直感的に明らかなことを全部証明できるようにするには公理がたくさん必要なんでしょうね。

公理的な初等幾何を勉強するのって、目を開けていれば道に障害物があっても何の問題もなく歩いていけますが、どうやって歩いたかを詳細に説明せよと言われても非常に難しいのと似ていますね。