大学学部レベル質問スレ 10単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 9単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513222085/

受験数学は全然できなくて無問題
あんなのは所詮公式と解法パターンの丸暗記競争だから
ルービックキューブと一緒でやり方知ってりゃ１０秒で解法が組み上がる
大学行ったら数学や物理は勿論、化学だって高校数学なんか全く役に立たないよ
そうはいっても国公立の理系は少なくともセンター数学を受けないと入れない
国立、特に下位駅弁からは同レベルの理系単科私大等と比べて突出した才能が出ない一因でもある
俺も文系からの理系学部進学組みだけど高校で理系だった奴は暗記重視で本質を理解している奴はいなかった印象がある
何でも覚えようとしちゃうのね。理解しようとしないで
今でも私大なら理系学部で入試に数学を課してない所があるはず（理由は前述のとおり）
但し記述式の国語があるから地頭勝負になるけどね
数学や理科といった暗記科目で挽回の効く東大理系前期なんかよりある意味難関

理系思考の残念な点

・なんでも数字に置き換えて簡略化するから、複雑な物事を考える力がない
・論理性に頼りすぎてきたからアバウトな考え方ができない
・できるだけ小さく狭いミクロでものを考えるので、マクロで考える事ができる文系ほど論理的思考が 得意でない
・裏切りの少ない数学や論理性を信仰してきたから思い込みが激しく騙されやすい
・上記の理由から頭が固い
・上記の理由や世間から外れたところにいる時間が長いせいで常識、常識的な事を知らない
・上記の理由やそれによるプライドが凄いせいで成長しない、成長が遅い
・文盲だったり視野が狭いせいで、自分の何を指摘されてるのか理解できない

理系も内心では理解してるからな、実際に社会を動かすのは文系だと

立法や行政を担うのは殆どが文系だし
民間で技術職は現場のトップが精々だが文系のエリートなら経営に携われる
理系が何か開発してもそれを商業化して利益を得るのは文系

結局理系ってのは文系のエリート層の肥やしになるだけの存在
それがわかってはいるけど認めたくないから文系の下位層を見て文系全体を貶し自尊心を保つ

劣等感婆死ねー

>>2-4
このスレでは発狂しないの？

斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

p.54に、

f = i^(-1) 〇 f^- 〇 q^(-1)

などと書かれていますが、正しくは、

f = i 〇 f^- 〇 q

ですね。

何度言ってもおまえは理解しないが、おまえが定義したつもりになっているものは自然数ではなく、自然数モドキ

「1 を自然数回足した結果の実数」と定義した自然数モドキには理論内部で量化子を適用できない
∀n(n⊂N→ … )という論理式を表すための言語がないので数学的帰納法の原理を記述することすらできない
（有限個の文字による）自然数モドキの定義もできないので自然数モドキを表す言語も導入できない

おそらくおまえはメタレベルで任意だと考えられる文字nを使えばよいと考えているのだろうが、大間違い
理論には可算個の文字しかないので、メタレベルの操作で具体的に作れる論理式も可算個だけ
理論内部の量化を使わずにメタレベルの任意文字nだけでは、非可算個あるNの部分集合を網羅する公理系は作れない
何故なら事実上、それは一階の算術なので自然数モドキ全体の（理論内部での）濃度すら定まらず、Nと一致しない

>>8
ペアノ算術を知らないんですね

神ガイジだけでなく理系コンプ君も劣等感婆だったのか

前はコイツ松坂って言われてただろ
いつから劣等感婆になったんだ

松坂くんは>>7でしょ

イキリ　vs　劣等感

何も起こらないはずが無く．．．

こいつの顔まじ見てみたい。どんなひとなんだろ。

劣等感婆って何？

自然数を定義するのに「自然数回」という言葉が使われてるのは何故？

杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。

誤りを発見しました。

実数の十進小数展開についてですが、

「
定理3.9

任意の実数 x に対し、

a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N

の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。

…

このような実数 x を、

x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …

で表わす。
」


などと書かれています。

x が負の実数のとき、例えば、 -π のとき、

x = -4.8584

などと表示しないですよね。


x が負の実数のときには、

-x = [-x]. . x_1 x_2 x_3 …

x = -[-x]. . x_1 x_2 x_3 …

と書きますよね。

小平邦彦著『解析入門1』でも杉浦光夫さんと同じ誤りをおかしています。

>>16
メタな記述だからです

>>18
詳しくお願いします

>>19
定数記号0および関数記号sucを用いると、自然数はsuc(suc(suc.....suc(0)))のように形式的体系内で表現可能です
sucを重ねた回数が形式的体系内における自然数なわけですが、このsucを重ねた回数というのは、我々が形式的記述の外においてしか認識できないため、すなわちメタだというわけです

昨日も質問させてもらったのですがまだ分からないので多様体についてもう一度質問させてください。昨日のレスは下に貼っておきます。

球面は
(x,y | 0≦x≦360,0<y<180) ∪ (0,0) ∪ (0,180)
を使えば北極も南極も一意に表せるのでひとつの座標だけで覆える気がするんですがどうなんでしょうか？



981 １３２人目の素数さん sage 2018/02/27(火) 11:36:40.79 ID:RPBwz3i2
多様体の導入部分の説明で
「球面は一つの座標系で空間のすべての点を表示できません。」
みたいな記述を目にするのですが、地球上の任意の地点は経度緯度で表わせるのでひとつの座標系で事足りるように思えるのですがどこが間違ってるのでしょうか？

>>21
そこでいう座標系とはRnの開集合からの全単射よ
多分そう最初に書かれてない？

>>20
何度言ってもおまえは理解しないが、おまえが定義したつもりになっているものは自然数ではなく、自然数モドキ

「1 を自然数回足した結果の実数」と定義した自然数モドキには理論内部で量化子を適用できない
∀n(n⊂N→ … )という論理式を表すための言語がないので数学的帰納法の原理を記述することすらできない
（有限個の文字による）自然数モドキの定義もできないので自然数モドキを表す言語も導入できない

おそらくおまえはメタレベルで任意だと考えられる文字nを使えばよいと考えているのだろうが、大間違い
理論には可算個の文字しかないので、メタレベルの操作で具体的に作れる論理式も可算個だけ
理論内部の量化を使わずにメタレベルの任意文字nだけでは、非可算個あるNの部分集合を網羅する公理系は作れない
何故なら事実上、それは一階の算術なので自然数モドキ全体の（理論内部での）濃度すら定まらず、Nと一致しない

>>23
集合論を用いない自然数論の構築方法があります
知らないなら黙っててください

>>24
メタレベルでの操作では無理
というか、おまえは意味不明とばかり言っていた気がするが、
「∀n(n⊂N→ … )という論理式を表すための言語がない」という文の意味が分かる？
分からないなら本格的に勉強不足だし、
もしも分かるなら実際におまえの方法で∀n(n⊂N→ … )という論理式を書いてみなさいよ

>>25
書く必要がありません
集合論ではないので、集合という概念自体が存在しません

>>26
前提をひっくり返すな

実数体が与えられたとき、メタレベルの操作「1 を自然数回足す」によって、自然数全体を実数体の部分集合として構成できる

というのがおまえの主張だったはずだ

解析学の教科書の話なので一階の実数論ではあり得ない
（というか、一階の順序体でも結局は算術を含まないのだが）
おまえの言うように集合という概念すら制限するなら更に困難になるはずだが、それでもいいならどうぞ

>>27
そんなことは言ってません
1を足していくことで自然数を肯定できる、と言いました

まだやってんのか

>>28
おまえの口から「自然数を肯定できる」などとは初めて聞くぞ、しかも一段と曖昧な表現をするんだな？
実際にはおまえはこう言ったんだ
そして、数学的帰納法を満たすことを証明できるということは、それは自然数全体を構成できると主張するのと同じだ



552 １３２人目の素数さん [sage] 2018/02/26(月) 23:07:59.07 ID:sZqqC4tq [3/7]
>>551
その方法で定義した自然数モドキは数学的帰納法を満たすことを証明できない


553 １３２人目の素数さん [] 2018/02/26(月) 23:19:46.18 ID:i3taSSAL [2/2]
>>552
証明する必要なんてないですよね
メタに明らかです

もう一度尋ねるが
「∀n(n⊂N→ … )という論理式を表すための言語がない」という文の意味が分かるのか？

>>30
実数関係なしにペアノの手法を用いれば自然数は構成できます
何度言ったらわかるんですか？

>>31
わかりません
ちゃんとした数理論理の言葉で話してください

>>30
あと証明はしないで公理として付け加えると言いましたよね

>>32
ペアノ公理系は、おまえの言うようなメタレベルの操作「1 を自然数回足す」ではない

>>33
ちゃんとした数理論理学の言葉で書いてあるから試金石に使ってるんだよ

>>35
0とsucは実質的にそういうことですよね？

>>34
何度も言っているように、メタレベルの操作「1 を自然数回足す」を反映した公理を加えることはできない
ごく普通に理論内部にペアノの公理系を追加するなら、それはおまえの言うようなメタレベルの操作「1 を自然数回足す」とは別物になる

>>36
実質的に違うから自然数モドキという言葉で区別してるんだよ

>>37
定数記号0と関数記号sucがあればできますよね？

>>38
ペアノ算術における自然数は自然数だと認めないということですか？

>>40
ペアノ公理系は、おまえの言うようなメタレベルの操作「1 を自然数回足す」ではない

>>41
>>39これはペアノの方法ですか？

>>22
書いてありました。
これからよく読んでみます。

ありがとうございますm(_ _)m

>>20
メタレベルの言葉を使っていいなら、自然数の定義は自然数でいいですよね

>>44
形式的にはあくまでsucと0の組み合わせですよ

>>45
結局メタレベルの何かは必要なんですか？

スレが基地外２人に乗っ取られた件

>>32
あれ？話が変わっている。
実数の加法で自然数を構成すると
君は繰り返し書いていたはずだ。
別の定義をするなら、それを具体的に
書かないと話が始まらない。
ペアノ云々と言いかけていたのが
それなのかな？それにしても、
実数を援用したら、実数を定義する時点で
おそらく集合論が必要になるから、
集合論ぬきで自然数を定義したことにはならない。

数学的帰納法について言えば、自然数を
ペアノの方法で公理的に定義するのなら、帰納法は
公理のひとつ(満たさないなら自然数じゃない)と
言って終わりにすることができるが、
実数の加法にしろ何にしろ構成的に定義するなら、
数学的帰納法が成立することは
構成を挙げた人が証明しないと誰も保証してくれない。

既に定義した実数の加法を使って
ペアノ公理系の帰納法以外の部分を
満たす何かが構成できたとしても、その何かが
数学的帰納法も含む公理を満たす自然数かどうかは
誰かが証明するまでは誰も知らない。つまり、
その何かが自然数と呼んで良いものかどうかは
まだ検証されていない。
君の定義に基づいて、その「自然数」とやらが
数学的帰納法を満たすことを証明してごらんよ。

>>21に関連した質問なのですが、そもそも局所座標系を貼り合わせるメリットって何なんでしょうか？
球面を例にとれば、局所座標なぞ用いずに単純にR^3を解析すればよくないですか？
多様体を設定する意義？みたいなものがあれば教えて欲しいです。よろしくお願いします。

で、なんで昨日あんな大連投になったんだっけ？

>>51
高次多様体への埋め込みが可能かどうかは、
埋め込み定理を証明した後でないとわからないし、
同じ多様体を同じ高次多様体に埋め込むとしても
埋め込み方はひととおりではないから、
考察した性質が、多様体そのものの性質なのか
今扱っている埋め込み特有の性質なのかという
問題が残る。

まあ、局所座標系を使っても
座標系に依存しない性質か？という
問題は残るけどさ。

>>46
具体的な形式的な自然数をそれだと認識するためには、メタな知識が必要でしょうね

>>48
あなたが勝手に違うこと話してるだけじゃないですか？

>>53
「埋め込み」で検索したらいい感じの議論が出てきました。ありがとうございます。

局所座標を使えば各成分は独立になるけどより高次なユークリッド空間を使うと各成分は独立じゃなくなる、とかの話が知れてよかったです。
53の内容そのものはまだよく理解できんですがキーワードは拾えそうなので助かりました。どうも。

>>50
あなたの流儀の自然数の定義を確認したところ、どうやら自然数とは継承的集合のうち最小のもの、らしいですね
継承的集合とは、0を含み、n∈Xならn+1∈Xを満たす集合のことである

これ、0に1を足してってできたと言い換えることが可能ですね、結局

>>56
それなそれな。

要するに彼は、ペアノの第１〜第４公理だけを
満たすナニカを実数論上に構成して見せた。
そのナニカが数学的帰納法を満たすか否かについては、
メタな自然数論では数学的帰納法が成り立つ
(自分が定義したナニカについて数学的帰納法が
成り立つかどうかはスルー)と言っている。
そういうナニカを「自然数」と呼ぶことに
賛成する者は少なかろうし、少なくともペアノは
自然数の定義に第５公理(数学的帰納法)を含めた。

>>57
だから、あなたの定義も結局は私のものと同じではないか、と言ってるわけです
あなたが何に対してケチつけてるのかわかりません

>>56
それはおまえの自然数モドキの定義とは異なるし、言い換えもできない
1 を（メタレベルで）自然数回足した結果の実数は、（対象レベルの）自然数の性質の一部しか持たない
個々の自然数モドキを定義しても自然数モドキ全体の集合を定義したことにはならないので、
「継承的集合のうち最小のもの」という性質を持たない
（正確には、自然数モドキがこの性質を持つ、という命題自体が表現できない）



551 １３２人目の素数さん [] 2018/02/26(月) 22:32:09.20 ID:i3taSSAL [1/2]
>>550
それは少々おかしな議論ですね

「1 を自然数回足した結果の実数を自然数という」

最初の自然数は、メタな記述です
それに対して、後の自然数は対象を指しています
数理論理的にはこうなるでしょうね
メタな記述すら認めないとなれば、数学において何も記述することなどできないでしょう

>>59
私はそういうつもりで言ってました
それならいいですか？

継承的集合のうち最小のもの、とならないというのも理解不能ですね

>>61
正確には「継承的集合のうち最小のもの、とならない」のではない
自然数モドキ全体の集合自体が存在しないので、それが継承的集合のうち最小のものかどうか考えることすらできない
「継承的集合のうち最小のものである」という命題は「数学的帰納法の原理を満たす」と同値なので、
自然数モドキ全体が数学的帰納法の原理を満たすことを公理に加えると、おまえは提案していたが、実はその公理を述べることすらできない


おまえの方法で定義したものは0、1、2のような個々の自然数だけ
この操作を無限回続けること自体が普通は認められないし、
仮に0、1、2、…という無限個の対象を認めたとしても、今度はこれら全体の集合を定義する表現がない
「この操作を無限回続けて得られる実数の全体をNとする」？
いいや、そんな表現は厳密には認められていないので定義したことにならない

>>62
N={x|∃y x=suc(y)}∪{0}
こうとかはダメですか？

>>63
yは何ですか？

全体集合でいいんじゃないですか

具体的に何ですか？

全体集合です

具体的に何なのか説明していただくか、以前の議論であったのならば、当該レスをコピペしてもらってもいいですか？

じゃあRあたりにでもしときますか

実数ですか？

そうですね

実数は自然数なしで定義できるのですか？

あなたが定義したんじゃないですか？

>>50
射影平面とか球面の接空間とか考えてみたら？
部分多様体に関し
モノの本にははめ込み埋め込み
いろんな例が出てると思うけど
部分集合が必ずしも部分多様体にはならないから
まずは多様体の定義がなくちゃ

>>63におけるyは何ですか、という話ですが...

でもそれだとうまくいかないのか
難しいですね

>>75
あと参考までにあなたの住所を教えていただけますか？

>>77
？

>>78
いずれあなたは殺さなければならないので便利かと思ったので

>>79
通報しました

私より頭のいい人は生きていてはいけないですよね

>>63
そのyはどこから取ってくるつもりなの

>>82
なんで生きてるんですか？

劣等感婆さん芸風変えたんですね...

自分よりも頭のいい人が存在することは論理的におかしいと思うのですが、これは数学が不完全であるということの証明ではないでしょうか？

殺したい

>>82
の個人情報を求めよという問題がわかりません

>>17
そこで定義されている10進小数展開が
我々が通常用いている小数の表し方と
同じものであると記されているのですか？
勝手に同じものだと誤解しているだけ
ではありませんか？

十進数のシステムで使用する文字は0123456789.の11種類であり、そもそも負数は表現できない
表現できないので、負数を表す場合は正数に負号を付けるが、それはもはや単一の十進数ではなく数式として解釈すべき
つまり例えば-1.23は-(1.23)の意味であって-(1×(10^0)+2×(10^-1)+3×(10^-2))と同じ数を表すもの
これを-1×(10^0)+2×(10^-1)+3×(10^-2)等とヒネた解釈をする者は到底この社会には適合できないので大学どころか小学生から人生をやり直すことをオススメする

齊籐正彦線形代数読んだことある人いる？
行列の解析学後回しにしても良いかな？

>>88

x が負の実数のとき、例えば、 -π のとき、

x = -4.8584

などと表示せよというのが杉浦光夫さんの考えなのでしょうか？

もし本当だとしたら、ずいぶんと変わった人ですね。

「
定理3.9

任意の実数 x に対し、

a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N

の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。

…

このような実数 x を、

x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …

で表わす。
」

>>89

x が負の実数のとき、例えば、 -π のとき、

x = -4.8584

と表示せよというのが↓に書かれていることです。

「
定理3.9

任意の実数 x に対し、

a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N

の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。

…

このような実数 x を、

x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …

で表わす。
」

正解は「任意の実数 x に対し、」ではなく、「任意の非負の実数に対し、」ですよね。

そして、

x が負の実数のときには、

正の実数 -x の10進小数表示

-x = [-x]. . x_1 x_2 x_3 …

にマイナスの符号をつけた

-[-x]. . x_1 x_2 x_3 …

が非負の実数 x の10進小数表示になりますよね。

「
定理3.9

任意の実数 x に対し、

a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N

の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。

…

このような実数 x を、

x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …

で表わす。
」

本の一頁の何分の一かの書き込みに間違いを入れられるんだから
こいつが本を書いたら一頁にいくつも間違いを入れるんだろうな

＞が非負の実数 x の10進小数表示になりますよね。

劣等感が嵩じて生き甲斐になってんだろ

>>91
>>88を正しく読みとって下さい。

本で書かれている10進展開と
通常用いられている10進表記とが
別物だとしたら、
杉浦先生は -π をそんな珍妙な表記で
日頃から表せと言っていることには
なりません。

10進展開なら「珍妙」に見えるでしょうが、
通常の10進表記とは似て非なるものであって、
非難は的外れだということになります。

開区間(a,b)で定義された関数fがt∈(a,b)で微分可能というのは、
{f(t+h)-f(t)}/hという(a-t,b-t)で定義された関数のh→0の極限が存在する
で合っているでしょうか？
杉浦さんの解析入門を読んでいるのですがお節介なくらい色々書いているのにhの定義がされていなかったので質問してみました

（２）を、（１）のように書くのはありでしょうか？


（１）

X, Y を集合とする。
f : X → Y を可逆写像とする。


（２）

X, Y を対等な集合とする。
f : X → Y を可逆写像とする。

>>97
(a-t,b-t)で定義されたhの関数

>>99
そうです
書き忘れていました

lim[h→0](なんとか) と書けば、(なんとか) を h の関数として扱っている
ことは lim の定義に含まれている。文章で明示する必要はない。

という説明も無い

無くて当然

全微分可能の定義について質問です。わかりやすくするために、二変数実数値関数の場合を考えてみます。h=(l,m)とする。

全微分可能であるとは、あるcが存在して、lim_{h→0, h≠0}[{f(x+h)-f(x)-ch}/|h|]=0 となることをいう。

hはl,mに依存していて、h→0になるようなl,mの取り方は無数にあると思うのですが、「あるcが存在して」の後に「h→0を満たすような、どんなl,mの取り方をしても」という一文は必要ではないんでしょうか？


全微分可能の証明について
l,mの取り方は無数にありますが、なぜ有限個の取り方で全微分可能であることを証明することができるのでしょうか？

>>104
＞hはl,mに依存していて、h→0になるようなl,mの取り方は無数にあると思うのですが、「あるcが存在して」の後に「h→0を満たすような、どんなl,mの取り方をしても」という一文は必要ではないんでしょうか？

通常は「極限が存在する」の定義に「近づき方に依存しないこと」まで含まれている。
多変数でもそれは変わらない。

h→0に「h→0を満たすような、l,mの全ての取り方」の意味も含まれているということですかね？そうであれば後半の全微分可能の証明についての質問を回答していただければ結構です。

頭の悪い松阪くんか

粗探しするなら論理的な読解力は最低限身に着けておかないと…

>>106
そもそも有限個のとり方にはなってないだろう
そこからして間違い

教科書見ればlimの定義がかいてあるよ
定義をみれば任意のl,mをかんがえているのがわかるよ

伝えかたが悪かったです。
例えば
http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node21.html
のΔx=ρcosθ, Δy=ρsinθで全微分可能を証明していますが、Δx=ρsinθ, Δy=ρcosθという近づき方もあれば、Δx=0, Δy=ρsinθやΔx=ρcosθ, Δy=0の近づき方も考える必要があるのではないか？と言いたかったんです。

>>111
有限うんたらの話は忘れてください

>>111
Δx=0, Δy=ρsinθ
Δx=ρcosθ, Δy=0
は間違いです。失礼しました。

もうだめだから家庭教師雇えよ

応相談

全言撤回します。

l,mの任意の近づき方は
l=ρcosθ, m=ρsinθで表せるということですか？それ以外にはないとどうやって証明できますか？

>>116
h=ρ

l,mを平面で考えるとl=ρcosθ, m=ρsinθは原点に向かって、まっすぐ近づいていく近づき方。しかし、渦巻き状のように回転しながら近づいていく近づき方もあるのではないでしょうか？

ρもθも関数なんですよ

>>119
ありがとうございます！わかりました

>>103
まあ同意するけど、こんな事が独学者に越えられない壁になったりするんだよな

ρもθも任意にとってるから任意のx,yを
表せる

そもそも全微分の定義にhの座標なんて出てこないし（したがって全微分できるかどうかに座標の取り方は関係ない）、
hはR＾2の点なのでh=(l,m)と表せるのは当然であって、そう表したからといってhの任意性が失われたりはしない

質問者が何を勘違いしているかというと、
h=(l,m)と表したとき、h→0という極限が、lとmを順番に0に近づける極限にすり替わったと思い込んでいること
もちろんその思い込みは誤り
hをどう表そうがh→0の意味が変わったりはしない

>>124
そだねー

2変数関数の極限には「経路の取り方に依らず」ある一定の点に近づく意味が含まれていて、経路は無数にある。
だから2変数関数の全微分可能性を示すにはあらゆる経路で極限を取る必要があるってことだよね？質問者の言いたいことは。
上のレスの中でどのレスがこの疑問に答えたことになってるの？

>>124

>>127
なんで>>124が無数にある経路からどんな経路を取ってきても、
その経路に沿ってh→0としたときの値の収束先が一致することの説明になってるの？
まじわからない。

経路という考え自体が間違い
それが答え

εに対してその取り方に依存しないあるδが存在する
これよりεの任意性が示された

それでは「その取り方に依存しない」とは何か
たとえばε_1についてδ_1を構成する
次にε_2について必ずしもδ_2をつくる必要はなく
δ_1あるいはδ_3でよい
なあ？　ε-δ論法からやり直せよ

>>128
経路でなくてもいいよ
近さで計るだけ

>>128
質問者です。自分は119で分かりましたよ。

l=ρcosθ, m=ρsinθのρ,θも関数だから無数の近づき方を表現できる。って解釈しました。

>>129
経路という考えのどこが間違いか教えてください。

124じゃなくて、l=ρcosθ, m=ρsinθで全ての近づき方を表すことはできないんじゃないか？と思ったのが僕の疑問です。

いや、でもρ→0という制限がある以上、ρは任意の関数といえるのか？

極座標分かってないやつだこれ

せや 不思議な等式
h -> 0 = h = ∞ = 1/0
の哲学的意義を考察するんや！

ρとl,mは依存し合ってるから、ρがρ→0となる任意の近づき方なら、l,mにρ→0の制限があっても問題ないか...

>>129 >>130
合わせると、
ε-δに経路なんぞ無い
で終了だね

連続した経路をとるのではなく、離散的に近づくケースもあるかもしれないね

一般にh=(l,m)で、l→0としてからm→0としてh→0に至る経路と、m→0としてからl→0としてh→0に至る経路とでは、収束先が異なる関数が存在すると思うのですが、これが間違い？

積分の定義からf(x)=x^2がI=[0,a]上可積分であることを証明せよ。
(解析入門 杉浦光夫 一部改変)

整数k(0≦k≦n)に対して、x_kをIの分点とする。ただし、x_0=0, x_n=aとする。整数k(1≦k≦n)に対して、I_kをIの小区間とする。ξ_kをI_kの代表点とする。

ξ’_k=[{(x_k)^2+x_k・x_(k-1)+(x_(k-1))^2}/3]^(1/2)とおくと、ξ’_k∈[x_(k-1),x_k]
d(��)=Max(x_k-x_(k-1)), s(f;��;ξ)=Σf(ξ_k)v(I_k)とおく。
s(f;��;ξ’)=a^3/3となる。

|s(f;��;ξ)-s(f;��;ξ’)|
≦ Σ|(ξ_k)^2-(ξ’_k)^2|(x_k-x_(k-1))
= Σ|ξ_k-ξ’_k|(ξ_k+ξ’_k)(x_k-x_(k-1))
≦ 2a^2・d(��)・・・✳
(以下省略)

✳は任意の自然数k(1≦k≦n)に対して、
Σ|ξ_k-ξ’_k| ≦ a
(ξ_k+ξ’_k)/2 ≦ a
x_k-x_(k-1) ≦ d(��)
より導いた。

しかし解答には
|s(f;��;ξ)-a^3/3| ≦ 4a^2・d(��)
と書いてあるのですが、4とあえてしているということは2は間違いということですよね？どこを間違っているのか教えてください！

>>143
�凾ｪ?に文字化けしてますね

>>144
?はなんかの記号だと思ってください(汗)

一様連続な関数f(x)の化石性の証明の、
f(x)にx^2入れてなぞるだけだろう下らん。

一様連続だからうんちゃらを、
x^2関数だからうんちゃらに書き換えか。
しょうもな。

悲報　松坂君は極座標を理解してなかった

楕円座標なら分かるらしい

極座標とかいう初歩的なこともわかってなくて草

>>143
一万円で教えよう

>>142
いくらでもある

>>152
そのような関数の極限を考える場合でも経路に依らず距離だけで収束先の議論をしてよい理由がわからない。
あるいは極座標を用いることでこの問題が避けられる理由がわかりません。

>>150
初歩的な極座標の議論で解決できるということ？

多様体も分からんのか。知能が低過ぎる。

ρ→0とする過程(距離を近づける段階)でθが動くことで色んな経路を表現できるでしょうに……

>>154
どの経路でも同じ値に収束するなら全微分可能。極座標で全ての経路を表せるので、極座標で求めたい値が１つに定まるなら、どの経路でも同じ値に収束することがわかる。つまり全微分可能。経路によって値が変わるなら、具体例を出して、全微分不可能。

>>153
まあ勉強することですが
距離だけで考えて良いことが極限を持つ条件なんですよ

>>157
経路によって収束先が異なる関数はいくらでもありますよね
例えば>>142のような関数に対してはたとえ極座標を用いて極限操作を行ったとしても同じ点に収束することは従わないと思うんですが、どこが間違っているのでしょうか

>>159
経路によって収束先が異なる関数は微分不可能

ρの距離を考える
=√(l^2+m^2)の距離を考える
=lとmの距離を考える
=経路を考える

経路を考えることと距離を考えることは同じじゃないですか？経路っていうと連続っぽいですが、離散も含めます。もともと自分は経路じゃなくて近づき方って言ってたんですけどね。

p,qが1共にでない時、n!=p^q+q^pを満たす自然数(n,p,q)の組は存在しないことを示せ。

が解けません・・・

>>161
いや、これは忘れてくれ

座標変換と経路の違いがわかってないんだろう
経路ってのはy=2xみたいな一部に制限したもの
この場合は原点から一定の角度の直線しか考えてない
平面上の一部しか考えてない

極座標ってのはパラメーターのとり方変えただけで、平面上のすべての点を包含するわけなので経路のとり方とは関係ない
l,m って表し方も、横の長さがl,縦の長さがmっていってるだけで
極座標も長さがr、
角度がθって見てるだけ
結局平面上の任意の点は表せる

だれか>>143を教えてほしい

レクチャー代2万円

>>165
あってます
本では|x-y|≦|x|+|y|を使ったのでしょう

>>167
そうなんですね、ありがとございます

>>164
2変数関数の極限値について質問しています。
その定義はどんな経路に沿って極限をとっても同じ点に収束するとき、その点を極限値と呼ぶ。これが定義ですよね。
上の議論では、極座標を取ればあらゆる経路で極限をとることは距離が0になることを考えれば十分だと説明されています。
俺が理解できないのはこの部分です。

経路とかわけわかんないもの考えてないで普通に極限の定義読めば済む話じゃないですか？
それがわかれば、経路云々の話も何を言わんとしてるのか明らかですよ

典型的に位相が理解できないタイプ
もうちょっと高級になると
弧状連結性は分かるが連結性が分からんとか

コンパクトとパラコンパクトの違いもそこらへんかな？。

>>169
極限の定義は「距離を近づけていったとき」であって、任意の経路を考える、というのは一つの言い換えに過ぎないと理解してほしい

例えば原点での極限で、原点に近づく経路は、結局原点との距離が0になっているので、極座標を使おうが直交座標を使おうが、「変数の距離が近づくときに値も近づく」ということが示されていれば同じこと
繰り返し言うが、極座標ってのは座標であって、任意の点を表せるわけだから

距離空間とかノルム空間調べてそこで考えろ。
自明なことだと分かる。

>>173
そうなんでしょうか？
一変数関数の場合も右極限と左極限が一致したときに限って極限値と定義しています。
この場合は経路が２つしかないのでチェックすれば良いだけですが、
これが単なる言い換えだとすれば、右から近づけて距離を0にしたときの収束先がそのまま極限値であるという結論になってしまうのではないのでしょうか？
同じことが二変数関数の極限でも問題になると思います。例えば>>142のような二変数関数が存在しますので。

>>175
>右から近づけて距離を0にしたときの収束先がそのまま極限値
それは右極限値では？

>>175
>同じことが二変数関数の極限でも問題になると思います。例えば>>142のような二変数関数が存在しますので。
その２変数関数には極限値がないよ

>>175
とりあえず >>111 を読んでθはどうなるのかと考えるのは、それはそれで正しい。
正しいんだが、 これだけを読んで数学を学んでるなら、このスレでは永久に話が噛み合わないと思う。

これ書いてるの工学の教授みたいだし、工学における数学って計算の道具に過ぎない……というのは言い過ぎかもしれないが、往往にして証明の厳密さは置き去りだから。

厳密な証明がしたいなら「ε-δ論法で極限を学び直してこい」になるんじゃないかな。

『アルゴリズムイントロダクション』を読んでいます。

ヒープソートのところに、

「サイズ n のヒープ上の MAX-HEAPIFY の最悪実行時間が Ω(lg n) であることを示せ。」

という問題があります。

最悪実行時間が Θ(lg n) であることはすぐに分かります。
なぜ、 Ω(lg n) であることを示せという問題なのでしょうか？

最悪実行時間や最良実行時間については、 Θ 記法で書くのが自然だと思います。

一度頭を空っぽにしてε-δ論法を学び直しかなあ。
実一変数で 収束⇔右極限と左極限が一致 も、
多変数で 収束⇔全ての経路で一変数極限が一致 も、
結果的には正しい定理なのだけれど、
それを定義にしてしまうと、具体的な計算の場面で
不便というか、有効な場面がむしろ少ない。
安易に直感的にしようと思わないで、愚直に形式的な
定義に沿ってみるのがかえって早道なことも多い。

経路ってなんだよ(哲学)

数学の定義が理解できないと数学は出来ない

>>175
0．　(x,y)->(0,0)のときのlimf(x,y)を定義することを考える
1．　(x,y)->(0,0)の経路(x(t),y(t)) t->0 もしくは点列(xn,yn) n->∞とは何かを定義する
2．　(x,y)->(0,0)の経路もしくは点列においてlimf(x,y)=aをt->0もしくはn->∞による1変数関数としての極限値が経路もしくは点列に依らないという定義を考える
3．　その定義とｒ=}(x,y)|->0による定義が同値であることを見る
こんな感じで

選択公理が必要だったかも？

>>181
p:[0,1]->R^2:cont
じゃないかな
でも
ペアノ曲線みたいなのも考えるのかしら

>>175
極限の定義では右から近づく、とか左から近づく、とかではなく
「距離が近づく」とき、と定義されている
一次元なら、例えば原点との「距離」が1以下、というのは+1から-1の範囲がはいるので、右とか左は関係ないだろう
多変数でも距離が0という条件は全ての可能性を秘めている

2変数での極限値の定義は、より詳しくは、

x→0のときf（x）→c

とは

B_r:=｛（x,y）∈R^2 ┃ √（x^2+y^2）<r, （x,y）≠（0,0）｝
A_r:=｛│ f(x,y)-c│ ┃（x,y）∈B_r, （x,y）≠（0,0） ｝
M（r）:= sup A_r （max A_rのようなもの）
とおいたとき
M_r→0 （r→0）


となること
と定義されている（一番直感的な書き方だけど）
これを見れば特定の近づき方だけに限定していないのがわかるだろう（きっと）
より詳しくはεδ論法というものが世界標準である

たくさんのレスありがとう。>>175だけど、おかげで自分の疑問点がはっきりした。
x=ρcosθ、y=ρsinθと極座標変換したとき、その関数が(ρ,θ)の関数としてρ→0としたとき極限値を持てばそれは極限値になる。これはOK。
疑問なのは、極座標変換したとき、その関数からρが消えてθのみの関数になってしまった場合、ρ→0だけでは極限操作が成立しないので、どうやって極限値を求めるのかということ。

ε=1のとき、aからの距離がδ=0.1以下の任意の点で|f(x)-f(a)|<ε=1が成り立つ
ε=0.1のとき、aからの距離がδ=0.001以下の任意の点で|f(x)-f(a)|<ε=0.1が成り立つ
ε=0.01のとき、aからの距離がδ=0.00001以下の任意の点で|f(x)-f(a)|<ε=0.01が成り立つ

というようにaからの距離がδ以下の全ての範囲で誤差がε以下になることがε→0(εが永遠に0に近づいても、その都度δを変えること)で成り立つというのが極限の意味

経路で考えるというのは、aからの距離がδ以下の全ての範囲のうちの一点だけを取り上げる行為をε→0にしながら繰り返していること。距離を考えることで、定義の範囲をおさえられるから、わざわざ一点に注目する必要はない。

>>187
それは、ρが消えてθのみの関数になってしまったモノが
ρについては定数関数だから、そのモノ＝θを固定した時のρ→0の極限。
θについても定数なら、それがρ→0の極限だし、
θに依存するなら、もとの極限は収束しない。

>>187
経路がρとかθの関数になると思ってることがまずおかしいです
ρとθ以外の変数tが存在して、そのtからρとθへの写像が経路です
今は経路のうちρが0へと近づくものを考えるんですから、ρが0へと近づかない場合などはないです

>>189
関数fを極座標変換してρが消えた場合、fがθに依存せずに一定の値をとればそれがρ→0の極限値になる。これはfがθについて定数関数ということに他ならない。
関数fを極座標変換したときρが消えてθが残った場合、fはθの関数だからθの値に依存してρ→0の収束先が決まる。よってこのときfは極限値を持たないと結論付けられる？

>>191
＞fはθの関数だからθの値に依存してρ→0の収束先が決まる。よってこのときfは極限値を持たないと結論付けられる？

なにこれ
一体何を言ってるの？？？

>>124を百回読め

順番に0に近づける極限にすり替わったと思い込んでいる
順番に0に近づける極限にすり替わったと思い込んでいる
順番に0に近づける極限にすり替わったと思い込んでいる

>>182
哲学的定義を理解して上げないと、哲学ファンタジーは理解出来ないよ。

商位相空間について教えてください。
写像 f: X → Y で X の左右両端が貼り合わせで同一視されるものとします。(図を参照)
Xの位相はユークリッド平面の部分空間位相、
Yの位相は商位相空間として見た場合に入る "自然な位相" とします。

そうなると...
「？」で示したような領域(赤:境界を含まず/青:境界を含む) は Yの開集合( 点f(P)の開近傍 )って事になるんでしょうか？
逆写像がXの開集合になってるので定義上そうなると思うんですが、 ちょっと変じゃありませんか？

(参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/商位相空間 )

「？」で示した点を含める(青)含めない(赤)どっちにしようが
領域の逆写像は開集合になりませんね。
"自然な位相" はよくできてますわ。失礼しました。

いやなりますよ

不連続なのだろうw

「含めない」にしとけば穴があくだけで開集合じゃん

>>197, >>198
確かに どっちの点も「含めない(赤)」にしたら開集合ですね...
って、それ以前に
正しい逆写像はコレ↓だと気付きました。ぜんぜん開集合じゃないですね...

線分が出てるから開集合じゃない。

ほんまやー

数学科ではないのですけど教えてください。
多様体は局所的にユークリッド空間(またはm次元数空間)とみなせるそうですが、たとえば2次元極座標を考えたいときに、
ユークリッド空間の座標を極座標で考えて良いのか、
それとも極座標は多様体に描いてあるものでユークリッド空間では半径と角度の直交座標を考えるべきなのか、
イメージできずにいます。
どちらのイメージが適切なんでしょうか。

>>203
＞それとも極座標は多様体に描いてあるもので

多様体上の局所座標は張り合わせてる(ユークリッド空間の)開集合のものを援用してるんですが……
そもそも一般の多様体には角度が定義されてないけど、そこは大丈夫？

あんまり大丈夫じゃなかったです。
同じ物理法則を直交座標系でも表現できるし、極座標系でも表現できるし、そのどちらも成立する入れ物をユークリッド空間と呼んでよいのかどうか、そこがもやもやしています。
多様体の上で角度を考えるならリーマン多様体だ、というのはうっすら知ってはいましたが、多様体の入門書を見たときに登場する極座標の位置付けがピンと来ず。

C^d をd次元複素ベクトル空間とすると、C^(d×d) って何空間って言うの？
d次元行列空間っぽいけど、そんな言葉聞いたことないし検索しても見つからない
そしてC^(d×d) の基底って数に関する制約（C^d ならば基底はd個）あるの？

>>206
d^2次元複素ベクトル空間ではないの？

>>207
4次元複素ベクトル空間の元は列ベクトルだけど、C^(2×2)の元は2次元の行列じゃん？
違うものなきがする

>>203
ユークリッド空間とは何かをよく考えるべき

>>205
>多様体の入門書を見たときに登場する極座標
とは？

群の表現について学びたいです。
具体的には、量子論で扱うような群論を学びたいです。

何かおすすめの本はありますか？
ちなみに、現在のレベルは、群の基本的な定義、性質を知っている程度です。
また、表現については、線形表現の定義や、基本的な表現（ユニタリ等）を知っている程度で、指標についてはほとんど知りません。

http://d.hatena.ne.jp/yadahoiso/touch/20090603/1244035094

cM^nの定理って逆も成り立ちますか？

http://goodlg.seesaa.net/article/455861872.html

>>208
2×2=4

>>208

> >>207
> C^(2×2)の元は2次元の行列じゃん？
なんで？

>>211
リー群ならこの辺が入門だが

連続群論入門　山内、杉浦
群と位相　横田

>>203
空間と座標は別物
どんな座標を使おうと空間に影響は無い

座標の同値類で空間作るアルよ

物理空間とその数学的モデルの区別が付かないおバカ

整域の次元が１　と　任意の０でない素イデアルが極大イデアルの同値がわかりません
⇒（０）が素イデアルなので、素イデアルPを含む素イデアルがないことはわかりますが、普通のイデアルに含まれる可能性はないのですか？
⇐は大丈夫です
すごい基本的なところが抜けているせいでわからない予感がします汗
よろしくお願いします

>>220
普通のイデアルに含まれてしまったら、それを含む極大イデアルにも含まれるかと！

任意の連結無向グラフ G = (V, E) は |E| ≧ |V| - 1 を満たすことを示せ。

それがどうした

>>222

簡単な問題だと思いますが、どうですか？

|V| に関する帰納法で解けばいいのかなと思いますが、どうでしょうか？

解析入門I 杉浦光夫 で間違い見つけた！

>>225
松坂くんを目指してるのか？

>>222
1. 閉路(ループ)が存在するなら閉路を構成する任意の辺を消去する。この一手順で閉路は確実に１個以上減少する。
2. 閉路がなくなるまで 1 を繰り返す。 |E'| を消去した辺の数とする。
3. 閉路がないので端点(行き止まり)となる頂点が存在する。任意の端点とそれに接続する辺を消去する。
4. 辺が残り1個になるまで 3 を繰り返す。|V'| (= |E''| ) を 消去した頂点(辺)の数とする。
5. 最後の1辺に接続していた２頂点は残っている。
　もし消去されているとしたら接続していた他の辺も消去されている。2辺以上に接続している頂点は端点ではないので 3の手順に矛盾する。
　他に頂点が存在しないのは明らか。

1...5 より
|V | = |V'| + 2
| E | = |E' | + |E'' | + 1 = |E' | + |V' | + 1
　= | E' | + |V| - 1 ≧ |V| - 1

もっと自然言語に頼らない証明が欲しいのかな...

ちゃんと改訂しない東大さんサイドに問題がある
化学のブルースとかアトキンス見習ってどうぞ

∫[ -ε,ε]{log(x)}'dxの計算について質問があります。
この積分を実行した時、真数を負の数まで拡張すれば
∫[ -ε,ε]{log(x)}'dx= log(ε)- log(-ε)
となります。
この際、右辺はlog(ε/-ε)= log(-1)となるのか、それともlog(ε)-{ log(ε)+ log(-1)}=-log(-1)となるのか、どちらが正しいのでしょうか？
物理の教科書を読んでいて湧いた疑問ですが、内容的に数学かなと思ったのでここに質問しました。
よろしければ答えていただきたいです。

>>225
p114 例2 f=o(1)(x→a)⇔f(x)→0(x→a)

>222
任意の辺を選んで縮約(2つの端点を1つの頂点に)すると、頂点が1減り、辺は1以上減る
この操作でグラフの連結性が保たれることを示せば、あとは帰納法で簡単に証明できるかな

拡張っていうのは複素数で経路積分を考えるということだろう。
log(z) ' = 1/z
z = ε exp(iθ) と置く。dz = iε exp(iθ) dθ = i z dθ
∫ log(z) ' dz = ∫ 1/z dz = ∫ i dθ
= + iπ (経路を下にとった時)
= - iπ (経路を上にとった時)

log(-1) = log( exp(+iπ + 2π in ) ) = +i (π + 2π n) (多値関数)
経路次第なので、ある意味 ± log(-1) どっちも正しい。
普通は何周も回る経路は取らない。

>>231
ああ、それでいいと思います。
てか「連結性が保たれる」までこだわりますか....

>>232
なるほど！
図まで添えていただけたので一層分かり易かったです。
ありがとうございます。

>>227
>>231

ありがとうございました。

u, v を縮約するというのは、以下のようなことですか？

w を u, v を縮約した点とする。

u, v を V から除去した点集合に w を追加する。

u に隣接し、 v には隣接しない v 以外の点 t に対して、
(t, u) を E から除去した辺集合に (t, w) を追加する。

v に隣接し、 u には隣接しない u 以外の点 t に対して、
(t,, v) を E から除去した辺集合に (t, w) を追加する。

u に隣接し、 v にも隣接する点 t に対して、
(t, u), (t, v) を E から除去した辺集合に (t, w) を追加する。

なんか縮約という操作が嫌です。

任意の連結無向グラフ G = (V, E) には、次のような点 v が存在することを証明できるでしょうか？

v を V から除去し、 v に接続しているすべての辺を E から除去する。
この操作を行った後でも、グラフは連結のままである。

>>221
あー！そういうことでしたか、、Zornの補題で示したやつでしたっけ明日復習します
すっきりしましたありがとうございました！

>>236
除去の段階で非連結になる事を気にしたってしょうがないよ。追加の段階でまた連結になればいいんだし。

ある縮約で初めて非連結になったとする。 これは次の i または ii が成り立つことと同値である。
i. ある２点間の経路 t[1] → t[2] → t[3] → .... → t[n] が途切れて、新たな経路は存在しない。
　( t[1], t[n]は縮約前後において存在するものとする)
ii. 新しく追加された点w から、 他のある頂点 x への経路は存在しない。

i の場合
途切れか箇所のパターンは２通りしかない。どちらも迂回経路が存在する。
... → t → u(またはv) → t' → ...
... → t 除 除 除 t' → ...
... → t → w → t' → ...

... → t → u → v → t' → ...
... → t 除 除 除 除 除 t' → ...
... → t → w → t' → ...
よって全体で新たな経路( t[1] →... → t[n] ) が存在する。 (矛盾)

ii の場合
縮約前には u (またはv) から x への経路が存在したことから、wから x ヘの経路が存在するのは明らか。(矛盾)

つまり縮約で非連結になることはない。
既に冗長すぎるけど、もっと厳密に書こうと思えばいくらでも書けるだろう。

ａから一番遠い点をｂとするとａからｂ以外の点ｃまでの最短の道はｂを通らない。

>>231,238
両端同じ辺も同時に減らすとするんだろうけどさ
もともと辺の両端が同一という場合を容認して
一辺ずつ減らした方がいいじゃないかな
>>233
連結でないといかんのでは？

>>240
> 連結でないといかんのでは？
それわざわざ示さないと納得できんのか...ということです。

>>236

任意の連結無向グラフ G = (V, E) には、次のような点 v が存在することを証明できるでしょうか？

v を V から除去し、 v に接続しているすべての辺を E から除去する。
この操作を行った後でも、グラフは連結のままである。

これを使って、

>>222

を以下のように証明できます。

以下の点 v を任意に選ぶ：

v を V から除去し、 v に接続しているすべての辺を E から除去する。
この操作を行った後でも、グラフは連結のままである。

G は連結だから、 v と V - {v} の点を結ぶ辺が少なくとも 1 つは存在する。
V' = V - {v} とし、 E' を E から v と V - {v} の点を結ぶ辺をすべて除去した
集合とする。

帰納法により、

|E| ≧ |E'| + 1　≧ (|V'| - 1) + 1 = |V'| = |V| - 1

>>242

実はあるサイトに載っている解答が以下のように誤った解答でした：

以下の解答では、 G' = (V', E') が非連結になる場合があるため、
帰納法の仮定が使えません。なので誤っています。


v を V から任意に選ぶ：

G は連結だから、 v と V - {v} の点を結ぶ辺が少なくとも 1 つは存在する。
V' = V - {v} とし、 E' を E から v と V - {v} の点を結ぶ辺をすべて除去した
集合とする。

帰納法により、

|E| ≧ |E'| + 1　≧ (|V'| - 1) + 1 = |V'| = |V| - 1

簡単なのより　ハードな　ソフト。requienn

> 任意の連結無向グラフ G = (V, E) には、次のような点 v が存在することを証明できるでしょうか？
> v を V から除去し、 v に接続しているすべての辺を E から除去する。
> この操作を行った後でも、グラフは連結のままである。
これをどうしても使いたいんですね...

用語の整理から
端点: 接続する辺が1個しかない頂点、行き止まり
経路: 始点s と 終点 e を結ぶ G上の頂点/辺の有限列: s=v[0] → v[1] → ...→ v[n]=e (長さ: n)
閉路: 始点と終点が同一で他の経由点は全て互いに異なる経路、ループ

1. Gに端点が存在する場合
任意の端点 v は、目的の要件を満たす点です。
G上で異なる２点を結ぶ経路と v は無関係か始点または終点にしかなりえず(※)、除去により経路が分断される事はないからです。
※ vが中継点の箇所 → t → v → t → (辺(t,v)は(v,t)と同じ) は、最初から → t → と看做しても混乱はないだろう。

2. Gに端点が存在しない場合
頂点の有限性からGには閉路 L: s →...→ t → t' →...→ s が存在します。 (帰納法と鳩の巣原理)
Lから任意の辺 ( t, t' ) を除去してもグラフは連結なままです。
ある２点 を結ぶ経路が (t, t') を経由していたとしても、迂回路: t → ... → s → ... → t' が存在するからです。
この除去により全ての閉路(有限個)のうち少なくとも1個が消えます。

手順を繰り返せば閉路が存在しない連結グラフG' が得られます。
G' に端点が存在しないと仮定するとやはり閉路の存在が言えてしまうので、 G' には端点 v が存在します。
この v が目的の要件を満たします。
G' からvと接続辺を除去した G'' は 1と同様の考え方で連結グラフだと分かります。
G からvと接続辺を除去した G''' は G'' に辺をいくつか追加して得られます。
辺の追加で連結性が変わらないのは明らかなので、G''' は連結です。

>>245

ありがとうございました。

これで、

>>242

の証明が完成しました。

>>246
塩もない証明だけど照明は証明だな

wikipediaに偏差値の利用価値が高いのは成績の分布が正規分布に近い時だって書いてたけどそれはなんでですか？
例えばどこかに74億人テスト受けて一人が100点、他全員が0点の時、100点の人の偏差値は60万以上になると書いてたけどこのとき偏差値の利用価値はどう評価すればいいですか？
これすごく分散の小さい正規分布に近いですよね？

書いた人に聞いたら

正規分布に近いと思う奴が変
イチャモン付けるためのコジツケに過ぎん

>>250
平均m,標準偏差σのiid確率変数X1,X2,...,Xn,...に対しSn=X1+...+Xnとおくと、十分大きなnに対しSn/nは正規分布N(m,σ^2/n)に従う
n→∞とすると分散は0に近づき、その分布はDiracのδに近づく
これは大数の弱法則とも整合性がある
以上の議論より、Diracのδはある意味で正規分布に近い
これを知ってたらイチャモンつけるためのこじつけとか思うわけないよなあ
無能が口出しするとこういうことになる

>>248
偏差値をもとに席次を正規分布を使って上位何パーセントか予想するときは、特典の分布が正規分布に近くないとダメ
という当たり前の話かと

正の実数に対して定義された

f(x) = (1 + 1/x)^x

は単調増加関数であることを示せ。

解法の探求にあったな

>>252
つまり、偏差値は別に得点が正規分布になってなくてもちゃんと使えるってことですね
ありがとうございます

ところでやはり、>>249や>>250のような無能な馬鹿はネット掲示板に軽率に書き込むべきではないですね

x を正の実数とする。

n * (x^(1/n) - 1) = log(x)

を示せ。

xの説明はあるのに、何故かnの説明は無し
さすが大学レベル！

x^(1/n) = exp((1/n)*log(x))

exp(x) = 1 + x + o(x)

[exp((1/n)*log(x)) - 1 - (1/n)*log(x)] / [(1/n)*log(x)] → 0 （n → ∞）

[exp((1/n)*log(x)) - 1 - (1/n)*log(x)] / [(1/n)*log(x)]

=

[n * (x^(1/n) - 1) - log(x)] / log(x)

∴

n * (x^(1/n) - 1) - log(x) → 0 （n → ∞）

i.e.

n * (x^(1/n) - 1) → log(x) （n → ∞）

x を正の実数とする。

n * (x^(1/n) - 1) → log(x) （n → ∞）

を示せ。

>>260

f(x) = x^h は微分可能で f'(h) = x^h * log(x)

lim_[t → ∞] t * (x^(1/t) - 1) = lim_[h → 0] (x^h - 1) / h = f'(0) = log(x)

lim_[n → ∞] n * (x^(1/n) - 1) = lim_[t → ∞] t * (x^(1/t) - 1)

だから

n * (x^(1/n) - 1) → log(x) （n → ∞）

>>260

f(h) = x^h は微分可能で f'(h) = x^h * log(x)

lim_[t → ∞] t * (x^(1/t) - 1) = lim_[h → 0] (x^h - 1) / h = f'(0) = log(x)

lim_[n → ∞] n * (x^(1/n) - 1) = lim_[t → ∞] t * (x^(1/t) - 1)

だから

n * (x^(1/n) - 1) → log(x) （n → ∞）

>>259

と

>>260

ではどちらがいい解答ですか？

>>259

と

>>262

ではどちらがいい解答ですか？

「訂正します：」が無いとは松坂くんらしくないぞ、具合でも悪いのか？

自作自演するほど切羽詰まってんじゃない？

>>266
いやいや、お前はまず>>251に答えろよ無能w

>>256
自己紹介乙

>>268
言ってもわからないかもしれないけどここは質問スレなんだよね
質問する人が無能であることのどこかおかしいか？
俺は答えた人間が無能だったから無能な馬鹿と言ったまで

>>255
値は出るけど出るだけってことよ

>>270
回答ありがとうございます
でもこれって普通に点を標準化するだけなら、例えば国語と数学では得点の分布が異なるけど点をそれぞれ標準化して比較すること自体には意味があると思います
奥村春彦著の「Rで楽しむ統計」にもwikiのような記述は「酷い誤解」として紹介されているようです
https://i.imgur.com/Kkw2hUo.jpg

>>269
自分の頭で考えれない馬鹿は論外

馬鹿が上から目線で質問

今年の受験生の得点がガウス分布に従うことを調べたのか、馬鹿が

>>272
あなたはまともに会話もできそうにないように思えるので以後はスルーさせて頂きます
今後煽られても反応出来ないと思いますのでご了承ください

>>275
統計を知らん馬鹿を相手にする気は最初からない。wikiが信用できないのは公知の事実だ。
さようなら俺様

中心極限定理を教えてもらって喜ぶ馬鹿

言いたいことが後から後から
冷静さは感じられないな

Rで楽しむ統計、コマンドを打ち込んで統計が分かったつもりの馬鹿

この話題すくなくとも二度目だな、鬼の首をとったような俺様涙目

馬鹿が

>ところでやはり、>>249や>>250のような無能な馬鹿はネット掲示板に軽率に書き込むべきではないですね

のような発言をして

>冷静さは感じられないな

質問者を擁護するお前は何様？

>>271
おおよそ連続分布と見なせるものを
2つの数値だけで特徴付けられる？ってこと
そこから標本分布を作れば中心極限定理によって
規準化すれば確率極限が規準正規分布になるけど
得点分布をどう使ってる？自分がどこに居るかぐらいでしょ
そこから無作為抽出してなんてことして考察することは皆無と言って良い
つまり全然正規分布と違うのにそれを使えると騙されてるようなもんだよ

偏差値を平均と標準偏差しか使わない不適切なものにせず
実際に大小順に並べて下の方から何%の所にいるかって
全部換算させたらいいだけだと思うのになんでしないかな
無限に居るわけじゃなくてせいぜい数十万人程度なんでしょ？
大した数値処理じゃないのにね

>>281
質問者を擁護、だって
周りが全て敵に見えるほど冷静さを欠いているんだな
お前が馬鹿だというだけのことだよ

>>284
冷静さを欠いてるぞｗ

>>283
それは順位と受験者数から明らかでは

>>286
偏差値っていうあまり頭の良くない数値より
％で言われた方が正確だと思うというだけのことよ

>>282
丁寧な回答ありがとうございます
自分の点Xと平均点mとの差X-mを計算するだけであれば確かに得点分布は自分がどこにいるかくらいしか使ってないという実感はあるけど、
標準偏差で割ってるからそれなりに使える値になってると感じます(自分の相対位置の推定以外の用途、例えば異なる模試の成績、異なる教科の成績の比較をするときとか)
中心極限定理のおかげで標準偏差は頭の良い値になってるように思えるけど、標準化した得点分布の平均の分布が標準正規分布ってだけではダメってことかね
まあ小飼弾もツイッターで言ってたけどパーセンタイルで自分の位置を言われる方が正確なのは同意します

解析入門I 杉浦光夫の
p114 例2 f=o(1)(x→a)⇔f(x)→0(x→a)
は間違いではないですか！？

質問者に煽られて統計マスター発狂は草

胡亥たまなんて信奉してる奴にストーカーされるのは勘弁だなあ・・・。

成績偏差値が絡むと色々とトラウマ刺激される人も多いだろう
人間の良し/悪し を数値化しようなんて本来おこがましい事なんだよ
今回は質問者が悪いと思う。

ハズレ付き公共サービスの典型例として定評がある公教育サービスの供給側が本来品質管理されるべきなんだよ。
なんで需要者側が似非統計学でインチキ品質管理されなきゃならんのだ。

来たよ、事後処理で勝利宣言が

>>292
偏差値関連の質問してトラウマを刺激したから質問者が悪いってどういうこっちゃ
あと一応誤解の無いように言っておくけど、小飼弾は得点の分布が正規分布に従わないのになぜ偏差値を使うのか理解不能と発言して>>271の著者とかその他に反論された人だからね

オカマや山中趙広Z。
まろばし紫外線。

なんかやる事がいかにも匿名の小心者って感じだな
真っ向から反論できないから一人で話してる体を装う
わざわざ掲示板に書き込みしといてそれは無理があると気付かないもんかな

行間が開きまくってる間抜けが言うことじゃないよなあ。

流れぶった斬りだけど、>>1のwolframalphaのurlの下に簡単な使い方をまとめたサイトへのリンクがあったらいいんじゃないかなあ、と思った。

それだけ。

>>289
o(g)(x→a)の定義
lim_{x→a,x≠a}[f(x)/g(x)]=0

極限の定義
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(|x-a|<δ⇨|f(x)-b|<ε) ただしaはAの閉集合の元。

f=o(1)(x→a)⇔lim_{x→a,x≠a}[f(x)]=0
f(x)→0(x→a)⇔lim_{x→a}[f(x)]=0

lim_{x→a,x≠a}[f(x)]=0
⇔lim_{x→a}[f(x)]=0
はaがAの元でないときは成り立つけど、x∈Aのとき成り立たないんじゃないですか！？

>>299
同意

>>300
その程度の些細な間違い、いちいち同意を得ないと納得できないのか？

>>300

f(x) → 0 （x → a） ⇒ f = o(1) （x → a）

ですね。

>>302
細かいことが気になってしまう、僕の悪い癖です

＞o(g)(x→a)の定義
＞lim_{x→a,x≠a}[f(x)/g(x)]=0

が間違ってるだけ。

>>304
細かいことを気にするのは悪くない
自分で判断できることを他人に聞くのがダメ

>>306
そだねー

>>300
そもそもlim_｛x→a｝の定義に
x≠a
が入っている
極限の定義は
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<|x-a|<δ⇨|f(x)-b|<ε)
です

>>308

杉浦光夫さんの本での定義は他の本での定義と違うと思います。

関数の極限というのはもとからx=aになる点は考えない

>>309
今すぐ確認できないからわからないが
極限の定でx=aを除いて考えるというのは日本標準、ヨーロッパやアメリカでも

>>308
極限の定義、そんな変なので進めてる教科書もあるのかも知らんけど、

(杉浦, 解析入門 I p.52)
lim_{x→a, x∈B} f(x) = b または f(x) → b（x→a, x∈B)
論理記号で書けば
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈B)(|x-a|<δ⇨|f(x)-b|<ε)
となる.

となってますね。
0<|x-a|<δ だとしたら、連続な関数の定義を lim 記号で書くの面倒になるじゃん。

> x=aになる点は考えない
そういうのは、lim{x → +a} とか 、lim{x→a, x≠a} で済ませればいいんだし。

どっちが定義として優れてるんですかね？

日本では多くの本でlim_{x→a,x≠0}[f(x)]を極限の定義としてるそうですが(解析入門 杉浦光夫 p54より)

杉浦さんの解析入門は、日本では名著として知られてますよね？

0=|x-a|を許すならlim[x→a]f(x)=∞はどう書き下せばいいんですかね
定義域内の点にしか極限飛ばせないんですよね？

>>312
念の為、x∈Bがないx→aだけの時の記載については？それでx=aを含めていたら、標準からずれている
連続な関数の定義についてはおそらく君の勘違い
普通にシンプルに定義できる

>>313
そもそも、x=aを入れることに意味がない

>>314
まだそこをチェックしていないから、正しいの文脈がわからないが
標準というのは、その記号が表す論理式のことであって記号の使い方の話ではないのでは？

>>315
例えば、f(x)=1/x、定義域Bがx=0以外の実数のとき、0∈(定義域Bの閉集合)より0の極限を求めることができるが、極限は存在しない。

>>318
杉浦
aは任意の定義域Aの閉集合の元がとれる
a∈Bのとき、x=aも含める
aはBの元でないとき、x=aは含めない

その他大勢
aは任意の定義域Aの元がとれる
x=aは含めない

>>317
x=aを含めない定義だと、点列と関数の関係性の定理で不都合がおこる(解析入門I 杉浦光夫 p54)。
といっても伝わらないと思います。
(まず自分がよくわかってない)
実際に読んでみるのが早いと思います。

>>320
Bとしてますが、Aの間違いですm(_ _)m

それ連続の定義とかではないんですか？
その定義だと、不連続点では極限が定義されないってことになりますよ

>>321
そこの部分の正確な命題がすぐにはわからかいないけど
aを含む区間で定義された関数がaで連続であることの点列式の定義とεδでの定義が同値であるかどうかはx=aを含めるかどうかに関係なく成り立つ

>>323
例えば、f(x)=x (x≠0), 1 (x=0)のとき、定義域Aは実数全体、0∈(定義域Aの閉集合)より、0での極限は定義される、ただし極限は存在しない。

>>324
同値であるかどうか→同値であること
に修正

>>325
では、極限が存在しない、にしときましょうね
それでいいんですかね

>>324
p53 正確な定理

定理6.2
B⊆A⊆R^n, f:A→R^m, a∈(Bの閉集合)とするとき, 次のa),b)は同値である

a) f(x)→b (x→a, x∈B)
b) x_n→a (n→∞)となる任意のBの点列x_nに対して, f(x_n)→b (n→∞)である



p54
しかしこのような(その他大勢の)定義に対しては定理6.2のb)の点列にx_n≠aという条件をつけなければならない.

>>320
解析入門は入門書として使ったことはなく、後で定理か一部の概念を見るときにしか使ってなかったので極限の定義をちゃんと見たことは無かったが
意図的にx=aを含めるように定義しているとしたら問題ですね
標準的な物から大きくずれるし、混乱を招く
特にlimのようなずっと使うものなら

>>320
ちなみにx=Bの記載が無いものについては？その時もx=aを含めるとなっているのであれば教科書としては著しく不誠実
名著ではあるんだろうが、大きなマイナスポイント

>>330
ああ、x=Bではなくx∈Bですね

松坂君のお友達ができたのか、よかったね

>>332
そだねー

>>330
一度定義をちゃんと読んでみては？
質問の意図がよくわからなかったです。

定義域A(Bなし)のときはa∈(Aの閉集合)
B⊆A、B内でaに近づくときはa∈(Bの閉集合)

ただしa∈Aのとき B={x∈A|x≠a}ならば
lim_{x→a, x∈B} f(x)を lim_{x→a, x≠a} f(x) と記す

>>314
訂正

日本では多くの本でlim_{x→a,x≠0}[f(x)]を極限の定義としてるそうですが(解析入門 杉浦光夫 p54より)
↓
日本では「a∈Aのとき、多くの本で(杉浦本でいう)lim_{x→a,x≠0} f(x)を極限の定義としてる」(解析入門 杉浦光夫 p54より)そうですが


多くの本ではaがAの元でない点については考えませんもんね

>>327
f(x)=x (x≠0), 1 (x=0)のとき、
lim_{x→a} f(x) は存在しない
lim_{x→a, x≠a} f(x) =1
ということですね。

>>336
aは0の間違いです m(_ _)m

>>334
確認したけど、lim_｛x→a｝と定義域の明記をせずに書いたときにはx=aを含めて考えるようですね、杉浦さんは
意図的にそうしているみたいですし
標準からは大きくずれるので読者は注意、と言ったところでしょうか（例え注意書きに書いてあっても）

>>332
本質とは関係のない誤植がどうたらと違って
定義や理論の解説、というのは教科書の本質だろう
定義もちょっとした誤植ならともかく、意図的に標準のものと変えているんだから
そこに不満を言ってはいけないということはないよ
賛否は分かれるのは仕方ないにしても

では意図的に変えた理由である>>328について考えたいものですね。

標準的な教科書の>>328にあたる正確な定理とその証明が知りたいですね

そもそもみんなが納得するような「標準的な教科書」なんてあるのか？

この流れからすると杉浦ですら「標準的な教科書」ではないのだから。

>>324さんが教えてくれるとありがたいんですけどね(標準かどうかはともかく)

標準というのは殆どの教科書やレクチャーノート、論文、数学者の間の共通認識としてx=aを含めないものとして使われていると言う意味だよ（日本だけではなくね）

実際資料を閲覧できる状況になってからいくつか上げていってもいいんだけど
その前に聞いておきたいのは

>>344
>>312
は「x=aを含めないのが標準だと思わない」という認識なのか？

>>339
注意１は読んだのか、そのネタはネットに転がっているが

蛇足ながら杉浦の価値は多変数の微分を見通しよく導入してるところだと思っていた。
フレッシェ微分な

>>345
杉浦は標準じゃないって周りが言ってくるだけで
標準かどうかはどうでもいいんですけどね

今手持ちの本を見たら、
山崎圭次郎 解析学概論1 p.63 含む ( 杉浦と同様の注意書きあり )
ルディン 現代解析学 p.81 含めない
となってますね。あと、
http://mathworld.wolfram.com/Limit.html 含めない
http://planetmath.org/CauchyConditionForLimitOfFunction 含めない
どうやら 「世界標準」では「含めない」に軍配が上がりそうですね。

>>345
自分は教科書の中で一貫してるなら、どっちでも構わないかなという認識です。
・０を自然数に含める/含めない
・A ⊂ B に A ⊆ B の意味を持たせる/持たせない
その程度の好みで決まる話かと。

>>349
含めない派が標準かどうかってのはどうでもよくて、含めない派の>>328にあたる正確な定理とその証明が知りたいんですけどね
でも調べてくれて、ありがとうございます

>>345
資料が閲覧できる状況ってどういう状況ですか？

>>349

山崎圭次郎の本ってどんな本なんですか？

で、実際、どちらの定義のほうが優れているのでしょうか？

変動指数を持つルベーグ空間L^p(*)の双対はp’(*)=p(*)/(p(*)-1)に対してL^p’(*)なのに、Φ(x,t)=t^p(*)としてMusielak-Orlicz空間の双対の定義にあてはめるとギャップが生じるのは何故でしょうか？
どなたか回答をお願い致します。

最小全点木を求める Kruskal のアルゴリズム

1. E(G) = {e1, e2, …, em} を w(e1) ≦ w(e2) ≦ … ≦ w(em) と重みの小さい順に
並べる。 T = φ とおく（最終的に得られる T は最小全点木の辺集合を表す）。

2. i = 1 から 1 ずつ増やして m になるまで以下の(a)を繰り返す。

(a) T ∪ {ei} が閉路を含まなければ、 T = T ∪ {ei} と更新する。



基礎的なグラフ理論に基づく Kruskal のアルゴリズムの正当性の証明を与える。


自己ループのない連結グラフ G の辺 e = (u, v) を縮約して得られるグラフを G/e
と表記する（すなわち、両端点 u, v を同一視してさらに e を除去して得られる
グラフが G/e である）。

すると、 G の全点木 T と G の任意の辺 e に対して、 e ∈ T ならば T - {e} は
G/e の全点木 T であり、 e ∈ T でないならば T は G/e の閉路を含む。

逆に、 G/e の全点木 T' に対して、 T' ∪ {e} は G の全点木であることが言える。
これらはグラフ理論の基礎的な事実である。

12.1節 Kruskal のアルゴリズムにおいて、 G1 ≡ G/e1 の最小全点木を T1 とする。

すると、 T ≡ T1 ∪ {e1} は G の最小全点木となることが以下のようにして言える。

いま、 T^* を G の最小全点木とおく。

e1 ∈ T^* ならば、 T^* - {e1} は G/e1 の全点木であり、その重み w(T^* - {e1}) は
T1 の重み w(T1) 以上であるので、 w(T^*) ≧ w(T) となり、 T も G の最小全点木と
なる。

一方、 e1 ∈ T^* でないならば、 T^* ∪ {e1} は G の閉路 C(e1, T^*) を含み
その閉路は辺 e1 を含む（このような閉路 C(e1, T^*) は全点木 T^* に関する
辺 e1 の基本閉路と呼ばれる）。

C(e1, T^*) に含まれる e1 以外の任意の辺を e とおけば、 T^* - {e} ∪ {e1} は
G の全点木であり、さらに w(e1) ≦ w(e) であるので、 T^* - {e} ∪ {e1} の重み
w(T^* - {e} ∪ {e1}) が w(T^*) 以下である。すなわち、 T^* - {e} ∪ {e1} も G の
最小全点木となる。したがって、 G の最小全点木 T^* は e1 ∈ T^* であると
仮定できる。以上より、 T ≡ T1 ∪ {e1} は G の最小全点木であることが示せた。

>>299
要る？誰でも分かるヤン

>>355

これは浅野孝夫さんの証明ですが、粗削りですね。

>>355

次は、

G2 ≡ G1/e2 の最小全点木を T2 とする。

すると、 T1 ≡ T2 ∪ {e2} は G1 の最小全点木となる。

T ≡ T1 ∪ {e1} ≡ T2 ∪ {e2} ∪ {e1} は

>>355

より、最小全点木である。

みたいに続くわけでね？

訂正します：

>>355

次は、

G2 ≡ G1/e2 の最小全点木を T2 とする。

すると、 T1 ≡ T2 ∪ {e2} は G1 の最小全点木となる。

T ≡ T1 ∪ {e1} ≡ T2 ∪ {e2} ∪ {e1} は

>>355

より、最小全点木である。

みたいに続くわけですね？

アフィン代数多様体で位相多様体の構造が入らないものは存在するのでしょうか？

>>308
それだと合成の極限が定義できないことになるがよ

>>345
>「x=aを含めないのが標準だと思わない」という認識なのか？
x=aを含めるのが普通

>>360
自己解決しました
そもそもハウスドルフにならない場合がたくさんありますね

>>359

>(a) T ∪ {ei} が閉路を含まなければ、 T = T ∪ {ei} と更新する。

あ、なんかまずいですね。

>>355

の証明を完成させてください。

2つの極限の定義、どちらが優れてる？
http://itest.5ch.net/test/read.cgi/math/1520777561/l50

合成関数の二階偏導関数
命題6.8の行間が多すぎて、手も足も出ません。誰か教えてください！
まずf,gがC^2級ならば、なぜφもC^2級ですか？

命題6.8
https://i.imgur.com/PWw6mUz.jpg
https://i.imgur.com/HsBmNur.jpg
定理6.6
https://i.imgur.com/aFPXIsh.jpg
命題1.3
https://i.imgur.com/XCGfP0v.jpg

何も考えずに自分で手動かして計算すればいいだけですよ
fとgがC2なので、そういうことしてもいいことはわかっているわけですから
微分して答えが出たということは、C2だということです

>>366
4つの写真をまとめてみました。
https://i.imgur.com/bfQs9zY.jpg

>>367
すみません。行間が多すぎてわかりません。

まず、∂φr/∂xjを(6.11)で計算しますよね
それをさらに∂/∂xi計算すれば良いです

>>341
a_n≠0を付け加えるだけではないか？

>>342
標準、といいものの定義は人によると思うが
私は研究者の間の共通認識、という意味で使わせて貰った
もちろん一般的な教科書に採用されている割合と相関はあるだろうが
経験則で言えば、論文や講演や議論においてlimの定義にx=aを含めないものを使っていることが殆どであると認識している
後日持っている教科書やレクチャーノート、論文をいくつか上げてみよう（参考程度にしかならないと思うが）

>>346
注意1が何だったか忘れたが、例えわかりやすさを重視してたり、補足として一般的な定義を併記していても勝手に一般的に使われている記号の定義を変えるのは好ましくない、という個人の考えです

点列極限が通常の極限と一致することを言うために
選択公理が必要だったか

>>361
？何かの勘違いでは

>>362
それは、残念
宜しければ理由も聞かせて頂けると有り難い

>>372
できれば>>365に上げて欲しいです

>>351
今出張中なので家か大学にもどってから
明日か明後日には

>>377
了解

>>378
わかりました。>>351と同一人物です。

>>370
(6.11)をxiで偏微分すると、∂/∂xiが分配法則のようになるのはなぜですか？

>>371
x_n≠a のことですかね？それだけだと点列が一般性を失うと思うのですが？