巨大数探索スレッド14

大きな実数を探索するスレッドです。

前スレ
　http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/
巨大数研究室
　http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
巨大数 (Wikipedia)
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0
ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDFと書籍
　http://gyafun.jp/ln/
たろう氏のまとめ
　http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
Dmytro Taranovsky の順序数表記
　http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
寿司虚空編
　https://comic.pixiv.net/works/1505
巨大数研究Wiki
　http://ja.googology.wikia.com/wiki/
過去スレ
　http://ja.googology.wikia.com/wiki/5ch

乙です

もっとでかい数作ろうぜ

記号1種類でω
記号2種類でε0
記号4種類でζ_0
っていってたけど一般に2n個の記号ならどうなるの？

そのままの自然な拡張ならφ(ω,0)行くと思われる

>>4
前スレの994かな？

φ(ω,0)を超えるためにはどんな発想の飛躍が必要？

削除依頼を出しました

X=1+cos(y*log2)/2^x+cos(y*log3)/3^x+cos(y*log4)/4^x+・・・+cos(y*logn)/n^x+i*(sin(y*log2)/2^x+sin(y*log3)/3^x+sin(y*log4)/4^x+・・・+sin(y*logn)/n^x)
|X|=√(1+1/2^2x+1/3^2x+1/4^2x+・・・+1/n^2x+2*(cos(y*log3/2)/(2*3)^x+cos(y*log4/2)/(2*4)^x+cos(y*log3/4)/(4*3)^x+・・・))
-∞<y<∞
x≠1/2のとき|X|>0
x=1/2のとき|X|≧0
d/dx*|X|=0となるときx=1/2
d/dx*|X|=1/√(1+1/2^2x+1/3^2x+1/4^2x+・・・+1/n^2x+2*(cos(y*log3/2)/(2*3)^x+cos(y*log4/2)/(2*4)^x+
cos(y*log3/4)/(4*3)^x+・・・))*1/2*(d/dx)*(1+1/2^2x+1/3^2x+1/4^2x+・・・+1/n^2x+2*(cos(y*log3/2)/(2*3)^x+cos(y*log4/2)/(2*4)^x+cos(y*log3/4)/(4*3)^x+・・・))
d/dx*|X|=1/|X|*1/2*d/dx*|X|^2=0
d/dx*|X|^2=0となるときx=1/2となることを示す

　CK
ω
　1
について誰かわかりやすく教えてください

ω_1^CKは帰納的に定義可能な順序数の極限を表す順序数です、つまり帰納的に定義不可能な1番目の順序数です。非自明な収束列を持ちます。

また、順序数においてε_0などを矢印表記やBEAFで表すことはできません。厳密な説明は長くなるので省略します。

順序数につきましては、ふっしゅ氏がブログにてわかりやすく解説して下さっています。概念をつかみたいのであれば一読を推奨します。
http://ja.googology.wikia.com/wiki/ユーザーブログ:Kyodaisuu/順序数講座_(1)_はじめに

リンクを貼り直します。
http://ja.googology.wikia.com/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kyodaisuu/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%AC%9B%E5%BA%A7_(1)_%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%AB

おや…上手く貼れないようですね。順序数 解説 フィッシュで検索していただきますと一番上に出てくると思われます。

>>11~>>15
なるほど、ありがとうございます。

任意の可算順序数と自然数は1対1に対応させることができるから記号1種類で十分。
ただしその対応を定義できるかどうかというのはまた話が別

ω^CK_1の「非自明な収束列を持つ」というのは正確にはあるアルゴリズムが存在し収束列が自明に求まるということがない、ということでしょう

今計算可能関数でいちばん強いのって、バシク行列(well definedとする)？

>>17
可算順序数全体の集合ω_1は自然数と一対一対応できない

>>19
そうとは限らない
ただ最強候補の一つではある
他の候補はpDDNとかローダー数とか
行列系でバシク行列を超えそうなのもある

>>21
行列系で越えそうなものとは

>>20
任意の可算順序数「まで」です。すまん

DANから先の定義はもうできてるのか？
バシク行列はいろいろあって特定のシステムというよりひとつの分類みたいになってる。
本命はBM2ということになるんだろうが

たしかDAN以降はill-definedだったはず
更新されたのかな？

BM2ではDANの上限は
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)だよー

新しい配列を考えたよ〜〜〜
まず1変数の場合
{ａ}＝ａ　これだけ
次のレベル
{Ｅ+ａ，ｂ}という配列を考える
{Ｅ，ａ}＝ａ+1
{Ｅ+1，ａ}＝{Ｅ，Ｅ，Ｅ，…(Ｅがａ個)…　，Ｅ，ａ}＝2ａ
この後の拡張で小ウェレブン順序数は超えると思う

Eの定義を

E^^ω＝E_2とかにすると強そう

ローダーは大ラスジェン超えない気がする

>>12
0~ω0までの総和が定義できればいけるんだけどね

>>30
Ｅのテトレーション以上の定義ができるかどうかはわかりませんが
Ｅ＾Ｅ＾Ｅ＾2は大ウェブレン順序数を超えると考えられます
まだこの配列は定義が完全ではないのとＥ＾3以上では計算が終わるかどうかがわからないので
今はそこから確認をしていくのと定義を作るのをがんばっています

以下のことを考えたのですが、この程度の発想は、今までに誰か思い付いていても不思議ではないと思うので、
既存の発想を知らないだけなのか、それともどこかで破綻しているのか分からなくて困っています。
なので、既にこういう発想はあるのか、あるいは破綻しているかいないか分かる人がいたら教えてください。

ε0の定義における
ε0=sup{1, ω, ω^ω, ω^ω^ω, ω^ω^ω^ω,…}=ω↑↑ω
ω^ε0=ε0
という関係式から、
ω↑↑(1+ω)=ω↑↑ω
という形が成り立っていると解釈できると思います。
そこで思ったのですが、1+ω=ω≠ω+1の関係性から、
ω↑↑(ω+1)≠ω↑↑ω
も成り立ちそうですが、普通のべき乗の定義だと、
ω^ε0 =ω↑↑(1+ω)
であり、
ω^ε0 =ω↑↑(ω+1)
にはならないですよね。そこで思ったのですが、べき乗操作の定義として、
TypeL：ω^(ω↑↑n) = ω↑↑(1+n) ω^という演算を作用させる位置を左からと解釈
となる^と
TypeR：ω^(ω↑↑n) = ω↑↑(n+1) ω^という演算を作用させる位置を右からと解釈
となる^の2種類を考えればどうでしょうか。
すると、一般に使われているのはTypeLで、代わりにTypeRを使うことでω↑↑(ω+1)を作ることが可能だと思います。
その代わり、TypeLではω^n = nを満たす順序数が存在しますが、TypeRでは存在しません。
TypeRを使う利点は、TypeLではε1を得るための極限として、
{ε0+1, ω^(ε0+1), ω^ω^ (ε0+1),…}
という形状の基本列を作る必要があるのに対し、TypeRでは、
{ε0, ω^ε0, ω^ω^ε0, ω^ω^ω^ε0,…}
というより自然に感じる形状の基本列が構成可能となることです。
このことから、一般にも「非可換な2項演算を単項演算化して、それを使って基本列を構築する状況で、
残った引数の元の位置が右側の場合(=作用の位置が左から)は、作用の位置が右からになるように修正して単項演算化するとした方が、
2回目以降の基本列構築時、より自然な形状の基本列を構成することに繋がる」と考えています。

矢印表記やBEAFで表すことはできないというよりは非自明とか未定義とかいう話だと思う。
「おれのイメージしている矢印表記やBEAFじゃない」と言って定義できないといえばその通りではある

ωなどに^^演算は定義されません

まだ定義されていないという意味なのか

じゃあ定義しよう

で、mにωを代入したときの
Σ|Σ = ε0

みたいなやつを拡張すればできそうな気がする

こんにちは〜!今回は前回予告していた、多角形表記です。
定義は以下です。
n[3]=n^n
n[4]=n重のn[3]の中のn
一般的にn[m(mは4以上)]=n重のn[m-1]の中のn
定義は以上です。
どうでしたか？次回はアッカーマン関数を解説します。
では、さようなら!

定義がだいたい完成したぞ〜〜
おそらくＦ[Ψ(ε＿Ω+1)]レベル以上になるはずなんだが
まだこの順序数まで行くのかどうかはわからないので今はＦ[Ψ(Ω＾Ω＾ω)]レベル以上
だろうとしか言えないですが・・・

ψ(ε_(Ω+1))は小さい

きれいだったら小さくてもおけ

Ψ(ε＿Ω+1)はあくまでも推測可能な範囲なのと
まだ拡張可能なのがあるので
もっと大きくなると思います

そもそもn→ω^nの写像の定義すら確認せずに、ωの^^演算は問題なく定義されているはずと思ってました。
緩増加関数がn^^(n+1)になる順序数を作れるならそれがω^^(ω+1)相当だろうし、
大ざっぱに作り方も考えていたので多分普通に作れるだろうと思っていました。
緩増加関数の計算は基本列のみで決まるから…と安直に考えてましたが、改めて考えると、
例えばω^2+1+ωはω^2+ωだからn^2+1+nにならないし、
表示の吸収される部分とか見落としそうです。
形式的な表現ばかりなぞりすぎて、厳密なところの理解が相当グラグラだと痛感したので、
ある程度理解を深めてから出直します。

^^ は度々話題になるねえ
順序数には向いてないから使わなくて良い

ωとか^^とかわざとかってくらい顔文字だな

現在の定義だと上限がΨ(ε＿(Ω+1))だということがわかった

(^ω^)

Здравствуйте!今回はアッカーマン関数と永遠の努力の二本立てでお送りします。
1.アッカーマン関数
ルールがいくつかあります。記憶すると今後役に立ちます。
ルール1.A(0,x)=x+1で計算終了。
ルール2.A(x,0)=A(x-1,1)
ルール3.A(自然数a,自然数b)=A(自然数a-1,A(自然数a,自然数b-1))
そのため、A(3,3)=61になります。(途中式省略)
2.永遠の努力
これは、 Jonathan Bowersさんによるショートストーリーです。
ストーリー：
この物語は、10 個のカウンターを作れば 100 万ドルを提供すると宣伝する、
奇妙なカードが通りを舞っているのに気が付いた、欲張りなベントレー氏から始まります。
彼はカウンターとは何なのかも知らないままこれを引き受け、1 枚の壁に窓のある窮屈な部屋に通されました。
彼が 10 個のカウンターを作るのを手伝う、コンパドリーという名前のアシスタントを除き、彼はその部屋にひとりでいなければなりません。
（続く）

(続き）
一度カウンターを作り始めてしまうとその部屋から逃げることは許されません。
部屋には金属のディスクでいっぱいになった大きな段ボール箱が、またその箱の横には 10 本の金属の棒がありました。
コンパドリーは棒を取りそれにディスクを取り付けました。そのディスクは 10 の節に分割され、それぞれ 0–9 の番号が付けられていました。それがカウンターでした。
すでに、棒に1つのディスクが取り付けられている1つ目のカウンターは完成して、コンパドリーがそれを持っていました。2つ目のカウンター作りから始めることになりました。
二つ目は0123456789とつづき、コンパドリーのカウンターが0になりました。二個目のカウンターが完成しました。
三つめは000000000100000000020000000003....とつづき、箱の中のディスクは、いくら使っても減ることはなく常にいっぱいで、棒は窓の外に向かっていくらでも延びます。
ベントレーとコンパドリーは、睡眠と食事、トイレ以外は休まずに、休日もなく1日18時間ひたすらこの作業を続けます。
550年以上かかって、100 億枚のディスクを取り付け、3個目のカウンターが完成しました。棒の長さは、10万キロになります。そして、
コンパドリーはその3個目のカウンターを受け取り、000・・100億個・・000 にセットしました。四個目は10＾100億個のカウンター、五個めは10＾10＾10＾10こ...と十回目には、10↑↑9個になります。
果たして、10個目のカウンターが完成するときはやってくるのでしょうか？とてもやって来るとは思えません。この「永遠の努力」を終わらせる方法は、知られていません。
今回はこれでおしまいです。それでは、Хороший байк!

そんなゴミみたいな数じゃなくて
数学板的な巨大数を語ろうぜ

グラハム数ってのがあるらしい
俺には理解できんかった

バスタードが完結するまでにかかる年数をバスタード数とする

ポアンカレに勝てない

>>55
無限大は駄目だって！

2*3*√(1+1/2^2+1/3^2+2*(-1/2+1/3+1/2*1/3))=7

2*3*√(1+1/2^2+1/3^2+2*(-1/2+1/3+1/2*1/3))≠*2*3*(±1±1/2±1/3)
プラスマイナスをいれかえても左辺をあらわす右辺が存在しない

そういえばグラハム数ってグラハム問題の解の上限だから、今のグラハム数は
2↑↑↑6になるのかな

>>53
語れー！

誰か、ふぃっしゅさんみたいにこのスレッドででかい数作ってくれないかな。。
半端じゃない大きさのやつ

ふぃっしゅが作ったのは
ただのサラダなわけだけど

作ってもこのスレの住人で理解できるレベルとは思えない

>>63なにかあるん？

>>64
俺はないけど
サスクワッチでも殆どの人が脱落なのにそれ以上となるとなぁ

BEAFみたいに素人にもデカイ事だけは伝わるようなの出てこないかね

サスクワッチより大きなやつを作るためのアイデアって色々出てたりするの？

d/dx*|X|=1/√(1+1/2^2x+1/3^2x+1/4^2x+・・・+1/n^2x+2*(cos(y*log3/2)/(2*3)^x+cos(y*log4/2)/(2*4)^x+
cos(y*log3/4)/(4*3)^x+・・・))*1/2*(d/dx)*(1+1/2^2x+1/3^2x+1/4^2x+・・・+1/n^2x+2*(cos(y*log3/2)/(2*3)^x+cos(y*log4/2)/(2*4)^x+cos(y*log3/4)/(4*3)^x+・・・))

2*log2/2^(2x)+2*log3/3^(2x)+2*log4/4^(2x)+・・・+2*(cos(y*log3/2)*log6/6^x+

Σlogk/k^(2x)+Σ(cos(y*logm/n)*log(mn)/(mn)^x)=0


k>1 m>n>1
Σlogk/k^(2x)+Σ((mn)^x*cos(y*logm/n)*log(mn)/(mn)^(2x))=0

計算可能ならあるよ

BIG FOOT以降の巨大数はwell definedでないという意見もあるようで。
platnist universeを認めるかどうか

無限の無限乗の無限乗の無限乗の無限乗の・・・（これが無限の無限乗の無限乗の無限乗の・・・・・（これが無限の無限乗の無限乗の無限乗の無限乗の・・・・
（これが無限の無限乗の無限乗の無限乗の・・・・（これが無限の無限乗の無限乗の無限乗の・・・・回以上続く

と、無はどっちの方が強くて凄いですか？

「全」と「無」はどっちの方が凄くて強いですか？

>>71
俺の次に凄い

全＝無。

何も定義しなければ何も生まれない。
それは、あらゆる可能性に満ち溢れている全であるとも言えるし、
なにも存在しない無であるとも言える。
すなわち、全能とは無能。

無∈全

全は一、一は全ってイズミ師匠が言ってた

無∈全

ではない。

そもそも、それらは数ではない

你好!今回はちょっと今までのおさらいです。
それでは、1.矢印表記　3↑↑3=?　2↑↑4=? 5↑↑2=?
2.多角形表記　3[3]=? 10[3]=? 2[4]=?
3.A(x,y) A(2,3)=? A(4,0)=? A(3,2)=?
4.永遠の努力　ベントレー氏が作らなければならないカウンターの数は？
答えてみてください！それでは、再見讓我們再見面！

これらができる人は、A(x,y)の解をxとyを使って表してみよう
すごく良い計算練習になる

多変数アッカーマンしてるほうが計算練習になるぞ

順序数崩壊関数は難しいなあ

δ(x+i*y)=Σ1/k^(x+iy)=1+1/2^(x+iy)+1/3^(x+iy)+・・・
|δ(x+i*y)|=|Σ1/k^(x+iy)|=√(1+1/2^2x+1/3^2x+・・・+2*(cosy*log(3/2)/(2*3)^x+cosy*log(4/2)/(2*4)^x+・・・))
|δ(x+i*y)|=0のときd/dx*|δ(x+i*y)|=0
d/dx*|δ(x+i*y)|=0のときd^2/dx^2*|δ(x+i*y)|=0
d^2/dx^2*|δ(x+i*y)|=0のときd^3/dx^3*|δ(x+i*y)|=0
|δ(x+i*y)|=0のときlim[n→∞] d^n/dx^n*|δ(x+i*y)|=0

>>83
これは何？

>>85の続き
ここから、この定義で行くと、差をnにすれば少なくともψ(Ω_ω)までは行くことが分かる
そこで、原始数列に当たる数列を0ではなく1から始めて、(1,2,3,4,5,,,)とし、
これを(1,2,4)に圧縮
さらに、(1,2,4,6,8,10,,,)と、差が2の数列を
(1,2,4,7)に圧縮(4と7の差の3で、2が繰り返されていることを表している)

そして、(1,2,4,7,11,16,,)と、差がどんどん増えていく数列(差が無限に大きくなるのでψ(Ω_ω))の階差数列(1,2,3,4,5,,)を(1,2,4)に圧縮することにより、
(1,2,4,7,11,16,,)＝(1,2,4,8)＝ψ(Ω_ω)＝(0,0,0)(1,1,1)
このまま拡張を進めると、上限は
(1,2,4,8,16,32,64,,)だが、
(1,2,4,8,5)＝(0,0,0)(1,1,1)(2,0,0)
(1,2,4,8,6)＝(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)
(1,2,4,8,7)＝(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)
(1,2,4,8,8)＝(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)
(1,2,4,8,8,8)＝(000)(111)(222)(333)
(1,2,4,8,9)＝(0000)(1111)
(1,2,4,8,9,10)＝(00000)(11111)
(1,2,4,8,9,11)＝(0)(1,1,1,1,1,,,,)
となって、バシク行列を軽く超えると思われる

ビジービーバーに比べたらゴミ

藤林丈司

>>87
計算可能と不可能は同じ土台で考えちゃいけないよ
理解するのを拒否しないでくれ
巨大数論が発展しないじゃないか

わざわざ小さい数しか作れない方法に限定しなくていい

計算不可能限定以外は受け付けませんってこと？

計算不可能しか認めない人がいるのだ。興味ないなら無視すればいいだけなのにな
それに計算不可能レベルってある立場から見て定義不可能ととらえられることがある

「全」より大きいものは無い。
強いて言うなら「無」だけが唯一「全」と同等。

>>93
「全」と「無」ってなんのことを言ってるの？

>>92
計算不可能は定義不可能？
どんな立場だよ

勝手に条件をつけて小さい数を語るのはスレチだって言ってるの

大きな素数とか大きな完全数とか
延々語るのと同じ

俺もその気持ちは分かる
計算可能に意味があるというよりも、サスクワッチやリトルビッゲドンが理解できないから丁度いい線引きとして利用してるように見える

>>95
勉強してきたら？

>>98
ビジービーバー関数がwell-definefじゃないという論文でもあるならよろしく

そんなにかっかしなくても
あと、well-definedですよ

ハイパー原始について、なにか質問があったら言ってくださいー

>>92 >>95 >>98 >>100
意味不明な流れ

実際 >>97 の通りでしょ？

多分そうです

そんな感じ(言葉のチョイスは悪いけど)
数学に慣れてない人なら理解の流れとして計算不可能が後の方になりがち
つまり、数学に親しみのあるやつもっと来い

ビジービーバー関数の理解は難しく無いと思うのですが

たしかにその通り
でも例えば順序数を知らない人にビジービーバー関数のすごさが理解出来るのかって考えると難しい

ビジービーバー関数の大きさを語るのに
順序数は関係ないよ

いかなる帰納的定義の関数よりも大きい
これで十分

チャーチクリーネ

数学初心者
「そうなんだ」(帰納って巨大数的にどう重要なんだ？てか帰納ってなんだっけ)

確かに計算不可能は計算可能より大きいけどさ、1行でバシク行列超えたってのは凄いことだろ

どこが一行だよ

>>113
どう見ても1行なんですが・・・

定義を除いて1行なんて何の意味もない

Σ(n)

4文字

>>97サスカッチなどがwell definedでないという数論の専門家もいまして
あと計算不可能関数で定義された巨大数は具体的にどういう値かを計算機で決定することができないし、決定可能な分類として計算可能レベルを認めてもいいだろう。
・・・計算可能でも事実上決定不可能ではあるが
ほかには神託なくして計算不可能関数は定義できないとか

昔計算不可能レベルを認めると荒れてたのが逆になってるな

well definedなこと と 強いシステムを作ることを天秤にかけて
どっちを優先することが巨大数論的に健全なの

>>117
決定可能とは？
ビジービーバーに神託の要素があるか？

計算可能
ある特定の言語で記述出来るって意味しか無いよ

まぁ、計算可能にも不可能にも需要はあるから、いいではないか

>>122
それな
計算可能にも不可能にも特徴がある
wktkしてきた

さっさと計算可能と計算不可能でスレ分かれてほしいわ
何回この意味のない言い争いやってんだよ

まあこのスレ事態もう要らないんですけどね
ここから新しい何かが生まれることなんてこの先ないんだから

>>120
停止性問題って知ってる？

人の興味が湧く方に意味のあるレスが付いていくだけの話。新ネタ書かずに批判しか書いてない奴、そっちの派閥がネタ不足っていう自己紹介乙。

Ψ(Ω＿ω)レベルの関数を考えたよ〜〜〜
でもまだうまく作動するかはわからない

>>121
特定の言語で記述できるというより帰納的可算言語で記述できるが正しいかと

>>120
任意の計算不可能関数fを計算機が扱える適当な形式言語で記述して、その関数に代入する十分大きいxを用意して、f(x)=yが成り立つとして、
fとxのコードが入力されてもf(x)=yが成り立つかどうかを判定するアルゴリズムが存在しない、という意味での決定不可能です。

すべてのチューリングマシンの停止性が自明となるような形式体系は存在しないので計算不可能レベルからはどうしても神託が絡む、
ということだとは思うが自信はない

人工知能に「無限」に関する問題を与えたらどういう反応を示すのでしょうか？

>>130
計算可能と何が違う？

>>129
特定の言語で合ってるよね

>>79の答え
1.矢印表記　3↑↑3=7625597484987　2↑↑4=65536 5↑↑2=3125
2.多角形表記　3[3]=27 10[3]=10000000000 2[4]=256
3.A(x,y) A(2,3)=9 A(4,0)=13 A(3,2)=29
4.永遠の努力　1+10+10↑↑2+ 10↑↑3+10↑↑4+ 10↑↑5+10↑↑6+ 10↑↑7+10↑↑8+ 10↑↑9
>>80の答え
A(x,y)=2↑^x−2(y+3)−3
(x↑^−2 y=y+1, x↑^−1 y=x+y, x↑^0 y=x*y )
答えはあっていましたか？それでは、جيد باي

ビジービーバー関数のｎ状態２記号ってどういう意味か分かりやすく
教えてくれる方はいませんか

分かりやすく！？
そんなの俺たちに出来るわけないだろ…

今風でいうと
n命令 2値

アドレスを保持するレジスタが1個
アドレスは全ての整数値になりうる
各アドレスに対して1bitのデータを保持する

プログラムはn個の命令からなる
各命令は以下のような動作をする

switch (*addr){
case 0:
5種類の動作のどれか
case 1:
5種類の動作のどれか
}

5種類の動作は以下

A : *addr++ = 0; goto 「n個の命令の1個」;
B : *addr++ = 1; goto 「n個の命令の1個」;
C : *addr-- = 0; goto 「n個の命令の1個」;
D : *addr-- = 1; goto 「n個の命令の1個」;
E : 動作停止

データとaddrは全て0の状態で
1個目の命令から動作を開始する

>>136
質問の内容的にチューリングマシンの動作をイメージ出来てない前提でいいのかな…？
チューリングマシンの解説動画を探してみた。
http://www.nicovide○.jp/watch/s○27508501
が比較的わかりやすいと思う。シミュレータもあるし、それで動作させてみれば理解しやすいのでは？
(NG対策により○はoとmで)

やっとNG抜けれた…。
以下、補足。
・ヘッドの内部状態の数が状態数。
　ただし、wikiによれば、ビジービーバーでは停止状態はノーカウントにするっぽい。
　つまり、n状態ビジービーバーは、停止状態を含めればn+1種類。
　※シミュレータでは2つ停止状態を用意しているのでn+2種類
・テープに使用する文字の種類数が記号数。上記シミュレータでは空白も1つの文字と見なしてる
　2記号ってのは、0か1しかテープにないってイメージ。
　ビジービーバーでは、初期のテープが全箇所0って前提があったと思う。
　人により0を空白と呼ぶ場合も別の記号と考える場合もあるっぽい。シミュレータでは別の記号としている。

void main(){
char *addr = 0;

command_1:
switch (*addr){
case 0: *addr-- = 1; goto command_2;
case 1: *addr++ = 1; goto command_3;
}

command_2:
switch (*addr){
case 0: return;
case 1: *addr-- = 0; goto command_1;
}

command_3:
switch (*addr){
case 0: *addr-- = 1; goto command_0;
case 1: *addr++ = 0; goto command_1;
}
}

こんな感じのプログラムを内蔵した機械
上の例は3状態2記号の例
case の中身が機械によっていろいろと違う

このプログラムは
無限に動作し続けるか、いずれ停止する(returnに到達) するかのいずれかである。

3状態2記号の機械の中で停止するものだけを選ぶ
この中で、停止した時のデータ1の個数が最大の機械を選ぶ
最大の機械の停止時の1の個数がΣ(3)である。

n状態2記号の機械は (4n+4)^(2n) 個存在する

n状態2記号の機械の中で、
停止する機械は存在する
停止する機械は有限個である

よって、
nに対し、停止時の1の個数には最大値が存在する

これがΣ(n)

goto を通った回数の最大値は最大シフト関数と呼ばれる

ビジービーバー関数、最大シフト関数ともに、
定義は簡単なのに、非常に増大度の大きい関数である

初期状態のデータの値を与えることで、
さらに大きな関数になる。

たとえば、
Σ(n) の値となりうる番地だけ1、それ以外を0
という初期状態で始めたビジービーバーを考えた場合、
計算不可能次数が1個あがった、非常に大きな関数となる。

>>133計算可能であればfごとにアルゴリズムが存在し、そのアルゴリズムの複雑さに対応する帰納的公理化可能な理論が存在します。
>>134合ってはいますが、計算不可能関数も特定の言語で記述できますし。
1階述語論理による文をオラクルで与えられた適当な視点(集合論の何かしらの完全無矛盾拡大とか)から読み解くとか。

>>148
何が言いたいのか良くわからん

計算可能であればアルゴリズムが存在し...
ってほとんど定義そのまま

後半、
合っているなら「○○の方が正しい」も何も無いですね

ビジービーバーが巨大数の出発点
チューリングマシン語n語で記述可能な数の最大値

更に巨大な数を定義するために
言語の表現力を上げていく

言語の表現力を上げていって矛盾スレスレ
が究極の巨大数を作れる言語

「n文字で定義出来る最大数」
に限りなく近づいていく

矛盾スレスレといってもそもそも無矛盾性の証明が不可能でf(a)=bやf(a)<bが本当は正しくても事実上証明できない曖昧さが残る

Bonjour!今回はチェーン表記です。
定義
ルール1: a→b→c=a↑^c b (矢印表記を使用)
ルール2: a→…→b→1=a→…→b
ルール3: a→…→b→1→c=a→…→b
ルール4: a→…→b→(c+1)→(d+1)=a→…→b→(a→…→b→c→(d+1))→d
これもA(x,y)の様に、再帰で定義されています。
ちなみに3→3→3→3の時点でグラハム数を超えてしまいます。
次回はふぃっしゅ数v1とv2でお送りします。それでは、Bonne baye!

>>151
無矛盾性の証明とか
計算可能であってもどうせ無理だから

√(1+1/2^2-2*(1/2))=1/2 ←1の大きさと1/2の大きさのベクトルの向きががπだけ異なるベクトルの和の原点からの距離
√(1+1/2^2+1/3^2-2*(1/(2*3)+1/2+1/3))=0.799305254 i　
√(1+1/2^2+1/3^2+1/5^2-2*(1/(2*5)+1/(3*5)+1/(2*3)+1/2+1/3+1/5))=1.15421931 i
√(1+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2-2*(1/(7*2)+1/(7*3)+1/(7*5)+1/(2*5)+1/(3*5)+1/(2*3)+1/2+1/3+1/5+1/7))=1.37577849 i
2番目からは1と1/2と1/3のおおきさのベクトルが互いにπだけ異なった方向を指さなければならないため原点からの距離が実数にならない

>>153
ZFCを基準にして証明することはできるしtwitterの企画なんかはそうしてた。ZFCを超えるものをどう扱うつもりなのかは分からんが

>>150
なんの前提条件も無しに形式言語で計算不可能関数を定義するのは不可能で、真の算術なりplatnist universeなりの構成不可能な
ふわふわした概念を前提とする必要がある。
platnist universeがなんなのかは英語版の住民に聞いて

ビジービーバー関数の定義はふわふわした概念を前提としてるか？

バシク行列システムは拡張したらどれくらい大きな数になるのかなあ

>>158
バシク行列システム自体が強力すぎるので、生半可な拡張では大きくならないよね
海外勢は、Transfinite BMSと呼ばれる、バシク行列を拡張したものを作っていて、
(0)(1,1,1,,,)＝(0)(1[1]1)
こんなふうに圧縮するんだけど、画期的に大きくなったと言えるかどうか

計算可能かどうかを判別するチューリング機械では、例えば2記号の「2」とかがあるから、
数理論理学のメタとしてチューリング機械を導入するなら、結局ふわふわとした素朴自然数論を用いてると思うんだけど

特定の言語で記述可能と言う意味しかない
→いかなる言語でも記述不可能な巨大数を求めているっていう受け取り方がずれていた。
計算不可能レベルとしてはあながち間違いでもなかった。

関係ないけど最近googleがiPhoneをプレゼントしてくれるページに飛ばされがち

KPにBIG FOOTのOrdに相当するものをくっつけて（L_{Ord(x)}がKP+「L_{Ord(y)}（ただしy<x）のクラスが存在する」のモデルになっている、みたいな）KP+「再帰的到達不能基数の存在」ぐらいの強さになるとか

>>160
計算可能かどうかを判別するチューリング機械？？？？
何を言ってるのこの人

>>163
チャーチチューリングのテーゼから計算可能関数の定義にはあらゆるパターンがあってチューリング機械を使うものもある
巨大数のwikiもそうなってる

定義と判別は別

いやだからチューリング機械で判別するのが計算可能関数の定義の一部なの
分からない人だねぇ

チューリングマシン語で記述可能な関数が計算可能な関数

判別する能力とか関係ない

定義と判別と翻訳がごちゃごちゃになってる？

チューリングマシン
ただの言語の1個

めんどいから有識者が来るまで待つわ

どうでも良いけど
大きな実数の探索に結び付かないことは他でやってね

გამარჯობა!今回はF1とF2です
F1.S変換と呼ばれる変換を以下で定義します。
S(m,f(x))=(g(m),g(x))
ただしg(x)は以下です。
B(0,x)=f(x)
B(x,0)=B(x-1,1)
B(自然数a,自然数b)=B(自然数a-1,B(自然数a,自然数b-1))
g(x)=B(x,x)
[2] SS変換と呼ばれる、(自然数, 関数, 変換) の3つ組から同様の3つ組への写像SSを定義します。
SS(m,f,S)=(S^f(m)(m,f),S^f(m))
f^何らかの関数(n)=何らかの関数(n)をm回重ねる
ここで右辺は((自然数, 関数), 変換)の形をしているが、これを(自然数, 関数, 変換)の3つ組と同一視します。。
3つ組 (m0,f0,S0) を m0=3, f0(x)=x+1, S0 はS変換とするとき、
SS^63(m0,f0,S0)
の第1成分をふぃっしゅ数バージョン1、第2成分をふぃっしゅ関数バージョン1とします。
F2は,,,もう明日やります。

グラハム数も大きな実数ではある

>>157
任意のチューリングマシンの停止性が自明となるようにビジービーバー関数を形式的に定義できる言語が存在しない、
というような感じです。
(形式的に定義できないというのは読みとく側の問題でもあって、この言い方もあまり正しくはないが)

F2は、やっぱ明日のE表記と同じ時にやります。あと1day待ってください。

>>174
もうちょっと詳しく

¡Hola!今回はE表記とF2です。
1.E表記
定義
E(b)a=b^a
E(c)a#b=c↑↑b↓a(↓..左から計算する矢印表記)
E(d)a#b#c = E(d)a#(E(d)a#(E(d)a#(E(d)#(...(c回...(E(d)a#b)...(c回)...))
E(f)a#b#c#d = E(f)a#b#(E(f)a#b#(E(f)a#b#(E(f)a#b#(...(E(f)a#b#c)...)) (d個のEa)
以下同様にして増えていきます。
2.F2
F2は、g(x)を定義するまではF1と同じですが、g(x)を定義したあと、S*と言う新しい変換を定義します。
(S∗f)(x)=(S^x f)(x)
SS変換の定義も異なっています。
SS(m,f,S)=((S^f(m)f)(m),(S^f(m))∗f,S^f(m))
そして、
3つ組 (m0,f0,S0) を m0=3, f0(x)=x+1, S0 はS変換とするとき、
SS^63(m0,f0,S0)
の第1成分をふぃっしゅ数バージョン2 F2、第2成分をふぃっしゅ関数バージョン2 F2(x) とします。
どうでしたか？次回はアッカーマン関数の応用編です。それでは、¡Buen baye!

十分強い矛盾した体系を取って来れば停止するチューリングマシンの非停止性を自明にすることはできる

そりゃ矛盾からは何でも導けるから

バシク行列システムのＢＭ２の説明が載っている所ってある?

https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/2-77942065

안녕하세요!今回はアッカーマン関数の応用編です。
1.多変数アッカーマン
定義
X : 0個以上の0以上の整数
Y : 0個以上の0
a, b : 0以上の整数
A(Y,a)=a+1
A(X,b+1,0)=A(X,b,1)
A(X,b+1,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,a))
A(X,b+1,0,Y,a)=A(X,b,a,Y,a)
2.F1の近似
F1≒A(1,0,1,63)
どうでしたか？次回は膨張、爆発、爆轟です。それでは、안녕!

巨大数を作った場合って、どこに投下したら精査してくれるの？

まずは自分で精査しなさい

konnnitiha!今回は膨張、爆発、爆轟です。
1.a{b}c=a↑^b c
膨張は、
a{a{⋯{a}⋯}a}a(中心からb個のa)
となります。
爆発は、
a {{{1}}} b=a {{a {{a・・b times・・{{a}}・・・b times・a}} a}} a
となり、爆轟は
a{{{{{1}}}}}bとなります。
医科がでしたか？次回はF3を解説します。
それでは、sayounara!

いつまでゴミの解説を続けるつもり？

このスレがゴミ箱だって全員が認めるまで

これがビジービーバー関数の定義だといってもその定義文をビジービーバー関数の定義として解読する環境を記述することができない。「ビジービーバー関数」という言葉でちゃんと同じ関数を共有できているかを形式的に保証するすべが存在しない。計算可能であれば存在する。
グーゴロジストなら気にしないのかもしれない。
しかしラヨ関数からの拡張って計算可能レベルに還元して考えるとあまり大したことないような、
それに定義する前の問題としてユニバースをどうするかとか

>>174
停止性が自明となる→停止性の決定可能性が自明となる

たまにこのスレで見るplatnist universeって何なの？
数学的プラトニズムっぽいのは分かるが

qonnnitiwa!今回は今までのおさらいです。
1.チェーン　3→4→2=? 4→2→2=?
2.F1 S(2,x+2)=? S(4,x+3)=?
3.E# E10#2=? E(3)3#3#3=?
4.多変数アッカーマン A(0,0,4,1)=? A(0,1,2,0)=?
5.爆発 3{{1}}2=? 4{{1}}2=?
wakalimasuka?soredeha,sayounala!

うーん　自分で考えた配列の評価に時間がかかるーーー

自分で評価も出来ないようなのはどうせゴミだよ

むしろ簡単に評価できてしまうほうじゃないかね
評価が定まっていないのならラヨ関数以降の巨大数とかがそうだし

ラヨ関数はそもそも定義の細部が完成してないから

いつ頃完成しますかね

まずplatnist universeを認める派と認めない派にわかれる

任意のチューリングマシンが停止するか停止しないかが決まってるとか、そんな数学ではとらえきれない宇宙、なんだろう

そりゃ決まってるに決まってる

宇宙って集合論のモデルだと思ってたんだけど、集合論のメタである計算機科学の概念なの？

矢印使ってる時は定義をしっかり吟味して地道に具体的に計算してたのに 集合論に足を踏み入れた瞬間用語の定義やら具体例やらすっ飛ばしてサラダを量産するの 少し悲しい

こ〜たえ
3↑↑4 （何兆桁もの数）256
わからん」わからん「
10^10^10 わくぁらん
65533 うぁくぁるぁん
3↑^3↑↑↑3 3 4↑^4↑↑↑↑4 4
以上ｄえす

しょうがない

集合論関連はTaranovsky先生もapproximatelyとお茶を濁してる。
チューリングマシンの停止性はそりゃ決まってるもんだけど形式的にはそうでもないというやつで、
前ビジービーバー関数がwell definedでないと言ってたのは今思うとそのへんのことを言ってたのだろうか？
いづれにせよビジービーバー関数ってそういうもんでもないんだけど

理解の範囲を越えてるから原始的な方法を語る
ってだけだろ

計算可能な手続きによる巨大数の定義は
具体的に計算アルゴリズムを示せることが唯一の取り柄
だから具体的な計算アルゴリズムの形で定義しないと
チューリングマシン語でも普通のコンピューター言語でもフローチャートでも何でも良いけど

ZFは無矛盾かどうか決まってるけど分からないのと同じ？

計算不可能関数は原理的に形式的な理解が不可能で、そういうところ人によってはけっこう気にするんだと思うわ
数学的プラトニズムを定義に認めない専門家もいることだし、とはいえこの件は数学的プラトニズムを数学的に明らかにしていないというのが問題なだけかもしらんが

>>206
そんなところかね。無矛盾かどうかは最初から決まっている、しかし無から明らかにする方法が存在しない

>>207
理解できないのは頭が悪いから

ビジービーバー関数ならまだしも、ラヨ関数あたりはどういうのを定義と認めるかがデリケートで、それにグーゴロジーを言語の追究と考えるのであれば計算可能か不可能かとかいうのは問題にならなくて、
たとえばラヨ関数のもととなっているFOSTよりも計算可能なCoCのほうがある意味言語としては強い
platnist universeを数学的に明らかにしないグーゴロジストの怠慢という批判はあるかもしれない

「言語」と言う言葉のつかいかたにすこし揺れがあって、ただ純粋に論理としての言語を指すのであればFOSTでビジービーバー関数を無条件で定義することはできないし、そういう解釈だとラヨ関数もビジービーバー関数と変わらない

BEAFのレギオン配列と次元とレベルrの配列表記がよくわかりません
わかりやすく教えてください。

急増加関数が１つの自然数と１つの順序数からより大きな自然数を作るように
１つの順序数と１つの順序数を超えたなにかからより大きな順序数を作ることは
出来るのでしょうか

順序数を越えたなにかですか
まずはすべての順序数の存在を明らかにしたらその後に見えてくるかも？

急増加関数は
非可算無限に到達出来ない

また(定義可能な)全ての急増加関数は
ある可算順序数に対する急増加関数で抑える事が出来る

Hardyの急増加関数は
順序数を与えただけでは定義にならない

>>210
結局
ある言語を定義して
その言語n文字で定義可能な最大の実数
をその言語のビジービーバー関数
とするわけだよね

今厳密に(細部まで含めて)定義出来てる言語って
チューリングマシン語とその派生以外に何がある？

n文字じゃなくて、
ゲーデル数にした時のn以下
の方が良いかな

記号としての言語ならそれこそ0と1だけでどんな関数も定義できてしまうし、ユニバースの問題だという見識は共有できてるという前提でいいんだろうか

>>217
ビジービーバー関数だと「定義可能であること」の定義がいたちごっこになって数学的にはナンセンスになる。
「厳密に(細部まで含めて)」というのが定義文をどう解釈してもひとつの関数の定義になっていることをいうのであれば、
ビジービーバー関数を定義できる言語は存在しない、不完全性定理から導かれる

「定義可能な言語として」存在しないと言っとかないとだめだった

定義可能であることが厳密でないことはよく分かったが、そこにplatnist universeが出るのは謎
まずこのuniverseはグロタンディーク宇宙などの宇宙と同じでいいの？

>>219
言語は当然定義しないとダメだよ

◯◯言語による記述
ゲーデル数がn以下の物の中で実数の定義になってる物だけを選んで
その中の最大値をf(n)とする
n以下で実数の定義になってる物が1個もなければ
f(n)=0とでもしておく

あとは言語を定義するだけ

ゲーデル数でなくても
n以下の記述が有限通りであれば
文字数でも何でもいい

有限通りでなくても
最大値が決まればそれでもいい

正しい実数の定義になってるかどうか
をその◯◯言語で出来る必要はない

(◯◯言語の記述を◯◯言語で判別するのは無理だから当然)

関数自体(f)を◯◯言語で記述する必要も無い

定義が正しいかどうかは定義とは別の領域で行う
(証明が正しいことを証明するのと同じ)

その定義かどうかの議論が計算不可能レベルだとどういう領域をとっても形式的に構成していくのが不可能で、
これがある種の厳密性の限界になる。
計算可能レベルでもZFCとかを無条件で信じること前提になってるだろといわれればその通りだが、
計算不可能レベルだと実際に構成された理論を前提とすることもかなわなくなる。

>>223の言う言語って何ですか

ただ単に記号の集まりと言うのであればFOSTによる記述の判別をFOSTで記述するのは可能で、
無矛盾性の強さやモデルの取り方の問題だったりする。

ラヨ関数で言うFOSTは何らかの宇宙を前提とした話だろう

>>228
◯◯言語の特定の表現が実数が定義されてるかされてないか
なんて考える必要はない
言語自体の定義が正しくされてるかだけを
(考えたい人が)考えれば良い

>>229
ちゃんと定義された物だと
チューリングマシン語

チューリングマシン語
停止する表現のみ実数が定義され、
停止した時の1の個数をその実数の定義とする

>>229
もっと簡単なのだと

0〜9までの数字を使って普通の10進数を表記する言語
0〜9 とべき乗の記号 ^ からなる言語
など

厳密に決める為には
「0文字の場合は実数定義にはなっていない」
「0^0 が現れた場合には実数定義にはなっていない」
など細部が明確になっている必要がある

より一般的に

自然数全体をN
ある言語の表現全体の集合をL
Nから(Lの部分集合)への写像をa
ある集合S
LからS∪{undefinef}への写像b
{Sの部分集合}xNからNへの写像c

f(n) = c(b(a(n)), n)
が言語Lのビジービーバー関数

普通のビジービーバー関数の場合

L : 2記号のチューリングマシンすべて
a(n) : nステートのチューリングマシン
S : 自然数全体
b(l) : チューリングマシンlが停止する場合は停止時の1の個数、停止しない場合は'undeflined'
C([自然数の部分集合], n) : [自然数の部分集合]の最大値

巨大な実数探索なので

R 実数全体
{Sの部分集合}xNからRへの写像c
ですね

Sを直接実数としなかったのは
Sが順序数だったり関数だったり自然数の部分集合だったり
って事があるかなと思って

たとえば
Sが順序数の部分集合で
言語Lによって順序数を定義すれば
そのままHardyの急増加関数になる

あとは表現力の大きな言語Lを定義するだけ

表現力が大きすぎるとbの定義が難しくなっちゃったりもするけど

>>235
細かいところは色々と間違ったけど
意味はわかるよね？

もうちょっと簡単に

N : 自然数全体
L : ある言語の表現全体の集合 (ある集合)
L[n]: Lの部分集合
val : L ---> N∪{'undefined'}

とし、
∀n∈Nに対して、val(L[n]) は有限集合であるとする

この時、
関数fを以下のように定義する

BB[L, L[n], val](n) = max(N∩val(L[n])∪{0})

少なくともこれに関して曖昧性は無いよね

自然数全体というのがけっこう曖昧だったりする

>>231のあとに>>238というのはつまり大枠だけ定義して中身は各自自分で考えればいいという理解でおｋ？
表現と言うのは複数の解釈があってもなんとなく、数学的な根拠はないけどこういう解釈をすればこういう意味になることを指すのか、
それともどう解釈しても一意に定まるようでなければならないのか？　前者の意味であれば万能でもないチューリングマシンが扱う言語でビジービーバー関数を表現できる

いや、
自然数全体が曖昧
とか言い出したらそれはこのスレの範疇ではないでしょ

複数の解釈なんてありません
表現に対して、1個の数値が定まるか定まらないかの何れかです
そういう物が数学板で扱う言語と言うもののと思います
>>234的にはただの集合とその元

自然言語は数学の範疇では無いと思います

曖昧って言ってたのは自然言語をイメージしてたって事かな？
そりゃ曖昧なのは当たり前ですね

チューリングマシン語と、それによるビジービーバー関数の定義は曖昧性はないですよね
>>240でいうところの、
L, L[n], valとも明確です

「自然数全体」という自然言語の言葉が意味するものを形式言語でどう解釈してもひとつの意味を表すように表現することが不可能(超準モデルを否定しきれない)で、
同様にビジービーバー関数もどう解釈しても同じ関数を意味するように形式言語で表現することができない。
特定のメタ理論が扱う情報としてのメタ自然数として部分的に「自然数全体」を扱って一部のチューリングマシンの停止性を決定するくらい
だからビジービーバー関数以降は完全無矛盾な理論のように帰納的公理化不可能な理論が必要となる。
そのような形式的にwell definedに記述できない宇宙の是非をどう判定するかが問題となる

...という事情だろうか

ポエムは他で
ここは数学板

ひとつ気になるけど、「ビジービーバー関数の値が形式言語で無条件で自明になりえない」というのに反対で、
ビジービーバー関数は形式言語で、なにも前提とする知識なく自明に、どう解釈しても同じ値をとるようにに定義できて、
曖昧なところはなにもない、という考えですか

>>246
帰納的公理化が可能だったり不可能だったりするのは文字通り公理系で、理論(=閉論理式の集合)ではなくね
それと宇宙っていうのはZF公理系の議論領域のことで、形式言語というメタレベルでは使わなくね

>>248
ビジービーバー関数を定義してるのは自然言語 (数学で通常用いられる言葉)
well-definedかどうかの検証も当然人間が行う

数学で通常用いられる言葉を否定するなら
これは数学の全否定になる

チューリングマシン語は形式言語
この言語で「自然数とは何か」なんて定義はしない
チューリングマシン語の表現全体という
単なる集合の各元に対して
自然数∪{undefined}の元が対応付けられてるだけ

この形式言語と>>240とを組み合わせることで
ビジービーバー関数の定義となる

自然言語で定義してもいいけど、まとめると形式的に共通の理解が（頭が悪いとかじゃなくて原理的に）不可能という意味で
ある種の厳密性の限界となっている、というのはすでに述べた通りで、ビジービーバー関数は形式主義の上限という分かりやすい指標があるからまだいいけど、
実際ラヨ関数となると「1階集合論の対角化」という自然言語（形式言語で申し訳程度に補足されてるけど）をどう解釈するかで強さが全然変わってくるし、
現在統一されてない状態が続いている。

それは単にラヨ関数の定義が不十分なだけ

このスレで言われている強い言語の追究というのは数学的プラトニズムの追究を意味するんだろうが、
これは形式主義の限界を抜きにしてもひどくあやふやで強い弱いがはっきりしなかったりする、
そもそも正しい式が一意に定まるのかどうか非自明だし、一意でないとだめだけど、それでまた議論になりそうだけど。

それに数の大きささけを追究したいのならどの言語を対角化するかはあまり問題にならないし、表現を解読するルールのほうが大事でそれこそ
FOSTによる表現の対角化がただの計算可能レベルになったり不可能レベルに化けたりする。
そしてFOSTでは扱えないクラスやクラスのクラスを扱える高階述語論理を実装したCoCは計算不可能レベルよりは真に弱かったりする。

自然言語による定義の否定は数学の否定
これ以上は他の板でやってください

表現の解読が言語にとって重要なのは当たり前

>>240のLだけならアスキー文字列で足りる
valが解読
表記と解読がセットで言語として機能する

べつに自然言語を否定してはいないです。
たとえば対角化してラヨ関数になるFOSTでビジービーバー関数を定義するさい、解読をどう定義します？　
「強い言語」というのが数学的にはっきりしないという話です。

ビジービーバー関数をFOSTで定義するだけなら自然言語で「オラクルで停止するチューリングマシンのコードが与えられている」、とか言っておけばいいんですけど
自然言語による定義を受け入れてもこの先がはっきりしないんです。
選択公理をを「認める」か「認めない」かとか、どちらかが矛盾しているのか、していないのかとか

>>256
はっきりしないのは定義が不十分だから

もうあれだ、1階のすべての無矛盾な公理やplatnist universeも全部オラクルで与えられている、ということにしよう
これで全部はっきりとした定義になる。
海外のグーゴロジストはこれくらいのノリなのかもな。

でも巨大基数公理と同じように強ければ強いほど無矛盾性が疑われるようになる

>>258
> でも巨大基数公理と同じように強ければ強いほど無矛盾性が疑われるようになる

そりゃそうだ
矛盾スレスレを狙うのが巨大数探索
もちろんそのレベルだと無矛盾かどうかの証明も不可能

でもビジービーバー関数は明確だ
疑う余地はない

>>258
言語の機能として(定義が明確であれば)与えられるものは与えていい
当然だ

ビジービーバー関数を与えてもいいし、
特定の言語の停止判定機能を(別の言語に)加えても良い

巨大数を定義することが目的
巨大数の定義がwell-definedかどうかは定義とは別
それが矛盾スレスレだと判別出来ないかもしれない

計算可能な手続きによる定義と
計算可能ではない手続きによる定義
ここに線を引きたがるのが不思議だ

ヒドラゲームとビジービーバー関数、
well-defined性はビジービーバーの方が簡単と思う

もちろん解釈によって値が変わるようなのは定義としては不十分

あー、ZFCの矛盾を直接探すチューリングマシンってのが構成できちゃうのか。すごいな

確かにビジービーバー関数が自然数を返すって言われても、
それは俺たちの知ってる自然数か？って疑問は生まれるなあ
実際どうなんだろう

別スレでも話題に上がってたultimate Lが前提ってことでいいんじゃね
お前ら頑張って見つけてくれ

well defined性という謎の言葉が

ちゃんと矛盾なく曖昧性なく定義出来てるかってこと
日本語変だった？

名詞＋性→○○性
well defined←形容詞

いじめないでください

d/dx*Σcos(y*logk)/k^x=Σ-logk*cos(y*logk)/k^x=-log1*cos(y*log1)/1^x-log2*cos(y*log2)/2^x-log3*cos(y*log3)/3^x-log4*cos(y*log4)/4^x-・・・
-log(1^(cos(y*log1)/1^x)*2^(cos(y*log2)/2^x)*3^(cos(y*log3)/3^x)*4^(cos(y*log4)/4^x)*5^(cos(y*log5)/5^x)*・・・)=log1=0

1=(cos(y*log1)/1^x)=log(1/(2^(cos(y*log2)/2^x)*3^(cos(y*log3)/3^x)*4^(cos(y*log4)/4^x)*5^(cos(y*log5)/5^x)*・・・))/log1


(2^(cos(y*log2)/2^x)*3^(cos(y*log3)/3^x)*4^(cos(y*log4)/4^x)*5^(cos(y*log5)/5^x)*・・・)=1
Πk^(cos(y*logk)/k^x)=1

解釈によって値が変わらないことの構成的な証明が計算不可能レベルには存在しないから、
構成的な数学との区切りの意味合いもある。
自然言語による定義だけでいいのならオラクルで与えられた無矛盾な形式言語のクラスの対角化
といっておけば今のところ最強になる。ＦＧＨでf[ω_1]と評価されるやつ。

文字どおり言葉を失うぐらい大きいんだな

>>270
解釈によって値が変わらない証明なんて
計算可能な関数でも不可能

あと、
「オラクルで与えられた無矛盾な形式言語のクラスの対角化」
これのどこが定義？

計算可能ならZFCなんかで証明することができる。
f[ω_1]についてはたまに海外でも話題になる

>>273
well-definedであればそれを証明することが出来る
ということがわかっているだけではなんの意味もない
具体的に証明してみないと

>>274
計算可能レベルでは証明の存在を証明できるし実際に具体的に証明してみせることができる。
不可能レベルだと実際に具体的に証明することができない

実際に具体的に示すことができることを「構成的」と言ったのです

f[ω_1]相当の関数は定義不可能だと思う

この関数が定義できたと仮定すると
この関数をオラクルに持つチューリングマシン語で
f[ω_1未満の任意の順序数]相当の関数を記述することが出来る
ω_1未満の順序数は非可算個
チューリングマシン語で記述可能な関数は可算個

明確に矛盾する

>>276
じゃあ具体的に証明してみてください

>>277
>ω1未満の順序数は非可算個

モデルによるのでは？

ω_1は最小の非可算順序数なんだから当然非可算じゃないの？

たぶんモデル相対的のことを言ってるんだと思う

すべての形式言語がオラクルで与えられるのはいいけどそれを対角化できるかが自明でないし、
できたらできたでなんらかの可算順序数に落ち着くわ。すまんかった。
でも>>277は「この関数をオラクルに持つチューリングマシン語」ってのがよく分からない。

>>277
この関数を計算する機能を有するチューリングマシン
一番簡単な定義だと
初期状態のヘッドの位置を0として
関数の取りうる値に対応するテープの位置だけ1
それ以外の位置を0にした状態で始めるだけ

解釈によって値が変わらないことの証明　まだ完璧でないけど

1階述語論理で考える。
解釈によって関数fの値が変わらないというのは、任意の引数ｘ、任意の閉論理式σにつき、ある自然数bが存在し、
(σ→f(x)=b)∧(¬σ→f(x)=b)
となることをいう。(等号に関する公理をふまえておく)
コンパクト性により無限個の論理式については考えなくて良い。

ペアノの公理系を含む無矛盾で帰納的公理化可能な理論T（と論理公理）
T上で任意のxにつきf(x)の値が決まるとする。このようなTは計算可能であれば存在する。
すると、
それぞれのxにつき、σをTから独立した任意の閉論理式、bを適当な自然数すると、
T⊦σ→f(x)=b　かつ　T⊦¬σ→f(x)=b
よって
T⊦(σ→f(x)=b)∧(¬σ→f(x)=b)

Tが存在する時点で証明がほぼ終わるしこっちが証明の本懐となる

・・・もしかして、ある人の後者関数sが別のある人のビジービーバー関数かもしれない、
というレベルの話？

>>283
まさしく>>274に書いてある通り
なんの意味もない
全くのとんちんかん

じゃあたとえば
ヒドラの定義と
ヒドラがwell-definedである証明
をしてください

XとYとZがすべて互いに逆向きの合成ベクトルの原点からの距離
√(X^2+Y^2+Z^2-2*(X*Y+X*Z+Z*Y))


√(X^2+Y^2+Z^2-2*(X*Y+X*Z+Z*Y))=0
1/2=(X*Y+X*Z+Z*Y)/(X^2+Y^2+Z^2)
XとYとZがすべて0以外のときこれを満たす値は存在しない

Z^2-2*(X+Y)*Z+(X-Y)^2=0

(X+Y)±2*√(XY)=Z

Z=1 Y=2^2 X=3^2

9と4が逆向きなのでたすと5の大きさのベクトルになる
それに1の大きさのベクトルを足すと0になる

何が求められているのかよく分からなくなってきた。
>>283の「具体的な証明でないところ」ってどこですか？　あれ自体まだ完璧ではありませんが

well-definedというのは解釈によって値が変わらないことでいいですか

十分な定義であるためには解釈によって値が変わらないことが必須で
解釈によって値が変わらないことの証明は不可能となると、
十分な定義かどうかの判断ってどうなるんだ。

形式的な証明をして形式的な理解をする、しかしそれは形式外からみて間違った証明であるかもしれない
ならまだ分かるが

>>285をお願いします

あと、
ビジービーバーの定義が不十分な定義であるという理由も

不十分な定義とは言ってないがな

√(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2-2*(|X|*|Y|+|X|*|Z|+|Z|*|Y|))=|X*cosθ1+X*sinθ1+Y*cosθ2+Y*sinθ2+Z*cosθ3+Z*sinθ3|
これを満たすθ1,θ2.,θ3は存在しない

√(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2-2*(|X|*|Y|+|X|*|Z|+|Z|*|Y|))=√((X*cosθ1+Y*cosθ2+Z*cosθ3)^2+(X*sinθ1+Y*sinθ2+Z*sinθ3)^2)
√((X*cosθ1+Y*cosθ2+Z*cosθ3)^2+(X*sinθ1+Y*sinθ2+Z*sinθ3)^2)√(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2+2*(|X|*|Y|*cos(θ1-θ2)+|X|*|Z|*cos(θ1-θ3)+|Z|*|Y|*cos(θ2-θ3)))

(θ1-θ2)=(2k1+1)π
(θ1-θ3)=(2k2+1)π
(θ2-θ3)=(2k3+1)π

この連立方程式をみたすθ1,θ2,θ3は存在しない

>>294
ここでやるな

1*2*3*5*・・・*S(k)*√(1^2+1/2^2+1/3^2+1/S(k)^2+2*(1/(1*2)+1/(2*3)+・・・+1/S(k-1)*1/S(k)))
1/1,1/2,1/3,1/5,・・・1/S(k)
つまり素数の逆数のベクトルの合計の絶対値にベクトルの積を書けたもの
この値が任意の二つのベクトルのペアの成す角度がすべて0またはπを満たすとき
また得られた値がS(k+1)^2よりもちいさくなるとき必ず素数になる

2*3*5*√(1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*(1/(1*2)-1/(2*3)-1/(1*3)-1/(1*5)+1/(2*5)-1/(3*5)))=31

1と1/2のベクトルの向きが等しい
1/2と1/3のベクトルの向きが逆
1/と1/3のベクトルの向きが逆
1と1/5のベクトルの向きが逆
1/2と1/5のベクトルの向きが等しい
1/3と1/5のベクトルの向きが逆

この６条件を満たすベクトルは存在しないが得られる値が7^2より小さくなるため素数になる

2*3*5*7*√(1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(1*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))

2*3*5*7*√(1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-1*(1/2+1/3+1/5-1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)-1/3*(1/5+1/7)-1/5*1/7))=37

2*3*5*7*√((x)^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*((x)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))

x=6/5近辺で上記の式は0にちかづくため
2*3*5*7*√((x)^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*((x)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=5
2*3*5*7*√((5/5)^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-(5/5)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=37
2*3*5*7*√((7/5)^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-(7/5)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=47
近辺に素数が密集する

2*3*5*7*√((8/5)^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-(8/5)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=89

2*3*5*7*√((9/5)^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-(9/5)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=131
2*3*5*7*√((10/5)^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-(10/5)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=173 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)

2*3*√((x)^2+1^2+1/2^2+1/3^2-2*((x*(1/1+1/2+1/3)+1/1*1/2+1/2*1/3+1/1*1/3))
x=2^2のとき
2*3*√((4)^2+1^2+1/2^2+1/3^2-2*((4*(1/1+1/2+1/3)+1/1*1/2+1/2*1/3+1/1*1/3))=5

2*3*5*√((-2)^2+1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*((-2*(1/1+1/2+1/3+1/5)+1/1*1/2+1/2*1/3+1/1*1/3+1/5+1/2*1/5+1/3*1/5))=1

2*3*5*√((-1)^2+1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*((-1*(1/1+1/2+1/3+1/5)+1/1*1/2+1/2*1/3+1/1*1/3+1/5+1/2*1/5+1/3*1/5))=31

2*3*5*√((0)^2+1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*((0*(1/1+1/2+1/3+1/5)+1/1*1/2+1/2*1/3+1/1*1/3+1/5+1/2*1/5+1/3*1/5))=61

2*3*5*√((-3)^2+1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*((-3*(1/1+1/2+1/3+1/5)+1/1*1/2+1/2*1/3+1/1*1/3+1/5+1/2*1/5+1/3*1/5))=29

2*3*5*√((-4)^2+1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*((-4*(1/1+1/2+1/3+1/5)+1/1*1/2+1/2*1/3+1/1*1/3+1/5+1/2*1/5+1/3*1/5))=59

2*3*5*√((-5)^2+1^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*((-5*(1/1+1/2+1/3+1/5)+1/1*1/2+1/2*1/3+1/1*1/3+1/5+1/2*1/5+1/3*1/5))=89

1*2^2*√(4^2+1^2+1/2^2+1/4^2-2*(4*(1+1/2+1/4)+1*1/2+1*1/4+1/2*1/4))=5

1*2^2*√(2^2+1^2+1/2^2+1/4^2-2*(-2*(1+1/2+1/4)+1*1/2+1*1/4+1/2*1/4))=13

1*2*4*√(4^2+1^2+1/2^2+1/4^2+1/8^2-2*(4*(1+1/2+1/4+1/8)+1*(1/2+1*1/4+1/8)+1/2*(1/4+1/8)+1/4*1/8))=3

1*2*4*√(-1^2+1^2+1/2^2+1/4^2+1/8^2-2*(-1*(1+1/2+1/4+1/8)+1*(1/2+1*1/4+1/8)+1/2*(1/4+1/8)+1/4*1/8))=11

√(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2-2*(|X|*|Y|+|X|*|Z|+|Z|*|Y|))

√(1^2+4^2+9^2-2*(1*4+1*9+4*9))=0
√(4^2+9^2+25^2-2*(4*9+4*25+9*25))=0


(25+9)±2*√(9*25)=64

√(64^2+9^2+25^2-2*(64*9+64*25+9*25))=0


(64+25)±2*√(64*25)=169

√(64^2+169^2+25^2-2*(64*169+64*25+169*25))=0

√(64^2+169^2+25^2-2*(64*169+64*25+169*25))=0

(64+169)±2*√(64*169)=441=21^2

√(64^2+169^2+441^2-2*(64*169+64*441+169*441))=0


(441+169)+2*√(441*169)=1156=34^2=2^2*17^2

(441+1156)+2*√(441*1156)=3025=55^2=5^2*11^2

(3025+1156)+2*√(3025*1156)=7921=89^2

(3025+7921)+2*√(3025*7921)=20736=144^2=2^8*3^4

(20736+7921)+2*√(20736*7921)=54289=233^2

(20736+142129)+2*√(20736*142129)=142129=13^2*29^2

√(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2-2*(|X|*|Y|+|X|*|Z|+|Z|*|Y|))

(X+Y)±2*√(XY)=Z

5^2+7^2-2*5*7=2^2

11^2+7^2-2*11*7=4^2

11^2+13^2-2*11*13=2^2

17^2+13^2-2*17*13=4^2

17^2+19^2-2*17*19=2^2

23^2+19^2-2*23*19=4^2

23^2+29^2-2*23*29=6^2

31^2+29^2-2*31*29=2^2

31^2+37^2-2*31*37=6^2

41^2+37^2-2*41*37=4^2

41^2+43^2-2*41*43=2^2

47^2+43^2-2*47*43=4^2

47^2+53^2-2*47*53=6^2

59^2+53^2-2*59*53=6^2

59^2+61^2-2*59*61=2^2

67^2+61^2-2*67*61=6^2

67^2+71^2-2*67*71=4^2

73^2+71^2-2*73*71=2^2

97^2+89^2-2*97*89=8^2

1109^2+1117^2-2*1117*1109=8^2

3469^2+3467^2-2*3467*3469=2^2

26821^2+26813^2-2*26821*26813=8^2

9998143^2+9998141^2-2*9998141*9998143=2^2

(n+1番目の素数)^2+(n番目の素数)^2-2*(n+1番目の素数)*(n番目の素数)は2^2か4^2か8^2か6^2以外の値をとらない

３成分のベクトルがすべて互いにπ異なる角度で存在するときのベクトルの和の原点からの距離
√(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2-2*(|X|*|Y|+|X|*|Z|+|Z|*|Y|))=0

X,Y,Z成分は以下を満たす
√X±√Y=Z

√Y±√Z=X

√X±√Z=Y

√Y±√(√X±√Y)=X
X^2-2*X*√Y*Y=√X±√Y

X=√(X1^2+X2^2)

４成分のときは以下になる
√(|X1|^2+|X2|^2+|Y|^2+|Z|^2-2*(|√(X1^2+X2^2)|*|Y|+|√(X1^2+X2^2)|*|Z|+|Z|*|Y|))=0
√(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2+|W|^2-2*(|X|*|Y|+|X|*|Z|+|Z|*|Y|+|W|*(|X|+|Y|+|Z|)))=0
個数が何個になろうが
Xk=√|X1|±√|X2|・・・±√|Xn|であらわされる

３成分のベクトルがすべて互いにπ異なる角度で存在するときのベクトルの和の原点からの距離
√(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2-2*(|X|*|Y|+|X|*|Z|+|Z|*|Y|))=0

X,Y,Z成分は以下を満たす
√X±√Y=√Z

√Y±√Z=√X

√X±√Z=√Y


３成分のベクトルがすべて互いにπ異なる角度で存在するときのベクトルの和の原点からの距離
√(|X|^(1/n)+|Y|^(1/n)+|Z|^(1/n)-2*(|X|^(1/n)*|Y|^(1/n)+|X|^(1/n)*|Z|^(1/n)+|Z|^(1/n)*|Y|^(1/n)))=0


X,Y,Z成分は以下を満たす
X^n±Y^n=Z^n

Y^n±Z^n=X^n

X^n±Z^n=Y^n 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)

√(|X1|^2+|X2|^2+|X3|^2+|X4|^2-2*(|X1|*(|X2|+|X3|+|X4|)+|X2|*(|X3|+|X4|)+|X3|*|X4|))=0

|X1|^2+|X2|^2+|X3|^2+|X4|^2-2*(|X1|*(|X2|+|X3|+|X4|)+|X2|*(|X3|+|X4|)+|X3|*|X4|)=0

|X1|=(|X2|+|X3|+|X4|)±√((|X2|+|X3|+|X4|)^2+2*|X2|*(|X3|+|X4|)+2*|X3|*|X4-|X2|^2-|X3|^2-|X4|^2)

|X1|=(|X2|+|X3|+|X4|)±2*√(|X2|*(|X3|+|X4|)+|X3|*|X4|)

|√X1|=|√X2|±|√X3|±|√X4|

|√X2|=|√X1|±|√X3|±|√X4|

|√X3|=|√X2|±|√X1|±|√X4|

|√X4|=|√X2|±|√X3|±|√X1|

X1からXnまでにn個のベクトルがすべての組み合わせにおいてπだけ向きが異なるとき
このベクトルを足し合わせたさい原点に戻ってくると仮定するとき
任意のkにおいて

√Xk=√X1±√X2±√X3±・・・・±√Xnがなりたつ

つまり以下の足し算において乗数であるnが整数のとき
Xk^n=X1^n+X2^n+X3^n+・・・+Xn^nをみたすX1からXnまでの整数の組み合わせは存在しない

Xk^n=X1^n+X2^n+X3^n+・・・+Xn^n
ｎが3以上の整数のときX1,X2,X3,,,,Xnの整数の組み合わせは存在しない

もっとでかい数作ろうぜ

√(|X1|^2+|X2|^2+|X3|^2+|X4|^2-2*(|X1|*(|X2|+|X3|+|X4|)+|X2|*(|X3|+|X4|)+|X3|*|X4|))=0

|X1|^2+|X2|^2+|X3|^2+|X4|^2-2*(|X1|*(|X2|+|X3|+|X4|)+|X2|*(|X3|+|X4|)+|X3|*|X4|)=0

|X1|=(|X2|+|X3|+|X4|)±√((|X2|+|X3|+|X4|)^2+2*|X2|*(|X3|+|X4|)+2*|X3|*|X4-|X2|^2-|X3|^2-|X4|^2)


3変数のときのみ
√|X1|=√|X2|±√|X3|であらわされ
4変数以上のとき
|X1|=(|X2|+|X3|+|X4|)±2*√(|X2|*|X3|+|X2|*|X4|+|X3|*|X4|)
|X1|=(|X2|+|X3|+|X4|+|X5|)±2*√(|X2|*|X3|+|X2|*|X4|+|X3|*|X4|+|X5|*|X1|+|X5|*|X2|+|X5|*|X3|)

|X1|と|X2|と|X3|の乗数が6以上の偶数のとき
|X1|^3=|X2|^3±|X3|^3

|X1|^6=(|X2|^6+|X3|^6+|X4|^6)±2*√(|X2|^6*|X3|^6+|X2|^6*|X4|^6+|X3|^6*|X4|^6)

|X1|^3=|X2|^3±|X3|^3これを満たす整数の組み合わせはないため
|X1|^6=(|X2|^6+|X3|^6+|X4|^6)±2*√(|X2|^6*|X3|^6+|X2|^6*|X4|^6+|X3|^6*|X4|^6)において
|X1|か|X2|か|X3|か|X4|のうちひとつが0だとすると
それ以外の3変数をみたす整数が存在しないことになる
0=(|X2|^6+|X3|^6+|X4|^6)±2*√(|X2|^6*|X3|^6+|X2|^6*|X4|^6+|X3|^6*|X4|^6)
を満たす3変数の整数の組み合わせは存在しない

0=(|a|^2n+|b|^2n+|c|^2n)±2*√(|a|^2n*|b|^2n+|b|^2n*|c|^2n+|c|^2n*|a|^2n)

(a^2n+b^2n+c^2n)=2*(a^2n*b^2n+b^2n*c^2n+c^2n*a^2n)
nが3以上の整数のときこれをみたすa,b,cの組み合わせは存在しない



(1/2)*(a^6+b^6+c^6)=(a*b)^6+(b*c)^6+(c*a)^6

0=(|a|^2n+|b|^2n+|c|^2n)±2*√(|a|^2n*|b|^2n+|b|^2n*|c|^2n+|c|^2n*|a|^2n)

(a^4n+b^4n+c^4n)=2*(a^2n*b^2n+b^2n*c^2n+c^2n*a^2n)
nが3以上の整数のときこれをみたすa,b,cの組み合わせは存在しない



(1/2)*(a^12+b^12+c^12)=(a*b)^6+(b*c)^6+(c*a)^6

f_φ(ω,0)(n)くらいの関数作ろうぜ

ε＿0以上のものを作ろうと思ったらいろんな発想が要ると思うな

φ(ω,0)は
http://googology.wikia.com/wiki/List_of_googolisms/Binary_phi_level
位だからな
まあ頑張るか

アウラデーン

自殺をしたら地獄に落ちたりするのかが気になる。

さぬきうどん界におちる

>>317
>>318
ここは巨大数論をやるところです。

とりあえず頑張る
{a,b,c,...d,e}={a-1,{b-1,c...,d,e},{b,c-1,...d,e},...{b,c,...d-1,e},{b,c,...d,e-1}}
配列中の弌は、切り捨てる。
...これ、計算終了する?

>>4の拡張をどんどん推し進めるとブーフホルツのヒドラにたどり着いたりする？

x^2/(2S)-y^2/(2S)=1

x=(S+1)/√2 y=(S-1)/√2

Sが素数のとき
√2S < x 区間で(x,y)の整数の組み合わせは存在しない

x^2n=(2S+y^2)^n

条件満たす(x,y,z)の整数の組み合わせは存在しない
(x^2n+y^2n+z^2n-2*((xy)^n+(xz)^n+(yz)^n))=0

(x^n-y^n)^2=(2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n

x^n/(2S)^(n/2)-y^n/(2S)^(n/2)=√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n/(2S)^n)=1

x^2/(2S)-y^2/(2S)=√((2*y^2+2*x^2-z^2)*z^2/(2S)^2)=1

((2*y^2+2*x^2-z^2)*z^2/(2S)^2)=1


Sが素数のとき
√((2*y^2+2*x^2-z^2)*z^2)=(2S)をみたす(x,y,z)の整数の組み合わせは存在しない

>>320
言い忘れたが
{a,b}=a^b

>>320
たぶん計算終了するが
多変数アッカーマン関数程度になるとおもう

ω^ω程度ってことか。。

多分、多変数アッカーマン<この関数<s(n)変換程度だと思う

多変数アッカーマンもｓ(ｎ)変換も同じ　Ｆ＿ω＾ω　だよ

>>327
同じω^ωでも近似が違う

誤差

もうちょい拡張
a()b={a,a,a・・b回・・,a,a,a}
a()_c b=a()_c-1 a()_c-1 a() a()_c-1 a,ただし()_1は()とする

グラハム数とか形而学上の数字じゃん。純粋数学の研究者はいっぺん死ね。
ノーベルが数学賞を作らなかったのは人類に直接貢献しない机上の学問だからだろw

ゴールプレックスとかいう糞単位あるなら、超・不可説不可説転
(1の後に0が不可説不可説転・個続く）とか、超超不可説不可説転、
＝不可説不可説転の不可説不可説転乗した数とか任命しろよ。
なんだよ、鬼畜米英に負けて恥ずかしくないの？

この宇宙の陽子の数でさえ10＾80しかないのに。将棋の局面数も6.15＊（10＾69）
＝（65無量大数）だってさ。
グラハム数なんて不要。特売の安売りのハムのほうが人類には必要だ！！

実用性　物理数学
形而上学　(純粋数学、神学、妄想、脳内IF）

>>331
君はノーベル数学賞がない理由を無根拠に述べているが、
それは脳内の妄想ではないのかい？

ノーベル数学賞が無いのは、ノーベルが数学者に恋人を取られた怨みからなんだってね
トリビアの泉で観たぞ

ハイパー演算を位取り表記してみたい

物理も量子力学とかなると先に机上の論を出して実証されるのがずいぶん後からになる。
重力波とか
ディープラーニングも一昔前までは実現できなくて机上だけの理論だったな
ほかにあえて実用に利きそうなのをあげれば型なんかの計算支援システムとか？

グーゴロジストが実用的かを気にしてるとは思えんが

3＾3=27
3＾3＾3=　3＾27=7625597484987
3＾3＾3＾3=　3＾7625597484987＝？？？

3＾10，000＝1.6313E　4771　(4771桁）
常用対数（3）＝0.4771*10000=4771(桁）を踏まえて、
3＾3＾3＾3=　3638334640024桁か！？　、多分大体あっている･･･と思う。

3＾3＾3＾3＾3　＝10915003920072 桁？？　
あっているか自信ないが、不可説不可説転はこの段階では超えてないナ？。
一体グラハム数は何桁になるんだ？

あれ？そんなちっちゃかったっけ？

素直にウィキペディアのグラハム数を見たけど、
3＾3＾3＾3＾3　の段階で計算不能になった。恐ろしすぎ。

条件満たす(x,y,z)の整数の組み合わせは存在しない
(x^2n+y^2n+z^2n-2*((xy)^n+(xz)^n+(yz)^n))=0

(x^n-y^n)^2/z^n=(2*y^n+2*x^n-z^n)

x^n=y^n+z^(n/2)*√(2*y^n+2*x^n-z^n)


mが整数のとき
z^(n/2)*√(2*y^n+2*x^n-z^n)=m^n をみたすx,y,zの整数の組み合わせは存在しない

√(x^12+y^12+z^12-2*(x^6*y^6+x^6*z^6+z^6*y^6))≠0



kが整数のときかつaが3以上の整数のとき
√(2*y^(2a)+2*x^(2a)-z^(2a))=kをみたすx,y,zの整数の組み合わせは存在しない

２↑↑６　＝　２＾２＾２＾２＾２＾２

２↑↑　＝　1
２↑↑１　＝　2
２↑↑２　＝　4
２↑↑３　＝　16
２↑↑４　＝　65536
２↑↑５　＝　 2＾65536　＝　2.0035299304068464649790723515603e　19728
≒　2*（10＾19728）　←　フリーソフトの多倍長電卓 Ver2.17で計算した。

２↑↑６　≒　2＾（10＾20000）　≒　俺の頭がオーバーフロー。
２でさえ手に余る。計算すらできない数に意味はあるのでしょうか？

>>340
２↑↑６くらいならまだ機械で計算できる
やってみたら 2,003,529,930,…(19710桁省略)…,719,156,736 ってなった

>>341
すまん
２↑↑５を計算してた

2↑↑6 = 10^10^19727.78040560677

グーゴロジストには数そのものに興味を持つタイプと数そのものはわりとどうでもよくてそこに
たどり着くまでの過程に興味があるやつに分けられると寿司屋の親父が言っててな

>>343
　6段目でゴーグルを超えて1ゴーグルプレックスも超えしまうのか。
想像を絶する。恐るべし巨大数。

　10^10^19727.78040560677　＝ 　10^10^（140.4556172＾2）
・・・　10＾10＾100が１ゴーグルプレックスだから、えーと・・・
その何倍の大きさだ？　10＾140倍？　

指数の計算さえ出来なくなってるわ。　あなた、よく計算できましたね。
スゴイわー！。数学科ですか？　やっぱり理系は凄い！

　しかし、不可説不可説転、ゴーグルプレックスは単位だからまだ理解できる
のだが、3↑↑64　なんて実際には計算も想像もできないので、
グラハム”数”ではなく、グラハム”計算式”と呼ぶべきじゃないのか？　マジで。
ググってもグラハム数の説明があるだけで桁数書いてない。桁数すら不明ってｗ

現在知られている最大のメルセンヌ素数　２＾77232917−１は2324万9425桁
現代知られている円周率の桁数小数点以下　22兆4591億5771万8361桁・・・

グラハム関数をもう少し拡張してみました。
定義
G(a,b,c)=a↑↑↑(b回)↑↑↑c

追記:これってf_ω*2(n)くらいでしょうか

a↑b = a^b

a↑↑1 = a
a↑↑2 = a↑a
a↑↑3 = a↑a↑a
a↑↑b = a↑a↑a...(b回繰り返す)...a↑a↑a

a↑↑↑1 = a
a↑↑↑2 = a↑↑a
a↑↑↑3 = a↑↑a↑↑a
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a...(b回繰り返す)...a↑↑a↑↑a

a↑↑↑↑1 = a
a↑↑↑↑2 = a↑↑↑a
a↑↑↑↑3 = a↑↑↑a↑↑↑a
a↑↑↑↑b = a↑↑↑a↑↑↑a...(b回繰り返す)...a↑↑↑a↑↑↑a

a↑^[1]b = a↑b
a↑^[2]b = a↑↑b
a↑^[3]b = a↑↑↑b
a↑^[4]b = a↑↑↑↑b
a↑^[5]b = a↑↑↑↑↑b

G^0(4) = 4
G^1(4) = 3↑^[G^0(4)]3 = 3↑↑↑↑3
G^2(4) = 3↑^[G^1(4)]3 = 3↑↑...(↑が3↑↑↑↑3個)...↑↑3
G^3(4) = 3↑^[G^2(4)]3 = 3↑↑...(↑がG^2(4)個)...↑↑3
G^4(4) = 3↑^[G^3(4)]3 = 3↑↑...(↑がG^3(4)個)...↑↑3
　中略
G^61(4) = 3↑^[G^60(4)]3 = 3↑↑...(↑がG^60(4)個)...↑↑3
G^62(4) = 3↑^[G^61(4)]3 = 3↑↑...(↑がG^61(4)個)...↑↑3
G^63(4) = 3↑^[G^62(4)]3 = 3↑↑...(↑がG^62(4)個)...↑↑3
G^64(4) = 3↑^[G^63(4)]3 = 3↑↑...(↑がG^63(4)個)...↑↑3

G^64(4)がグラハム数

a^6=(b^6+c^6+d^6)+2*√(b^6*c^6+b^6*d^6+c^6*d^6)を満たす整数の組み合わせ(a,b,c,d)は存在しない

(10^(7*2^122))^(10^(7*2^122))は10^10^10^6より大きく10^10^10^10^6より小さい

>>349
100^2=10^4
1000^2=10^6
という風に、(10^a)^b=10^(a*b)なので、不可説不可説転↑↑2=
10^(372183838819776444413065976878496481295*10^372183838819776444413065976878496481295)
ドキリオンより大きくトラダキリオンより小さい

はじめて巨大数作った！！
fω(n)程度だったけど、たのしいね

>>351
どんなやつですか?

全より大きいものは存在しない。

なにそれ？　グラハム数より大きいの？

全は無限基数より大きいからルール違反

>>352
床屋いかないとだから、後でね

凄い大きいのがつくれたらいいなあ

野球禁止です。有事の時以外は。

「ハイパーa進作用システム」

a,b

a : 作用進数, b : 構造数 (a進数)
ルールの一般化が慣れてなくて難しいので、とりあえず例だけ

例えば、3進作用システムだと
3,0 = 0
3,1 = 0+1
3,2 = 0+1+1
3,10 = 0+1+1+1 ≡ a
3,20 = a+a
3,100 = a+a+a ≡ a_1
3,1000 = a_1 * a_1 * a_1 ≡ a_2
3,10000 = a_2↑ a_2 ↑ a_2 ≡ a_3

3,222222 = a_3↑↑ a_3↑↑( a_2↑ a_2↑( a_1↑ a_1↑(a*a*(a+a+(1+1)))))

3,10...0(0がm個)
= a_(m-1) ↑...(m-2)...↑3

つまり、
n,10...0(0がn個)≡n,10n
= a_(n-1) ↑...(n-2)...↑n
だから
n,10n < Ack(n,n) < fω(n)

これ色々応用できそう？だよね
グッドスタイン風にしてもいいし、
適当な二項演算子に適用させてもいいし、このシステム自体に再帰的に作用させてもいいし

間違えた
3,0 = 0
3,1 = 0+1
3,2 = 0+1+1
3,10 = 0+1+1+1 ≡ a
3,20 = a+a
3,100 = a+a+a ≡ a_2
3,1000 = a_2 * a_2 * a_2 ≡ a_3
3,10000 = a_3↑ a_3 ↑ a_3 ≡ a_4
3,100000 = a_4↑↑ a_4 ↑↑ a_4 ≡ a_5
3,222222 = a_5↑↑↑ a_5↑↑↑( a_4↑↑ a_4↑↑( a_3↑ a_3↑(a_2*a_2*(a+a+(1+1)))))

3,10...0(0がm個)
= a_(m-1) ↑...(m-2)...↑3

つまり、
n,10...0(0がn個)≡n,10n
= a_(n-1) ↑...(n-2)...↑n
だから
n,10n < Ack(n,n) < fω(n)

レベル下がりすぎwww

確かに「レベルの高い議論が無さすぎて」退屈だよな
どうすればいいだろうな
レベルの高い議論をすればいいよな
じゃあ何でしない？

　とか　>>363は言うけど、日常では最大でも、スーパーコンピュータの「京」（10＾12）
の演算速度とか、情報量　1ペタバイト＝　1000兆バイト=　10＾15　バイトとか、
化学でもアボガドロ数、炭素１２ｇ中に含まれている炭素原子の数は、　
12÷(2.0×10?23)=　6.0×10＾23、
とか、最大の数詞は「無量大数」までで言えるぜとかそんなレベル。

　「不可説不可説転」を知っているのは極少数。（俺も最近知った）
　グラハム数も、知っているの理系か、少し算数が好き物好きなレベル。
　フィッシュ氏が論文『巨大数論』で「近年。巨大数への注目が特に集まっています」
なんて書いていても、「？」としか思わなかった件について。

っていうか、グラハム数とか数が巨大すぎて、想像すらできない数で逆に興味を失うわ。
　10＾（10＾（10＾……　を積み上げただけで、最後は近似値の　10^12.56090264130030
になる。本当にあほくさい。　

3↑↑64はグラハム数じゃない

>>364
イントロダクションがないからに尽きる
mathmatical logicの多岐に渡る分野を理解しなければ計算不可能な巨大数は理解することができないが、ふぃっしゅのpdfもその辺りははっきり言って投げやり
ニコニコ動画の巨大数解説動画も計算可能止まりで当人も「計算不可能レベルは何でもありな気がするから好きじゃない」と言ってる始末
レベルが高いからこそまず誰かが"そのレベルに到達できるマニュアル"を作らなければ、レベルの高い議論は夢のまた夢

>>362
グラハム数=g_0=4 g_n=3↑^[g_n-1]3 とした時のg_64だぞ゙

>>360
強くするのムズい
構造数の0の数がそのまま矢印の本数になるんだが、見積もるのが困難になる

ウィキペディア見てるけど、さっぱりわからん。ニコニコ大百科では、

＞　3↑↑↑↑3を土台（1段階目）とする。この土台の数は既に、
＞　3↑↑3↑↑…（3＾3…(7625597484987回)…3回)…↑↑3↑↑3
＞さらにその数だけ3と3の間に↑を挟んだ数が第3段階・・・
＞と繰り返していった64段階目の数、これがグラハム数である。

う・・・頭が・・・　俺には、やはり理解不可能だったようだ。　

3↑↑64でも、「なんじゃそれ！」って思ってたのに。
1段階目で　3↑↑7625597484987　だと！？　それを64回も・・・・・・
もうね。数の暴力、テロリズムだよね、これ。
あるいは数の核爆発って言ってもいいと思う。いや、数のビッグバンかな。

ζ(x+i*y)=1+1/2^(x+i*y)+1/3^(x+i*y)+1/4^(x+i*y)+・・・+1/k^(x+i*y)+・・・

y*log(k) mod 2πが最も小さくなるときの整数k

(1+cos(y*logk)/k^x),sin(y*logk)/k^x

(0,0)座標と(1,0)座標と((1+cos(y*logk)/k^x),sin(y*logk)/k^x)座標を通過する円がx=1/2の直線状に存在するとき

(x-1/2)^2+(y-√(R^2-1/4))^2=R^2

(1/2+cos(y*logk)/k^x)^2+(sin(y*logk)/k^x-√(R^2-1/4))^2=R^2

1/4+cos(y*logk)/k^x+cos(y*logk)^2/k^(2x)+sin(y*lognk^2/k^(2x)-2*√(R^2-1/4)*sin(y*logk)/k^x+R^2-1/4=R^2

1/k^(2x)+cos(y*logk)/k^x-2*√(R^2-1/4)*sin(y*logk)/k^x=0

1/k^(2x)+cos(Φ)*cos(y*logk)-sin(Φ）*sin(y*logk)=0

cos(Φ)=(1/k^x)/√(1/k^(2x)+4*(R^2-1/4)*1/k^(2x))
sin(Φ)=(2*√(R^2-1/4)*1/k^x)/√(1/k^(2x)+4*(R^2-1/4)*1/k^(2x))


1/k^(2x)/√(1/k^(2x)+4*(R^2-1/4)*1/k^(2x))+cos(y*logk+Φ)=0


1/√(k^(2x)+4*(R^2-1/4)*k^(2x))+cos(y*logk+Φ)=0

y*logk mod 2π → 0

1/√(k^(2x)+4*(R^2-1/4)*k^(2x))+cos(Φ)=0


1/√(k^(2x)+4*(R^2-1/4)*k^(2x))+1/√(1+4*(R^2-1/4))=0

1+k^x=0

k=A*e^(i*2nπ)

とおくときx=1/2で

1+A^(1/2)*e^(i*nπ)=0

e^(i*nπ)=-1,1となるため-1のとき条件を満たす

>>369
なんとか回避できそう

お前が作るんやで

>>367
ないない文句ばっか言ってないで作ったら？

>>374
作るほど理解できてないから作ってほしいんだが

>>365
寿司が連載されてた頃の巨大数は盛り上がりを見せてたようだけど最近落ち着いてる感じだ
ある程度のレベルになると巨大数そのものにはあまり注目されないで、
順序数解析とか形式体系の強さとか公理系の追究とか、そっちがメインになる、
巨大数はおまけみたいなあつかい

G=グラハム数
X=0個以上の0以上の整数
a,b,n=0以上の整数
a→b=コンウェイのチェーン表記
a#b=b個のa

A()=G
A(0#[n+1])=A(0#n)→A(0#n)→…{A(0#n)個}…→A(0#n)→A(0#n)
A(a+1)=A(0#A(a))
A(0#[n+1],a+1)=A(A(0#[n+1],a)#[n+1])
A(X,b+1,0#[n+1])=A(X,b,A(0#[n+1])#[n+1])
A(X,b+1,0#n,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,0#n,a)#[n+1])

コスメティック　イルマ　シンドラー　オスカール

>>377
H=A(G#G)

アッカーマンは神
チェーンはゴミ
異論ある？

拡張のしやすさで考えるやつ？

とりあえず誰かε＿0以上のを作ろうよ