コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』

x, y ∈ (α, β)
y, z ∈ (γ, δ)

⇒

x, z ∈ (α, δ)

が成り立つなどと書かれています。

α < γ < δ < x < β

のとき、 x は (α, δ) に含まれません。

論理的に考えず、なんとなく開区間のイメージを思い浮かべてそれに頼って証明を書いているのがバレてしまいましたね。