コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』

定義1：
B を空でない集合系とする。B が以下の(1), (2), (3)を満たすとき、B をσ代数という。

(1) a ∈ B, b ∈ B ならばつねに a △ b ∈ B、 a ∩ b ∈ B が成り立つ。
(2) a_n ⊂ B for n = 1, 2, … ならば、 ∪_{n=1}^{∞} a_n ∈ B が成り立つ。
(3) e ∈ B が存在して、任意の a ∈ B に対して、 a ∩ e = a が成り立つ。この e を B の単位元という。

定義2：
S を空でない集合系とする。
B を S を含むσ代数とする。
∪_{a ∈ S} a が B の単位元になっているとき、 B は S に関して既約であるという。

定理1：
空でない集合系 S に対して、 S を含む任意の S に関して既約なσ代数に含まれるようなσ代数 B(S) が存在する。

定義3：
f : m → n を写像、 N を n の部分集合からなる集合系とする。
f^{-1}(N) で集合系 N に属する集合 b の逆像 f^{-1}(b) の全体を表わすことにする。

定理2：
B(f^{-1}(N)) = f^{-1}(B(N)) が成り立つ。

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定理2ですが、

f^{-1}(B(N)) が f^{-1}(N) に関して既約なσ代数であることは簡単に証明できました。
定理1により、 B(f^{-1}(N)) ⊂ f^{-1}(B(N) が成り立ちます。

B(f^{-1}(N)) ⊃ f^{-1}(B(N) が成り立つことが証明できません。

どう証明すればいいのでしょうか？

663 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/04/07(水) 20:58:42.88 ID:90BIMoih [2/2]
>>662
馬鹿アスペ二号

664 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/04/07(水) 21:04:34.09 ID:mYnipKIn [2/3]
>>662
この定理2ですが、この結果を後の章で可測函数を考察する際に必要になるそうです。
それにもかかわらず、証明が書いてありません。