Michael Spivak著『Calculus 4th Edition』

以下の流れでコーシーの定理を証明しています。
とても分かりやすくすっきりしていると思います。

命題：
任意の数列 {a_n} は単調非減少または単調非増加な部分数列を含む。

命題：
上に有界な単調非減少な数列および下に有界な単調非増加な数列は収束する。

命題：
任意の有界な数列は収束する部分数列を含む。

命題：
数列は、それがコーシー列であるとき、かつ、そのときに限り、収束する。