面白い問題おしえて〜な 26問目

過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/

保守がてら

自分のIDに含まれている数字で10を作れ。
最初に成功した者が勝者である。
四則演算のみ使ってよい。
数字の分離、結合、並びの変更は認める。
例
ID:43ab2017　→　20/4+1+7-3=10

削除依頼を出しました

〔問題980〕
平面上にn個の異なる点を配置する。
どの2点間の距離も、必ず或る2つの実数値のどちらかを取るようにする。
n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。

1)　n=4の時、点の配置をすべて求めよ。
2)　n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3)　n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。

[前スレ.980］

1）は、円周上の4点（2種）、円周上の3点と円の中心（4種）が判明している。>>983

〔問題970〕
a，b の最大公約数を gcd（a，b）と略記する。
gcd（a，b）= 1 をみたす a，b∈Z と 任意の n∈Z（n≠0）に対して、
gcd（ax+b，n）= 1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。

［前スレ.970-971］

975 １３２人目の素数さん 2018/02/18(日) 05:13:40.49 ID:3SEy6oaf
(1)　0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。
(2)　πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
(3)　πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。

（参考）
一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である（等周問題）。
従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。


976 １３２人目の素数さん sage 2018/02/18(日) 06:31:15.01 ID:3BoN6Yxt
>>975
(1)
(2-2cosθ)-(sinθ)^2＝(1-cosθ)^2
0<θ<πで、cosθ＜1なので2-2cosθ＞(sinθ)^2

974
問．点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。
円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。
また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、
さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、
四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。
∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。

解答は手に入れたが、貼る前にもう一度考えてみて

[23-937]
[24-30]
地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側（高緯度側）を通ることがあるためのA,Bの位置関係を答えよ。
例えば、東京(N35.7°,E139.7°)と
・ロンドン(N51.5°,W0.1°)
・メキシコシティー(N19.4°,W99.1°)
・リオデジャネイロ(S22.9°,W43.2°)
はこの位置関係にあるが、
・大阪(N34.7°,E135.5°)
・ヨハネスブルク(S26.2°,E28.0°)
・ブエノスアイレス(S34.6°,W58.4°)
はこの位置関係にない（東京より北は通らない）
地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で（大圏航路で）移動する。
また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円（大円）の弧になることが知られている。

[24-437]
3^m+4^n=5^kを満たす非負整数の組(m,n,k)をすべて求めよ。

【カーマイケル数】
gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたすn∈Nをカーマイケル数という。
以下を証明せよ。

(1) カーマイケル数は奇数である。

(2) n∈Nに対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)である。
　(i) nは合成数で、平方因子をもたない
　(ii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる

(3) カーマイケル数は、３個以上の異なる素数の積である。

(4) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数のとき、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。

>>9
n=2

素数p、整数a, bに対して、a≡b (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。

これは簡単杉か…

>>11
a-b=np
a=b+np
a^p=(b+np)^p=b^p+pb^(p-1)np+...+(np)^p
a^p-b^p=p^2{b^(p-1)n+...+n^pp^(p-2)}

>>9
(4)
Chernick のカーマイケル数と云うらしい。 (A033502)
k=1, 1729,
k=6, 294409,
k=35, 56052361,
k=45, 118901521,
k=51, 172947529,
k=55, 216821881,
k=56, 228842209,
k=100, 1299963601,
k=121, 2301745249,

なお、逆は成り立たないようです。

・3因子のうち2つだけが素数であるカーマイケル数 (A242980)
k=5, 172081, (4), 18k+1=91=7*13,
k=11, 1773289, (4), 12k+1=133=7*19,
k=15, 4463641, (4), 6k+1=91=7*13,
k=33, 47006785, (5), 18k+1=595=5*7*17,
k=61, 295643089, (4), 18k+1=1099=7*157,
k=85, 798770161, (4), 6k+1=511=7*73,
k=96, 1150270849, (5), 18k+1=1729=7*13*19,
k=115, 1976295241, (4), 18k+1=2071=19*109,

・3因子のうち1つだけが素数であるカーマイケル数 (A242981)
k=22, 13992265, (5), 6k+1=133=7*199, 12k+1=265=5*53,
k=105, 1504651681, (5), 12k+1=1261=13*97, 18k+1=1891=31*61,

>>9
(2)の条件に奇数が抜けていたので修正します。
内容が被ってしまうので、問題自体を書き直します。スマソ。

--------------------------------------------------
【問題：カーマイケル数】
gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたす n∈N をカーマイケル数という。
以下を証明せよ。

合成数 n∈N に対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)かつ(iii)である。
　(i) nは奇数である。
　(ii) nは平方因子をもたない。
　(iii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる。

(1) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(i)を示せ。
(2) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(ii)を示せ。
(3) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(iii)を示せ。
(4) 合成数 n∈N が(i),(ii),(iii)をみたすならば、n はカーマイケル数である。
(5) カーマイケル数は、３個以上の異なる素数の積である。
(6) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数ならば、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。
--------------------------------------------------

(1)(4)(5)(6)は、易。
(2)は、私の用意した解答は間違っていますた。（フェルマーの小定理を誤用）
(3)は、(1)(2)と原始根と中国剰余定理を使って証明した。

>>10、>>13-14
かたじけのうござる。

>>11を少し変えてみる。

素数p、整数a, bに対して、a^p≡b^p (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。

>>17
a=a^p=b^p=b (p)

>>17

pは素数だから、フェルマーの小定理（ >>18）により
a^p ≡ a　（mod p)
b^p ≡ b　（mod p)
∴　a ≡ ｂ　（mod p)

p≧2 だから、>>12 >>14 により、
a^p ≡ b^p　（mod pp)

一辺が整数の正方形で、3頂点からの距離が整数になる点を内部（周含まず）に持つものを挙げよ。
なお、4頂点すべてからの距離が整数になる場合は未解決である。

>>20
一辺52の正方形の内部、各辺からの距離7,24,45,28の点

>>21○
A(0,0),B(52,0),C,D,P(24,45)
これが最小の正方形？

条件を満たす正方形ABCDと内部の点Pの例は無限にある

A(0,0),B(700,0),C,D,P(396,297)
A(0,0),B(3364,0),C,D,P(945,900)
A(0,0),B(10952,0),C,D,P(1155,396)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884)
…

もちろんPとy=x,y=-x+1について対称な点も条件を満たす（各正方形に計4つ）。

解説や類例（英語）
http://mathworld.wolfram.com/RationalDistanceProblem.html

>>22
一辺52は最小
一辺1000未満の解も他にいくつか
A(0,0),B(195,0),C,D,P(48,140)
A(0,0),B(740,0),C,D,P(168,315)
A(0,0),B(867,0),C,D,P(416,780)
A(0,0),B(996,0),C,D,P(520,765)
4頂点すべてからの距離が整数になる場合があるとしたら、一辺は12の倍数になるはず

n,k,iを自然数とし、自然数b1,...,bnがあり、b1+b2+...+bn =k　とする。
この時、次の条件を満たす自然数の数列a1,...anが存在することを示せ。
・ai>ai+1
・ai≧bi
・a1+...+an=k^2

k=2,b1=b2=1
ai=？

３と１では

>>22
一辺が 12675 のとき、互いに対称でない解が複数ある
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9100,3120)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9588,784)
２番目は既約でなく一辺が 195 の解と本質的に同じ
３番目は既約

k+k^2-kn+n(n-1)/2.
k-1.
k-2.
...
k-n+1.

>>28
正解！感想は？

>>24
これいつかのIMOよな

〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式を
F（x）= a_0･x^n + a_1･x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝･x + a_n,
とし、
F（x）= 0 の解をαとする。
　a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0　ならば　｜α｜< 1.
　0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n　ならば　｜α｜> 1.

相異なる３つの素数の平方和は、素数となるか？

>>32
3^2+5^2+7^2=83

では、相異なる３つの 「５以上の素数」 の平方和は、素数にならないことを示せ。

>>34
５以上の素数は、その平方がいずれも３を法として１と合同であり、３つの和が常に３の倍数となるから
「相異なる」の条件は付けなくても問題は成立する

こう書けばよかったんですね、さんくす。
「３と異なる３つの素数の平方和は、素数でない」

2をふたつ使われないよう奇素数かな

寝ぼけてた
見なかったことにして

x^5 +2x^2 + 3x + 4 ≡ 0 (mod 5) の解は、x=0,1,2,3,4を代入して x≡1,2 (mod 5) を分かるけど、
これを無理やり因数分解できないものか？

　 x^5 +2x^2 + 3x + 4
≡x^5 +2x^2 - 2x - 1
＝(x^5-1) + 2x(x-1)
≡(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1) (mod 5)

ここまでいったが、x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1 が x≡2 (mod 5) だけを解にもつから (x-2)をくくりだしたいんだけど。

整数係数で割り算して、そのあと商（と余り）を mod 5 すればいい

>>6の正解

θ=2π/nとする。


(2)
単位円に内接する正n角形の面積は(n/2)sinθ、半周長は(n/2)(√(2-2cosθ))
(1)より
(n/2)sinθ<(n/2)(√(2-2cosθ))
よって、πを下から抑えるときは周長を用いた方がよい。

ちなみに
(n/2)(√(2-2cosθ))=((2n)/2)sin(2π/(2n))
より
(単位円に内接する正2n角形の面積)=(単位円に内接する正n角形の半周長)
である。
面積で抑えようとするのは効率が悪い。


(3)
単位円に外接する正n角形の一辺の長さをaとおけば、面積も半周長もna/2であり等しい。
よって、πを上から抑えるときはどちらを用いても変わりはない。

実際に計算すると
na/2=n√((1-cosθ)/(1+cosθ))=n(1-cosθ)/(sinθ)=n(sinθ)/(1+cosθ)

【参考】
単位円について
(内接正n角形の面積) < (内接正n角形の半周長) < π < (外接正n角形の面積,半周長)
の一覧


n=3
(3/4)√3 < (3/2)√3 < π < 3√3

n=4
2 < 2√2 < π < 4

n=5
(5/8)(√2)√(5+√5) < (5/4)(√2)√(5-√5) < π < 5√(5-2√5)

n=6
(3/2)√3 < 3 < π < 2√3

n=8
2√2 < 4√(2-√2) < π < 8(-1+√2)

n=10
(5/4)(√2)√(5-√5) < (5/2)(-1+√5) < π < 2(√5)√(5-2√5)

n=12
3 < 3(√2)(-1+√3) < π < 12(2-√3)

n=16
4√(2-√2) < 8√(2-√(2+√2)) < π < 8(√2)(√(2-√2))(2-√(2-√2))

n=20
(5/2)(-1+√5) < (5/2)(√2)(1+(√5)-(√2)√(5-√5)) < π < 5(1+√5)(4-(√2)√(5+√5))

n=24
3(√2)(-1+√3) < 6(√2)√(4-(√2)-√6) < π < 12(1+√3)(-1-(√3)+2√2)


(内接正16角形の半周長)のみ3重根号を用いている。

n=24の不等式を用いてπを評価すると
3.1326… < π < 3.1596…
である。

ところで>>41,42では
(1/2)(単位円に内接する正n角形の周長) < (1/2)(単位円の円周2π)
を用いている。
「円に内接する(凸)多角形の周長は円周より小さい」
は、各辺(弦)が弧より短いので自明である。

では
「円に包含される凸多角形の周長は円周より小さい」
更には
「凸多角形Aに包含される凸多角形Bの周長はAの周長より小さい」
は、初等数学（できれば初等幾何）で証明可能か？



凸多角形Bは凸多角形Aに包含される
⇒任意のxy座標系において[B(x,y)のxの変域]⊆[A(x,y)のxの変域]かつ[B(x,y)のyの変域]⊆[A(x,y)のyの変域]

出題！
a,bは0＜a＜bなる実数として
平面図形
{(x,y)∈R^2|a≦x^2+y^2≦b}
を考える。
まあ要するにバウムクーヘンを上から見た形ですね。

これを4つの直線で切って、いくつかの部分に分ける。
最大何個に分けられるでしょう？

>>20

A(0，0) B(L，0) C(L，L) D(0，L) P(x，y)
とおく。
　{L-x，y} 組、{L-y，x} 組はピタゴラス数だから h，m，n により
　L-x-y = ±h{(nn-mm) -2mn},
と書ける。
　その因数は、7，17，47，217，257 などで、１の位の数字は７である。（なぜか?）

(nn-mm) - 2mn = ±(L-x-y)/h
は、下記のように ペル方程式 ff -2gg = ±1 の形になる。
その解は
　f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2,
　g_k = {(1+√2)^k - (1-√2)^k} /(2√2),
（＋のときはk：偶数とし、−のときはk：奇数とする。）

・(nn-mm) -2mn = 7 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(5m-3n)^2 -2(4m-n)^2}/7 = {(m-3n)^2 -2(2m+n)^2}/7,

・2mn -(nn-mm) = 7 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m-n)^2 -2(3m-2n)^2}/7 = {(3m+n)^2 -2(m-2n)^2}/7,

・(nn-mm) -2mn = 17 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-5n)^2 -2(7m-2n)^2}/17 = {(m-5n)^2 -2(3m+2n)^2}/17,

・2mn -(nn-mm) = 17 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m+n)^2 -2(2m-3n)^2}/17 = {(7m-n)^2 -2(4m-3n)^2}/17,

・(nn-mm) -2mn = 47 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-7n)^2 -2(8m-n)^2}/47 = {(5m-7n)^2 -2(6m+n)^2}/47,

・2mn -(nn-mm) = 47 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(7m+5n)^2 -2(m-6n)^2}/47 = {(17m-5n)^2 -2(11m-6n)^2}/47,

∴　ff -2gg = ±１ の形になる。

>>44

x = ±d　と　y = ±d で 「井の字」
　但し、d = min{ (1/2)√(a+b)，√a }
だと 12個か。
もっと多いんだろうな。

新手(荒手とも)の技で導いたので一般的(?)な解放が見たいです(*´ 艸｀)

マクローリンです
ついでにゼータも分解すると(1)の類題だと分かる形になります
因みにRamanijanの発見した恒等式を使用しました


https://i.imgur.com/EkGvNIH.jpg
https://i.imgur.com/bSvsQUN.jpg

>>45
(L,x,y)=(6240,711,3080),(26180,3285,24528)という反例もあるけど、7や17の倍数になる例は確かに多いと思います
何か法則が…？

>>45
＞f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2,
これは1,3,7,17,41,99,239,577,1393,…となると思うんですが、
その中でも特に7と17だけ際立って多く登場するのはなぜでしょうね？

>>47

Σ[n=-∞，∞] e^{-πn^2} = θ_3(0, e^{-π}) = 1.086434811213308

Σ[m=-∞，∞] m^2 e^{-πm^2} = 0.0864557352758541

辺々割って　4π.

Σ[n=1，∞] (-π)^n / {n! ζ(2n+1)} = -0.568682

Σ[m=0，∞] (-π)^m / {m! ζ(2m+3)} = -0.0452297

辺々割って　12.5732

>>44

d = √{ab/(a+b)} とおく。0<a<b より
　√(a/2) < d < min{(1/2)√(a+b)，√a}.

x = -d,
y = 0 （x軸),
(-d，d）と（d√2，0) を通る直線,
(-d，-d）と（√{(a+b)/2}，0）を通る直線

これで13個だ…

平面をn本の直線で分割するとき、最大でa[n]個の領域に分割するとき、
a[n+1] = a[n]+n+1

平面上に円が１つあって、n本の直線で分割するとき、最大でb[n]個の領域に分割するとき、
b[n]は？

平面上に同心円が２つあって、n本の直線で分割するとき、最大でc[n]個の領域に分割するとき、
c[n]は？

平面上に同心円がm個あって、n本の直線で分割するとき、最大でd[n]個の領域に分割するとき、
d[n]は？

>>49
7や17をL-x-yの素因数に含む場合は複数解を含むケースが多い

L-x-y=833=7・7・17である解3つ
(L,x,y)=(11492,7524,3135),(21125,7524,12768),(43700,7524,35343) いずれも L-y=8357

L-x-y=4879=7・17・41である解2つ
(L,x,y)=(13156,1440,6837),(14355,1440,8036) いずれも L-y=6319

L-x-y=5593=7・17・47である解3つ
(L,x,y)=(9375,7072,7896),(21853,5040,11220),(22472,13260,14805)

L-x-y=6713=7・7・137である解2つ
(L,x,y)=(20280,4795,8772),(282348,15960,259675)

全部映画のタイトル
https://i.imgur.com/LrvkjlK.jpg

>>4が未解決ですが、解を知りたいものですね

さて、エレ解の募集です
(用意した想定解は地道にやっています)

xy平面上を点Pが原点(0,0)からスタートして、以下に定められる規則に従って移動する。次の設問に答えよ。

点Pの移動規則:
サイコロを振り、1の目が出た場合(2,0)、2の目が出た場合(1,√3)、3の目が出た場合(-1,√3)、4の目が出た場合(-2,0)、5の目が出た場合(-1,-√3)、6の目が出た場合(1,-√3)だけ点Pは移動する。
サイコロを8回振る。
最終的な点Pの位置をP_8とする。

原点と点P_8の長さが整数になる確率を求めよ。
但し原点と点P_8が一致した場合は長さ0とし、整数に含む。

>>56
原点からの距離が14となる場合が18通りあるが、それらの場合における確率がいずれも等しいところが興味深い
自明な結果ではないはず

>>44

直線1本　…　2個
直線2本　…　5個
直線3本　…　9個
直線4本　… 13個？

>>58
内側の円が充分小さければ14個できる

四角形を角の付近を残して中を除けば１１＋３

円の大きさは関係ないかな
4本すべての直線が内側の円の内部を通るようにし、かつ、
どの2直線も図形の内側(内側の円の外部かつ外側の円の内部)の、それぞれ異なる点で交わるようにすると14分割になる

【湖畔の街灯】

観測者が、光源から受ける光の明るさ・電荷から受ける静電気力の大きさ・物体から受ける引力の大きさ…は逆二乗則に従う（すなわち距離の二乗に反比例する）。
観測者が距離1の光源から受ける光の明るさを1とする。
次のとき、θ=0にいる観測者が受ける光の明るさはいくらか？

(n=0)　直径2/πの円周上のθ=πの位置に光源があるとき
(n=1)　直径4/πの円周上のθ=π/2, 3π/2の位置に光源があるとき
(n=k)　直径(2/π)*2^kの円周上のθ={aπ/(2^(k-1))}-{π/(2^k)}の位置に光源があるとき（ただしa=1,2,…,2^k）

一周2^(n+1)の円形の湖に、2^n個の街灯が等間隔で並んでいるイメージである。


無限に大きい円を考えると、どのような数論の公式が導けるか？

>>53
a[n] = (nn+n+2)/2,

>>61 に従って
直線0：　 y=0 (x軸)
　線分（√a，0）〜（√b，0）をn等分する点をP_k　(k=1，…，n-1）
　線分（√a，δ）〜（√a，0）をn等分する点をQ_k（k=1，…，n-1）
直線ｋ：　P_k と Q_k を通る直線
とする。　
δ>0 がじゅうぶん小さいとき、n本の直線は小円の内部を通る。

c[n+1] = c[n] + n+2,
c[n] = n(n+3)/2,

>>63
P_n = （√b，0）
P_0 = Q_n = （√a，0）
とおけばいいか…

>>45 >>49

ペル方程式

数セミ増刊「数学・物理　100の方程式」日本評論社（1989）p.16〜17

>>63 (補足)

d ' = √b - √a とおく。
線分ｋは放物線
　√{(x-√a)/d '} + √(y/δ) = 1
に接する。その接点は
（√a + (P_0 P_k)^2 /d '，(Q_k Q_n)^2 /δ）

次に、
線分 P_0（√a，0）〜 P_n（√a +d '，0）をλ：(1-λ）に内分する点をP
線分 Q_0（√a，δ）〜 Q_n（√a，0）を λ：(1-λ）に内分する点をQ とする。
λ = P_0 P / d ' = Q_0 Q / δ.

このとき、線分PQ も上記の放物線に接する。その接点は
（√a + λ^2･d '，(1-λ)^2･δ）
また、2本の接線の交点は
（√a + λ1･λ2･d'，(1-λ1)(1-λ2)δ）

>>56
答え　44.13% 位ですか？

>>63-66

>>61 に従って
直線n： y=0（x軸）
大円内でx軸と小円に接する下に凸な曲線Cを書き、n-1本の接線を曳く。

曲線Cの例：
円（x - √{b-d 'd '})^2 + (y-d ')^2 = (d ')^2
　d ' = √b - √a とおいた。

>>68

・Cの例
円　(x-√b)^2 + (y-r)^2 = r^2,
　ここに　r = （b-a)/(2√a).

いちおう自分が考えたのと同じ　必ず14　が出ました。
読むのでもう少々お待ちを。

飛び道具があれば、(★★)　を展開し、各係数を見て、計算すれば、それで終了とできる。
だがそでは「エレガント」とは言えないので、別の方法を示す。
最も、煩雑なのが定数項の計算。飛び道具を使う以外に二通りの方法で確認したので、まずそれを示す。

展開式において、x/yをa回、x/zをb回、．．．z/yをf回掛け合わされ、「定数になる」等という条件を式にすると、
a+b+c+d+e+f=8、a+b=d+e,c+d=a+f,e+f=b+c　→　abcdef=004004,013013,021203,022022,...,400400 という21通りの非負整数解を見つけられ、
全ての解において　8!/(a!b!c!d!e!f!)　を計算し、和を取れば、54810　を得られる。（これは、プログラムにより確認した）

問題では八回のサイ振りが求められているので、まずその半分四回までのサイ振り後のルートを全て計算する。
正三角形方眼紙を用いればパパパッとできる。４回後の各地点へ到達するルート数は、原点９０、サイズ１の正六角形の頂点６０、
サイズ２の正六角形の頂点３４、辺の中点４８、その外は頂点から順に１２，１６，１６、その外側は頂点から順に１、４、６、４
このようになる。こうして得られた61カ所に数字の二乗和を取ると、90^2+6*(60^2+48^2+34^2+2*16^2+12^2+6^2+2*4^2+1^2)=54810が得られる。

ところで、（★★）を展開したときの定数項は原点のルート数＝(54810)に当たるが、この式において、
x=yと置き換えた時の定数項は、正六角形の原点を通る対角線上の17個の数字の和に当たることが判る。
これは、（パスカルの三角形みたいなものを書けば）手でも十分計算可能で、2^8*1107という値を得る。
これの三倍で、原点を通る三本の対角線をカバーできるが、原点が３重に数えられているので、その超過分を減じ、
x^8/(y^5*z^3)の項の分8!/(5!3!)=56の12倍を加え、確率に直すと、
(1/6^8)(3*2^8*1107-2*54810+12*56)=741228/6^8=0.441308013...　が得られ、これが>>67で示した結果。

訂正
>>71
誤：n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。
正：n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}、及び原点に限られる。

~人人~ 前>>50
(＿)_)　二重の円を
(_(＿)ﾞ適当な大きさに
(-_-))　描き、
○(`')ﾞバウムクーヘン
○⌒_ﾉ　上で交差する
(_人_)ﾞように５本の線
_υ_υ_ で分割し、内側の円を掠めるようにうまく配置して一本の線をとると、外側の円を含むバウムクーヘンは８つできる。
内側の円を含むバウムクーヘンは二種類あって一つの鋭角を持つ切れ端３つと、一つの鈍角をもつごく小さな切れ端３つが確認できる。
∴8＋3＋3＝14

訂正。前>>74
やっぱり二つの円の中心がズレてました。一つの交点が外側の円を出ます。

8＋3＋2＝13 が最大かと。

>>75
星形にこだわるとうまい解はでないかもしれないです
例えばこういう線を考えてみてはどうでしょうかね
・バウムクーヘン>>44のもの。原点を中心に持つ半径aとbの円に挟まれた図形
・１本目の線を、切片(a+b)/2で正の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする
・２本目の線を、切片(a+b)/2で負の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする
・３本目の線を、切片-(a+b)/2で正の傾きをもち、１番目と２番目の線と第１象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする
・４本目の線を、切片-(a+b)/2で負の傾きをもち、１番目と２番目の線と第２象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする
このようにすると、>>61に書かれているように、４本の線は互いに図形内の異なる点で交わり、かつ内側の円の内部を通るようにできます
分割数は１４になります

>>45
＞その因数は、7，17，47，217，257 などで、１の位の数字は７である。（なぜか?）
理由は不明ですが、既約解において、L-x-yの素因数は、その平方が48を法として1に合同なものに限られるらしい
(その場合、当然L-x-yの平方も48を法として1に合同)
何かそうでなければならない理由があるのでしょうか

奇素数 p、自然数 r、gcd(a、p)=1 をみたす整数 a に対して、
x＾2≡a (mod p^r) をみたす整数 x が存在するならば、
y^2≡a (mod p^{r+1}) をみたす整数 y が存在することを示せ。

>>80
実に素晴らしいデス！

半径1の円の周および内部に、

(A) どのようにm個の点を配置しても、ある2点間の距離が1以下になる。最小のmを求めよ。全ての2点間の距離が1より大きくなるm-1個の点の配置を示せ。

(B) どのようにn個の点を配置しても、ある2点間の距離が1未満になる。最小のnを求めよ。全ての2点間の距離が1以上になるn-1個の点の配置を示せ。

論点
(A) 5点の配置は余裕、またmが高々7なのは容易に示せるが、m=6,7のどちらだろうか？
(B) 7点の配置はギリギリ可能だが、n=8なのだろうか？

>>56
おそらく
原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算

軸は、
23○
56□
14△
として
○がk個、□がk個、△が(8-2k)個を並べてから各○□△埋める
2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!)

が最も近道だと思う

http://i.imgur.com/HY43Cip.gif

>>82
(B)n=8が答え。
8点の中に円の中心が含まれていたら、残りの7点は円周上に無ければならないが、そのような配置は必ずある2点間の距離を1未満にする。
したがって8点とも円の中心と異なる場合のみ考えれば良いが、
ピザを切るように円を7等分すれば、鳩ノ巣原理より同一のピースに含まれるような2点が存在。
2点とも円の中心とは異なるため、必ず距離は1未満になる。

>>83
>>原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算

aaaa(aaaa)~型：　3通り　＊　8!/(4!4!)
aaab(aaab)~型：　6通り　＊　8!/(3!3!)
aabb(aabb)~型：　3通り　＊　8!/(2!2!2!2!)
aabc(aabc)~型：　3通り　＊　8!/(2!2!)
(ABC)^2*AA~型：　6通り　＊　8!/(3!2!2!)

の21通り合計、54810ですね。
（※aに対し、「a~」で、aと反対の方法を、A,B,Cは、お互い120度をなす方向を表し、ABCで元の位置に戻ります。）
（※二つの数字は、方向パターンと並べ替えパターン）
この方法は、「型の列挙」に漏れや重複がないか核心で、別の独立な方法で確認できたなら、自信が持てますよね。

軸の方の
Σ[k=0,4]2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!) =283392=1107*2^8
はシンプルですね。

>>82
(A) m=6
・6点のどれかが円の中心ならば、他の点までの距離は１以下。
・6点とも円の中心でない場合、
　6つの中心角の合計が360ﾟ だから、最小のものは60ﾟ 以下となり、60ﾟ の扇形に含まれる。
　∴ 距離は１以下。

　円周上の正５角形

有名問題かもしれないけど
「全ての自然数は、3の階乗の足し引きで表されることを示せ。」
例えば4=3+1 11=9+3-1 とかな

高校数学解法辞典？ っていうのに載ってて、難易度が難だった
難レベルは同書に数問しか入ってなかった
やや難の問題の方が難しく感じたけどなw

>>88
3!=6だが...?

>>89
書き間違えくらい、忖度してやれ

足すか、引くか、足しも引きもしない、の3通りが選べる。
これが全ての数について言えるから

>>90
土曜日だからね！

>>89
階乗じゃなくて累乗やんけ
ごめんなさい

n=3^0+3~0+…+3~0 (n個の和)

>>88 だけど、問題の定義が曖昧すぎたので原文まんま上げます
考えてた人はごめんなさい
http://imgur.com/FJFbctS.jpg

>>92
Sonntag する
ってそりゃ日曜日

>>96
もう日曜だが…

博多どんたく の語源はオランダ語の zondag.（日曜日）らしい

>>88
で、肝心の問題だが…

平衡３進法 とか云うらしい...
http://www5e.biglobe.ne.jp/~emm386/2015/numeration/nb01.html

平衡3進法、
天秤と重さ3^kの分銅がk=0,1,2,...について1個ずつあれば、正の整数の重さは全部表せるってやつだね

（天秤進法→）天進法の名前で商標登録してるやつがいるけどどうなの

↑その人、コラッツ予想を証明してしまっているようだなあ。
数学というより、精神医学の話題なんじゃないの？

>>98
ほー、そう呼ばれてるのか
勉強になったわ、サンクス
証明どうする？ 載せた方がいい？
上のサイトに比べたら大したものじゃないけど

>>101
あくしろよ

80.6 < Σ[k=1→24]√k < 80.65 を示せ

お待たせ
当時の俺はこんなので感動したもんだ
ちなみにmが最終的に0になることの証明してないけど自明の理だよな？
もしあれだったら数学的帰納法で頑張って
http://imgur.com/3OwwL4R.jpg

x+1/3 を普通に３進展開するだけなんじゃないの？

mより大きな111...1[3]を、mに加えて三進法表示し、2→1、1→0、0→-1　とすればいいだけだろ

>>103 （右）

y=√x は上に凸だから
√k > ∫[k-1/2，k+1/2] √x dx,

（与式）> ∫[1/2，24+1/2] √x dx
　=［（2/3）x^(3/2）］（x=1/2，49/2)
　=（2/3)(7^3 - 1)/(2√2）
　= 57√2
　= 80.610173

積分計算を避けたいなら、
AM-GM より
(kk -1/4)^3 ≧ kk･(kk -3/8)^2,

｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2)
　≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8)
　= 9k/4,

√k ≧ (2/3）｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)},
以下は同様。

>>103 (左)

y=√x は上に凸だから
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx,

(与式) < 1 +√2 +√3 +（1/2)√4 + ∫[4，25] √x dx -（1/2)√25
　= 2 +√2 +√3 +［（2/3）x^(3/2）］(x=4，25) - 5/2
　= 2 +√2 +√3 +（2/3)(125-8） -5/2
　= 80.6462644

〔問題〕
（2√6 + 5)/2 < ∫[24，25] √x dx,
を用いて
√6 < （485/6)/33 = 2.449494949…
を示せ。

問題を作ってみた

https://i.imgur.com/92Mge5T.jpg
https://i.imgur.com/Ns9fhzw.jpg
https://i.imgur.com/0Y8gffb.jpg
https://i.imgur.com/9CIYnFV.jpg

>>111
そんな難しい問題を解けるやつはこの板にいない

>>112
その手には乗りませんよ、ザーボンさん

>>111
1枚目は行けそう

>>114
それはそう
行けそうというか見ただけでいける
ただ2と3が難しい

(1)
|z||1-kw|=|w|
k|w-1/k|=|w|
1/kが表す点をAとする。wはOAをk:1に内分する点と外分する点をそれぞれ直径の両端とする円周上にある。

(2)
PQ=|z-w|=k|w|
また(1)より、
wの中心はk/(k+1)(k-1)、
半径は1/(k+1)|k-1|
したがって、
|w|の最大値
=k/(k+1)|k-1|+1/(k+1)|k-1|
=1/|k-1|
|w|の最小値
=|k/(k+1)|k-1|-1/(k+1)|k-1||
=1/(k+1)
以上より、
PQの最大値=k/|k-1|
PQの最小値=k/(k+1)

大学学部レベル質問スレ 10単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1519715377/647

nを正の整数、X={x_1,x_2,...,x_{2n+1}}を実数からなる(多重)集合とする。
Xから任意に1つの元を取り除いたとき、残った2n個の元を和の等しいn個ずつの
組に分けることができるならば、x_1=x_2=…=x_{2n+1} である。

>>116
Xが生成する加法群をYとおくと、Yは捩れなし有限生成アーベル群であるからZ^m(Zは整数全体からなる加法群、mはある非負整数)と同型。
したがって、x_1=…=x_{2n+1}でないならば、群準同型f:Y→ZであってfによるXの像f(X)が単元でないようなものが存在する。
x'_i=f(x_i-x_1) (i=1,…,2n+1)とおくと
X'={x'_1,x'_2,…,x'_{2n+1}} (⊂Z) も X と同様の性質を持つが、
S-x'_i (ただしS=x'_1+…+x'_{2n+1}) が全て偶数にならなければならないので、x'_iの偶奇は全て一致する。x'_1=0 は偶数であるから、他の全てのiについてもx'_i は偶数。
これより、 x''_i=(x'_i)/2 とおけば
X''={x''_1,x''_2,…,x''_{2n+1}} (⊂Z) もXと同様の性質を持つ。無限下降法よりx_1=…=x_{2n+1}でなければならない。

R^n の微分式ωで、R^nの全ての平行移動で不変なものω を決定せよ。

(a/p) を平方剰余記号とする。

(1) (123/769) の値を求めよ。
(2) (1234567/987654323) の値を求めよ。
(3) (a/p) の値を求めよ。ただし、a, pの値は以下とする。

a = 289589985200426886037189479736335834688462115581329068039
p = 579179970400853772074378959472671669376924231162658136139

>>119
微分形式？平らじゃんR^n

>>120
(1) 320^2≡123 (mod 769) より 1
以下ヤコビ記号を使用する。すなわちbが奇数の合成数のときb=pb'なる素数pについて(a/b)=(a/p)(a/b')
(2) (1234567/987654323)=-(723/1234567)=(406/723)=-(203/723)=(114/203)=-(57/203)=-(32/57)=-1
(3) (a/p)=-(61/a)=-(57/61)=-(4/57)=-1

>>116
x_1からx_{2n+1}の中の最大値をM、最小値をmとする。
全ての元にTを加えた、X'={x_1+T,x_2+T,...,x_{2n+1}+T}という多重集合も、
「X'から任意に1つの元を取り除いたとき、残った2n個の元を和の等しいn個ずつの組に分ける」
ことができなければならない。

さて、X'において、ある元を除き、和が等しくなるようにn個ずつ分けた組の合計は、
下限がn*(m+T)、上限がn*(M+T)となるが、T >> M の様なケースを考えれば、下限、上限ともに、
n*Tが支配的な量になることから、X'の元の s 個の和 ＝ X'の元の r 個の和　→　s = r　となる必要がある。

ところで、Tとして、(-1)*x_1　を考えると、(少なくとも)一つの元が0なので、
その元の加算は、和に影響を与えないので、左辺側にこの元が含まれると、
X'の元の n-1 個の和＝X'の元の n 個の和　；（左辺側にこの元が含まれる）
という事が起こる。この矛盾を回避するためには、「n 個の和」と思っていた物も、実質「n-1 個の和」
と等しければよく、これは、x_1と同じ値を持つ物が、右辺側にも含まれていることを意味する。
取り除く元としてx_1を選んだとき、どちらかのグループに、x_1と同じ値を持つ元が有るので、反対の
グループには、さらに、x_1と同じ値をもつ元がなければならない。
以下同様に、x_1と等しい元が、奇数個ある事が確認できている場合には、値不明の元を取り除く元として選び、
x_1と等しい元が、偶数個ある事が確認できている場合には、x_1と同じ値を持つ物を取り除く元として選べば、
順次、x_1と等しい新しい元の存在が確認でき、最終的に全ての元が、x_1と等しくなければならないことが示される。

次の条件を満たすn次正方行列の固有値を全て求めよ。

1≦m≦nを満たす全ての整数mについて第m行の行ベクトルは0が連続してn-m個並ぶその右に1/mがm個並んだものである。

矛盾してないから回避は不要。

あ．．．、思い込みでミスってました。>>125は取り下げます。

>>126

+1，-1/2，+1/3，… ，(-1)^(n-1) /n.

>>130
数セミ増刊 「数学 100の問題」 日本評論社（1984） p.104-105

>>129
証明はどうでしょう

横須賀の高校生、スマホの通信速度を10倍にする新技術を発明
http://leia.5ch.net/test/read.cgi/poverty/1521957634/

p、q、r を相異なる素数とするとき、[x/p] + [x/q] + [x/r] = x の実数解 x の個数を p、q、r を用いて表せ。

素数関係ないな。

https://www.youtube.com/watch?v=IERchVzO17Q

>>4
アホくさ

(1)
(�@)正三角形を含む場合
AB=BC=CA=yと置く
DA,DB,DCの内2つは等しい
DB=DCと置く
DはBCの垂直二等分線に在る
(�@-1)DA=yの場合
DBCが頂角30度の二等辺三角形の形の答えと、凧型の答えを得る
(�@-2)DB=y の場合(自動的にDC=y)
1つの候補はDとAが重なり、もう1つの候補から内角60度の菱形という1つの答えを得る
(i-3)何方でも無い場合 DA=DB=DC
DがABCの重心に在る場合という1つの答えを得る

(�A)正三角形を含ま無い場合
AB=AC=x, BC=yと置く
DA,DB,DCのうち2つは等しい
(ii-1)DB=DCの場合
DB=DC=yだと正三角形ができるのでDB=DC=xの場合を考えれば良い
更にAD=xだとABDが正三角形なのでAD=yを考えれば良い
ABDCが正方形という1つの答えを得る
(ii-2)DA=DB の場合
同様にDA=DB=yの場合を考えれば良い
DC=yだとDBCが正三角形なのでDC=xを考えれば良い
辺の長さから△BAC≡△ACD
ACを底辺と扱うと点B,DのACからの距離は同じなのでBD//AC
故に4点は等脚台形を為す
対角線が長い方の平行辺と長さが等しい図という答えに至る

(2)
A,B,C,Dが与えられた時のEの候補は次の2つに分けられる
・EA=EB=EC の場合のような場合3点の外接円(4種類)
・EA=EB, EC=EDの場合2点と2点に分けて垂直二等分線の交点(3種類)
と考えて全部を検討するのが漏れなく其れなりに効率良さそうな1つの考え方だ
ABCDが正方形の時だけは対辺の垂直二等分線が一致し点が定まらず、更に長さを考えるか、或いは視点を変えてBCDEも又(1)の形を為すと要求すると不可能であると分かる

(3) BCDEFも(2)の形を為すと要求するとF=Aと成るしか無く不適

p≡1 (mod 4) のとき 1
p≡-1 (mod 4) のとき -1
これをまとめると、(-1)^{(p-1)/2}

p≡±1 (mod 8) のとき 1
p≡±3 (mod 8) のとき -1
これをまとめると、(-1)^{(p^2-1)/8}

----------------------------------------------
問題. (1)〜(4)のそれぞれについて、(-1)^x の形で表せ。

(1)
p≡1,3 (mod 8) のとき 1
p≡-1,-3 (mod 8) のとき -1

(2)
p≡±1 (mod 5) のとき 1
p≡±2 (mod 5) のとき -1

(3)
p≡1,3,7,9 (mod 20) のとき 1
p≡-1,-3,-7,-9 (mod 20) のとき -1

(4)
p≡±1 (mod 12) のとき 1
p≡±5 (mod 12) のとき -1

そろそろ>>62の正解

初等幾何の諸定理より（リンク先参照）、n=kのときの明るさはn=k-1のときと等しく、
後ろ向きの帰納法を用いると、任意のnのときの明るさは(π^2)/4である。

また、無限に大きい円の場合、観測者が受ける光の明るさは、「数直線上の原点にいる観測者が、…,-5,-3,-1,1,3,5,…の点にある光源から受ける光の明るさα」と同等である。
よって
α = 2Σ[t=1,∞] 1/(2t-1)^2 = (π^2)/4
すなわち奇数の二乗の逆数和は(π^2)/8に収束することが導ける。

更に、「数直線上の原点にいる観測者が、…,-6,-4,-2,2,4,6,…の点にある光源から受ける光の明るさβ」は、逆二乗則より「数直線上の原点にいる観測者が、…,-3,-2,-1,1,2,3,…の点にある光源から受ける光の明るさγ」の1/4になるになるはずである。
γ=α+β=(π^2)/4+(1/4)γよりγ=(π^2)/3, β=(π^2)/12
よって
β = 2Σ[t=1,∞] 1/(2t)^2 = (π^2)/12
γ = 2Σ[t=1,∞] 1/(t^2) = (π^2)/3
すなわち
偶数の二乗の逆数和は(π^2)/24に収束し、
自然数の二乗の逆数和は(π^2)/6に収束する（バーゼル問題）。

物理学で対応する事象を用いたバーゼル問題の初等的・幾何的・直感的な証明は今世紀に入ってから発表されたものである。

論文
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf
動画
http://youtu.be/d-o3eB9sfls

a,bを自然数とする。a^2+b^2をa+bで割った商をq、余りをrとすると、q^2+r=1977が成り立つという。
(a,b)を全て求めよ。
（もちろんq,rは非負整数でありr<a+b）

ヒント：r<2qを示せて、q,rが確定する。

>>143

qq+r = 1977，r<2q から q=44, r=41 が確定する。

aa+bb = 44(a+b) +41，a+b>r=41 から｛a，b｝=｛7，50｝｛37，50｝

>>144
解答は合ってるけどさすがにダメ

うむ、大事なのは過程だ

>>4
>>139
許される距離がm種類だったり、空間にしてみたり拡張を考えたくなる
できるかは別として

>>143

(a+b)q+r=a^2+b^2≧(a+b)(a+b)/2よりq≧(a+b)/2-r/(a+b)≧(a+b)/2
∴2q≧a+b>r
q^2+r=1977で2q>rを満たすのは(q,r)=(44,41)のみである。
このときa^2+b^2=44(a+b)+41⇔(a-22)^2+(b-22)^2=1009
1009は2平方数の和では(±15)^2+(±28)^2, (±28)^2+(±15)^2とのみ表されるから
(a-22,b-22)=(15,28),(-15,28),(28,15),(28,-15)　（∵a-22≧-21, b-22≧-21）
よって(a,b)=(37,50),(7,50),(50,37),(50,7)

一昔前（1977年）の数オリだけど、難問揃いの近年では考えられないくらい簡単

簡単と言いながら間違える。

>>55
(1) E.T. the Extra-Terrestrial 『E.T.』
(2) The Matrix 『マトリックス』
(3) Velocity
(4) Leaving Las Vegas 『リービング・ラスベガス』
(5) La La Land 『ラ・ラ・ランド』
(6) 12 Monkeys 『12モンキーズ』
(7) Pi 『π』
(8) Dr. No 『007 ドクター・ノオ』
(9) Seven 『セブン』
(10) Home Alone 『ホーム・アローン』
(11) The Green Mile 『グリーンマイル』
(12) The Lord of the Rings: The Fellowship of the Ring 『ロード・オブ・ザ・リング』
(13) Catch Me If You Can 『キャッチ・ミー・イフ・ユー・キャン』
(14) Gravity 『ゼロ・グラビティ』
(15) All the Money in the World 『ゲティ家の身代金』
(16) The Da Vinci Code 『ダ・ヴィンチ・コード』
(17) 2001: A Space Odyssey 『2001年宇宙の旅』
(18) Dial M for Murder 『ダイヤルMを廻せ!』
(19) Signs 『サイン』
(20) 8 Mile 『8 Mile』
有力な別解
(3) Speed 『スピード』
reddit.com/r/math/comments/815ojr

(0,1),(1,1)を結ぶ曲線のx軸周りの回転体の表面積の最小値を求めよ.

>>151
ごめんなさいミスです
(0,0),(1,1)を結ぶ曲線です

>>151
適当にサイクロイドと予想しておく

>>153
違います

>>154
有名な曲線になる？

>>155
名前は付いてるよ

>>156
じゃあアステロイド

>>157
違うかな
日常でも良く現れる曲線です

ごめんな解くのがめんどいんだわ
解くのが面白い問題じゃないだろうし、ひたすら計算って、問題としてはつまんねーし

>>158
カテナリー
これ以上はレスやめとくわ

>>159
まあ計算ゲーではあるけども
厳密にそれが最小解であることを証明するのはかなり高度な抽象論必要だし面白いと思う
>>160
そうです

有名ナリー

＿人人＿/＿/＿/＿/＿/
（＿^_)_/＿/＿/＿/＿/
_((-_-)_/＿/＿∩∩＿/
_(っц)~/＿/_(^)　)_/
_(`γ)＿/＿/_,U⌒ヽ_/
＿υυ＿/＿/(＿＿＿)/＿/＿/＿/＿/＿/＿/UU/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/要はろくろだろ。扇形なら小さくなるし、放物線なら大きくなるし、指数関数にすればもっと大きくなるんじゃない？

101頭の牛がいてどの牛も体重は整数�sである
どの1頭を除いても残りの100頭を総体重が等しい50頭ずつのグループに分けることができる
このとき全ての牛の体重は同じであることを示せ

3人の女性A,B,Cがいる。
この3人は、
100%本当のことを言う正直者
50%の確率で本当のことを言う気まぐれ
0%の確率で本当のことを言う嘘つき
が一人ずつであるが、あなたは誰がどれに対応するかはわからない。
女性間では誰がどれに対応するかわかっている。

あなたは彼女らに｢はい｣、｢いいえ｣で答えられる質問を2回行う。
2回目の質問で｢はい｣と答えさせることができればあなたの勝ちである。
2回の質問をどう行うと良いか？

ただし、各質問は一人ずつにしか行えない。

１回目：Aさんに質問
「もしあなたに『Bさんは気まぐれですか』と尋ねたら『はい』と答えますか」
２回目：１回目の答えが「はい」の場合はCさんに、「いいえ」の場合はBさんに質問
「あなたは正直者ですか」

１回目の質問で「少なくとも気まぐれではない１人」を探すのがポイント。
気まぐれでさえないことがわかっていれば、事実を聞き出したり特定の答えに誘導するのは簡単。

>>166
お見事。
論理の2回反転で嘘つきを正直者にする解法ですね。
エイプリルフールなので出してみました
あ、エイプリルフールが終わってしまったようですw

>>164
整数kgの101頭の牛に於いて同じ体重であるもの同士を同じグループとして分類せよ
全ての牛の体重が同じであることは無いとすれば2グループ以上に分類できる筈である
n(n≧2)グループに分類されたとせよ
其々のグループの牛の体重を
A[i]kg(i=1,2,3,…,n)とせよ
則ちA[n]>A[n-1]>…>A[2]>A[1]の大小関係が従う
D[i]=A[i+1]−A[i](i=1,2,3,…,n−1)とせよ
D[i]の最小値をmとし、其の時のi(かつiの中でも最小であるもの)をpとせよ
m|{D[i]|i=1,2,...n-1}
今グループA[p]の牛の1頭Xを除いて100頭の牛が総体重が等しい50頭ずつのαグループとβグループに分かれていたとせよ
此処でXの代わりにグループA[p+1]の牛の1頭Yと入れ替え、Yを除く100頭の牛の牛を総体重が等しい50頭ずつのグループに分ける操作を考えよ

Yを除外する前にYはαグループに存在していたとせよ。単純にYとXを交換しただけなれば、則ちグループαの総体重がmだけ減る

2つのグループの総体重を均衡させるにはグループαの総体重をm/2kg増やし、グループβの総体重をm/2kg減らすことが必要…★

αとβグループで牛を交換する操作で此れを行う必要があるが、A[1],A[2],…,A[n]のグループ間の体重差はmの整数倍, 則ちαグループ、βグループ間でいくら牛を交換した所で★は達成され得無い

故に全ての牛の体重は同じである

IMO系統の問題だね

>>168
A[1],A[2],…,A[n]のグループ間の体重差はmの整数倍というのが何故言えるのかが分からないです

>>170
確かにmの整数倍で無い
mより大きな体重差の牛を入れ替えてm/2kgの体重差を±し均衡させることは不可能という流れだろう

>>168
いや、論理が破綻していた様だ

>>164
ちょっとだけ一般化。
問題
2n+1枚のカードが有り、全てに正整数が書かれていていて
どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。
この時、全てのカードには同じ正整数が書かれていることを示せ。

解答
2n+1枚の和が奇数の時、和の合計から、偶数が書かれているカードがあるとすれば、
偶数枚でないといけないが、取り除くカードとして偶数のカードを選んだとき
「どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。」
ができないから、和が奇数の時は、全てのカードは奇数で無ければならない。

2n+1枚の和が偶数の時も同様の理由から、全てのカードは偶数でなければならないことがわかる。

和が正で、奇数の時は、全てのカードから１を減じ、偶数の時は、２で割る。この操作を繰り返しても、
「どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。」という性質は
維持される。１を減じるか、２で割る、という操作を繰り返すと、いつかは必ず、０に到達する。
これは、最初に書かれていた正整数が、全て等しかったことを意味する。

x^2 ≡176 (mod 353) を解け

>>174
その微分方程式の一般解はf(x)=Acosh((x+B)/A)になると思うけどどんなA,Bに対しても(0,0)は通らなくね？

(0,0)-(1,0)-(1,1).
最小値π。

>>173
素晴らしいです！
この問題が載ってた本の解答では、最軽量の牛の体重を全ての牛から引いて体重0�sの牛1頭と100頭の牛にするという手法でした

>>165
誰にでもいいから2回目に「あなたはこの質問に正直に答えますか」で良くないか？

>>8
近大数コン問題2つの解説
競争に参加するには去年から事前申し込みが必要になった

[24-437]
2005年A4
http://imgur.com/Fl4qnjr.jpg

[23-937,24-30]
2009年A6
http://imgur.com/dxasE4H.jpg

本は『白熱！無差別級数学バトル』
競技数学、趣味数学の本として面白いので買おう（ダイマ）

>>181
なんて本？

追記を見逃してた。すまんかった

x^4 ≡7 (mod 19) を解け。

>>140
これ、x を p の有理数係数多項式で表す問題だと思ってたんだけど
それでは(2)が不可能であることが証明できてしまった。

（ちなみに(1)は、上の例をずらして x=((p-2)^2-1)/8 でできる。）

以下、分母が奇数であるような分数として表せる有理数全体の集合を U とし、
2U={ 2u | u ∈ U } とする。
すなわち、2U は分母が奇数、分子が偶数であるような分数として表せる有理数全体の集合である。

[補題]
f(x) を有理数係数多項式とすると、十分大きい正整数 k が存在して、
任意の整数 n に対し f(n+2^k)-f(n) ∈ 2U が成り立つ。

[証明]
f(x) が単項式の場合:
f(x)=ax^d とおく。
a*2^k ∈ 2U となるような正整数 k をとる。
すると、
　f(n+2^k)-f(n) = a{(n+2^k)^d-n^d} = a*2^k*(整数) ∈ 2U
となる。

f(x) が一般の多項式の場合:
各項に対して上のような k をとり、その最大値をとればよい。□

[命題]
x が p の有理数係数多項式であるとき、>>140の(2)は成り立たない。

[証明]
f(p) を p の有理数係数多項式とし、
　p≡±1 (mod 5) のとき (-1)^f(p)=1
　p≡±2 (mod 5) のとき (-1)^f(p)=-1
が成り立つと仮定する。

f(p) に対し、補題のように k をとる。
　5a + 2^k*b = 1
を満たすように整数 a,b をとる。すると
　5a + 1 + 2^k*b = 2
である。補題より、
　f(2) - f(5a + 1) = f(5a + 1 + 2^k*b) - f(5a + 1) ∈ 2U
である。一方、仮定より f(2) は奇数、f(5a + 1) は偶数であるから、
f(2) - f(5a + 1) は奇数であり、f(2) - f(5a + 1) ∈ 2U に反する。　□

で、有理数係数多項式以外で何かしら綺麗に表す方法がないか探した結果、
一応次のようなものがあった。
　x=(cos(2pπ/5)-cos(2π/5))/(cos(4π/5)-cos(2π/5))

ただ、これを許してしまうと(3),(4)も三角関数と多項式補完の組み合わせですぐにできてしまうので
なんだかなあという感じ。

>>184

x^4 ≡ 7 ≡ 7 + 19*126 = 2401 = 7^4　(mod 19)


(x+7)(x-7)(xx+49) ≡ 0　(mod 19)

-49 ≡ 8 は平方非剰余なので
x ≡ ±7　(mod 19)

>>188

正n角形の頂点をA_i、辺A_i A_{i+1} 上にとった点をB_i とする。（i=1,2,…,n）
∠A_i = π - 2π/n,

B_{i-1｝A_i = x，A_i B_i = y とおくと、
第２余弦定理より
（B_{i-1｝B_i)^2 = xx + yy +2cos(2π/n）xy
　= {cos(π/n)・(x+y)}^2 + {sin(π/n)・(x-y)}^2
　≧｛cos(π/n)・(x+y)}^2,
（x+y）cos(π/n）≦ B_{i-1｝B_i ≦ x+y,
１周にわたって和をとれば
　n cos(π/n）≦ I(n) ≦ n,

・別解
　参考書のp.189の図に示されているように、辺に関する鏡映を使う。

・参考書
　佐藤淳郎（訳）『美しい不等式の世界』朝倉書店(2013)

>>188

等号成立条件（左側）は x=y より
　nが奇数のとき　…　B_i は A_i A_{i+1｝の中点
　nが偶数のとき　…　互い違いに並ぶ

（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ

(1)　p≡1 (mod 4) をみたす素数pに対して、gがpの原始根ならば、-gもpの原始根であることを示せ。
(2)　p≡1 (mod 4) をみたす素数pに対して、2はpの原始根であることを示せ。
(3)　Σ[k=1 to 2001] k^(2001) を13で割った余りを求めよ。

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

>>192の続き
(4)　2^n + n^2 (n∈N、n≧2)が素数ならば、n≡3 (mod 6) を示せ。
(5)　x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
(6)　m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | m を示せ。
(7)　1111^6666 + 2222^5555 + 3333^4444 + 4444^3333 + 5555^2222 + 6666^1111 を7で割った余りを求めよ。

24|(a-b).

24|n.

偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/2=1）
偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/4+1/4=1）
相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは不可能（∵1未満になる）
相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは不可能（∵同上）

奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】）
奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/3+1/3+1/3=1）
相異なる奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】）
相異なる奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは【C】（【D】）

>>208　訂正
　
(5)
　1以外の正則元は位数が2

>>203
死んでお詫びを。

誤 (6)　24 | m を示せ。
正 (6)　24 | n を示せ。

>>8 >>181

〔類題〕
3^k + 4^l + 5^m = 6^n を満たす非負整数の組 (k，l，m，n) をすべて求めよ。

(3,3,3,3) (3,1,1,2) (0,1,0,1)

>>181 の続き

Aが大阪市 の場合
θ_A = 35．69ﾟN
φ_A = 135．50ﾟE

大円Oの法線ｎは、
経度φ_A = 135．50ﾟE、南緯54．31ﾟS の海面を向く。

大円Oの方程式は ｎ・ｒ = 0,

経度φの経線上では
|φ-φ_A| ≦ 90ﾟ のとき　北緯 Arctan(γcos(φ-φ_A)) N
|φ-φ_A| ≧ 90ﾟ のとき　南緯 Arctan(-γcos(φ-φ_A)) S
をとおる。ここに、γ = tan(θ_A) = tan(35．69ﾟ) = 0．7184

>>212 修正

Aが大阪市 の場合
θ_A = 34．69ﾟN

大円Oの法線ｎは、…　南緯55．31ﾟS の海面を向く。

ここに、γ = tan(θ_A) = tan(34．69ﾟ) = 0．69225

>>207
1/2+1/4+1/6+1/12=1
1/2+1/4+1/6+1/18+1/36=1

A:不可能、B:分母を払えば左辺が偶数、右辺が奇数となり矛盾するため。
C:可能。D:1/1=1. もしくは 1=(1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/105)(1/1+1/11)+1/385+1/495+1/693.

>>214
確かに
相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表す
相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表す
は両方可能ですね…
なぜか2のべきの逆数を考えていました

A,B,C,D正解
Dは9個の和である
1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231=1
を用意していた

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

奇数の完全数Xは平方数にはならないので、すべての約数の個数が偶数個になる。だから、X自身以外の約数の和は完全数だからXであり、それをXで割れば、各項は分子が1で分母が奇数の和であり、合計は1になる。つまり、この奇数個の相異なる奇数の逆数の和は1になる。
だから、奇数個の相異なる奇数で逆数の和が1になるものを見つけたければ奇数の完全数を見つけてくれば簡単に求まる。
楽勝だな。

今この板で話題のネタはNG

>>227
今元気な奇数の完全数屋がいたのかｗ

Σ[n=1〜∞] 1/(n^2 -n -1) の値を求めよ

>>229
n^2-n-1はn=1/2で対称なのでΣ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=(1/2)Σ[n=-∞,∞]1/(n^2-n-1)

f(z)=πcot(πz)/(z^2-z-1)と置いて
(1-i)(N+1/2),(1+i)(N+1/2),(-1+i)(N+1/2),(-1-i)(N+1/2)を頂点とする正方形の周囲を
反時計回りに回る積分∫[C]を考えると、留数定理より
∫[C]f(z)dz = Res[z=(1-√5)/2]f(z)+Res[z=(1+√5)/2]f(z)+Σ[n=-N,N]Res[z=(1-√5)/2]f(z)
=-πcot(π(1-√5)/2)/√5+πcot(π(1+√5)/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1)
=-2πtan(π√5/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1)

ここでN→∞とすると、C上で|f(z)|=O(1/N^2)だから|∫[C]f(z)dz|→0
したがって
Σ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=πtan(π√5/2)/√5

>>229
　a>0 として
Σ[n=1,∞] 1/{nn-n+(1/4-aa)}
= Σ[n=1,∞] 1/{(n-1/2-a)(n-1/2+a)}
= (1/2a)Σ[n=1,∞] {1/(n-1/2-a) - 1/(n-1/2+a)}
= (π/2a)tan(πa),

ストローに穴はいくつある？
0？1つ？2つ？

>>234
そもそも問題間違ってない？
a=b=x=1のとき
x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N)
だけど
24 | a+b
にならん希ガス

n∈N に対して、θ= {(n-1)!+1}π/n とおく。大括弧 [・] はガウス記号とする。
(n-2)*[(cosθ)^2] + 2 の値を求めよ。

>>234

　ab ≡ 1　(mod 24)
だから
　b ≡ (ab)b ≡ a(bb) ≡ a　(mod 24)
　a ≡ a(ab) ≡ (aa)b ≡ b　(mod 24)


>>236
　n：素数のとき　n,
　n：合成数のとき　n - (n-2)sin(π/n)^2

>>236-237
nが合成数のときの答えが2になっているんだけど、なんでだろうね。数蝉2018.04,P.53

>>236は結局(n-1)!+1がnの倍数になるのはいつか聞いてるだけやね。Wilsonの定理ですな。

(n-1)!+1がnの倍数でないときは、なんで [(cosθ)^2]=1 になるのが分からんぷー

すまん、勘違いしていたわ。

半径r(>1)の円の周に中心をもつ半径1の円があるときこの2円の中心距離をrから少しずつ近づけていったときd(r)縮めたときに初めて2円の共通部分の面積が半径1の円の半分になったものとしてd(r)を定める。rd(r)の極限を求めよ。
なる問題を考えたのですがこれはsinxの3次マクローリン展開による不等式を用いれば1/6と分かりました。
この問題はrとd(r)のみの多項式による関係式が得られないことから角度を置くなどすることが難しい問題なのですが、この問題を球体で考えたらどうだろうかと思いまして、しかしすぐに球体なら簡単にπ(1-x^2)の積分でrとd(r)の関係が得られるではないかと考えました。
しかし実際には計算がかなり煩雑になってしまいました。どなたか解決してくださりませんか。この場合rの何乗のオーダーかも分かりません。

>>242
r→∞っすか？

1/4っぽい？

>>203
元ネタを見つけた。
数学発想ゼミナール１ 問3.2.16(c)(d)、第24回シュプリンガー数学コンテスト

(5)の仮定はx≡-1 (mod 24)、(6)の結論は24 | n に訂正。

(5)　x≡-1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
(6)　m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | n を示せ。

1998年3月号出題の数セミの問題持ってる人おる？

エレ解の問題

{x}をxの小数部とするとき以下の値を求めよ

lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]{n/k}

>>243
はい

>>249
中心距離ってrジャン

>>245
むかしシュプリンガーの公式サイトで、秋山仁が全30回のシュプリンガー数学コンテストをやってて、
シュプリンガーがHPページリニューアルした後も、数学コンテストの解答解説を残していたけど、
いまみると、HPすら存在しないがな

>>248
1-γっぽい

>>252
正解っぽい
1-γ = 0.4227843350984671393935

>>248
正の整数mが n≧m+1 を満たす時、
(1/n)Σ[k=1,n]{n/k}
=(1/n)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦n/k<t+1](n/k-t) + (1/n)Σ[k: 1≦k≦n/(m+1)]{k/n}
=(1/n)Σ[t=1,m](∫[n/(t+1),n/t](n/x-t + (n/[x]-n/x)dx +O(1)) + O(1/m) (O(1)は積分区間の端点のズレ補正。すなわち絶対値は一様に2以下)
=log(m+1) - Σ[t=1,m]1/(t+1) +O(m)+O(n/m).
mは任意であったから、m=[√n] (n≧2) 等と定めればこの式のn→∞での極限は 1-γ. (ただしγはオイラーの定数)

p=4n+1 (n∈N)をみたす素数pに対して、以下を証明せよ.
(1)　1, 2, …, 2n の中に, 法 p の平方剰余と平方非剰余が n 個ずつ存在する。
(2)　1, 2, …, 4n における法 p の平方剰余の中には, 偶数と奇数が n 個ずつ存在する。

>>255できた。
以下(x/p)を平方剰余記号, A={k | (k/p) = 1}, B={k | (k/p) = -1}として(-1/p)= 1だから
#A∩[1..2n] = #A∩[-2n,-1], #B∩[1..2n] = #B∩[-2n,-1] かつ #A∩[-2n,2n] = #B∩[-2n,2n] = 2nにより(1)を得る。
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とA∩{2,4,…,2n]とA∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#B∩{2,4,…,2n]=#B∩{-2n,…,-4,-2]=nである.
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とB∩{2,4,…,2n]とB∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#A∩{2,4,…,2n]=#A∩{-2n,…,-4,-2]=nである。

>>233
位相幾何学ではストローもドーナツもCDもネックレスも穴は1つ

穴は1つしかないから（格言）

3秒ほど考えた
便所荒らし糞ホモの考えですね

（ホモロジーだけに）

p を素数とする。
整数 a は p の倍数でなく、ある x, y∈Z を用いて p = x^2 - ay^2 と表される。
このとき、a は p の平方剰余であることを示せ。

>>261
p|yならp|xとなりv_p(右辺) ≧ 2> 1 = v_p(左辺)より矛盾。よってyはpの倍数でないからx/yはp進整数。このときa = (x/y)^2 (mod p)。

>>260
　いや、ホモ次郎だが…

>>192 (2) を弄ってみた
(2)’　素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。

>>264
できた。
Fqの乗法群Gは位数2pの巡回群だから2が原始根でなければ2^2≡1(mod q)であるか2^p≡1(mod q)のいずれかである。
前者ならq=3であるが仮定に反する。
後者なら準同型写像f,g:G→Gをそれぞれ2乗,p乗の写像としてker g = im fと2+qZ∈ker gにより2が平方剰余となりq≡1,7 (mod 8)となる。
一方p≡1,5(mod 8)よりq≡3,5 (mod 8)となり矛盾をえる。

gcd(15,n)=1 をみたす奇数 n に対して、Jacobi記号 (-15/n) = 1 となる n の条件を求めよ。

(-15/n) = (-1/n)(15/n)=(-1)^((n-1)/2)(3/n)(5/n)(-1)^((n-1)/2(15-1)/2)=(3/n)(5/n)以下ry
http://integers.hatenablog.com/entry/2017/07/04/125547

>>248 の類題

aをbで割った余りをa%bと書くとき lim[n→∞](1/n^2)Σ[k=1,n]n%k を求めよ

2 以上の自然数 n に対して、n と互いに素で、n より小さな全ての自然数の算術平均を求めよ。

n/2

１−π＾２／１２。

>>268
(約数の総和の1からnまでの和)/n^2の極限を1から引いたものになるね
これはどうやるのやらわからんが

>>268 >>271

1 - ζ(2)/2 - 1/n = 1 - ππ/12 - 1/n = 0.17753296657588678 - 1/n

>>268
(1/n^2)Σ[k=1,n]n%k
=(1/n^2)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦(n/k)<t+1](n-tk) + O(1/m)
=(1/n^2)Σ[t=1,m] ( n･(n/t-n/(t+1)) - t･((n/t)^2-(n/(t+1))^2)/2 + O(n) ) +O(1/m)
=-Σ[t=1,m](2t+1)/(2t(t+1)^2) +1+O(m/n)+O(1/m)
=-(1/2)Σ[t=1,m]1/(t+1)^2+1/(t(t+1)) +1+O(1/√n) (m=[√n]と定めた時)
→1-(π^2)/12 (n→∞の時)

a[0]=1, a[n+1]=a[n]+√(1+a[n]^2) とするとき lim[n→∞]a[n]/2^n を求めよ

>>268
この問題の系として
自然数mの正約数の総和をS_mとするとき
lim[n→∞](S_1+S_2+...+S_n)/n^2＝(π^2)/12
になると言えますが、初等的に(高校数学で)証明するやり方はありますか？

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単位正方形の面積を3等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ

>>288√3じゃないかな？

>>289
不正解です
もっと短く出来ます

前>>289
正方形をＹの字で区切る。三つの区切り線それぞれの長さをxとすると、
x＝(√3)/3
∴3x＝√3

>>290
面積(1/3)の三つのエリアがパッツンパッツンのパンティー履いた太ももになります。前>>291


それとも脚をななめらせろと？

ちなみに答えは直線じゃないです

>>291
直線の場合でも
正三角形よりもう少し折れたほうが短くなります

正三角形というか120°に折れたY字というか

素直にＴの字にします。
(与式)＝1＋2/3＝5/3
前>>292


1.66……＜√3 たしかに。

>>295
線分だけパターンでももっとそれより短く出来ます

以下を証明せよ。
(1)　奇素数pが a^2 + b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 4).
(2)　奇素数pが a^2 + 2b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 8) または p≡3 (mod 8).

ふつうのＹ字のパンティーよりＴバックのほうがよりパッツンパッツンとは、おもしろい問題ですね。
前>>295
>>296え、もっとパッツンパッツンにできる!?
ふんどし型か？

ちょっとおもしろいから、答え言わないで。また考えましょう。

>>297
(a/p)を平方剰余記号として
(1) (-1/p) = 1よりp≡1 (mod 4)
(2) (-2/p) = 1よりp≡1,3 (mod 8)

実質補充法則(2)の第二補充法則の証明は初等的とはいえ、そんなにスカッとは解けない希ガス

やっぱりＹ字のきわどいパンティーのほうがＴバックよりパッツンパッツンと仮定します。
太ももの境界をx、パンティーの境界をyとして(さっきはすべてxにしてた)、やり直し。
前>>298

(与式)＝x＋2y
＝1/3−(√3)/12＋2(√3/3)
＝1/3＋(7√3)/12
≪(＜(5/3)＜√3)
かなり小さい。

>>300
さすがにそこまで短くはなりません
計算間違えてないですか？

>>302
そうですね
線分パターンだとこれが最適になります

ただ曲線にするともっと短くなります

>>301パンティー部分の半分(台形)の面積を1/3にしてました。1/6でした。
前>>300
x＝2/3−(√3)/12
y＝(√3)/3
(与式)＝x＋2y
＝2/3＋(7√3)/12
＝(8＋7√3)12

>>288
最小である根拠はないけど
一辺から中心方向に2/3+√3/4-π/6の長さの垂直二等分線を引き、そこから両隣の辺に向けて単位円の12分の1円弧を引いた場合(分岐点における接線の角をそれぞれ120°とし、各辺との交点における接線を辺と直交するように引く)
分割線の長さの総和＝2/3+√3/4+π/6≒1.623

やっぱり脚をななめらせたほうがいいということですか。
前>>304
半径ｒの四分円に対角線を差した音叉のような形に三分割します。
(1/4)πｒ~2＝1/3
ｒ~2＝4/(3π)
ｒ＝2/√(3π)
四分円の弧の部分
＝(1/4)2πｒ
＝(1/2)π×2/√(3π)
＝√(3π)/3
対角線部分＝(√2)−ｒ
＝√2−2/√(3π)
(与式)＝(1/2)π×2/√(3π)＋√2−2/√(3π)
＝π√(3π)/3π＋√2−2√(3π)/3π
＝{(π−2)√(3π)}/3π＋√2

前>>306だめだ、脚が長すぎる。
単位正方形を左右対称な音叉のような形で三分割するとして、脚は一辺(底辺)に垂直に立てじゅうぶん短くします。音叉の弧と単位正方形でできる上下逆の蒲鉾形の面積は1/3であり、上に尖った扇形に等積変形できる。
(つづく)

>>305 が正解っぽい

左右の対称性を仮定して
J(f,λ)=2∫[0,1/2]√(f'(x)^2+1)dx+f(1/2)-λ(∫[0,1/2]f(x)dx-1/3)
の変分δJ(f,λ)=0を解くと
f(x)=√(1-x^2)+2/3-√3/4-π/6, λ=2
のとき極小値
J(f,λ)=2/3+√3/4+π/6
をとる

それができたら次は立方体でやってね

>>305
>>308

おーすごい まさか一晩で解かれるとは
正解です

厳密には相分離モデルを応用して平均曲率が局所一定になることを示してそこから円、線分の組み合わせということが分かってあとは頑張る感じです

>>309
3次元の場合は3等分くらいなら出来るかもしれませんが未解決なケースもかなり多いので解こうとするのは危険かもしれないです

>>264
> >>192 (2) を弄ってみた
> (2)’　素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。

少し弄ってみた。

(2)’’　素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。

>>312
訂正。

(2)’’　素数 p, q が q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。

>>313
q≡5 (mod 8)より2は法qの平方剰余ではない。よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
q≠3,5より2^4≡1 (mod q)ではない。

>>314
訂正
×：よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
○：よって2^2p≡1 (mod q)ではない。

つまり、こうでござるな。

(2)’’’　p≡±1 (mod 8) をみたす素数pに対して、2 は q の原始根でない

p、qは奇素数で、pが 2^q -1 の約数ならば、2はpの平方剰余であることを示せ。

>>317
qはp-1の約数であるがqは奇数だから(p-1)/2の約数でもある。よって2^((p-1)/2)≡1(mod p)。

単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4−1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。

∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4−1/16−ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4−1/16−ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4−ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(−24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3−6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝−ｒ/2＋15/16＋1/ｒ

扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝3
ｒ＝√3/√π

(つづく)

前>>319修正
単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4−1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。

∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4−1/16−ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4−1/16−ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4−ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(−24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3−6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝−ｒ/2＋15/16＋1/ｒ

扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝1
ｒ＝1/√π
f(ｒ)＝15/16＋√π−1/(2√π)
ちがうか。
(答え)不思議なルートパイ

やっぱりπｒ^2＝1ではない。前>>320
シャボン玉を正方形のタイルの上で三個均等にくっつけるみたいなことか。タイルの形の影響で、分岐点からタイルの一辺までが垂直なら境界線は直線で、そうでないなら曲線になるんじゃないか。

シャボン玉の境界は辺に対してより垂直になろうとするんじゃないか。
＿
γ]
￣

正方形の土地をなるべく短い境界線で金をかけずに塀を作り三人の息子たちに分け与えたい父の気持ちを想像する。
「だれが曲線の塀などこしらえるものか。こっちは有り金をなるべくむだにしたくないんじゃ!!」父は言った。「直線や、直線や!!」
前>>321「まず長男に北側の一辺をやろう。次男は東側の一辺のうち北からaだけいったところに杭を立てよ。三男は西側の一辺のうち北からbだけいったところに杭を立てよ。次男と三男の境界は東からcのところに、
0＜a＜b＜c＜1/2
となるように杭を立てよ。正方形の土地のまん真ん中に杭を立て、あとは縄を張って地境を決めろ」
息子のだれかが計算した。
「ただの三連立の一次方程式やないか」独りごちながら。
a＝1/12
b＝1/4
c＝5/12
∴示された。

ナニコレ？

a＝1/12,b＝1/4,c＝5/12
前>>322補足。
長男と次男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/2−a)^2}
＝√{1/4＋(5/12)^2}
＝(√61)/12
長男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/4)^2}
＝√(1/4＋1/16)
＝(√5)/4
次男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/12)^2}
＝(√37)/12

境界線の合計＝(√61)/12＋(√5)/4＋(√37)/12
≒0.65＋0.559＋0.507
≒1.716

厳しいなぁ!!　縄ピンと張っても1.6台にならない。

>>323問題は>>288です。
最短の境界線1.6台が出てます。


前>>324
T字帯の1.66……よりも長いとは。

前>>325単位正方形の左下に半径ｒ、面積1/3の四分円を描く。
πｒ^2＝4/3
ｒ＝2/√(3π)≒0.65147
四分円の孤ABと右辺に直交するように孤MCを描くと中心角は最大π/4だと思う。
(弧の長さ×半径÷2＝扇形の面積)より、逆に面積×2を半径で割って境界線の長さを出す。
境界線AB＝(1/3)×2÷2/(√3π)
＝√π/√3
境界線ABとMCの最大値は作図によりこれの1.5倍と考えられる。
(√π/√3)×1.5
＝1.0233256……×1.5
＝1.5349884……

前>>326訂正。
最大値→最小値

1.5倍は感覚的ですが、
前>>327
式で書くと、
境界線の最小値
＝√(3π)/2

もうすでに>>305で解かれてるのに何やってんのこいつ？

解かれていない。

Ｔ字
1＋(2/3)
＝1.66666666……
Ｙ字(X＋2Y)
＝(8＋7√3)÷12
＝1.67702964……
これらを踏まえ、三本の境界線を分岐点からX＝0.55ずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.55の位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの体積(台形)＝(0.55＋0.55＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)−1.1
＝0.2333……
Ｙ字(3X)
＝1.65
前>>328

底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.54(＞0.5 ∵左右の辺に届かないといけないから)の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.54＋0.54＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)−1.08
＝0.25333……
Ｙ字(3X)
＝1.62
前>>331これ1.6

底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.53の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.53＋0.53＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)−1.06
＝0.27333……
Ｙ字(3X)
＝1.59
前>>332これ1.6切った!!

>>333

>>303でも言いましたが線分だけの場合は>>302が最短になります
0.6を切ることはあり得ません

0.6→1.6でした

数学じゃないやん

三本の境界線を分岐点からXずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上にXの位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの面積(台形)＝{X＋(X＋a)}×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)−2X――�@
斜めの分割線について三平方の定理より、
(1/2)^2＋a^2＝X^2――�A
�@を�Aに代入して整理すると、
108X^2−192X＋73＝0
1/2＜X＜1に注意して、
X＝(16−√37)/18
3X＝(16−√37)/6
＝1.65287291……
前>>333

等積条件下で長さ最小⇒定曲率
はどうやって示すんですか？

底辺の垂直二等分線上の分岐を120°、1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の最小値
＝X＋2Y＋πｒ/3
前>>337
円弧の半径ｒ＝1−Y√3
(1/2)^2＋X^2＝Y^2＋ｒ^2
整理すると、
3X＋6Yｒ＋πｒ^2＝4
3X＋6Y(1−Y√3)＋π(1−Y√3)^2＝4
3X＋6Y−6√3･Y^2＋π−2π√3･Y＋3Y^2＝4
X＝4/3−(2−2π√3/3)Y＋Y^2
境界線の合計F(Y)＝X＋2Y＋π(1−Y√3)/3
＝4/3−(2−2π√3/3)Y＋Y^2＋2Y＋πｒ/3
＝4/3＋(2π√3/3)Y＋Y^2＋π(1−Y√3)/3
＝Y^2＋(π√3/3)Y＋π＋(4/3)
(つづく)

1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような 7 の倍数は何個あるか。

>>340
[3^6/7]=104

底辺から底辺の垂直二等分線上の分岐点までをXとして120°の角度で分岐し、半径1の1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の合計＝X＋π/3
前>>339
分割した面積＝X(1/√3)X(1/2)＋π/12−(1/2−X/√3)(1/2−X/√3)√3(1/2)＝1/3
＝(1/2√3)X^2＋π/12−(√3)/2･(1/2)^2−(√3)/2･(X/√3)^2＋(2X/√3)(√3/2)＝1/3
(1/2√3)X^2＋π/12−(√3)/8−(√3)/6X^2＋X＝1/3
π/12−(√3)/8＋X/2＝1/3
X/2＝1/3＋(√3)/8−π/12X＝2/3＋(√3)/4−π/6
境界線の最小値＝X＋π/3
＝2/3＋(√3)/4＋π/6
＝0.6666666……＋0.4330127……＋0.5235987……
≒1.623278

>>341
正解です

解説はどなたかの希望があれば