ボルツァーノワイエルシュトラスの定理ってあるじゃん？

当たり前だけど奥深くて面白い

('仄')ﾊﾟｲﾊﾟｲ

（大意）
全有界かつ完備な距離空間（たとえば実数体）では、有界列は収束する部分列をもつ。
これを「点列コンパクト」と称す。

不動点定理でスレ立てたことがあるが・・・

距離空間（距離が与えられた位相空間）では
　有界列はコーシー部分列をもち（全有界）かつ
　任意のコーシー列は収束する（完備）
と
　有界列は収束する部分列をもつ（点列コンパクト）
は同値