自然数の定義：X は集合で f：X→X は単射とする。x∈X−f(X) とする。さらに

∀A⊂X ( ( x∈A ∧ ∀a∈A(a∈A → f(a)∈A) ) → A＝X )

が成り立つとする。このとき、3つ組 (X, x, f) のことをペアノシステムと呼び、
Xの各元のことを自然数と呼ぶ。

複素数の定義：S は体であり、S_0⊂S は S の部分体であり、
体の拡大 S/S_0 について、その拡大次数は 2 であるとする。
さらに、S_0 には体の演算と両立する全順序が入ってデデキント完備な順序体になるとする。
このとき、S のことを複素数体と呼び、S の各元のことを複素数と呼ぶ。

補足：S の加法＋に関する単位元を o と書き、乗法 * に関する単位元を e と書くとき、
ある p∈S に対して p*p＋e＝o が成り立つことが証明できて、
しかも S＝{a＋bp｜a,b∈S_0} と書けることが証明できる。
この p のことを、複素数体 S における虚数単位と呼ぶ。