>>717
f(x)をルジャンドル多項式Pk(x)で
f(x) = Σ[k=0,n]ck*Pk(2x-1)
のように展開して L^2ノルムをとると Pkの直交性より
∫[0,1]{f(x)}^2dx = Σ[k=0,n](ck)^2*∫[0,1]{Pk(2x-1)}^2dx
とあらわされる。したがって c0=c1=…=cn-1=0 のときが最小で、このとき
f(x) = Pn(2x-1)/C[2n,n] = (1/C[2n,n])Σ[k=0,n]C[n,k]C[n+k,k](-1)^(n-k)x^k
となって、最小値は
∫[0,1]{Pn(2x-1)/C[2n,n]}^2dx = 1/{(2n+1)C[2n,n]^2}

ちなみにL^∞ノルムを最小にするのはチェビシェフ多項式