>>10

0<x<y なので、与式を変形すると
2{sin(y) -sin(x)}/(y-x) > sin(x)/x,

左辺はyについて単調減少だから
2{1 -sin(x)}/(π/2 -x) > sin(x)/x,
ならば十分。そこで
f(x) = 2x{1 -sin(x)} - (π/2 -x)sin(x),
とおくと
f(0) = 0，f(π/6) = 0,
f "(x) = (x +π/2)sin(x) -2cos(x) ≦ π/3 -√3 < 0,　（上に凸)
∴　f(x) > 0　　（0<x<π/6)