ホモトピー型理論 - Homotopy type theory

アプリケーション
定理証明
HoTTを使用すると、数学的な証明をコンピュータープログラミング言語に変換できます。
コンピューター用プルーフアシスタント以前よりもはるかに簡単。このアプローチは、コンピューターが難しい証明をチェックする可能性を提供します。

数学の1つの目標は、事実上すべての数学的定理を導き出し、明確に証明できる公理を定式化することです。
数学の正しい証明は論理の規則に従わなければなりません。それらは、公理およびすでに証明されたステートメントからエラーなしで導出可能でなければなりません。

HoTTは、論理数学的命題の同等性をホモトピー理論に関連付ける一価公理を追加します。
「a = b」などの方程式は、2つの異なる記号が同じ値を持つ数学的な命題です。
ホモトピー型理論では、これは、記号の値を表す2つの形状が位相的に同等であることを意味すると解釈されます。

これらの位相的同等関係、ETHチューリッヒ理論研究所所長は主張します。
ホモトピー理論はより包括的であるため、より適切に定式化できます。
ホモトピー理論は、「aがbに等しい」理由だけでなく、これを導出する方法も説明します。
型理論では、この情報を追加で定義する必要があるため、数学的な提案をプログラミング言語に変換するのが難しくなります。

コンピュータープログラミング
2015年の時点で、次のような集中的な研究が行われています。ホモトピー型理論における一価公理の計算挙動をモデル化し、正式に分析する。
キュービック型理論は、ホモトピー型理論に計算内容を与える試みの1つである。
しかし、特定の半単純型などのオブジェクトは、正確な同等性の概念を参照せずに構築することはできません。
したがって、パスを尊重する線維性型とそうでない非線維性型に型を分割するさまざまな2レベル型理論が開発されてきました。
カルテシアン三次計算型理論は、ホモトピー型理論に完全な計算解釈を与える最初の2レベル型理論です。
https://nipponkaigi.net/wiki/Homotopy_type_theory