面白い問題おしえて〜な 28問目

過去ログ置き場 (1〜15問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ *
4 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ *
5 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ *
6 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ *
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/

(*)　3〜6問目で「datが存在しません。」が出ます。

削除依頼は不要です。

削除依頼を出しました

過去ログ27の898つづき。
扇形OAB=3.14c�u
AB^2=(2√2-2)^2+2^2
=8-8√2+4+4
=16-8√2
AB=√(16-8√2)
=2√(4-2√2)
△OAB=(1/2)･2√(4-2√2)･√{(2√2)^2-(4-2√2)}
=√(4-2√2)･√(4+2√2)
=√(16-8)
=2√2
三日月形AB=3.14-2√2
(=3.14-2.8284……
≒0.312)
ABを延長、半直線AB上にP(遠いほう)から垂線PCを下ろす。
ABの中点をNとすると、
ON=2△OAB/AB
=2･2√2/2√(4-2√2)
=√(4+2√2)
扇形PABの高さPC=ON+PH
=√(4+2√2)+PH
扇形PAB=(1/2)AB･PC-三日月形AB
=√(4-2√2)･{√(4+2√2)+PH}
=√8+PH√(4-2√2)
=√8+√(8-OH^2)(4-2√2)
=　c�u
(考え中)
OP//BQ(外側のQ)
中心角∠AOB=45°
円周角∠APB=22.5°
NB=√(4-2√2)
△OPQ∽△BQP
√は消えるはず……

前>>4
図描いたら円Oは一辺4�pの正方形にすっぽり入るから半径2�pかもしれない。
OP=2�p
OM=MA=1�p
なんで√が要るのかすらももうわからない。
円Aの半径は1�pのようだ。小学生向けか。
とりあえず前スレのはなんだったんだという感じで、仕切りなおし。

前>>5円の中に一辺4�pの正方形だった。あってる。

〔前スレ．898〕 (再掲)

これも中学の入試問題

図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
図2のように円Oの周上に点Aがあり、OAの中点をMとする。
点Aを中心として点Mを通る円を描き、円Aとする。
円Oの周上に点B, Pが、円Aの周上に点Qがあり、次の条件を満たしている。
　・∠AOB = 45°
　・BQと円Aは接している。
　・OPとBQは平行
このとき、直線AP, BP, 円Oの短い方の弧ABで囲まれた面積として考えられるものをすべて答えなさい。
円周率は 3．14 とする。

図1 http://i.imgur.com/uYNULrq.jpg
図2 http://i.imgur.com/s7n55LS.jpg

>>7
> 図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。

前>>6
>>7-8我々は我々ながらよく気づいた。公立行って日本語勉強したほうがいいと思わせる問題だった。

前>>9
弧AB=円Oの円周/8
=2･3.14･2/8
=1.57�p
扇形OAB=3.14･2^2/8
=1.57c�u
AからOBに垂線を引いてできる、弧ABを斜辺とする直角三角形について、三平方の定理より、
AB^2=(√2)^2+(2-√2)^2
=8-4√2
AB=2√(2-√2)
=1.5307338
≒1.53�p
△OAB=OB×(AからOBに引いた垂線)×(1/2)
=2×√2×(1/2)
=√2
≒1.41c�u
三日月形AB≒1.57-1.41
=O.16c�u
4つのPの弦ABからの距離を求め、
AB/2=√(2-√2)
≒0.7653669を掛け、
三日月形AB=O.16を足すと、
4つの扇形PABの値が出ると思う。

まだ合わないね。

Memo．

cos(22.5ﾟ) = (1/2)√(2+√2) = 0.923879532511
sin(22.5ﾟ) = (1/2)√(2-√2) = 0.382683432365

O = (0，0)
円O：　xx + yy = 8,
A = (-(√8)sin(22.5ﾟ)，-(√8)cos(22.5ﾟ) ) = (-√(4-√8)，-√(4+√8) )
B = ( (√8)sin(22.5ﾟ)，-(√8)cos(22.5ﾟ) ) = ( √(4-√8)，-√(4+√8) )

円A：　{x + √(4-√8)}^2 + {y + √(4+√8)}^2 = AM^2 = 2,

点Bをとおる円Aの接線は
　y = ±m{x -√(4-√8)} - √(4+√8)
　m = 1/√(7-4√2) = 0.862856209461
接点Qは
　x(Q) = -(1 -1/√2)^(3/2) = -0.1585126677811
　y(Q) = -3.68384840　と　-1.542403459

前>>10Pが2つとして、
ABの中点をNとすると、
△PAB=NB･(ON±√2)
NB=√(2-√2)
ON^2=OB^2-NB^2
=2^2-(2-√2)
=2+√2
△PAB=√(2-√2)･{√(2+√2)±√2}
=√2±√(4-2√2)
=2.4966057
または0.3318213
三日月形AB=扇形OAB-△OAB
=1.57-√2
=0.1557865
∴扇形PAB=2.4966057+0.1557865
=2.6523922c�u(2.65c�u)
または扇形PAB=0.3318213+0.1557865
=0.4876078c�u(0.488c�u)

まだ違う。
てかもう答え出てるんだから何故それで検算してみてから書き込まないの？

>>14検算はしました。といっても電卓だし。
答えが出てるとは思ってない。
せめて答えは√がなくなると思ったんだけど。
もちろんsinやcosも小学生にそこまで求めないと思うし。
面積だから単位はc�uだと思うけど、求める図形が2つか4つか、いくつあるかもわからない。
前>>13

>>15

> >>14検算はしました。といっても電卓だし。
> 答えが出てるとは思ってない。

出てる答えの何が間違ってると思うん？

Memo．

cos(22.5ﾟ) = √{[1+cos(45ﾟ)]/2} = 0.9238795325
sin(22.5ﾟ) = √{[1-cos(45ﾟ)]/2} = 0.3826834324

O = (0，0)
円O：　x^2 + y^2 = (2r)^2,
A = (-2r･sin(22.5ﾟ)，-2r･cos(22.5ﾟ) ) = (x(A)，y(A))
B = ( 2r･sin(22.5ﾟ)，-2r･cos(22.5ﾟ) ) = (x(B)，y(B))

AB = x(B) - x(A) = 4r sin(22.5ﾟ) = 2√(2-√2) r = 1.53073373 r^2,
y(A) = y(B) = -√(2+√2) r,

円A：　{x - x(A)}^2 + {y - y(A)}^2 = AM^2 = r^2,

点Bから円Aに曳いた接線は
　y = ±m{x -x(B)} + y(B),
　m = 1/√(7-4√2) = 0.862856
接点Qは
　x(Q) = -(1/4)(2-√2)^(3/2) r = -0.1120854 r

OP//BQ より
　y(P) = ±{2m/√(1+mm)} r = ±(1/√2)√(2+√2) r = ±1.306563 r,
　y(P1) - y(B) = (1/2)(2+√2)√(2+√2) r,
　y(P2) - y(B) = (1/2)(2-√2)√(2+√2) r,

△ABP1 = (1/2)AB{y(P1)-y(B)} = (√2 +1)r^2,
△ABP2 = (1/2)AB{y(P2)-y(B)} = (√2 -1)r^2,

(三日月型AB) = (π/2 - √2)r^2 = 0.15658276 r^2,

∴　S = (π/2 ± 1)r^2,

https://imgur.com/a/pQmEjCF
点Pから点Qに団地の路地を毎秒１ずつ進む。
1)緑の団地脇を抜ける最短経路の長さはいくつか。
2)A君家からB君家まで最短で何秒かかるか。

点Pスレに貼っても無反応だったので

>>18
団地一棟の一辺は√5。
1)
P → Q ： 15
P → A → B → Q ： 2 + 5√5 + 4 = 6 + 5√5
P → A → C → Q ： 問題外
P → A → D → Q ： 2 + 4√5 + 3 = 5 + 4√5
P → B → C → Q ： 問題外
P → B → D → Q ： 問題外
P → C → D → Q ： 4 + 4√5 + 3 = 7 + 4√5
より5+4√5。
2)題意がP → A → B → Qと進むという意味なら6 + 5√5。
ーーーー
ABとPQが逆？
1)も緑の団地脇のみを抜けてPからQへは移動できないし。
なんでもいいけど。

>>19
あってる。ありがと。
そうね、PABQの時間だねごめん
ABが逆だと思ったのは外接を点CDでやったからだと思う
俺想定してたのがC1〜C7点でやったから関係なかったねごめん
初めからC点つけとけば良かったな

前>>15
>>13と>>17の三日月形ABの値が少し違うのは3.14とπの違いかな。
問題に3.14を使えとある。だからここは>>13のほうが正しい。実際より少し小さい値になる。

問題文によると、
>>7一辺4�pの正方形にちょうど入るってことなんで、
OP=2
OM=MB=1
ただし、図を優先すると値は変わる。
Pが4つか2つか。2つずつ一致するとみて答えを求める。
4つのPの弦ABからの距離を求め、
AB/2=√(2-√2)を掛け、
三日月形ABの面積を足す方針。
もしもPが2つずつ一致するなら、
ABの中点をNとして、
△OAB=NB･(ON±√2)
扇形OAB=NB･(ON±√2)+三日月形AB
NB=√(2-√2)
ON=√(OB^2-NB^2)
=2^2-(2-√2)
=√(2+√2)
扇形OAB=√(2-√2)√(2+√2)±√(2-√2)√2
=√2±√(4-2√2)
√は外せないか。
Pは4つあるかもしれない。

出てる答えがπr^2/2 + r^2だから
>>15
>答えが出てるとは思ってない。
てか？
まぁじゃ好きにすればいいけど。
いつになったら正解にたどり着くん？
ホントに東大卒？

>>22
>πr^2/2 + r^2
おっとコレ大きい方の答えね。小さい方の答えはπr^2/2 - r^2。
出てる答えは条件みたすPは４ヶ所、面積は２通り。
まぁ頑張って下さいませ。

ちがった。現在上がってる答えはπr^2/8 ± r^2/4だった。
r = 2 なら π/2 ± 1 = 2.57、0.57。

前>>21題意の文章のとおりだと、>>13であってると思うんだけど、図を優先すると円Oの半径が2√2となり、値は変わる。面積は2倍になる。
Pが2つとして、
ABの中点をNとすると、
△PAB=NB･(ON±2)
NB=√(4-2√2)
ON^2=OB^2-NB^2
=(2√2)^2-(4-2√2)
=4+2√2
△PAB=√(4-2√2)･{√(4+2√2)±2}
=√8±2√(4-2√2)
=2√2±2√(4-2√2)
=2.828427±2.1647844
=4.9932114
または0.6636426
三日月形AB=扇形OAB-△OAB
=3.14-2√2
=0.311572875
∴扇形PAB=4.9932114+0.311572875
=5.3047842c�u(5.30c�u)
または扇形PAB=0.6636426+0.311572875
=0.9752154c�u(0.975c�u)

一応オリジナルなんだけどもしかして有名問題だったりするのかしらと一抹の不安を感じながら投稿

実数から実数への連続関数fは有界であり、任意の実数xに対して
f(x+√2)=(f(x)+f(x+1))/2
を満たす。この時、fは定数関数であることを示せ。

分かすれ447の888より未解決

fを実係数n次多項式、s_0,s_1,...,s_nを相異なる実数とすると
f(x+s_0),f(x+s_1),f(x+s_2),...,f(x+s_n)は一次独立であることを示せ

>>27
f(x) = Σc[j]x^j とおき Σ[i] a[i] f(x+s[i]) = 0 とする。
Σa[i] c[j] (x + s[i])^j = 0 である。
n-k次の係数は
Σa[i] c[n] C[n k] s[i]^k
+Σa[i] c[n-1] C[n-1 k-1] s[i]^(k-1)
+Σa[i] c[n-2] C[n-2 k-2] s[i]^(k-2)
……
+Σa[i] c[n-k] C[n-k 0] s[i]^(k-k)
でこれが0であるから帰納的に
Σa[i] s[i]^k = 0 (k=0,1,…,n)
である。
ここでVandelmonde(s[i]^k)の行列式は零でないからa[i] = 0である。

>>25
もし>>13があってたら
△PAB=√2±√(4-2√2)
三日月AB = π/2-√2
で答えが
π/2±√(4-2√2)
になるやん？
中学受験の答えがこんなんになるはずないでしょ？
半径が2√2でも答え２倍になるだけだからありえへんでしょ？
やり直し。

>>30
>f(x+��) - f(x) = g(x)��,

これあかんやろ？
f(x+��) - f(x)は�凾ﾅくくれるけど�竸2以上の項があるからくくったg(x)にも�凾ｪのこるからg(x)は�凾ﾉ依存する。
つまり正確には
f(x+��) - f(x) = g(��,x)��
になる。
すると
>= Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(x+s_k)
のところは
Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(s_k-s_n,x+s_k)
になりg(s_k-s_n,x+s_k)は単純に同一のn-1次式をシフトしただけの組ではない。

以前に出題された「体積が最大になる表面積1の多面体」(面白いスレ26:420〜)について
計算でそれらしい解を出していたのだけど、今回それらを視覚化してみたので投下しておきます。

内接球との接点から頂点までを結んだ線を追加していますが、稜を挟んで向かい合う三角形はそれぞれ対称であるはず。

8面体 http://imgur.com/wYhPa1z.gif
9面体 http://imgur.com/yIbytVb.gif
10面体 http://imgur.com/rESWAMh.gif
11面体 http://imgur.com/airhHDk.gif
12面体 http://imgur.com/Cb0Go9K.gif
13面体 http://imgur.com/G7QDmpg.gif
14面体 http://imgur.com/G6jsj9s.gif
15面体 http://imgur.com/EYjweqv.gif
16面体 http://imgur.com/imr1D2Q.gif

17〜19面体 略

20面体を作ってみたところ、12枚ある五角形が野球ボールの縫い目のように整列しているような形が出てきました。

20面体 http://imgur.com/006j3bX.gif

なお、>>32 の各図形について最大であるかどうかの証明はしていません。
何回か試行して他に良い解がなく、かつ対称性が高いものを採用しています。

>>29一瞬√2が消えるのにまた出てくるジレンマ。

前>>25
問題文の「正方形に入る」は、「正方形が入る」なのかな？

いずれにしろ半径が√2倍になったら面積は2倍。出題者の考えを聴こう。これ以上やってもおもんない問題になる。

�@方程式 x⁴+y⁴=6z⁴+12w⁴ は, (x,y,z,w)=(0,0,0,0)以外の有理数解を持たないことを示せ.

�AXをk+m次正定値エルミート行列とせよ.
X=[[ A, C], [C^*, B] ]
とブロック行列表示せよ.
ここで, Aはk次行列, Bはm次行列, Cはk×m行列であり,
C^*はCの随伴行列である.
このとき,
det(X) ≦ det(A) det(B)
を示せ.

>>36
�@ても足もでない。
ヒントおながいします。

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前>>35

広場に3つの扉がある。
扉の見た目はいずれも同じ。

ひとつは「一瞬で天国に行ける」扉
ひとつは「1日の間ずっと広場から出られない」扉
ひとつは「2日の間ずっと広場から出られない」扉

扉は、開けた瞬間に効果があらわれる。

扉の効果があらわれると、すぐに扉は閉じられ位置がランダムにシャッフルされる。
そのため、前回の位置にある扉が今回も同じとは限らない。

さて、この広場を訪れた者は平均何日で天国にたどり着けるだろうか？

平均 A 日で天国に行けるとすると
　A = 1/3・0 + 1/3・(A + 1) + 1/3・(A + 2)。
　∴ A = 3。

〔問題2926〕
mを正の整数とする。
θを 0≦θ≦π/2 の範囲で動かすとき、次の関数の値域を求めよ。
　f_m(θ) = √{1 -(sinθ)^m} + √{1 -(cosθ)^m}.

http://suseum.jp/gq/question/2926

〔問題2931〕
ΔABCにおいて、
　辺ABを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ X，Y
　辺BCを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ Z，W
　辺CAを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ U，V
とする。（0<f≠g<1）
このとき ΔXZU と ΔYWV が相似であれば、ΔABCは正三角形であることを示せ。

http://suseum.jp/gq/question/2931

〔問題2937〕
�僊BCで AB=7，AC=4，また辺BC上の1点Dについて AD=7/2 である。
BD、CD がともに正の整数であるものとして、BDの長さを求めよ。

http://suseum.jp/gq/question/2937

〔問題2938〕
3個のサイコロA，B，Cをこの順で1度づつ振る。
いちばん小さい出目が2のとき、いちばん大きい出目が4である確率はいくらか？

http://suseum.jp/gq/question/2938

>>41
エレガントな解だなぁ。

早速、シミュレーションしてみました。
> door <-function(){
+ stay=x=sample(0:2,1)
+ while(x!=0){
+ x=sample(0:2,1)
+ stay=append(stay,x)
+ }
+ sum(stay)
+ }
> re=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,door())))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.606 2.914 3.003 3.001 3.083 3.427

サイコロをふって１の目がでたら終了。　終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？

>>47
自信がないけど
x=1/6*1+5/6*(x+4)を解いてx=21でいいんだよな？

>>45
3/15=1/5

x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[a..6],c<-[b..6],minimum[a,b,c]==2]
length x --15
length $ elemIndices 4 (map maximum x) -- 3

>>49
これは間違い、組み合わせじゃなくて順列にしなくちゃいけなかった。

x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[1..6],c<-[1..6],minimum[a,b,c]==2]
length x -- 61
length $ elemIndices 4 (map maximum x) --12

12/61

>>47
サイコロをふって１の目がでたら終了。　

（１）終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？

（２）総和が５０以上になる確率はいくらか？

（２）はどうやって解けばいいんだろ？

場合分けして１〜４９まで場合分けして余事象でだすしかないのだろうか？

>>51
そうだと思うけど…
SageMath：
,var x
f = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)
1-f.taylor(x,0,49).subs(x=1)

2887816213848518927/28430288029929701376
0.101575341438975

>>51-52
おおよそなら、1回1以外の目が出るごとに平均して総和が4大きくなるから、
総和が50以上になるのは12〜13回1以外の目がでればいい。
(5/6)^12 = 0.112156654784615
(5/6)^13 = 0.0934638789871792
近似としてはまあまあか？

>>52
を部分分数分解して無理？

>>54
なるほど！ そうすればできるね。
,var n
R.<x> = CC['x']
g = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)/(1-x) #x^nの係数は総和がn以下になる確率
pfd = g.partial_fraction_decomposition()
p = sum(c.numerator()/c.denominator().subs(x=0)*(-1/c.denominator().subs(x=0))^n for c in pfd[1]) #pは総和がn以下になる確率

sage: p
-0.924602908258674*e^(-0.0450727249412852*n)
- (0.0141317451913899 + 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 - 1.18446726809051*I)*n)
- (0.0141317451913899 - 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 + 1.18446726809051*I)*n)
- 0.0172163389039878*e^(-(0.361410021965218 - 3.14159265358979*I)*n)
- (0.0149586312272785 + 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 - 2.18509474953750*I)*n)
- (0.0149586312272785 - 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 + 2.18509474953750*I)*n)
+ 1.00000000000000

sage: 1-p.subs(n=49)
0.101575341438976 + 5.79026428787119e-24*I

能力的についていけない、コードと議論なんだけどRでのシミュレーション解（１０００回の頻度の１０００回平均値）と一致しております。

> dice = function(){
+ total=x=sample(6,1)
+ while(x!=1){
+ x=sample(6,1)
+ total=total+x
+ }
+ total
+ }
> re50=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,dice()>=50)))
> summary(re50)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0740 0.0950 0.1010 0.1013 0.1070 0.1350

>>56
生成関数をTaylor展開で1を代入は場合分けしているのも同然だし、nが変わるごとn回微分するのはコストがかかる。
部分分数分解すればn乗ですむ、というのが>>54の指摘。
生成関数の部分分数分解は基本ともいえるのにでなかったのが恥ずかしい。

結局有理関数のテイラー展開の係数だからn項間関係の漸化式とけばいいんだね。

Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map head $ iterate(¥p -> (++[0] )$ tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%6] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518

訂正
Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map ((/(head d)).head) $ iterate(¥p -> tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%1] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518

答えが1/4じゃなくて10/49なのはトランプ問題
では、答えが4/25じゃなくて20/61なのは何問題？

>>60
>50は>45の確率

>>59
>51,56です。
いつも簡潔なHaskellのコードをありがとうございます。
自分にはか初見and/or失念のコマンドを調べながら勉強してます。

>>36の�@がムズイ。
どうやるんだろ？

>>57
すみません。
そもそもテイラー展開が出てくる理屈からしてわからないものです。

前>>39
>>44
BD=5または6または7

答え載せてるんだから、コレよりいい解答を見つけよが題意じゃね？
答えだけ書いてどうする？
しかも十分性成り立ってないし。

>>51
総和の分布ってパラメータ1/21の指数分布になるみたいだな。

グラフにするとそんな感じだけど証明はわからんのであしからず。

>>44
△ABC∽△DACになるようにしたら相似比2:1だからBC=8, CD=2 となってBD=6。
それしかないかを調べるにはどうするのがよいだろうか？

>>64
生成関数のべき級数展開をx^49の項まで求めているだけです。
ここでの生成関数はx^nの係数が総和がnになる確率です。

>>44

AB=7, AC=4, AD=7/2,

BC < AB + AC = 7 + 4 = 11,

BC = BH + CH
= √(AB^2-AH^2) + √(AC^2-AH^2)
≧ √(AB^2-AD^2) + √(AC^2-AD^2)
= (7√3 + √15)/2
= 7.99867

∴ 8 ≦ BC ≦ 10

>>61
>>45の答えは12/61だけど、20/61になるような改題は作れる？

前>>65△ABCを描き、BC上にAD=7/2なるDをとると、
x=BDの条件は、
AB-AD＜BD＜AB+AC
7-7/2＜x＜7+4
よってBDは4、5、6、7、8、9、10のいずれか。
AからBCに垂線AHを引くと、
AC^2-CH^2=AB^2-BH^2
=AD^2-DH^2
4^2-(y+z)^2=7^2-(x+y)^2
=(7/2)^2-y^2
16-(y+z)^2=49-(x+y)^2
=49/4-y^2
xとyについて解くと、
196-4(x^2+2xy+y^2)=49-4y^2
196-4x^2-8xy=49

8xy=147-4x^2
y=147/32-2=83/32
yとzについて解くと、

BD=4のとき、y=DH、z=CH-yとすると、
DC=DH+HC=y+z=83/16+z
=83/16+CH-y
――中略―――――
BD=4、5、6はいずれもNG
――中略―――――
x=BD=7のとき、
49/4-y^2=7^2-(7-y)^2
=49-(49-14y+y^2)
49/4=14y
y=7/8
CH=√{16-(49･15/64)}
={√(1024-735)}/8
=(√289)/8
=17/8
y=DH=√{(7/2)^2-(7√15/8)^2}
=7/8
BH=√{7^2-(7√15/8)^2}
=49/8
BD=BH+DH=49/8+7/8=56/8=7
CD=CH-DH=17/8-7/8=10/8=5/4
BD=7はNG
x=BD=8、9、10は未調査。
この中にある可能性がある。

そもそも答え出すだけなら

(x^2+3.5^2-7^2)/7x=-(y^2+3.5^2-4)^2/7y
3.5<x<10.5, 0.5<y<7.5

の整数解出すだけだから問題としては大して難しいわけでもない。
エレガントなやつを求められてる。

あ、式所々おかしいけどエスパーに期待

前>>72
BDが整数のときCDも整数になったらそれが答えなんだが、BD=8、9、10でもならなんだ。
しらみ潰しに調べてしらみを潰しきった。
∴解なし
または計算間違い。
おそらく同じ図を使ったときAH辺り同じ数字を使った可能性がある。

>>75
AB=7,AC=4,AD=7/2,BD=x,CD=y
cos(∠ADB)+cos(∠ADC)=0→(x^2+49/4-49)/(7x)+(y^2+49/4-16)/(7y)=0
正整数解は(x,y)=(6,2)

前>>75見落とし、6を。
x=BD=6のとき、
AB^2-BH^2=AD^2-DH^2=AC^2-CH^2
7^2-(x+y)^2=(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2=16-z^2
xとyについて解くと、
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2
(3/4)49-x^2-2xy=0
y=(3/8x)49-x/2
x=6を代入し、
y=49/16-3
=1/16
yとzについて解くと、
(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49/4-y^2=16-z^2
z^2=16-49/4+y^2
z^2=15/4+y^2
y=1/16を代入すると、
z^2=15/4+1/256
=(15･64+1)/256
=(960+1)/256
=961/256
z=31/16
CD=y+z=1/16+31/16=2
BDもCDも整数ゆえOK。

前>>77訂正。
整数→正の整数

数列{a_n}は
a_1=1
a_(3n+1)=a_(2n+1)
a_(3n-1)=a_(2n-1)
a_(3n)=-a_n
を満たす。この時、 lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k を求めよ

>>70

BC が決まると、ピタゴラスの定理より BH，CH が出る。
　2BH - BC = BH - CH = (BH^2 - CH^2)/(BH+CH) = (AB^2 - AC^2)/BC = 33/BC,
　BH = (BC + 33/BC)/2,
　CH = BC - BH = (BC - 33/BC)/2,
さらに
　y = DH = √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = √(BH^2 - 147/4),
　x = BD = BH - DH = BH - √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = BH - √(BH^2 - 147/4),
または
　x = BD = BC - CH - √(CH^2 + AD^2 - AC^2) = BC - CH - √(CH^2 - 15/4),
これに BC = 8，9，10 を入れる。

サイコロを１０００回ふったとき１２３４５６の順に並ぶめがある確率は？

(1000-6+1)/6^6=995/46656= 0.0213263

であってる？

>>81
10万回のシミュレーションで
> diseq = function(x) grepl("123456",paste(sample(6,x,rep=T),collapse=''))
> re=mean(replicate(1e5,diseq(k)))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179
なので多分、あってると思う。

>>81

24961325273729411157493296049923162050180048167808600668865194878033743728420689
84376099408174097463441629168520294258369368829106815003461566130708953839682920
95221171948291726439658114424799498019097661179266489639765057526270978013345104
76524747032016146895691394753020822407944413722991044460400808243936692906887421
58562789397002085900222149015685484765540355084031630923512566224026716368839141
57709132547009630669030748477906517799741669954712570078185561021427430325179405
72821546368625756251314713494685242945606761774980997529512510098234243941523221
41377931716188773349134288985450150950313965433089387066776103030489204172673462
73213105601812900585824575190324664251243051466881215047349049321238316686313754
951248352723962319494352745433967465925847447405514305001/6^1000
≒0.017620460571654540349...

>>81
「123456」を２つ以上含む場合を無視すれば合ってる。

「123456」の前後5回以内に「123456」はないから短時間の負相関があるが、それを無視すると
　1 - {1 - 1/(6^6)}^(1000-6+1) = 0.021100729

p[n]=n回目までに１２３４５６の並びが無い確率

p[n]=「n-1回目までに１２３４５６の並びが無い確率」-「n-1回目までに１２３４５６の並びが無く、n回目で１２３４５６が現れる確率」
=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)

p[0]=p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=1

求める確率は 1-p[1000]

あとは任せた

g[n]はn回目までに123456の並びがある確率
f[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が12345で終わってる確率
e[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1234で終わってる確率
…
b[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1で終わってる確率
a[n]はn回目の時点で上のどれにも当てはまらない確率
とすると、
a[0]=1, b[0]=c[0]=d[0]=e[0]=f[0]=g[0]=0,
a[n+1]=(5/6)a[n]+(2/3)(b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
b[n+1]=(1/6)(a[n]+b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
c[n+1]=(1/6)b[n],
d[n+1]=(1/6)c[n],
e[n+1]=(1/6)d[n],
f[n+1]=(1/6)e[n],
g[n+1]=g[n]+(1/6)f[n]
となるから、あとはがんばる（他力本願）
>>85 も同じになるんかねこれ

>>83　
変換行列間違えました。

29894670002765580717622018953762664878384906585883227072416001286367327613872462
36176982687935042063489589508768499096701653359496110507628202771697652461481898
15867083862983975849719649919755556602395081603445217810191450771872978378492822
20929434295896536747523490245609702844253652551469152963247478735449528154607738
94897010212340239653386134088594267247751133592603591616944486751154360658915673
06079634567518636788329151870647053752023096491715169208527344676777484044463919
37957902455021334206833507250332593780127396266576899688383930527654264882692836
52659851277089138926126233125349416055818289864095231536195189335702592341232170
57986389166894334399077869160455544669456052004648395254763440350805452857924718
777798944034868387931340048957755897293189482452979797088/6^1000
≒0.021102960211841870224...

>>86　と同等の内容を、行列を使って計算させたのが、87の結果です。

エレファントな解答を求む。

>81と>87の差異はどういう違いでしょうか？
123456を1個含むか複数かの違いでしょうか？
複数許容なら数値の大きい方でいいのでしょうか？

>>90
81の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたときの当選回数の期待値に等しい。
84の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたとき、少なくとも一回当たりくじを引く確率に等しい。

「目的の出目が六回続けて出る」という事が達成される確率が1/6^6。
普通のクジなら、外れを引くとクジ一個分を無駄にする。
しかし、この問題の場合は、いわば途中まで成功していた分のクジも無駄になることになる。
一回の失敗で、無駄になるクジの数が１枚の場合もあれば、複数の場合もある。
チャレンジできる回数が995回固定ということはない。

さらに、失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を
踏み出していたことになるが、それ以外の目で失敗したら、第０歩から
スタートすることになる。単純に「失敗」と言っても、内容が異なることもある。

本来はこのような機微に関わる問題で、厳密な値は、シンプルな式では表せない。

87や86は、6^1000通りある全てのパターンを想定している。

チャレンジできる回数が995回固定されないかも
ちょうど1000回使い切ることもありうる

>>92
解説ありがとうございました。

＞失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を踏み出していたことになる

この理解が私には欠けていました。

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134

完全追尾型多項式が完成しました

宝の個数を２で固定します

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48

Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48

■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意

P1st／Q1st

=｛8(n-1)｛(n-2)n-6｝/｛2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3｝｝+1

>>84

いったん「123456」が完成すると次の5回はデッド・タイムになるわけか。

GM計数管（放射線測定器）の分解時間、不感時間みたいなものかな？

>>44
BD、CD が半整数でいいなら、もう一つ解があるらしい…

haskell先生の答え
*Main> let ps = map (!!6) $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 + 6%(6^6) - (sum $ take 6 x)/6^6]) $ [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,0,0,0,0,0,0]
*Main> fromRational $ ps !! 999
2.110296021184187e-2

>>98
あった
*Main> [(x,y)| x<-[4.0,4.5..10.0],y<-[1.0,1.5..7.0],y*(x^2+(3.5)^2-7^2)== -x*(y^2+(3.5)^2-4^2)]
[(4.5,4.5),(6.0,2.0)]

Haskell 先生に聞いてみました。

Prelude Data.List Data.Ratio> let ps = map head $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 - 1%(6^6) * x!!0]) [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,1%1-1%(6^6)]
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ 1%1 - (ps !! 999)
2.110296021184187e-2

確かにこっちの方がいいね。

>>102
こんな短いコードで算出できるとは驚きです。
計算原理がさっぱりわかりません。
個々のコマンドはなんとかわかります。
1-1/(6^6）は何の数値でしょうか？

>>103
>96の線形漸化式の配列化？

>>102
ようやくコードの意味が理解できたのでRに移植。
実数計算なので誤差がでます。

f = function(N){
p=numeric()
p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=p[6]=1
for(n in 7:(N+1)){
p[n]=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)
}
1-p[N+1]
}
> f(1000)
[1] 0.02110296

>>105
表示桁を増やしてみた。
> options(digits=22)
> f(1000)
[1] 0.0211029602118424364221

>>103-106
もうわかってるみたいだけど参考までに。
>>102はHaskellで漸化式解くときの定石みたいなやつです。
簡単な例ではFibonacci数列を計算するとき
Prelude> let f x = if x <= 2 then 1 else (f $ x-1) + (f $x-2)
Prelude> [f x|x<-[1..30]]
でも
Prelude> let g = map head $ iterate (¥x-> (tail x) ++ [sum x]) [1,1]
Prelude> take 30 g
でもできますが、やってみると速度が段違いです。
なので速度優先のときは後者使います。
しかし後者のほうが優れてるわけではないんですよ。
計算そのものより理論が正しいかどうかとかの議論をしたい時とか、理論の正しさを明らかにしたい時とかなら可読性を優先して前者のほうがよい時もあります。
実際Haskellはその記述に厳しい “一貫性” を課してるので “書きにくいけど読みやすい” のが売りですからねぇ？
計算の数値だけが目的ならHaskell使う意味ありません。
TPO考えて使い分けないとです。

コインを１０００回投げた。連続して表がでる確率が最も高いのは何回連続するときか？

0<|2x^2-y^3|<100√|y|
を満たす整数の組(x,y)が無限に存在することを示せ

>>108
日本語の微妙なニュアンスは、それで合ってるの？

100回のコイントスで連続表の最大回数は
5回がもっとも起こりやすく確率は26%　らしいけど

>>108
1000回コインを振って、11連以上、10連以上、．．．、7連以上の表が出る確率はそれぞれ、
0.215431673
0.385449752
0.624240992
0.861144809
0.981783332
なので、最大連続数が、10連、9連、8連、7連となる確率は、それぞれ、
0.170018079
0.23879124
0.236903817
0.120638523
8連と9連がほぼ等しいが、9連となる確率が最も高い。

参考
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/462-465

>>112
１００回で５
１０００回で９
１００００回で１２
１０万回で１５
１０００万回で１８になった。

>>113

Rのスクリプトはここに置いた。

https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1540905566/54

有理数表示したかったのでPythonに移植

ここで実行可能

# http://tpcg.io/rMOVCB


サイコロを１万回ふったときに５回以上　及び、丁度５回１の目が続く確率を算出。数字を変えて実行も可能。

a = 2^(1/6) は無理数だから、ディリクレの定理より
　|p/q - a| < 1/q^2

（「ディオファントス近似」とかいうらしい。）

x = q^3，y = pp とおくと
0 < | 2xx - y^3 | = | 2q^6 - p^6 | < ?

う〜む、近似が足りぬ…

>>115

では、ニュートン・ラフソン法を使おう。

　f(x) = (x^6 -2) / x^(5/2),
として
　x ' = x - f(x) / f '(x) = x - 2x(x^6 -2)/(7x^6 +10) = x(5x^6 +14)/(7x^6 +10),
を繰り返す。このとき
　x '- a = (x-a)^3 * (5x^4 +8ax^3 +9aaxx +8aaax +5a^4)/(7x^6 +10)
∴　| x '- a | < C |x-a|^3,
さて…

>>113
１００万回で１８の間違い。
ちなみに１０００万回で２２回（確率は0.2474）だった。

>>117
https://www.tutorialspoint.com/execute_python3_online.php
だとタイムアウトしたので、オフラインで算出してみた。

Just 22
4456779119136417/18014398509481984
= 0.2474009396866937

ある道路では、30分以内に車が通る確率は99.9%である。
では、10分以内に車が通る確率は？

>>119
1-(1-0.999)^(1/3)
=0.9

>>115
それを満たすp q が無限にあったとしてもそれらが平方数、立方数になってくれてる保証なんかないでしょ？

>>105
分数表示したいのでPythonに移植した。

from fractions import Fraction

def dice126(N):
P=list()
for n in range(6):
P.append(1)
P.append(1-1/(6**6))
for n in range(7,N+1):
P.append(P[n-1]-P[n-6]/(6**6))
return(1-P[N])

def dice123456(N):
print(Fraction(dice126(N)))
print(" = " + str(dice126(N)))

dice123456(1000)

>>116 （補足）
　a = 2^(1/6) として
　0 < (5x^4 +8ax^3 +9aaxx +8aaax +5a^4)/(7x^6 +10) ≦ C,
　C = 2.706458005831039532180100595416
　等号成立は x = 0.903918268122918428596803223653869

>>81
((1-(5/6)^6)^6)/4

今んとこ解かれてないのは >>26 >>36 >>42 >>43 >>79 >>109 かね
真ん中二つはリンク先に答えあるみたいだしあれだけども

>>110 (補足)

ε = 1/(6^6)　とする。

α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -46376ε^6 -548340ε^7 - …

p[n] = Σ[k=0,∞] Ｃ[n-1-5k，k] (-ε)^k,

某シリツ医大の裏口入学調査委員会が裏口入学は高々10%と報告したとする。

その結果の検証に100人を調査したら4人続けて裏口入学生であった、という。
この検証から裏口入学率が10%であるか否かを有意水準1%で検定せよ。

>>129
＞その結果の検証に100人を調査したら4人続けて裏口入学生であった、という。

これは100件の検証結果の中に
・1度だけ4連続裏口入学があった
・複数回4連続裏口入学があった
・1度だけ4以上連続裏口入学があった
・複数回4以上連続裏口入学があった
のどれを意味していますか？

>>130
情報がないとして全ての場合を含む、
１回以上、4以上の連続裏口入学があった場合を考える。
４連続が１回でもいいし、
４連続が２回の後に５連続が１回でもいいとする。

想定したのは
表のでる確率が0.1のコインを100回投げて表が4回以上連続する確率が1%未満かという問題。

>>131
４回以上連続することが複数回あっても構わないとする。

>>128 (訂正)

　p[n] = Σ(k=0, [n/5]) C[n-5k, k] (-ε)^k,
でした。　...orz >>126 は ok

>>109 >>116

(x, y) = (q^3, pp) とおくと、求めるものは
0 < | 2q^6 - p^6 | < 100･p,
を満たす整数 (p, q)

そこで 2^(1/6) = a の近似分数の列 p/q = t を次の漸化式で定める。
　t ' = t - 2 t (t^6 - 2)/(7 t^6 + 10) = t (5 t^6 + 14)/(7 t^6 + 10),

(p,q) の漸化式は
　p ' = p (5p^6 + 14q^6),
　q ' = q (7p^6 + 10q^6),

(p,q) = (1,1) のときは成立するが

(p,q) = (19, 17) のときは　2xx -y^3 = 2･17^6 - 19^6 = 1229257 > 100*19

(p,q) = (10889952049, 9701846569)　のときは　2xx -y^3 = 2q^6 - p^6 = 2.31865949E+54 > 100･p

(p,q) = (217953260587942275546675683149407795232019596416934847340158868299331811, 194174280472305108606358058802927185430436427469916728412097502845028473)
のときも絶望的でござる。

>>76
　Macedonia の人の解答と同じらしいです。

>>134
てかその方針そのものが無理なんじゃないの？
もし
>0 < | 2q^6 - p^6 | < 100･p,
>を満たす整数 (p, q)
が無限にあったら
0 < 2q^6 - p^6 < 100p 又は -100p < 2q^6 - p^6 < 0
になるけど前者なら t = 100p/q^6、b=(p/q)^(-5/6)とおいて
p/q < 2^(1/6) < (p^6/q^6 + 100/q^6)^(1/6) = p/q + tb/6 - 5tb/72 (bt) + 55tb/1296 (bt)^2 + ……
だけど誤差項がO(q^(-5))なので
＞この系は、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。
に矛盾してしまう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%AE%9A%E7%90%86
後者でも同様。

>>110 >>126 >>128

ε = 1/(6^6) とする。

p[n] = (1 +15ε^2 +220ε^3 +3060ε^4 +42504ε^5 +593775ε^6 +8347680ε^7 + … )α^(n-5)

α は　t^6 - t^5 +ε = 0 の根

α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -46376ε^6 -548340ε^7 -6690585ε^8 - …

>>96 >>110 >>126 >>128 >>137

t^6 - t^5 +ε = 0 の根は

α = 1 - Σ[k=1,∞] c(5, k) ε^k,

c(5, k) = (5/6)C(6k, k)/(6k-1) = C(6k-2, k)/(5k-1),

を一般化カタラン数とか云うらしい。

http://oeis.org/A130564

>>79
分からないけど、｛a_n｝の母関数の関数等式ができたので一応書いとく

f(x)=Σ[n≧1] a_nx^n

g(x)=Σ[n≧1] a_(2n-1)x^(2n-1)

h1(x)=Σ[n≧1] a_(3n-2)x^(3n-2)

h2(x)=Σ[n≧1] a_(3n-1)x^(3n-1)

h3(x)=Σ[n≧1] a_(3n)x^(3n)

とおく。これらは区間 (-1,1) 上で絶対収束する。
まず明らかに
　h1(x)+h2(x)+h3(x)=f(x)　…�@
　(f(x)-f(-x))/2=g(x)　…�A
さらに漸化式より
　xh1(x^2)=g(x^3)　…�B
　h2(x^2)=xg(x^3)　…�C
　h3(x)=-f(x^3)　…�D

�@に x^2 を代入して x 倍
　xh1(x^2)+xh2(x^2)+xh3(x^2)=xf(x^2)
�B�C�Dより
　g(x^3)+x^2g(x^3)-xf(x^6)=xf(x^2)
�Aより
　(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))/2-xf(x^6)=xf(x^2)
整理して
　(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))=2x(f(x^2)+f(x^6))

うーん…

>>79はデタラメ詰将棋君の香りがする。
ホントに解けるのかどうかかなり疑問ww

デタラメ詰将棋君ってなんだよ？ 説明したまえ

しらんの？わかスレでこれ答えでんやろって適当な問題連発してるやつ。
とくに彼がだしてる確率系は殆どとけない。
(というか持ってる答えあるなら出してくれといって出したことないのでそう推定している。)
>>79はいかにも彼が好きそうな形。
本人解けたつもりで出してるだけの可能性あり。

でたらめ予定調和君

コインを１００回投げて表が連続した最大数が５のとき、表がでる確率の９５％信頼区間を求めよ。

近似解計算で

lower upper
0.2487456 0.6386493

になったけど、自信がない。

>>138
>t^6 - t^5 +ε = 0 の根は
>
>α = 1 - Σ[k=1,∞] c(5, k) ε^k,

これどうやって証明するんですか？
Link先にも載ってないですけど？

あ、わかった。
G.f.: inverse series of y*(1-y)^5.
これだ。

>>79は関数等式が作れたので満足ということにしよう

>>26
これも分からないけど考えたことを書いてみる。

区間 [0,√2] で関数の値を決めれば、
等式 f(x+√2)=(f(x)+f(x+1))/2 を満たすように実数全体に一意に拡張することができる。
したがって、[0,√2] 上で定数であることを示すことが必要かつ十分。

[0,√2] 上で定数でないと仮定して、有界でないことを導く感じかなあ。
x を大きくすると平均化されて収束しそうなので、逆に x を -∞ の方に持ってくと有界でなくなりそう。

>>89
Henry Mancini - Baby Elephant Walk
http://www.youtube.com/watch?v=b1z4JfxFb6c

諦め早いなあ　じゃヒント
>>79
S(n) = Σ_(k=1,n) a_(2k-1) とおくと
S(3n) = Σ_(k=1,n) a_(6k-5) + a_(6k-3) + a_(6k-1)
= Σ_(k=1,n) a_(4k-3) - a_(2k-1) + a_(4k-1)
= S(2n) - S(n)

ちなみに言っとくと
>>142 人違いです　書き込んだことあるのはこの面白スレだけなので

あとついでにもう一問
整数 N に対し、rad(N) を N の互いに異なる素因数の積と定める。
正の整数 n に対して (1+√2)^n を展開した時の √2 の係数を a_n とおくと、
n を奇数の中から適切に選んで rad(a_n)/a_n を任意に小さくできることを示せ。

ヒントあってもムズい。
存在すれば０までは簡単だけど。

>>150

a_n = {(1+√2)^n - (1-√2)^n} / (2√2),

{(1+√2)^m + (1-√2)^m}/2 は自然数。

∴　a_{pq} は a_p および a_q で割り切れる。

さて、どうするか？

>>150
こっちの方はできたかな？

RをQ[√2]の整数環とする。
p≡3.5 (mod 8)である素数をとる。
x^2 - 2 = 0は mod p で解を持たないからQ/Zのpの拡大次数は2でpRはRの素イデアル。
とくにa+b√2∈p^iR ⇔ a∈p^iZ かつ b∈p^iZ である。
ここで n をR/p^2Rの乗法群の位数とするとき(1+√2)^n ≡ 1 (mod p^2R)であるからa≡1 (mod p^2) かつ b≡0 (mod p^2)である。
とくにこのとき rad b ≦ b/p であるから rad b / b ≦ 1/p となる。
p≡3.5 (mod 8)である素数は無数にあるから主張は示された。

あれ？素数取り直す必要ないか。
R/3^iRの乗法群の位数をnとすれば(1+√2)^n = a + b√2 とおくとき同様にしてb ≡ 0 (mod 3^i)だから
b / rad b ≦ 1/3^(i-1)でいいのか。

>>153
その n が奇数になる保証はあるかい？

ありゃ？とすると代数的整数論のテクニック使う必要すらないや。
(1+√2)^(8・3^(i-1)) = a[i] + b[i]√2 とおいて a[i] ≡ 1 (mod 3^i)、b[i] ≡ 0 (mod 3^i) を帰納法で示せばいいだけだ。

あ、奇数っていう制限もあるのか。

>>152

n = (2^r) -1 のとき　a_n は 2n-1 で割り切れるらしい。

といっても平方因子じゃないが…

a_7 = 13^2,
a_15 = 5^2･29･269,

>>155
とりあえず代数的整数論つかえば n が奇数もクリアできた。
p ≡ 3、5 (mod 8)にとっておけば p^2 ≡ 9 (mod 16)なのでRの乗法群の位数は16で割り切れない。
とくに 1+√2 + pR がある数の8乗であれば1+√2 + pRの位数は奇数である。
よって 方程式 x^8 - (1+√2) が R/pRで完全分解する素数pをとればよい。
そのような素数はチェボタレフ密度定理により無限にある。

かいたあとに気づく。orz。これも初等的にいける。けど、もういいや。これで。

>>158
　と思ったが、間違えたようだ。ｽﾏｿ

>>158
どうやれば平方因子が（無限に）出てくるか、という問題らしいけど、サパーリです。

コインを１００回投げて表が連続した最大数が５のとき、
表がでる確率の期待値と最頻値および９５％信頼区間を求めよ。

>>159
それは題意とは別のことの証明みたい
nを奇数に制限した時に数列 a_n に素因数が無限に出現することの証明　これもこれですごいんだけど

>>155
初等的に。
(1+√2)^n = a[n] + b[n]√2 (a[n],b[n]∈Z) として b[3・5^i] ≡ 0 (mod 5^(i+1))をしめす。
i=0のとき(1+√2)^3 = 7+5√2より成立。
i=kで成立するとしてi=k+1のとき
b[3・5^(i+1)] = 5a[3・5^i]^4 b[3・5^i] + 10a[3・5^i]^2 b[3・5^i]^3 + b[3・5^i]^5
だから成立。
これを用いて
rad b[3・5^i]/b[3・5^i] ≦ 1/5^i。

>>149
もうちょいおながいします。

>>165 >>167
正解　実は自分もこのくらい初等的な証明の存在は投稿してから気づいた
>>166
しょうがないなあ

>>149 の続き
a_n の絶対値は全て１であるから n>m の時
|S(n)-S(m)| = |Σ_(k=m+1,n) a_(2k-1)|
≦ Σ_(k=m+1,n) |a_(2k-1)|
= n-m.
したがって、一般の n,m≧1 について
|S(n)-S(m)| ≦ |n-m|
が成り立つ。これと >>149 の式を組み合わせると…？

>>168
|S(3n)|≦nですか？
答え0と予想してるんですけど？
1/3?

あ、いや、なるほど！わかったかも！
でも偶数項もなんとかせねば！

気のせいだった。ムズイ

>>149
できたかも。
まず>>149を一般化して
S[3N] = S[2N] - S[N]
S[3N-1] = S[2N-1] - S[N]
S[3N+1] = S[2N+1] - S[N]
さらにT[N] = Σ[n≦2N, n:evev] a[n]とおいて
T[3N] = S[2N] - T[N]。
T[3N+1] = S[2N+1] - T[N]。
T[3N-1] = S[2N-1] - T[N]。
まず|S[N]|、|T[N]| ≦ N^(3/4)(log (3*N)))^2を示す。
f(x) = x^(3/4)(log (x+1))^2とおくときx≧1において多分
f(3x)≦f(2x) + f(x)、
f(3x+1)≦f(2x+1) + f(x)、
f(3x-1)≦f(2x-1) + f(x)
である。(∵パソコンでグラフ描いてみた)
よって成立。
よって
lim[n→∞](S[N]+T[N])/N = 0
である。

>>173
あれ？なんかおかしい気がする。
ひとまず撤回。

今わかった。はっきりおかしい。orz。>>173無視してください。

>>26が一応できたけど、証明が長くなった。
もし模範解答が短いなら書くだけ損なので、あまり書きたくないｗ

>>79は2種類の証明ができて、lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k＝0 が証明できた。
1つ目の方法は、正の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k−1) と置いてから、
>>149の類似品を作って、それを展開しまくってたくさんのS(x)の和にしたあとに、
その和を適当に区切ってからそれぞれ評価して、
limsup_x S(x)/x と liminf_x S(x)/x を考える方法。
簡単だけど計算がごちゃごちゃしてて、8レスくらいになった。
計算ミスしてる可能性もある。

2つ目の方法は、>>149の類似品を使いながら、素数定理の簡単な証明
ttps://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2975232/fulltext.pdf
と同じやり方を使う方法。実はこっちの方が先にできた。これは7レスくらい。

>>177
おお、素晴らしい。あげてくださりませ。

そうなんだよね〜
ディリクレ級数はまず真っ先に思いつくのはつくんだけど、母関数と違って関数等式作れなくてs=1近傍での振る舞いが確定できなかった。
どうやったんですか？
関数等式作れました？

>>177
んーなんかできてるっぽいね　やや略式ではあるけど一応答え載せときます
（これからも答え複雑になりそうな時はこんくらい省いても問題ないんじゃないかな　まあでもこれは個人の感覚か）

>>149 を使って、例えば
S(9n) = S(6n)-S(3n) = S(6n)-S(2n)+S(n) = S(4n)-2S(2n)+S(n)
のように、S(3N) を S(2N)-S(N) に置き換える操作を繰り返していく時、各辺を
Σ_(c∈C) σ(c)S(cn) (Cは正整数の有限集合、各cに対してσ(c)は整数)
とおいた時の Σ_(c∈C) |σ(c)c| の値は操作により増加しないことがわかる。
（このことは、操作を適用する項だけに着目して、その項の操作前後の変化を考えればわかる）
（上の例では 9 ≧ 6+3 ≧ 6+2+1 ≧ 4+2*2+1）
したがって、a>b>0 かつaとbの偶奇が一致しない時
S((3^a)n) = S((2^a)n) - S((3^b)n) + (それ以外)
と展開することができることから、limsup |S(n)/n|=μ とおくと >>168 から
(3^a)μ ≦ |2^a-3^b| + limsup((それ以外)/n)
≦|2^a-3^b| + (3^a-2^a-3^b)μ.
よって、μ ≦ |2^a-3^b|/(2^a+3^b).
ディリクレのディオファントス近似定理より
|mlog_3(2) - (1/2)log_3(2) - m'| (m,m'は十分大きい正の整数) は任意に小さくすることができるので、
a=2m-1, b=2m' とおけば a,b は条件を満たし、|2^a-3^b| も (2^a+3^b) と比べて任意に小さくなる。
ゆえに、μ=0.
さらに >>173 の T(n) について limsup|T(n)/n|=ν とおくと、
3ν = limsup|T(3n)/n| ≦ limsup|S(2n)/n| + limsup|T(n)/n| = ν
から、ν=0.　以上より、示された。

よければ >>177 の手法ももうちょい詳しく聞いてみたいな

ここからはやや余談。コラッツの問題は
f(n)=n/2 (if 2|n), 3n+1 (otherwise)
とおいた時 f の合成による値の挙動を問う問題でご存知の通りまだ未解決なんだけど、
kを正の整数として『（１に到達するまでの操作の回数）mod k』で自然数を分類した時に何か言えないか？
を考えることができるのではと思い、感触をつかむためまず手始めに
g(n)=n/3 (if 3|n), 2n+1に最も近い3の倍数 (otherwize)
とした時にできる同類の問題を考えてみた、というのが >>79 の問題。
どんな自然数もgの合成でいずれ1に到達することは簡単にわかるけど、
それでもこの問題の（思いつく限り簡単な）解は >>180 のようにやや込み入ったものになっていて、以外、という印象。
本来のコラッツ数列で同類の問題を考えた時にどうなるかは、少なくとも自分には未解決です

あと実は >>26 は >>79 の解からも着想を得てできた問題で、要は
「動き方が制限されている関数（実→実関数の連続性、整数→整数関数のリプシッツ連続性、等）に
非有理的な”漸化式”（f(x),f(x+1),f(x+√2)間、S(n),S(2n),S(3n)間、等）を設けた時の挙動」
を問う問題を他にも作ってみたい、という感じでできたものでした　まあ解法は若干違うものになったんだけど…

>>26 の想定解は >>180 と同じぐらいかそれ以下の分量なんだけど、
他の方法も見てみたいし、もしお時間あれば概略だけでも是非書いてみてくださいな

以外、じゃねえ、意外

連投すまん。
g(n)=n/3 (if 3|n), 2nに最も近い3の倍数 (otherwise)
でした

>>79の解答。

正の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k−1) と置く。
ただし、0＜x＜1のときは S(x)＝0 と定義する。

η(x)＝S(3x)−S(2x)＋S(x) (x＞0)

と置くと、>>149と同じような計算をして、η(x)は有界であることが示せる。
α＝limsup_(x→∞)S(x)/x, β＝liminf_(x→∞)S(x)/x と置くと、
−1≦β≦α≦1 である。α＝β＝0 を示したい。
S(3x)＝S(2x)−S(x)＋η(x) をxで割ってlimsup_xを取ると、
3α≦2α−β となるので、α＋β≦0 となる。また、liminf_xを取ると
3β≧2β−α となるので、α＋β≧0 となる。よって、α＋β＝0 となる。
β≦αにより0＝α＋β≦2αとなるので、0≦αとなる。

次に、S(3x)＝S(2x)−S(x)＋η(x) において、x＞0をx/3＞0で置き換えると
S(x)＝S((2/3)x)−S(x/3)＋η(x/3) となるので、n≧1とx＞0に対して、帰納的に

S(x)＝S((2/3)^n x)−Σ(k＝0〜n−1)S((2/3)^k x/3)＋Σ(k＝0〜n−1)η((2/3)^k x/3)

が成り立つ。特にx＞1のとき、n_x＝[log_{3/2}x]＋1と置けば、
0 ＜ (2/3)^{n_x} x ＜ 1 となるので、S((2/3)^{n_x} x)＝0 であり、

S(x)＝−Σ(k＝0〜n_x−1)S((2/3)^k x/3)＋Σ(k＝0〜n_x−1)η((2/3)^k x/3)

となる。この式では、Σの部分は n_x−1 までの和なので、
x に依存して和の項数が増えることに注意。

ηが有界であることから、x のオーダーとして

Σ(k＝0〜n_x−1)η((2/3)^k x/3)＝O(n_x)＝O([log_{3/2}x]＋1)＝O(log x) (x→∞)

である。よって、

S(x)＝−Σ(k＝0〜n_x−1)S((2/3)^k x/3)＋O(log x)

である。次に、s(x)＝S(x)/x (x＞0) と置く。−1≦s(x)≦1である。上の式をxで割って

s(x)＝−Σ(k＝0〜n_x−1) (2/3)^k (1/3) s((2/3)^k x/3)＋o(1)

となる(o(1)の部分は、こだわるならO((log x)/x)と書いた方が精密だが、ここではo(1)で十分)。
ここで、δ＞1を任意に取って固定する。Σの部分を

Σ(k＝0〜n_x−1) ＝ Σ(k：(2/3)^k x/3＜δ)＋Σ(k：(2/3)^k x/3≧δ)

と分解する。

Σ(k：(2/3)^k x/3＜δ) (2/3)^k (1/3) s((2/3)^k x/3)
≧Σ(k：(2/3)^k x/3＜δ) (2/3)^k (1/3)(−1)
＝Σ(log_{3/2}(x/(3δ))＜k≦n_x−1) (2/3)^k (1/3)(−1)
≧Σ([log_{3/2}(x/(3δ))]＜k) (2/3)^k (1/3)(−1)
＝(−1/3)(2/3)^{ 1＋[log_{3/2}(x/(3δ))] } * 1/(1−2/3)
＝o(1)

である。

また、

Σ(k：(2/3)^k x/3≧δ) (2/3)^k (1/3) s((2/3)^k x/3)
≧Σ(k：(2/3)^k x/3≧δ) (2/3)^k (1/3) inf(t≧δ)s(t)
＝Σ(1≦k≦log_{3/2}(x/(3δ))) (2/3)^k (1/3) inf(t≧δ)s(t)
＝Σ(1≦k≦[log_{3/2}(x/(3δ))]) (2/3)^k (1/3) inf(t≧δ)s(t)
＝(1/3)(2/3)(1−(2/3)^{ [log_{3/2}(x/(3δ))] })/(1−2/3) * inf(t≧δ)s(t)
＝(1/3)(2/3)(1−o(1))/(1−2/3) * inf(t≧δ)s(t)
＝(2/3)(1-o(1)) * inf(t≧δ)s(t)
＝(2/3)inf(t≧δ)s(t)−(2/3)o(1)inf(t≧δ)s(t)
＝(2/3)inf(t≧δ)s(t)＋o(1)

である。

これらの不等式を

s(x)＝−Σ(k＝0〜n_x−1) (2/3)^k (1/3) s((2/3)^k x/3)＋o(1)

と合わせて、

s(x) ≦ o(1)−(2/3)inf(t≧δ)s(t)

となるので、limsup_x を取って α≦−(2/3)inf(t≧δ)s(t) となる。
δ＞1は任意だから、δ→∞として、α≦−(2/3)β となる。
よって、3α＋2β≦0 となるので、α＋β＝0によりα≦0となる。
一方でα≧0だったから、α＝0となる。よって、β＝0となる。
よって、lim(x→∞) S(x)/x＝0 である。

次に、正の実数xに対して T(x)＝Σ_(1≦k≦x)a_k と置く。
ただし、0＜x＜1 のときは T(x)＝0 と定義する。
ν(x)＝T(3x)＋T(x)−2S(x) (x＞0) と置くと、ν(x) は有界であることが示せる。
α＝limsup_(x→∞) T(x)/x, β＝liminf_(x→∞) T(x)/x と置く。
−1≦β≦α≦1である。T(3x)＝−T(x)＋2S(x)＋ν(x) をxで割って
limsup_x を取れば、3α＝−β となる。また、liminf_x を取れば、3β＝−α となる。
よって、α＝β＝0となるので、lim_(x→∞) T(x)/x＝0 となる。
よって、lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k＝0 である。

次は素数定理のやり方。

1以上の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k−1) と置く。
η(x)＝S(3x)−S(2x)＋S(x) (x≧1) と置くと、η(x)は有界であることが示せる。
次に、Re(z)＞1を満たす複素数zに対して

f(z)＝∫(1,∞) S(x)/x^{1＋z}dx

と置くと、f(z)はRe(z)＞1の範囲の正則関数である。変数変換で

f(z)＝∫(1/3,∞) S(3x)/(3x)^{1＋z}3dx

としてから S(3x)＝S(2x)−S(x)＋η(x) を使って変形すれば、
面倒くさいので詳細は省略するが、ある具体的なg(z)に対して

(1−(2^z−1)/3^z)f(z)＝g(z)

という形になって、しかもg(z)はRe(z)＞0の範囲の正則関数になることが示せる。

次に、Re(z)≧1のとき (1−(2^z−1)/3^z)≠0 となることが示せる(自明ではないが)ので、

h(z)＝g(z)/(1−(2^z−1)/3^z)

が Re(z)≧1 の範囲で定義できて、Re(z)＞1の範囲ではh(z)は正則である。

また、Re(z)＝1上の各点zに対して、(1−(2^z−1)/3^z)≠0 であるから、
zごとに、zを含む十分小さな開円盤B(円の半径はzに依存する)が存在して、
各点 w∈B で (1−(2^w−1)/3^w)≠0 である。
よって、B上でも h(w)＝g(w)/(1−(2^w−1)/3^w) が定義できて、B上でh(w)は正則である。
よって、Re(z)≧1という範囲を包含するある連結開集合Uが存在して、
z∈U のとき h(z)＝g(z)/(1−(2^z−1)/3^z) が定義できて、
hはU上の正則関数である。また、Re(z)＞1のときは f(z)＝h(z) である。
よって、fはU上の正則関数に解析接続される。

s(x)＝S(x)/x (x≧1)と置けば、sは有界であり、変数変換により

f(z)＝∫(0,∞) s(e^x)e^{−(z−1)x}dx (Re(z)＞1)

となるので、fがU上の正則関数に解析接続されることから、
>>177のpdfの analytic theorem により、∫(0,∞) s(e^x)dx が存在する。
変数変換して、∫(1,∞) S(t)/t^2dt が存在する。

ここで、>>177のpdfの(VI)と似たような計算をする。λ＞1を満たす実数λを任意に取る。
∫(1,∞) S(t)/t^2dt が存在することから、lim_(x→∞)∫(x,λx)S(t)/t^2dt＝0 である。
また、1≦x≦t≦λxのとき｜S(x)−S(t)｜≦[t]−[x] なので、

∫(x,λx)S(t)/t^2dt≧∫(x,λx)(S(x)＋[x]−[t])/t^2dt
＝(S(x)＋[x])(1/x)(1−1/λ)−∫(x,λx)[t]/t^2dt
＝(S(x)＋[x])(1/x)(1−1/λ)−∫(x,λx)(t−{t})/t^2dt
＝(S(x)＋[x])(1/x)(1−1/λ)−logλ＋∫(x,λx){t}/t^2dt
≧(S(x)＋[x])(1/x)(1−1/λ)−logλ

となる。limsup_(x→∞)として、0≧(limsup_x S(x)/x＋1)(1−1/λ)−logλ
となるので、limsup_x S(x)/x ≦ (logλ)/(1−1/λ)−1 となる。
λ＞1は任意だから、λ↓1として、limsup_x S(x)/x ≦ 1−1＝0 となる。

次に、N(x)＝−S(x) と置くと、∫(1,∞) N(t)/t^2dt が存在して、
1≦x≦yのとき｜N(y)−N(x)｜≦[y]−[x]である。よって、
>>194の計算をN(x)に置き換えても成立して、limsup_x N(x)/x≦0 となる。
よって、liminf_x S(x)/x≧0 となる。よって、

0≦liminf_x S(x)/x≦limsup_x S(x)/x≦0

となったので、lim_(x→∞) S(x)/x＝0 である。
あとは>>190と同じようにして、lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k＝0 が示せる。

η有界なの？
計算機で実験したら極めてゆっくりではあるけど(nが6桁くらいで3桁くらいになる)なんかlogオーダーぐらいで揺れてそうだったけど。
多分揺れても高々logオーダーなのでxで割った時点で大丈夫なんだけど。
実験するとηもだけどS本体もlogオーダーの何乗かでは抑えられてそうなんだけどなぁ。

いや、ごめん。間違えました。ηは計算してない。
実験ではS本体がlog程度しか予想できなかった。

ηが有界の証明書いた方がよかったかな。

0＜x＜1の範囲ではη(x)は有界。x≧1のときは、｜η(x)｜≦3が成り立つことを示す。
まず、n≦x＜n＋1を満たす正整数nが取れるので、S(x)＝S(n)となる。
また、2n≦2x＜2n＋2なので、2n＋r≦2x＜2n＋r＋1を満たすr＝0,1が取れて、
S(2x)＝S(2n＋r)となる。また、3n≦3x＜3n＋3なので、3n＋r'≦3x＜3n＋r'＋1
を満たすr'＝0,1,2が取れて、S(3x)＝S(3n＋r')となる。

S(2n＋r)＝S(2n)＋Σ(k＝2n＋1〜2n＋r) a_{2k−1}
S(3n＋r')＝S(3n)＋Σ(k＝3n＋1〜3n＋r') a_{2k−1}

なので、

η(x)＝S(3x)−S(2x)＋S(x)
＝S(3n)−S(2n)＋S(n)＋Σ(k＝3n＋1〜3n＋r') a_{2k−1}−Σ(k＝2n＋1〜2n＋r) a_{2k−1}
＝0＋Σ(k＝3n＋1〜3n＋r') a_{2k−1}−Σ(k＝2n＋1〜2n＋r) a_{2k−1}

よって｜η(x)｜≦r＋r'≦1＋2＝3

前者の手法だけど、
>>189
k=0 の項を足し忘れてないかい？修正して計算し直したら
s(x) ≦ o(1) - inf(t≧δ)s(t)
になって、limsup_x とってから δ を ∞ に飛ばしても
α ≦ - β
にしかならなくて、ここから結論を同じように導くのは無理な気がする…

後者の素数定理のやり方はあってるっぽいので正解にします
analytic theorem については存じ上げなかったんだけどまあこんなうまいこと成り立ってくれるんだねえ
|S(x)-S(t)|≦|[x]-[t]| の >>194 での使われ方がうまいと思いました　ほんとお疲れ様でした

>>196
有界になるはずだよ
>>149 から x>0 が整数の時は μ(x)=0 になるし、
x が 1 以下動いた時の S(x),S(2x),S(3x) の値の変化はそれぞれ 1,2,3 以下だから μ(x) の変化も6以下になる

>>199
ありゃりゃ、やっぱり計算ミスしてたか。スマン。

およ　ログ進んでた　すまんち
>>196 >>197
その様子を見ると、S(n) の最良のオーダーはだいたい n^(1/2 + ε) ぐらいにはなるのかねえ
まあ自分は証明できそうもないけど

剰余項つき素数定理の証明と同じようにすると、
(1/n)Σ_(k=1,n)a_k が 0 に収束する具体的なオーダーが
求められるかもしれない。最良のオーダーとして求まるわけではないし、
あまり詳しくないので何とも言えないが。

もし任意のε＞0に対して n^(1/2 + ε) のオーダーで抑えられるなら、
リーマン予想のS(x)バージョンになってるので、とても面白いｗ

>>196
ですね。S(x)=S([x])で整数値のとこで0なんだからほぼ自明。
それにしても

>1以上の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k−1) と置く。


コレがうまい。
言われてみれば当たり前なんだけど。
私も池原の定理の類使うのは第一勘だったんだけど

f(s)=Σa[n]n^(-s)

を考えて失敗してこの方針捨てちゃったんだよね〜
頭硬いorz

>>26 ももう答え書いていいかな

M = sup_x |f(x)| とおく。
実数 x と整数 n に対して y_n = x - n*√2 と定めると、
f(x+1) - f(x) = Σ_(k=0,2n) 2^(-2n) * (2n)C(k) * ( f(y_(2n)+1+k) - f(y_(2n)+k) )
= 2^(-2n) * Σ_(k=0,2n+1) ( (2n)C(k-1) - (2n)C(k) ) * f(y_(2n)+k)
となるから、
|f(x+1)-f(x)| ≦ 2^(-2n) * Σ_(k=0,2n+1) | (2n)C(k-1) - (2n)C(k) | * M
= M * 2^(-2n) * 2 * Σ_(k=0,n) (2n)C(k) - (2n)C(k-1)
= M * 2^(-2n) * 4 * (2n)C(n).
n は任意のであったから、n→∞ として f(x)=f(x+1) を得る。
これを元の式に代入することで f(x)=f(x+√2) も得られるが、
以上から f は稠密な集合 {a+b√2 | a,bは整数} 上で一定であるから、f は定数関数である。

>>204
おながいします

>>204
そんなに簡単に終わるのかｗ

こっちは自分の証明の簡略化を考えてみたが、1行も短くならない (＾o＾)
しかも、>>177のpdfの手法を使った別証明も見つかったｗ
まさか>>26でも>>177が使えるとは思わんかった。

>>207
＞まさか>>26でも>>177が使えるとは思わんかった。
kesk

>>208
いま、長い方の証明から書き起こしてます(例のごとく、計算ミスしてるかもしれん)。
>>177の方針はそのあとになるんで、ちょっと時間かかりますｗ

>>207 いや普通に気になる　よければ概要だけでも聞きたいわ

やや余談 >>201 の予想だけど、だんだん成り立たない気がしてきた
仮に任意の ε>0 について |S(x)|=O(x^(α+ε)) が成り立つと仮定すると、
Re(z)>α の範囲でf(z)が絶対収束するから >>191 の等式が成り立つことになるんだけど、
z が 3^z-2^z+1=0 を満たす場合、g(z)=0 も成り立たなければならなくなる。
例えば z=0.603312...+47.8074...i とか z=0.734188...+169.407...i が 3^z-2^z+1 の根になるらしいんだけど、
仮に α=1/2 ととれるなら、これらが全て g の根にもなる必要がある。
こんなうまいこと成り立ってくれるとはあまり思えない…

>>109 ももう答え出しちゃおうか

ペル方程式 p^2 - 2q^2 = -1 には解が無数に存在するので、この解を用いて
x=q(p^2+9p+19),
y=p^2+6p+4
と定めれば
2x^2 - y^3 = 27(2p+11)
となり、p が十分大きければ 0<|2x^2-y^3|<100√|y| が成り立つ。

>>212
その(x,y)はどうやって見つけたのかね？

>>212
おお、素晴らしい！

>>213
この問題考える前にまず |x^2-y^3| を小さくできないかって考えてて、
x,y をnをパラメータとした多項式で表して良いのが作れるかなって考えたんだけど、
いつぞやのメーソン・ストーサーズの定理から、多項式 f,g について
deg(f^2-g^3) > (1/2)deg(g)
が成り立つことがわかるため、これは断念。
でも、例えば無限個のnについてh(n)が平方数になるようなあるhについてなら
deg(hf^2-g^3) ≦ (1/2)deg(g)
が成り立ってくれるのでは？と思って、状況を簡単にするために
(mx^2+1)(mx^2+ax+b)^2 - (mx^2+cx+d)^3
が x についての一次以下の自明でない式になるように
整数係数 m,a,b,c,d についての方程式を立てて解いていった、というのが見つかったきっかけ。
ただこの場合、最後に残った m,a についての方程式が確か
81m=a^2
だったから、どう頑張っても m が平方数にしかならなくて、h(n)が無限回平方数になるという目的は断念。
副産物として m=1 として a,b,c,d を定めていってできたのが >>212 で使われた
(x^2+1)(x^2+9x+19)^2 - (x^2+6x+4)^3 = 27(2x+11)
という式。これでも h にあたる x^2+1 が無限回（平方数×２）になってくれるからまあいいか、と。
ちなみに
8(2y^2-x^3) = (4y)^2-(2x)^3
でもあるから、Y^2-X^3 < 800√|X| を満たす(X,Y)も無限に存在する事になって、
無事最初の目的も果たされることになったとかそんな感じです

ただまあ後で調べてみたら Hall's conjecture というのがあるらしくて
https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_conjecture
この問題を考える過程で Danilov さんが既に同等のことを証明していたらしいことがわかって、やや萎え（？）
（式は自分のの方がより簡単になってるから意味無くはないと信じたいけどまあその辺はどうでも）
おそらくこれがその論文↓
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&;jrnid=mzm&paperid=6024&option_lang=eng
ロシア語で書かれてるけど実質２ページしかないからグーグル翻訳にちょっとずつ入れてって何とかなるレベルかと
英語版もあるらしいけど有料みたいなのでまあいいやと

素数定理の方針を使った>>26の証明を書きます。
示したいのは次の定理(I)で、>>26はこの定理の特殊な場合になります。

定理(I)　m≧2とする。a_1,…,a_m は正の実数で、ある異なるa_uとa_vがQ上一次独立とする。
λ_1,…,λ_mは正の実数で、Σ(k＝1〜m)λ_k＝1を満たすとする。
f：R→Rは連続かつ有界で、f(x)＝Σ(k＝1〜m)λ_k f(x−a_k) (x∈R) が成り立つとする。
このとき、fは定数関数である。

補題1　m≧2とする。a_1,…,a_m は正の実数とする。
λ_1,…,λ_mは正の実数で、Σ(k＝1〜m)λ_k＝1を満たすとする。
写像 f：R→R は f(x)＝Σ(k＝1〜m)λ_k f(x−a_k) (x∈R) を満たすとする。
このとき、limsup(x→−∞)f(x)＝sup(x∈R)f(x), liminf(x→−∞)f(x)＝inf(x∈R)f(x) である。
また、fが局所ルベーグ可積分なら、Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)f は
xに依存しない定数である。よって、xに依存しない定数 α∈R を

α ＝ (Σ(k＝1〜m)λ_ka_k)^{−1} Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)f

として定義できるが、実は
α≦limsup(x→−∞)f(x), α≦limsup(x→＋∞)f(x),
α≧liminf(x→−∞)f(x), α≧liminf(x→＋∞)f(x) が成り立つ。

証明　帰納法により、x∈Rとn≧1に対して

f(x)＝Σ(k_1,…,k_n∈[1,m]) λ_{k_1}…λ_{k_n}f(x−a_{k_1}−a_{k_2}−…−a_{k_n})

が成り立つ。c＝limsup(x→−∞)f(x) と置く。sup(x∈R)f(x)≦c を示す。
c＝＋∞のときは明らか。c＜＋∞のときは、c＜rを満たす実数rを任意に取る。
limsup(x→−∞)f(x)＝c＜r だから、あるδが存在して、t＜δのとき f(t)＜r が成り立つ。
a＝min{a_1,…,a_m}＞0 と置く。x∈Rを任意に取る。xに依存した十分大きなn≧1を取れば、
x−na＜δ となるので、k_1,…,k_n∈[1,m] に対して
x−a_{k_1}−a_{k_2}−…−a_{k_n}≦x−a−a−…−a＝x−na＜δ である。よって、

f(x)＝Σ(k_1,…,k_n∈[1,m]) λ_{k_1}…λ_{k_n}f(x−a_{k_1}−a_{k_2}−…−a_{k_n})
≦Σ(k_1,…,k_n∈[1,m]) λ_{k_1}…λ_{k_n} r ＝ (Σ(k＝1〜m)λ_k)^n * r ＝ r

となる。

証明の続き　x∈R は任意だったから、sup(x∈R)f(x)≦r となる。
c＜rは任意だったから、r↓cとして、sup(x∈R)f(x)≦c となる。
次に、sup(x∈R)f(x)≧c を示したいが、これは明らか。
よって、sup(x∈R)f(x)＝c すなわち sup(x∈R)f(x)＝limsup(x→−∞)f(x) が成り立つ。
fを(-f)で置き換えれば、(-f)自体が補題1の仮定を満たすので、同じ議論によって
sup(x∈R)(−f)(x)＝limsup(x→−∞)(−f)(x) が成り立つ。
よって inf(x∈R)f(x)＝liminf(x→−∞)f(x) が成り立つ。

証明の続き　次に、fは局所ルベーグ可積分とする。x≦yのとき

∫(x,y)f(t)dt＝∫(x,y)Σ(k＝1〜m)λ_k f(t−a_k)dt
＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x,y)f(t−a_k)dt
＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,y−a_k)f(t)dt
＝Σ(k＝1〜m)λ_k (∫(x−a_k,x)＋∫(x,y)＋∫(y,y−a_k))f(t)dt
＝∫(x,y)f(t)dt＋Σ(k＝1〜m)λ_k (∫(x−a_k,x)＋∫(y,y−a_k))f(t)dt

なので、Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)f ＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(y−a_k,y)f
となる。よって、Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)f はxに依存しない定数である。

証明の続き　次に、α ＝ (Σ(k＝1〜m)λ_ka_k)^{−1} Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)f
と置く。α≦limsup(x→＋∞)f(x) かつ α≦limsup(x→−∞)f(x) を示す。
どちらもほぼ同じ議論なので、前者のみ示す。b＝max{a_1,…,a_m}と置いておく。
c＝limsup(x→＋∞)f(x)と置く。α≦cを示せばよい。c＝＋∞なら、明らか。
c＜＋∞のときは、c＜rを満たす実数rを任意に取る。
limsup(x→＋∞)f(x)＝c＜rより、あるδが存在して、x≧δのときf(x)＜rが成り立つ。
δ＋b＞δ＋b−a_k≧δ (1≦k≦m) であるから、

α＝(Σ(k＝1〜m)λ_ka_k)^{−1} Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(δ＋b−a_k,δ＋b)f ≦ r

となる。すなわち、α≦rとなる。c＜rは任意だったから、r↓cとして、確かにα≦cとなる。
次に、α≧liminf(x→＋∞)f(x) かつ α≧liminf(x→−∞)f(x) を示す。
補題1のfとαに対して(-f)と(−α)を考えれば、補題1の条件が成り立つので、
同じ議論ができて−α≦limsup(x→＋∞)(−f)(x) かつ −α≦limsup(x→−∞)(−f)(x)
となる。よって、α≧liminf(x→＋∞)f(x), α≧liminf(x→−∞)f(x) である。□

定理1　m≧2とする。a_1,…,a_m は正の実数で、ある異なるa_uとa_vがQ上一次独立とする。
λ_1,…,λ_mは正の実数で、Σ(k＝1〜m)λ_k＝1を満たすとする。f：R→RはR上でリプシッツ連続で、
f(x)＝Σ(k＝1〜m)λ_k f(x−a_k) (x∈R) が成り立つとする。このとき、fは定数関数である。

証明　あるL≧0が存在して、任意のx,y∈Rに対して|f(x)−f(y)|≦L|x−y|である。
特にfは連続なので、局所ルベーグ可積分である。よって、補題1により、
limsup(x→−∞)f(x)＝sup(x∈R)f(x) かつ liminf(x→−∞)f(x)＝inf(x∈R)f(x) であり、
xに依存しない定数αが

α＝(Σ(k＝1〜m)λ_ka_k)^{−1} Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)f

として定義できる。実は sup(x∈R)f(x)＜＋∞ が成り立つ。これを背理法で示す。

証明の続き　もしsup(x∈R)f(x)＝＋∞ならば、任意のN≧1に対して、
あるt∈Rが存在して、N＜f(t)が成り立つ。y_1＝t と置くと、N＜f(y_1)である。
また、f(y_1)＝Σ(k＝1〜m)λ_k f(y_1−a_k) である。
よって、あるkに対して N＜f(y_1−a_k) である。そこで、y_2＝y_1−a_k と置く、
これを帰納的に繰り返すと、点列 {y_i}_i が定義できて、
N＜f(y_i), y_1＝t, y_i−y_{i＋1}∈{a_1,…,a_m} となる。
特に、y_iは狭義単調減少で、y_i→−∞ となる。よって、x∈(−∞,y_1]を任意に取ると、
y_{i＋1}＜x≦y_iを満たすiが取れる。b＝max{a_1,…,a_m}と置けば

|f(x)−f(y_i)|≦L|x−y_i|≦L|y_{i＋1}−y_i|≦Lb

なので、f(x)≧f(y_i)−Lb≧N−Lbとなる。これがx∈(−∞,y_1]のとき成り立つので、

α＝(Σ(k＝1〜m)λ_ka_k)^{−1} Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(y_1−a_k,y_1)f ≧ N−Lb

となる。すなわち、α≧N−Lb となる。N≧1は任意だったから、α＝＋∞となって矛盾する。
よって、sup(x∈R)f(x)＜＋∞である。

証明の続き　fを(−f)で置き換えれば、(−f)自体が定理1の条件を満たすので、
同じ議論によって sup(x∈R)(−f)(x)＜＋∞ である。
よって、inf(x∈R)f(x)＞−∞である。よって、fは有界である。
次に、g＝f−α と置く。このとき、gは有界である。
また、|g(x)−g(y)|≦L|x−y| (x,y∈R) である。
また、g＝f−α とαの定義により

Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)g ＝ 0 (x∈R)

である。特に Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(−a_k,0)g ＝ 0 である。
また、g(x)＝Σ(k＝1〜m)λ_kg(x−a_k) (x∈R) が成り立つ。
xを−xで置き換えて、g(−x)＝Σ(k＝1〜m)λ_kg(−x−a_k) (x∈R) も成り立つ。
ここで、Re(z)＞0 を満たす複素数zに対して

G(z)＝∫(0,∞)g(−x)e^{−zx}dx

が定義できて、G(z)はRe(z)＞0の範囲で正則である。

証明の続き

G(z)＝∫(0,∞)g(−x)e^{−zx}dx＝∫(0,∞)e^{−zx}Σ(k＝1〜m)λ_kg(−x−a_k)dx
＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(0,∞)e^{−zx}g(−(x＋a_k))dx
＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(a_k,∞)e^{−z(x−a_k)}g(−x)dx
＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(a_k,0)e^{−z(x−a_k)}g(−x)dx＋G(z)Σ(k＝1〜m)λ_ke^{a_kz}

であるから、

(1−Σ(k＝1〜m)λ_ke^{a_kz})G(z)＝Σ(k＝1〜m)λ_k∫(a_k,0)e^{−z(x−a_k)}g(−x)dx

となる。右辺をH(z)と置き、u(z)＝(1−Σ(k＝1〜m)λ_ke^{a_kz}) と置けば、
H(z)とu(z)はC全体で定義可能な正則関数であり、Re(z)＞0 のとき u(z)G(z)＝H(z) が成り立つ。

証明の続き　

H(0)＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(a_k,0)g(−x)dx＝−Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(−a_k,0)g(x)dx＝0

である。また、u(0)＝0 だが、lim(z→0)u(z)/z＝u'(0)＝−Σ(k＝1〜m)λ_ka_k ≠ 0 である。
よって、z＝0を含むある開円盤 B_0 とある正則関数 H_1：B_0→C とある正則関数
u_1：B_0→C−{0} が存在して、w∈B_0のとき H(w)＝wH_1(w), u(w)＝wu_1(w) と表せる。
次に、Re(z)＝0 かつ z≠0 のとき u(z)≠0 が成り立つことが示せる
(自明ではないが、省略する)。よって、Re(z)＝0 かつ z≠0 のとき、
その z を含むある開円盤 B_z の上で u(w)≠0 である。

証明の続き　

U＝{z∈C｜Re(z)＞0}∪(∪_{Re(z)＝0}B_z)

と置けば、Uは連結開集合である。G_1：U→C を

G_1(w)＝G(w) (Re(w)＞0)
G_1(w)＝H(w)/u(w) (w∈∪_{Re(z)＝0, z≠0}B_z)
G_1(w)＝H_1(w)/u_1(w) (w∈B_0)

と定義すると、G_1 は well-defined である(自明ではないが、省略する)。
また、G_1はU上の正則関数である。また、Re(z)＞0 のときは G_1(z)＝G(z) である。
よって、G(z)はU上に解析接続される。

証明の続き　まとめると、gは有界であり、Re(z)＞0 のとき
G(z)＝∫(0,∞)g(−x)e^{−zx}dx であり、GはU上に解析接続されるので、
analytic theorem により、∫(0,∞)g(−y)dy が存在する。
すなわち、∫(−∞,0)g(y)dy が存在する。そこで、ε＞0を任意に取る。
∫(−∞,0)g(y)dy が存在することから、lim(x→−∞)∫(x,x＋ε)g(y)dy＝0 である。
また、x≦y≦x＋εのとき|g(x)−g(y)|≦L|x−y|＝L(y−x)であるから、

∫(x,x＋ε)g(y)dy≧∫(x,x＋ε)(g(x)−L(y−x))dy
＝εg(x)−L∫(x,x＋ε)(y−x)dy＝εg(x)−L∫(0,ε) y dy＝εg(x)−Lε^2/2

となる。limsup(x→−∞) を取って、0≧εlimsup(x→−∞)g(x)−Lε^2/2 となるので、
limsup(x→−∞)g(x)≦Lε/2 となる。ε＞0は任意だったから、
limsup(x→−∞)g(x)≦0 となる。

証明の続き　次に、gのかわりに(−g)を考えると、∫(−∞,0)(−g)(y)dy が存在し、
|(−g)(x)−(−g)(y)|≦L|x−y| (x,y∈R) であるから、同じ議論によって
limsup(x→−∞)(−g)(x)≦0 となる。すなわち、liminf(x→−∞)g(x)≧0 となる。
以上より、lim(x→−∞)g(x)＝0 となる。g＝f−αだったから、lim(x→−∞)f(x)＝αとなる。
limsup(x→−∞)f(x)＝sup(x∈R)f(x) かつ liminf(x→−∞)f(x)＝inf(x∈R)f(x) だったから、

sup(x∈R)f(x)＝limsup(x→−∞)f(x)＝lim(x→−∞)f(x)＝α,
inf(x∈R)f(x)＝liminf(x→−∞)f(x)＝lim(x→−∞)f(x)＝α

である。任意のx∈Rに対して inf(x∈R)f(x)≦f(x)≦sup(x∈R)f(x) であるから、
α≦f(x)≦α となり、よって f(x)＝α (x∈R) となり、fは定数関数である。□

定理(I)の証明　補題1から、α＝(Σ(k＝1〜m)λ_ka_k)^{−1}Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)f
がxに依存しない定数として定義できる。F(x)＝∫(0,x)(f(t)−α)dt と置けば、

F(x)−Σ(k＝1〜m)λ_kF(x−a_k)＝Σ(k＝1〜m)λ_k(F(x)−F(x−a_k))
＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)(f(t)−α)dt
＝Σ(k＝1〜m)λ_k ∫(x−a_k,x)f(t)dt−αΣ(k＝1〜m)λ_ka_k＝0

となるので、F(x)＝Σ(k＝1〜m)λ_kF(x−a_k) (x∈R)となる。
また、L＝sup(t∈R)|f(t)−α| と置けば、fが有界であることから L＜＋∞であり、
|F(y)−F(x)|＝|∫(x,y)(f−α)|≦L|x−y| (x,y∈R) である。よって、
FはR上でリプシッツ連続である。よって、定理1から、Fは定数関数である。
Fは各点で微分可能なので、F'＝0すなわち(f−α)＝0である。
よって、fは定数関数である。□

やっと終わった('A`)

長い方の証明も途中までは同じで、素数定理の手法を使っている部分が
別のやり方に変わっていきます。需要があったら書きます。
途中まで同じなので、やや省略できて＋10レスくらいになります。

一般の場合に証明しちまったのか…つよ…そりゃ長くもなるわ
書き起こすの大変だったろうに、気軽に頼んじゃってごめんよ　お疲れ様ですほんとに

f を積分した関数 F の挙動について考えたのはうまいなあと思いました
f と同じ等式が成り立つし、単に連続だったのをリプシッツ連続まで強くできるんだもんなあ
（まあ積分した関数も有界であることの証明は必要になったけど何とかなってたし）
α は何か f にとって重要な意味を持つ値なんだろうね　おおまかに f の"平均"ということになるのかしら
あとやっぱ analytic theorem つええなあ…

自分も一般的な場合の証明考えてみようかな…
個人的には、もう一つ見てみたいのとお腹いっぱいなのとの半々かなあ
もし既に書き起こしてるなら折角だし書いてみてもいいと思うけど、任せる！

>>233
じゃあ、明日か明後日あたりに投下しようかな。

ちなみに、もはや遊びですが次の定理も成り立ちます。

定理2　m≧2とする。a_1,…,a_m は正の実数で、ある異なるa_uとa_vがQ上一次独立とする。
λ_1,…,λ_mは正の実数で、Σ(k＝1〜m)λ_k＝1を満たすとする。
f：R→R は L^∞ 関数で、f(x)＝Σ(k＝1〜m)λ_k f(x−a_k) a.e.x∈R が成り立つとする。
このとき、fはa.e.で定数である。

>>234 >>235
ありがとう気楽にやってくれい　てかそこまで一般化できるのか…
あと次みたいな拡張も考えられそうだ　例のごとく自分には証明できそうもないが

（予想）
実数上の有界連続関数全体からなるベクトル空間を V とおく。
V 上の線形作用素 S:V→V が次を全て満たすとする：
・任意の a∈R に対して定まる平行移動作用素 T=T_a:V→V ; (Tf)(x)=f(x+a) について、T と S は可換。
・f∈V について、f(x)≧0 for ∀x∈R ならば (Sf)(x)≧0 for ∀x∈R.
・f∈V が周期関数の時、（Sf=f）⇔（fは定数関数）
この時、f∈V が Sf=f を満たすならば f は定数関数である。□

作用素論とかに強い人いたら、もしよければ挑戦してみてくれ！！（他力本願）

>>216
Hall’s conjectureってこれですね。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_conjecture
Hall’s conjecture の弱い形は ABC conjecture より従うとあるけどどんな形なんだろう？

あ、失礼しました。
――-
there is a positive constant C such that for any integers x and y for which y2 ≠ x3,

|y^{2}-x^{3}|>C|x|^(1/2).
――
が Hall’ conjecture で
――
for any ε > 0, there is some constant c(ε) depending on ε such that for any integers x and y for which y2 ≠ x3,

|y^{2}-x^{3}|>C|x|^(1/2-ε).
――-
がその弱型ですね。
どうやって ABC予想から示すんだろう？

でけたわ　作用素に課される条件が若干強くなったけどまあこれで十分と思われ　証明はまた時間ある時に

定理３
実数上の有界連続関数全体からなるベクトル空間を V とおく。
V 上の線形作用素 S:V→V が次を全て満たすとする：
・任意の a∈R に対して定まる平行移動作用素 T=T_a:V→V ; (Tf)(x)=f(x+a) について、T と S は可換。
・f∈V について、f(x)≧0 for ∀x∈R ならば (Sf)(x)≧0 for ∀x∈R.
・f∈V が定数関数の時、Sf=f.
・任意の a>0 について次が成り立つ：「f∈V が f(x)>0 for ∀x∈R-(aZ) を満たせば (Sf)(0)>0 も満たす」
この時、Sf=f を満たす f∈V は定数関数のみである。□

固有の番号の書かれたカードが何枚あり、
その枚数は１０００枚以下であることはわかっているが、その数を推定したい。
調査員が無作為に１０枚選んで番号を記録して元に戻した。
別の調査員が無作為に２０枚選んで番号を記録した。
二人の調査員の記録した番号を照合すると３人分の番号が一致していた。
この情報からカード枚数の期待値を求めよ。

>>240
>二人の調査員の記録した番号を照合すると３人分の番号が一致していた。

三枚一致した？

>>241
そのとおり、三枚一致。

>>243

正解です。

最頻値が20*10/3の６６なのに期待値との乖離が大きくてびっくりした。
Rでも
[1] 149.4755244755245

95%信頼区間をhighest densitye intervalで算出したら32 〜 411

確率分布をグラフにしたらこんな感じ。

http://i.imgur.com/paJnhr9.png

>>239
ひえー！
予定していた長い方の証明は>>239には通用しないので、
書く意味がなくなりましたね(＾o＾)

>>235の証明だけ書いておきます。実は>>231とほぼ同じです。

>>235の証明　補題1の積分計算と同じ計算をすると、
α＝(Σ(k＝1〜m)λ_ka_k)^{−1}Σ(k＝1〜m)λ_k∫(x−a_k,x)f
がxに依存しない定数として定義できる(a.e.x の意味ではなく、任意のxに依存しない)。
F(x)＝∫(0,x)(f(t)−α)dt (x∈R) と置く。微積分学の基本定理から、
Fはa.e.で微分可能で F'＝(f−α) a.e. である。
次に、αが任意のxに依存しないことから、>>231と同じ計算で
F(x)＝Σ(k＝1〜m)λ_kF(x−a_k) (x∈R) となる。
また、L＝|α|＋||f||_∞ と置けば、L＜＋∞であり、
|F(y)−F(x)|＝|∫(x,y)(f−α)|≦L|x−y| (x,y∈R) である。よって、
FはR上でリプシッツ連続である。よって、定理1から、Fは定数関数である。
よって、FはR全体で微分可能で、R全体で F'＝0 である。
一方で、F'＝(f−α) a.e. だったから、(f−α)＝0 a.e. となる。
よって、f＝α a.e. である。□

>>212 >>215 >>216 >>237 >>238

仮に C > 27*2 だとすると >>212 により無数に反例が出てくるので、
C≦27*2 ですかね…

〔補題〕
ペル方程式 pp - 2qq = -1 には解が無数に存在する。

(略証)
(p_1, q_1) = (1, 1)　は一つの解である。

(p, q) が解ならば
　p ' + q'√2 = (1+√2)^2･(p+q√2),
　p ' - q'√2 = (1-√2)^2･(p-q√2),
(どちらでも同じこと）とおくと、
　p ' = 3p + 4q,
　q ' = 2p + 3q,
も解である。(漸化式)

これより解が無数に存在する。
　p_{2n+1} = {(1+√2)^(2n+1) + (1-√2)^(2n+1)}/2,
　q_{2n+1} = {(1+√2)^(2n+1) - (1-√2)^(2n+1)}/(2√2),

∴　p > (27*11-2C)/(C-27*2)　をみたすpも無数に存在する。(C>27*2 のとき)

位数9852554225504584574の群を分類せよ

>>249
9852554225504584574の素因数分解は2×83×59352736298220389である。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=prime+factorization+9852554225504584574
p = 2、q = 83、r = 59352736298220389 とおき、それぞれの sylow group P,Q.R を選び、その共役の個数をl、m、n とおく。
このとき m = [G:N(Q)] = 1,p,r,pr、m ≡ 1 (mod q) である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Sylow_theorems
しかしこれを満たすのは m=1 のみである。
特に Q は正規部分群である。
同様にして R も正規部分群である。
よってQR = Hは位数qrの部分群であり、同様にしてRはHの正規部分群である。
よってHはRのQによるInner semidirect productである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Semidirect_product
ここでAut Rは位数 r-1 の巡回群であり、(r-1,q) = 1であるからQ→Aut Hは自明であるものしかない。
よってHはQとRの直積であり、位数qrの巡回群である。
同様にしてGはHのPによるInner semidirect productである。
ここでAut Hは位数q-1の巡回群と位数r-1の巡回群の直積であり、P→Aut Hは４つある。
以上によりGは
C[2]×C[83]×C[59352736298220389]、
D[83]×C[59352736298220389]、
C[83]×D[59352736298220389]、
<x,y,z|x^2、y^83、z^ 59352736298220389、xyxy、xzxz>
の４つのいずれかに同型である。

池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３６匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。
95%信頼区間も合わせて述べなさい。

>>36 の１つ目が本当にわからん…
mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、
剰余を使った証明はどうやら無理っぽいということまでしかわからん…

次の等式が成立することを示せ。eはネイピア数である。
1/((1π)^2+1)+1/((2π)^2+1)+1/((3π)^2+1)+……=1/(e^2-1)

>>252
忘れてた。
これムズイよね？
多分すべてのp進数体では解を持つけど大域的には解がないHasse principle の反例になるやつだと思うんだけど、じゃどうせいと言われると手が止まるよね？

>>239 の定理３だけど、証明に致命的な間違いが見つかってやり直したが、それでもどう頑張っても修正無理そうだ…
代わりに、 S の条件をさらに強めたバージョンに変更して（主張がだいぶしょぼくなったけど）今度こそ証明したので報告。
安々と定理なんて言うもんじゃないな…

実数上の有界連続関数全体からなるベクトル空間を V とおく。
V 上の線形作用素 S:V→V が次を全て満たすとする：
(i)任意の a∈R に対して定まる平行移動作用素 T=T_a:V→V ; (Tf)(x)=f(x+a) について、T と S は可換。
(ii)f∈V が定数関数の時、Sf=f.
(iii)任意の a>0 について次が成り立つ：「f∈V が f(x)>0 for ∀x∈R-(aZ) を満たせば (Sf)(0)>0.」
(iv)次を満たす H>0 が存在する：「f∈V が f(x)=0 for ∀x∈[-H,H] を満たせば (Sf)(0)=0.」
（定理３．１）このような状況の時、Sf=f を満たす f∈V は定数関数のみである。

使う補題とすんごい大雑把な証明の概略
（補題１）f∈V が Sf=f を満たし、ある a>0 について f(x+a)=f(x) for ∀x∈R を満たせば、f は定数。
（∵）f(x) が f の最小値をとるような x の集合を L、 x∈L⇒x+a∈L を満たす a の集合を G とおくと、
G は閉集合で加法に関して群をなし、∪_(x∈L) {a∈R| x+a∈L でない} = R-G が言える。
R の強リンデレフ性から L の点列 {x_n} であって ∪_(n=1,∞) {a∈R| x_n+a∈L でない} = R-G を満たすものがとれて、
アスコリ＝アルツェラの定理から F(x) = Σ_(n=1,∞) 2^(-n)_f(x+x_n) は連続で S 不変、
かつ ∀x∈R-G で F(x)>0 となるから (iii) より G=R となるしかない。□

>>253
Σ[k≧1] 1/((kπ)^2 + 1)
=Σ[k≧1i≧1] (-1(kπ)^2)^i
=Σ[i≧1] ζ(2i)(-1π^2)^i
=Σ[i≧1] (-1)^(i+1)B[2i](2π)^(2i)/2/(2i)!(-1π^2)^i
=Σ[i≧1] (-1)B[2i]2^(2i)/2/(2i)!
= (1/2)(coth 1 - 1)
=1/(e^2-1)

>>255 の続き
（補題２）f∈V が Sf=f を満たし、lim(x→∞)f(x) と lim(x→-∞) f(x) が存在するならば、f は定数。
（∵）g(x)=f(x+1)-f(x) とおいて sup_x g(x) > 0 と仮定すると、g(x) が g の最大値になるような最小の x_0 と最大の x_1 について、
G(x):=g(x+x_0)+g(x+x_1) は S 不変かつ G(x)<G(0) for∀x≠0 となり、(iii) と矛盾。
これらの議論が -g にも適用できることから g が定数とわｂｩるので、補題ｂPより f も定数。□

（補題３）f∈V が Sf=f を満たすならば、F(x):=∫_(0,1) f(x+t)dt も SF=F を満たす。
（∵）関数列 f_n(x):=(1/n)Σ_(k=1,n) f(x+k/n) のコンパクト一様収束性から従う。□

>>253

オイラー積表示
　sinh(x) = x Π[k=1,∞] {1 + (x/kπ)^2},
より
　log|sinh(x)| = log|x| + Σ[k=1,∞] log{1 + (x/kπ)^2},
　coth(x) = cosh(x)/sinh(x) = ( log|sinh(x)| ) ' = 1/x + 2Σ[k=1,∞] x/{(kπ)^2 + x^2},
に x=1 を入れる…

>>257 の続き　一番面倒な補題

（補題４）f∈V が１以下のリプシッツ係数を持ち Sf=f を満たすならば、lim_(x→∞) f(x) が存在する。
（∵）a:=liminf_(x→∞) f(x) < b:=limsup_(x→∞) f(x) であると仮定する。
各 r∈R に対して C(r)=lim_(ε→+0) limsup_(x→∞, f(x)<a+ε) f(x+r)-a とおくと、
アスコリアルツェラから C は有界かつ１以下のリプシッツ係数を持つことがわかる。
またこれより、各 r∈R に対して、非有界な上昇列 {x_n} であって n→∞ の時 f(x_n)-a→0、f(x_n+r)-a→C(r) を満たすものがとれるが
アスコリアルツェラから部分列 {x'_n} であって T_(x'_n)f-a が [-1,1] 上で一様収束するものがとれる。（Tの定義は(i)参照）
この部分列 {x''_n} をとって T_(x''_n)f-a が [-2,2] 上で一様収束するものがとれて、更に部分列 {x'''_n} をとって T_(x'''_n)f-a が [-3,3] 上で一様収束するものがとれて、…
と部分列を帰納的に定義できることから、{x_n} の部分列 {y_n} であって T_(y_n)f-a がコンパクト一様収束するものがとれる。
この関数列の収束先である F_r は 0≦F_r(x)≦C(x) for∀x かつ F_r(r)=C(r) を満たし、なおかつ S 不変。これが任意の r に定義できることから、
C(x) にコンパクト一様収束する V の関数列 {g_n} であって g_n(x)≧0 for∀x かつ (Sg_n)(0)=0 を満たすものが構成できるので、(SC)(0)=0.
r_1,r_2∈R について C(r_1)=C(r_2)=0 ⇒ C(r_1+r_2)=0 がわかるので、C の零点集合は (1) R の加法に関する離散部分群かその部分集合、(2) R 全体、
もしくは (3)０以上の実数全体か０以下の実数全体のどちらかの部分集合 X であって原点から離れるにつれ徐々に稠密になっていく集合、のどれかになる。
（続く）

>>259 の続き

(1) の場合は (iii) と矛盾。(2) の場合は、十分小さい ε>0 と十分大きい実数 b_1<a_1<a_2<a_3<b_3 s.t.
（x≧b_1 かつ f(x)<a+ε ならば ∀r∈[-H,H] について f(x+y)<(a+b)/2）　∧　f(b_1),f(b_3)>(a+3b)/4
∧　f(a_2) = min_(t∈[b_1,b_3]) f(t) < a+ε　∧　a_1=min{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}　∧　a_3=max{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}
がとれるので、(T_(a_1)+T_(a_3))f(x)>2f(a_2) (for∀x∈[-H,0)∪(0,H]) から S(T_(a_1)+T_(a_3))f(0)>2f(a_2) となるが、これは f(a_1)+f(a_3)=2f(a_2) と矛盾。
これらから (3) の場合のみが残る。集合 X が伸びている方向を σ∈{+,-} とおくと、Xはσの方向に徐々に稠密になっていくから lim_(x→σ∞) C(x)=0.

これまでと全く同様の議論を -f に対して行い（勿論aとbも逆になる）、C にあたる関数を D とおく。
もし D の零点集合が伸びる方向が σ と逆ならば (C+D)(x)>0 for∀x≠0 より S(C+D)(0)>0 となるが、これは SC(0)=SD(0)=0 と矛盾。
よって、D は C と同じ方向に伸びるので、lim_(x→σ∞) D(x)=0. したがって、M>0, ε>0 であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。これより、M<b'_1<a'_1<a'_2<a'_3<b'_3 を
f(b_1),f(b_3) > b-ε　∧　f(a_2) = min_(t∈[b_1,b_3]) f(t) < a+ε　∧　a_1=min{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}　∧　a_3=max{t∈[b_1,b_3]|f(t)=f(a_2)}
を満たすように定めれば、(1') |b'_1-a'_1|≦H または |b'_3-a'_3|≦H と (2') b'_1+H<a'_1 かつ a'_3<b'_3-H の二つの場合に分けてそれぞれ今までとほぼ同様に矛盾を示せる。□

（定理３．１）f∈V が Sf=f を満たすならば、f は定数。
（∵）補題３から F(x):=∫_(0,1) f(x+t)dt も S 不変かつリプシッツ連続であるが、
補題４（と対称性）から lim(x→∞) F(x) と lim(x→-∞) F(x) が存在。
補題２から F は定数であるから、f(x)=f(x+1). これと補題１から f は定数。□

（系１）正の数からなる無限列 λ_1, λ_2,… の総和は１であり、
有界な実数列 a_1, a_2,… のうちQ上一次独立な二つ組が存在すると仮定する。
この時、実数上の有界連続関数 f で
f(x) = Σ_(n=1,∞) λ_nf(x+a_n) (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。（証明略）

（系２）a<b を実数、φ を区間 [a,b] 上の連続関数であって
φ(t)≧0 (for∀t∈[a,b]), ∫_(a,b)φ(t)dt=1
を満たすものとする。この時、実数上の有界連続関数 f で
f(x) = ∫_(a,b)φ(t)f(x+t)dt (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。（証明略）

ちなみに、例えばこんなことはまだ示せていません。和をとったりしてる範囲が非有界なので

（予想１）実数上の有界連続関数 f で
f(x) = Σ_(n=1,∞) f(x+√n)*2^(-n) (for∀x)
を満たすものは定数関数に限られる。また、
f(x) = (1/√π)∫_(-∞,∞) f(x+t)e^(-t^2) dt (for∀x)
を満たすものも定数関数に限られる。

（予想２）S の条件のうち (iv) を
(iv)’ 関数列 f_n∈V (n=1,2,…) が一様有界かつ 0∈V にコンパクト一様収束するならば lim_(n→∞) (Sf_n)(0)=0.
まで緩めても、定理３．１と同様の主張が成り立つ。

>>260 訂正
誤：
したがって、M>0, ε>0 であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[H,3H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。

正：
したがって、M>0, ε>0, m>3H であって
（M<x かつ f(x)<a+ε ならば、∀r∈[m-2H,m+2H] について f(x)<(2a+b)/3）　∧　（M<x かつ f(x)<b+ε ならば、∀r∈[m-2H,m+2H] について f(x)>(a+2b)/3）
を満たすものが存在。

>>252

> >>36 の１つ目が本当にわからん…
> mod p での非自明な整数解がいつでも存在することは示せたから、

どうやって示すんですか？

>>264
S(p,a) = Σ_(x,y,z,w=1〜p) e^(2πi(x^4+y^4-6z^4-12w^4)a/p),
S(p) = Σ_(a=1〜p) S(p,a)
とおくと、もし x^4+y^4-6z^4-12w^4=0 の解が (0,0,0,0) しか無ければ S(p)=p となるはず。
一方 S(p,p)=p^4 であり、Aがpで割りきれない時は確か
|Σ_(x=1〜p) e^(2πi(x^4)A/p)|≦3√p
が Vinogradov(1954) の "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" から言えたはずだから、
S(p) ≧ p^4 - (p-1)(3√p)^4 = p^4 -
81p^3 + 81p^2.
以上から p≦80 がわかるから、あとはこれらの p についてパソコンか何かで調べ上げればOK

>>265
もし x^4+y^4-6z^4-12w^4≡0 (mod p) の解が x≡y≡z≡w≡0 (mod p) しか無ければ
だった　スマン

>>266
なるほど。
でもなんかこの問題 Hasse principle 使えるような気がしてきた。

>>262（予想２）普通にできたわ…何でこれ気づかなかったんや…

（∵）S の条件を変えたときに補題１，２，３は同じ議論で通用するから、補題４だけ証明すればよい。
まず g(x)=f(x+1)-f(x) とおき、この g に対して >>259 と同様に C を定めると、
(1)の場合に矛盾が生じるところまで同じ議論が成り立つ。
(2),(3) のいずれの場合も、σ∈{+,-} であって lim_(x→σ∞)C(x)=0 を満たすものが存在。
したがって、a = liminf(x→∞)g(x) < 0 と仮定すると、任意の N>0 について
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、
十分大きい全ての x∈R s.t. g(x)<a+ε が g(x+r)<a/2 for∀r∈[M,M+N] を満たすことがわかる。
このような x について、
f(x+M+N)-f(x+M) = g(x+M)+g(x+M+1)+…+g(M+N-1) < Na/2
が成り立つが、N>0 は任意であったからこれは f の有界性に反する。したがって、a≧0.
-g や逆方向の極限についても同様であるから、lim_(x→±∞)g(x)=0.
補題２から g は定数であり、補題１から f も定数である。
以上から補題４にあたる部分が示されたが、
補題１〜４から主張を示す部分は、定理３．１と同様の議論が成立する。□

系として（予想１）も成り立つことがわかりますが、証明は略。
同様の結果が成り立つことを保証するのに条件(iv)'は本当に必要なのか？という疑問は当然わきますが、
任意の f∈V に対して定義されて f の x→±∞ での挙動「のみ」に依存する線形な作用素が、
そもそもそんな簡単には作れないような気がしてて、
ここは選択公理とか使ったりする必要がありそうと感じているため、
その辺の反例の構成とかは興味のある有志にお任せしたいと思います…

>>268
誤：
M∈R, ε>0 s.t. C(r)<|a/6| for∀x∈[M,M+N] がとれるから、

正：
M∈R, ε>0 s.t. C_ε(r)<|a/6| for∀r∈[M,M+N] がとれるから、

3×3行列Aについて、det(A) を tr(A) の式で表せ。

>>270
det(A) = (1/6)tr(A)^3 - (1/2)tr(A)tr(A^2) + (1/3)tr(A^3) とかはダメ？

できるわけないやん。trは等しいけどdetは異なる行列なんか死ぬほどあるやろ？

>>271
正解です。直ぐに出てくるなんて凄いな。
私は最近知ったんだけど、この手の内容について参考文献とかあったら教えてください。

>>272
おまえはデキッコナイスか！

>>273
大学で使うような線形代数の教科書だったら何でも載ってる気がするけどなあ、わからんが
wikipedia の固有多項式の項目を見てみるだけでも結構色んな情報引き出せたりすると思うけど、
もし文献が欲しいならすまんが数学の本スレとか別のところで聞いてみてくれ

類題
3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。（detの中身は複数種類でも可）

池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３６匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。

これ、７０匹でも６９匹でも同確率になるよね？

>>276
80匹じゃないの？

>>277
いつもの芸風？56*45/36=70

56*45/36=70で求まる70匹のとき36匹の目印が見つかる確率

137149850039891/562949953421312
0.2436270741410791

69匹のときの36匹の目印が見つかる確率も
137149850039891/562949953421312
0.2436270741410791
となった。

import math
from fractions import Fraction
def choose(n, r):
return math.factorial(n) // (math.factorial(n - r) * math.factorial(r))
def dhyper(x,g,b,s):
return choose(g,x)*choose(b,s-x) / choose(g+b,s)
f69 = dhyper(36,56,69-56,45)
print (Fraction(f69))
print(f69)
f70 = dhyper(36,56,70-56,45)
print (Fraction(f70))
print (f70)

プログラムのご紹介、乙。
でも、ま、プログラムとしての新規性の証明、解説が必要かな？

>>280
Rの超幾何分布関数で算出したら
最頻値が２つ出てきたので分数表示できるpythonでやっても同じになって困惑してるのが現状。

全ての成分が自然数で、対角成分が全て0の正方行列Aについて
tr(A^3)は6の倍数であることを証明せよ

>>282
修正
正方行列→対称行列
です

>>282 >>283
B = A^3,
tr(B) = Σ[i=1,n] B(i,i)
= Σ[1≦i,j,k≦n] A(i,j) A(j,k) A(k,i)
= 6Σ[1≦i<j<k≦n] A(i,j) A(j,k) A(i,k)
∵　{i,j,k} のどれかが一致すれば 0
ぢゃね？

単発質問スレより　引用

1問目は1から9を多くて1回づつ使って等式を完成させる
https://i.imgur.com/os8xCr9.jpg

□/□　＊　□/□　＝　□□/□

(a/b)*(c/d) = (10*e+f) /g

左辺の分数は互換なのでa>cとして

Prelude> let r = [[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[1..9],b<-[2..9],c<-[1..9],d<-[2..9],e<-[1..9],f<-[1..9],g<-[2..9],(a/b)*(c/d)==(10*e+f)/g,
a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a>c]
Prelude> let f x = map floor x
Prelude> map f r
[[7,2,3,6,1,4,8],[7,6,3,2,1,4,8],[8,2,3,6,1,4,7],[8,2,7,4,6,3,9],[8,2,7,6,1,4,3],[8,4,7,2,6,3,9],[8,4,7,6,2,1,9],[8,6,3,2,1,4,7],[9,2,7,4,6,3,8],
[9,2,8,4,6,3,7],[9,4,7,2,6,3,8],[9,4,7,6,2,1,8],[9,4,8,2,6,3,7],[9,4,8,6,2,1,7],[9,6,7,4,2,1,8],[9,6,8,4,2,1,7]]



2問目は2個答える
最大になるように-5から5を多くて1回づつ使う
最小になるように-5から5を多くて1回づつ使う
https://i.imgur.com/H7btl39.jpg

こっちが終わらない　：（

前>>277訂正。
16×5⇒14×5

ま、でも印をつけられる段階ですでに「ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉」が10匹ぐらいいると思うんだよね。
すべての鯉をx匹、ぜんぜん捕まらないすばっしっこい鯉をy匹とおくと、
x-y=70(匹)
印をつけられる確率は4/5じゃない気がする。
印をつけるたびすでに印をつけられた鯉が生け簀に増えてくわけで、
すでに印をつけられた鯉を捕ることもあるはず。
y=10なら80匹だし、それに70匹ぐらいなら80匹もぎりぎりオッケーじゃないの。

>>285
２問目も計算、終わってた

y = [a/b*(c-d)-e*(f-g)|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5],
a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g]
f x = map floor x
yMax = maximum y
z=[[a,b,c,d,e,f,g]|a<-[-5..5],b<- [-5..(-1)]++[1..5],c<-[-5..5],d<-[-5..5],e<-[-5..5],f<-[-5..5],g<-[-5..5]
,a/=b,a/=c,a/=d,a/=e,a/=f,a/=g,b/=c,b/=d,b/=e,b/=f,b/=g,c/=d,c/=e,c/=f,c/=g,d/=e,d/=f,d/=g,e/=f,e/=g,f/=g,a/b*(c-d)-e*(f-g)==yMax]
map f z

Prelude> map f z
[[-5,-1,3,-4,5,-3,4],[-5,-1,3,-3,5,-4,4],[-5,-1,4,-4,5,-3,3],[-5,-1,4,-3,5,-4,3],[-5,1,-4,3,5,-3,4],[-5,1,-4,4,5,-3,3],[-5,1,-3,3,5,-4,4],[-5,1,-3,4,5,-4,3],
[5,-1,-4,3,-5,4,-3],[5,-1,-4,4,-5,3,-3],[5,-1,-3,3,-5,4,-4],[5,-1,-3,4,-5,3,-4],[5,1,3,-4,-5,4,-3],[5,1,3,-3,-5,4,-4],[5,1,4,-4,-5,3,-3],[5,1,4,-3,-5,3,-4]]

>>286
70匹のときの確率
137149850039891/562949953421312　 = 0.2436270741410791

80匹のときの確率　639173184839639/36028797018963968 = 0.017740619663298957

だから、80匹は可能性が低い

>>286
池の鯉の可能性を５６＋（４５−３６）＝６５匹から上限を１００００匹にして
その確率は一様分布に従う（つまり、６５匹の確率も１００００匹の確率も同じ）として計算したら

最頻値
$`mode`
[1] 69 70

中央値
$median
[1] 71

期待値
$mean
[1] 71.17647

９５％信頼区間(highest density)
$CI.hdi
[1] 65 78

パーセンタイル(2.5.%-97.5%)
$CI.Qqtl
[1] 66 80

80匹はまあ、ギリギリセーフといえなくもない。

>>36の出題者らしきレスなんにも出てこないけど、これ本当にとけるんかな？時々未解決問題貼るやついるからなぁ。
まぁもう諦めたからどっちでもいいけど。

>>281
Wolframdでも同じだなぁ。６９匹と７０匹は同確率。
では、56*45/36=70の値は一体なんだろ

choose(56,36)*choose(13,9)/choose(69,45)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose(56,36)*choose(13,9)%2Fchoose(69,45)
3591292705/14740942556
choose(56,36)*choose(14,9)/choose(70,45)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose(56,36)*choose(14,9)%2Fchoose(70,45)
3591292705/14740942556

choose(13,9)/choose(69,45)
11/35471218518158136
(13!/(4!*9!)) /(69!/(24!*45!))

choose(14,9)/choose(70,45)
11/35471218518158136
(14!/(5!*9!))/(70!/(25!*45!))

大きな数を扱う化学では

コップの中の真水56ccを濃度1％の食塩水56ccで置き換えました。
よく混ぜた後45cc取り出して濃度を測ると36/45%でした。
最初の真水の量は何ccだったのか計算せよ。

36/45=56/x
x=70
答え 70cc

とかしてるわけだけど、
確率分布はどんな様子になってるんだろう。
>>276の問題の各数値を10^23倍くらいにすればいいわけだよね

小学校 「さくらんぼ計算」に戸惑う声
https://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20181115-00000006-jct-soci
https://amd.c.yimg.jp/im_sigg4tEc9zbWoY9xWDiiNhYroA---x900-y720-q90-exp3h-pril/amd/20181115-00000006-jct-000-1-view.jpg
さくらんぼ計算とは、「8＋7」の足し算で、7を2と5に分け、8にこの2を足して10にする。
そして、10と残りの5を足して15と計算するやり方だ。7の下にぶら下がったさくらんぼの実を2つ描き、
2と5を実の中に書くことから、さくらんぼ計算と呼ばれている。

報告主は、「10＋7」の10を3と7に分けるといったムダなことをする子供もいたとして、
こうした考え方を示した文科省に疑問をぶつけていた。このほかにも、さくらんぼ計算のせいで
娘が算数が大嫌いになり、中学3年になっても苦手から抜け出せずに数学を拒否している。

前>>286
>>288-289>>291
期待値の問題か。
80匹もぎりぎりセーフってことで正解だね。
一万匹は無理だね。
金銭的にも興行的にも。

どこ〜かで〜かね〜がな〜ぁて〜♪ らし〜くな〜ぃこと〜ばかﾟ〜ぅか〜んで〜♪ さむ〜さかﾟ〜ここ〜ちよ〜くて〜♪ な〜んでこ〜ぃな〜んかして〜んだろ〜♪ 前>>295
~､､,, ~~ﾟ~~~｡~ ~~~ ~
(-.-))⌒〜っﾞ~ ~ ~~~
υυ〜~~~ ~~ ~ ~ﾟ ~~
~~~~ﾟ ~ ~ ~~ ﾟ ~~~ ~

>>279
この式で56匹から100匹までの確率の総和を取ったら約2になった

sigma[choose(56,36)*choose(n-56,9)/choose(n,45), n = 56 to 100]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sigma%5Bchoose(56,36)*choose(n-56,9)%2Fchoose(n,45),+n+%3D+56+to+100%5D

>>292
カードの照合の問題も、最初に選んだ１０枚に印をつけて再捕獲したと考えればいいんだろうけど
200/3=66.6枚という最頻値がどれほどの信頼できるのか疑問。

固有の番号の書かれたカードが何枚あり、
その枚数は１０００枚以下であることはわかっているが、その数を推定したい。
調査員が無作為に１０枚選んで番号を記録して元に戻した。
別の調査員が無作為に２０枚選んで番号を記録した。
二人の調査員の記録した番号を照合すると３枚の番号が一致していた。
この情報からカード枚数の期待値を求めよ。

事前分布としてある枚数である確率を一様分布にするのが現実離れといえるけど。
まあ、男女の生まれる確率分布を一様分布として計算するのに似ているかも。

>さくらんぼ計算のせい

アベノセイダーズを彷彿とさせるような記述だなぁ。

>>297
サイコロをふって１回１の目がでた。
サイコロを降った回数は１から１００回のどれかである。
１回ふって１回出た確率、２回ふって１回出た確率、３回ふって１回出た確率、...、１００回ふって１回出た確率
全部足したらいくらになる？

>>300
ああ、なるほど。勘違いしていました。

問題の数値を変えてわずか３匹しか目印なしとすると

池の鯉を網で５６匹すくいました。
すくった５６匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉４５匹をすくったところ、３匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。

５６＊４５／３＝８４０匹になるのだけど、
この数値ってどれほどアテにしていいんだろうね？

数値を10倍、100倍にしたときのグラフを描かせてみた
青が10倍で範囲は690匹から7100匹、
赤が100倍で範囲は6900〜7100匹

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+choose(560,+360)*choose(x-560,+90)%2Fchoose(x,450),++choose(5600,+3600)*choose(x*10-5600,+900)%2Fchoose(x*10,4500),+from+x%3D690+to+710

https://i.imgur.com/wMoy71B.jpg

10倍程度だとあまり先鋭化しない
100倍でも思ったより先鋭化しない
化学で扱うような10^23あたりのサンプル数なら推定値の
±0.001%の範囲である確率が0.9999とかになるんだろうな

そこが統計が数学科であんまり好まれないとこだろうねぇ。
確率の問題と深く関わってはいるけど厳密には確率の問題ではない。
母数の分布とは言うけどそんなもんわかりっこないから本来どうしようもないし。
けどわからんわからんいうてても何も始まらんので適当に××仮説とか立てて「こう考えるとするとこうなる」ぐらいの事しか言えない。
信頼区間にしてもwikiにも明示されてるけどあくまで"指標"でしかない。確率でもなんでもない。
確率だと思うには母数の分布になんかの仮定入れないと無理だけど、その仮定の入れ方ごとに答え変わるし、ましてや次はその仮定どれくらい信頼できるねんと言う話に戻ってしまう。