}

I = φ のとき、

Π_{i ∈ I} X_i := {(x_i)_{i ∈　I} ∈Map(I, X) | ∀i ∈ I x_i ∈ X_i}

はどう考えればいいのでしょうか？ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

x ∈ φ ⇒ log(x) > 0

は命題ですか？

繰り返しても答は変わらん

log : {x ∈ R | x > 0} → R を対数関数とする。

このとき、

log(-1) > 0

は命題でしょうか？

このスレは浄化中です。書き込みをお控えください。

log = (Γ, R+, R)

とする。

log(x) > 0

を論理記号で書くと以下でOKですか？

∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' ((x, y') ∈ Γ)) ⇒ y = y') ∧ y > 0)

log = (Γ, R+, R)

とする。

log(x) > 0

を論理記号で書くと以下でOKですか？

∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' (y' ∈ R ∧ (x, y') ∈ Γ) ⇒ y = y') ∧ y > 0)

log = (Γ, R+, R)

とする。

∀x (x ∈ φ ⇒ ∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' (y' ∈ R ∧ (x, y') ∈ Γ) ⇒ y = y') ∧ y > 0)

アスペのエネルギーはどこから来るのでしょうか？

>>300
一般的な述語論理において、関数とは任意の対象において定義されなければなりません
従って、そのような定義域を定めることは、通常の述語論理の範囲外ということになります
多ソート述語論理などでは、このような定義域の設定を行えるようですが私は詳しくはわかりません

>>297
まずXiはどのように定義されましたか
それはあるXにおいての
ξ:I->2^X
のことでしたね
てすから
ΠXi={f:I->X|fi∈Xi}
とは
ε⊂X×2^X
を
ε={(x,A)|x∈A⊂X}
と定義したとき
ΠXi={f:I->X|∃g:I->ε(g=(f×ξ)Δ)}
と定義されるのです
I=φ
のときは
まずξやfは空集合の包含写像0しかあり得ず
空集合の包含写像をgとして条件成立しますので
ΠXi={0}
です

>>298
>はR×Rの
部分集合ですね？
logx>y
とは
∃z((x,z)∈log∧(z,y)∈>)
ということですので
log-1>1
は偽の命題です

上記は>>300

>>298
そのようなxが
存在しませんので
真の命題です

>>302
NGです

相手にするのは無駄だと思うがね

a

>>292
なにもわかっちゃいないなぁ

何かが分かっているみたいで偉いですね

τ関数って導入して何がしたいのかよくわからないんですが、
明確な目的ってあるんですか？

>>314
実無限が関係あるとするならば、直感主義的な量化の話になるかと思いますけど、そんなこと関係ないですよね
今は古典論理の話なんですから

古典論理ならば実無限を前提としているので関係あるっちゃあるんですかね
まあ、とにかく量化が絡まなければ実無限云々が関係ないということは確かなわけですから同じことですね

>>307

ありがとうございました。

Δ : I ∋ i → (i, i) ∈ I × I
f×ξ : I × I ∋ (i, i) → (f(i), ξ(i)) ∈ X × 2^X
(f×ξ) 〇 Δ : I ∋ i → (f(i), ξ(i)) ∈ X × 2^X

Π X_i = {f : I → X | ((f×ξ) 〇 Δ)(I) ⊂ ε}

ということですね。

>>307

I = φ のとき、空集合の包含写像 0 ∈ Π X_i = {f : I → X | ∃g : I → ε (g = (f × ξ) 〇 Δ)}

(0 × ξ) 〇 Δ = 0 の左辺はどう考えればいいのでしょうか？

Δ : φ ∋ i → (i, i) ∈ φ × φ は 0
0 ×ξ : φ = φ × φ ∋ (i, i) → (f(i), ξ(i)) ∈ X × 2^X も 0

なんかよくわからないのですが。

>>320
0です

定義を使えん奴に結果だけ言っても無駄じゃないか

Π X_i = {f : φ → X | ∃g : φ → ε (g = (f × ξ) 〇 Δ)} = {0}

を確かめるにはどうすればいいのですか？

f : φ → X
の候補は 0 だけです。

よって、

Π X_i = {f : φ → X | ∃g : φ → ε (g = (f × ξ) 〇 Δ)} ⊂ {0}

です。

Π X_i = {f : φ → X | ∃g : φ → ε (g = (f × ξ) 〇 Δ)} ⊃ {0}

を確かめるには、

∃g : φ → ε (g = (0 × ξ) 〇 Δ) が真であることを確かめればOKです。

∃g : φ → ε
の候補は 0 だけです。

なので、

0 = (0 × ξ) 〇 Δ

が真であることを確かめればOKです。

(0 × ξ) 〇 Δ の定義域は φ だから
(0 × ξ) 〇 Δ = 0

ということでいいのでしょうか？

(0 × ξ) 〇 Δ がどんなものなのかは一切考えずに定義域が φ だから
ということでそれは 0 であると言っていいのでしょうか？

>>324
>(0 × ξ) 〇 Δ がどんなものなのかは一切考えずに
結局それでいいんだけど
ちゃんと考えてよ
元に依らない写像の合成の定義は？

>>318
Ａ→Ｂ、この言明はＡが真であって、Ｂが偽であるとき、そのときに限って偽である。

>>326
で？
それと実無限に何の関係があるんですか？

>>327
集合論を何の批判もなしに用いるのが実無限。述語論理とはそういうもの。

>>328
メタと対象の区別がつかない人にはそう見えますね

で、それと>>326は何の関係があるんですか？

>>316
ラマヌジャンのτ関数のこと？L関数　
Σ_n=1 to ∞(τ(n)/(n^s))
=Π_p：素数 (1 - τ(p)/(p^s) + 1/(p^(2s-11)))^(-1)
というように、オイラー積にp：素数の２ｓ乗の項が出てくるのは
数学史上 τ関数のL関数が初めてで
（ゼータ関数を無限積展開してもp^sまでしか出てこないよね）、
これがいろんなL関数をいろんな角度から分析しようという流れの一因に
なったのは間違いないと思う
専攻してたわけじゃないから詳しくは知らないが

>>329
分からない人だな。Ａ→ＢはＡの否定∨Ｂと等値であることしか言えないのは述語論理の中だけだ。

>>331
古典論理の間違えですよね？
述語論理とは、ある、や、全て、を表現する論理全般を指す用語です
ならば、は述語論理ではなく命題論理の範疇です
直感主義論理では、A→Bと¬A∨Bは同じではありません

って、もしかして、ならば、は必ず変数含まれてないとダメとか思ってたりしますか？
つまり、変数の概念のない命題論理では扱えないものだと思ってますか？

いよいよ、あなたのレベルの低さがどの程度なのかわからなくなってきましたね
知ったかぶりもそれくらいにしときましょうよ
今ならごめんなさいで許してあげますよ

空手踊りってどんな踊りですか？

Constantin Carathéodory

低レベルの自覚か。玄孫なんて考えると　下仕えレベルの低さと、
玄孫のハイレベルな出来栄えが気にかかる。記号がよくわからないから、記号の説明もつけといてね。速読すればいいわけだったけど。記号　サイン　もこだわってくれてどうも。

黒板に「空手踊り」と書いて滑らせた伊藤先生（楽）

踊念仏の方が暴力かどうか。

>>332
．．．．．．。

>>338
私の話についていけなくなりましたか？
早く認めたらどうです？

レベル　高　高邁　女性　レベル　低　下僕　男子。

>>325

0 = (0 × ξ) 〇 Δ

(0 × ξ) 〇 Δ のグラフ Γ_(0 × ξ) 〇 Δ は、

Γ_(0 × ξ) 〇 Δ = {(x, z) | (x, z) ∈ φ × (X × 2^X) ∧ ∃y ∈ φ × φ ( (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )}

(x, z) ∈ φ × (X × 2^X) となるような x は存在しないので、

Γ_(0 × ξ) 〇 Δ = φ

である。

よって、

0 = (0 × ξ) 〇 Δ

が成り立つ。



∃y ∈ φ × φ ( (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )

すなわち、

∃y (y ∈ φ × φ ∧ (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )

についてですが、存在しない x を使っていますが、こういうのはありなんでしょうか？

あ、ありっぽいですね。

∃y (y ∈ φ × φ ∧ (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )

は

x, z についての条件ですね。

∃y (y ∈ φ × φ ∧ (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )

は、

∃y (y ∈ φ ∧ (x, y) ∈ φ ∧ (y, z) ∈ φ )

で、

∃y (y ∈ φ)
∃y ((x, y) ∈ φ)
∃y ((y, z) ∈ φ )

はすべて偽ですね。

Γ_(0 × ξ) 〇 Δ

=

{(x, z) | (x, z) ∈ φ × (X × 2^X) ∧ ∃y ∈ φ × φ ( (x, y) ∈ Γ_Δ ∧ (y, z) ∈ Γ_(0 × ξ) )}

=

{(x, z) | (x, z) ∈ φ ∧ ∃y (y ∈ φ) ∧ ∃y ((x, y) ∈ φ) ∧ ∃y ((y, z) ∈ φ)}

いい感じです
Γf={(x,y)∈X×Y|y=f(x)}
Γg={(y,z)∈Y×Z|z=g(y)}
としたとき
(X×Γg)∩(Γf×Z)⊂X×Y×Z
を
π:X×Y×Z-> X×Z
で落とした像が
Γgf=π ((X×Γg)∩(Γf×Z))
となります
X=φ
のときは
f=0
Γf=φ
(X×Γg)∩(Γf×Z)=φ
より
Γgf=φ
gf=0
となりますので
空集合からの写像は必ず存在ししかも0しかないわけですので考えやすいのです
このことを空集合はinitialだとも言います

空　般若心経の　観自在菩薩でもお経がダメだよな。新作書かないと。

>>339
．．．．．．。

>>347
それ以外言えなくなっちゃったんですね
どれほど知能が低いのでしょうか

>>348
もう少し述語論理がどういうものかを勉強したほうがいい。

>>349
あなたが、ということですよね？

ならば、の話なのに「述語論理」と言ってる時点で程度が知れるんですよw

>>351
今でのレスの流れ無視してるの？

>>351
今までのレスの流れ無視してるの？

>>353
あなたが無視してるということですね？

>>354
稚拙なトリックだな。

>>355
ではあなたの意見をお願いします
もう一度

「．．．．．．。」などと、その場しのぎの無意味なレスしてる人が
「レスの流れ無視してるの？」「稚拙なトリックだな。」だってさｗｗｗ

劣等感婆の相手して何が面白い？

>>358
＞劣等感婆の相手して何が面白い？
述語論理を「ある、や、全て、を表現する論理全般」としている理由を知りたくてね。

荒らしはスルーしろ、他の人の迷惑だ。勉強したければ自分でやれ

>>360
＞荒らしはスルーしろ、他の人の迷惑だ。勉強したければ自分でやれ
は？もしかしてお前もそう信じているのか？

>>359
古典論理における述語論理しか知らないからわからないんでしょうねー

>>361
少なくともこの件に関してはアホはおまえだけだぞ

>>363
バカはすっこんどれや？

>>362
．．．．．．。

>>362
述語論理では言明は主語と述語に分解されているんだよ。

述語論理って有限の立場って言えるのかな
∀xP(x)=P(x1)∧P(x2)∧P(x3)∧…
でしょ？もちろんx1x2x3…xnのように有限で済まないから全称記号を使うんだけど
P(x)のxとして考えうるものって原理的にはすべての数学概念だし
実質的にもどんな多くの無限でもあり得るところを
実際書き出すことが出来ないのを``有限の立場''って言って良いものか

それに疑問持ったのは
実数の濃度がアレフ2だってことで
実数にはアレフ1の部分集合があるってことだけど
具体的に``これがそれ''って書き出せないんだよな
それでも述語論理でその集合を使うことに問題はないとされるわけだけど
ホントにそれでいいの？

>>366
すみません、数理論理のちゃんとした言葉で話していただけますか？
曖昧なことしか知らないなら、やめてくださいね

>>367
実際に書き出すことは不可能でも、書き出す手順が具体的に記述できるならば、それは有限の立場だと言えます
もっと抽象化すれば、自然数との対応が取れれば良いのです

>>368
立場の問題になるでしょうね
ストイックに行くならば、そのような集合は扱わないということになるでしょう
対象となる集合はどれだけ大きくても構わない、として、証明を記述する際においてのみ有限の立場を取る、とすれば実数を扱うことができかつ有限の立場を取ることもできるでしょうね

まあ元はと言えば有限の立場とは証明論に関しての用語ですから、対象の集合が有限かどうかには関係ないのでしょうけど

あの集合問題難しかったか？唖然とするほど時間がかかったものが大かたが。

多かったがね。

>>367
無限個の互いに異なる対象を構成することは不可能。

>>374
自然数は有限個なんですかねw

>>374
>>369 が正答してんだから馬鹿言うんじゃねーよ

>>375 >>376
数学的帰納法の必要性を論じろ。

>>377
メタな意味では数学的帰納法は認められていますから、自然数論を形式化したいならば、数学的帰納法も形式化しておく必要があります

日本人は全員ゴミ

>>378
可能無限て知ってるか？

そもそも事の発端は>>272で、「等値である」ことの定義が命題論理と述語論理では違ってくるから
前後の文脈による、と言っているのを理解して欲しい。

>>380
知ってます

>>381
>>272のならばは、命題論理でも述語論理でもないメタな意味での記述です
知ったかぶりはいい加減にしましょうよ、もう

それに命題論理と述語論理で違ってくるということはないですからね

>>383
知ったかぶりをしているのはオマエｗ

>>384
メタの概念がわからない人に言われたくはないですねー

めためただー

>>384
おまいさん、多勢に無勢だな

X ∩ 2^X ≠ φ となるような X の例を挙げよ。

φ

{{}}

NULL

>>390

X = { { } }
2^X = { { }, { { } } }

X ∩ 2^X = { { } } ≠ { }

確かに例になっていますね。

もっと「普通の」集合 X で例はないでしょうか？

明らかに X が有限集合のときには

X ∩ 2^X = φ

ですから、 X は無限集合になるかと思いますが。