【多面体】表面積1のn面体の体積の最大値は何か？【等周問題】

元問題
面白い問題おしえて〜な 26問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
の>>420

>>1
体積1のn面体の表面積の最小値を求めたら
それ分の1

A000944 n面体の種類の数
0, 0, 0, 1, 2, 7, 34, 257, 2606, 32300, 440564, 6384634, 96262938, 1496225352, 23833988129, 387591510244, 6415851530241, 107854282197058

nが大きいと爆発的に増えて調査が大変そう

単独スレ立ったか
おめ

辺の長さが指定されていないので
厳密に最大化しようとすると大変に思う
元スレの住人がどう計算してるのか気になる

「(R^3)[n]をconfiguration spaceとして
(R^3)[n]→R
(p_1,……,p_n)→({p_1,……,p_n}の凸包として得られる多面体のV/S^(3/2))

という関数の最大値を求める」

はじめにこの方針を考えましたが、これだと不十分ですね
(面の形と組み合わせで分類した)全ての多面体に対し最大値を計算していくしかなさそうに思えます
高次元への一般化を考えると、さらに大変そうです

>>5
なぜ不十分ですか？

>>6
n点の凸包として得られる多面体の面の数は一定ではありません

考え直したのですが、原点を通らない平面をn枚指定し、各平面に関して原点と同じ側にある領域の共通部分として多面体を構成すれば(高々)n面体にできますね

Xを原点を通らない平面をパラメトライズする空間、YをX^nの適切な部分空間として
(X=R^3\{0},YはXの中でコンパクトな多面体に対応する点のなす集合)
Y→R
を同様に定義すれば、この関数の最大値を求めると言い換えることはできそうです

>>7
＞n点の凸包として得られる多面体の面の数は一定ではありません
という理由はすぐに思い付きましたが、
nについて>>5の関数の最大値を与えるn点で得られる多面体が、常にn面体であることが言えれば問題ないかと思いました

異方的距離を使った変分問題に書き換えるのはどうだろうか
例えばR^3上の距離をd((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_3))
=max{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|,|z_1-z_2|}
と定めてこの距離の意味で等周問題を解けば直方体の等周問題になる

>>8
元スレによると、8面体に対する解はメディアル8面体であり、頂点は12個、V/S^3/2の値は0.074488…です
一方、正20面体は頂点が12個ですが、V/S^3/2の値は0.0856047…です

よって、メディアル8面体はn=12において最大値を与えてくれません

また、f=20において最大値を与える多面体は正20面体ではなくメディアル20面体です

このように、元の問題で現れる多面体の族と、>>5の関数の最大値を与える多面体の族は異なるものになります

多面体の表現(案) 参考：28問目スレ

1. 3〜7角形の面を t,q,p,x,h で表す。正多角形であることを示すときは大文字を使うことができる。
2. 適当な回転対称軸を定め、多面体を構成する面を、対称軸の一方の端から順にコンマで区切って列挙する。
2-1. コンマに続く面の列は、ひとつ前の面列で表現される図形の外周に接する面を順に列挙する。
2-2. 対称軸の両極を結ぶ子午線を一本決め、その子午線が通る面を、各面列の先頭とする。
2-3. 子午線が稜を通る場合は、面列の先頭にコロン「:」を置いて示す。(処理系依存文字である縦棒は避ける)
2-4. 先頭の面列は、回転軸の極の位置によって、単一の面、稜を挟む2面、頂点を囲む3面以上、のいずれかとする。
3. 面列を表すとき、xPxxPxxPx のように繰り返し部分がある場合は、(xPx)3 のように繰り返し回数を数字で表してよい。

切頂20面体の例： http://i.imgur.com/FVoBos4.png

使用される場面によって、
P,x5,(xP)5,(Px)5,:x5,P と x,(xP)3,(Pxx)3,:(xPx)3,(Px)3,x のどちらの表現を使ってもよい。

n=4: 4面体は三角錐(t/t3)の1種類
正四面体(T/T3): max V/√S^3 = 0.0517002699501166 ;1/(6√(6√3))

n=5: 5面体は三角柱(t/q3/t)と四角錐(q/t4)の2種類
三角柱(T/q3/T): max V/√S^3 = 0.0596983295457523 ;1/(9√(2√3)) max
四角錐(Q/t4)　: max V/√S^3 = 0.0589255650988790 ;1/(12√2)

n=6: 6面体は7種類
立方体(Q/Q4/Q) : max V/√S^3 = 0.0680413817439772 ;1/(6√6) max?
双三角錐(t3/t3): max V/√S^3 = 0.0641500299099584 ;1/(9√3)
五角錐(P/t5) 　: max V/√S^3 = 0.0618327026129372 ;1/(6√(10√(5-2√5)))
(q2/t4) 　: ?
(q2/(qt)2): ?
(q2/(pt)2): ?
(t/qqp/t2): ?

n=7:7面体は34種類
五角柱(P/q5/P) : max V/√S^3 = 0.0713982549966027 ;1/(3√(30√(5-2√5))) max?
六角錐(X/t6) 　: max V/√S^3 = 0.0633196404709660 ;1/(12√√3)
他32種類: ?

統一的に求めるのは難しいですね
面の数で分類して最大値を求めるモチベーションが欲しいところ
等周不等式の高次元への一般化はすでに示されていますし
凸体の幾何学はそれほど詳しくありませんが、この問題を解くことにどれほどの意義があるのか今の私には疑問です

意義の有無については人それぞれ考えもあると思うけど、実用を考えたとき、
例えば、液体を詰めるタンクで、容量は最大化したいが外壁の質量は最小化したい
製造の関係で外壁は平面を連結して作らなければならない、面の数はいくつ以内にしたい
とかいう問題設定があれば、この問題には明確な意義が生まれる

具体例をデータベースとして残しておく位の意義は、まあまああるんじゃないかと思うよ

>>14
それは物理工学的な意義だと思います
解決するためにはある程度の数学を要しますが、純粋数学的な意義とは異なります
これは個人的な意見なので、そういった状況を想定して意義を見出すこと自体を否定するつもりはありません

純粋数学とは何ぞや

数学とは、美しいものばかり扱えばそれで良い
ということなのだろうか(よくわかりません)

>>16
例えばですが、ある種の凸体は代数幾何におけるある種の対象と密接な関係があります
凸体に含まれる格子点の数や頂点の配置といった情報は代数幾何の側に翻訳することができて、それらに関連する凸体の問題が代数幾何においてとても意味のある問題になることがあります
このような状況であれば純粋数学的な意義があると私は感じます


＞数学とは、美しいものばかり扱えばそれで良い
ということなのだろうか

そんなことはありません
数学をやっていると泥臭い計算を強いられることは多々あります
私が個人的に、(数学的な意義を感じないという意味で)退屈な計算をしたいとは思わない、というだけです

暫定解 n=4〜9
n=4　http://i.imgur.com/bhVR5BB.png　
n=5　http://i.imgur.com/kMJqWDO.png　
n=6　http://i.imgur.com/838xAcp.png　
n=7　http://i.imgur.com/z9sqrl1.png　
n=8　http://i.imgur.com/MfYwhQ4.png　
n=9　http://i.imgur.com/PeLsxfy.png　

10〜16
n=10　http://i.imgur.com/ziHmcDR.png　
n=11　http://i.imgur.com/FgtkuDC.png　
n=12　http://i.imgur.com/X83W7Sj.png　
n=13　http://i.imgur.com/IN8tuEy.png　
n=14　http://i.imgur.com/zoolQ4B.png　
n=15　http://i.imgur.com/4XOk7SC.png　
n=16　http://i.imgur.com/zjbam8k.png　

>>18
面白い。なんも法則性ないのが意外

法則(というか共通点)は、
・各頂点に集まる辺の数が３
・回転対称性 (少なくともn≦16の範囲では)
・面対称性 (同上)
ってとこかな
面がもっと多くなったらわからないけど

ていうかありそうな題材だけど本職数学者による先行研究はないのかな？

>>22
Goldberg, The isoperimetric problem for polyhedra(1935)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/40/0/40_0_226/_pdf

前スレで貼られてたもの
古めの論文


Bezdek, A PROOF OF AN EXTENSION OF THE ICOSAHEDRAL CONJECTURE OF STEINER FOR GENERALIZED DELTAHEDRA(2007)
https://pdfs.semanticscholar.org/8a99/6332f02780c0ff964bcae0e11318941092ec.pdf

generalized deltahedronに対象を限定


Alvarez, Optimum compactness structures derived from the regular octahedron(2008)
http://www.academia.edu/22352605/Optimum_compactness_structures_derived_from_the_regular_octahedron

正八面体からつくられる多面体に限定


などなど
ちなみに、高次元における等周不等式はすでに示されています
3次元の多面体に限定して調べてる人がどのくらいいるのかは分かりません
適当にしか調べてないので、isoperimetric quotientなどをキーワードに検索すると他にも見つかると思います

このスレを立てた人は不等式が知りたいの？
最大値が知りたいのではなくて？

>>24
スレタイや元スレを見れば分かりますが、表面積と面の数を固定した時の体積の最大値を求めることがこのスレの目的でしょう
リンク先を読めば分かると思いますが、挙げたpdfはどれも多面体を対象としています
同じ問題を考えているわけではありませんが、問題意識としては比較的このスレに近いと思います

面の数とisoperimetric quotientの下限との関係がどの程度興味をもって調べられているかは分かりません
凸体を研究する数学者達にとって等周不等式は中心的な問題の１つだったので、先行研究を述べる一環で触れておきました
このスレの問題とも全くの無関係ではありません

(続き)

　2b/(a '-a) = 2.4859817342556319713797201052717676
　2c/a ' = 1.3743236665260133108808265962246971

　k = (√2 +1)√{(2c/a ')^2 -1} = √{(2b/(a '-a))^2 -1}
= 2.27598444262095947636371122280763163


一方、Siフラーレンでは、結合距離に大差ない。（化学的に決まってる。）

28問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/991

計算GJです
f=10 あたりまではまだじゅうぶん手で計算できるのですね

オープンな問題：
f=11 五角形10枚と四角形1枚からなる単連結な多面体は構成可能か？
f=13 五角形12枚と六角形1枚からなる単連結な多面体は構成可能か？
それぞれ例を示すか、もしくは不可能なことを証明せよ

>>32
いずれの場合もsimpleな多面体となるので、展開図を考えれば煩雑な場合分けもなく簡単な議論で不可能だと言えると思うのですが

メディアルf面体では、各頂点に稜が3本ずつ集まりますね。

>>34
面の形だけだと、そうとは言いきれないんじゃない？

>>34
f=11, 2e=5*10+4*1=54　⇒　v=e-f+2=18　⇒　2e=3v,
f=13, 2e=5*12+6*1=66　⇒　v=e-f+2=22　⇒　2e=3v,
どの頂点も稜が2本以下にはなりません。
∴各頂点に稜が3本ずつ集まります。

そういうことですね
その性質をもつ多面体はsimple polyhedronと呼ばれます

f=11 で、四角形×1+五角形×10のメディアル多面体が構成できるか考えてみる。
1. まず四角形を一枚用意する（q/）
2. その周囲に五角形を(各頂点に稜が三本集まるように)配置する。4枚配置できる（q/p4/）
3. さらに、その周囲に五角形を(〃)配置する。4枚配置できる（q/p4/p4/）
4. 空いている部分に(〃)配置できる多角形は四角形となる（q/p4/p4/q）これは10面体となる。

同様に、
f=13 で、六角形×1+五角形×12のメディアル多面体が構成できるか考えてみる。
1. まず六角形を一枚用意する（x/）
2. その周囲に五角形を(各頂点に稜が三本集まるように)配置する。6枚配置できる（x/p6/）
3. さらに、その周囲に五角形を(〃)配置する。6枚配置できる（x/p6/p6/）この時点で面は13枚あるが、まだ空きがある
4. 空いている部分に(〃)配置できる多角形は六角形となる（x/p6/p6/x）これは14面体となる。

というわけで、f=11,13 のメディアル多面体がどうやったら作れるのか、考えてみたけどわからないのです。

f=8 の場合（再録）

面の構成は　q2/p2/p2/q2 (メディアル8面体　26:453, 26:464)
　AE = DH = GK = JB = 2(1-a),
　BD = EG = HJ = KA = 2(1+a),
　BC = CD = EF = FG = HI = IJ = KL = LA = 2√(2aa+bb),
　CI = FL = 2(1-ar),
　CI〜DH = CI〜JB = √{(1+a)^2 + bb(r-1)^2},
　h(p) = b/√(aa+bb),
　h(q) = (1+a)br/√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2},

面積・体積は
　s(p) = {4+(r-1)(1+a)}√(aa+bb),
　s(q) = {2-(r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2},
　S = 4s(p) + 4s(q),
　V = (4/3)h(p)s(p) + (4/3)h(q)s(q) = 8(1-aa/3)b + 4(1+a)b(r-1){1-(2+r)a/3},

V/S^(3/2) が最大となる場合 (26:471, 26:489)

a = 0.1034015804305954127236787120984639341802
b = 0.3792256968154655255518759091513149648901
r = 3.17776149917658887857339761756463820149

2(1-a) = 1.7931968391388091745526425758030721316396
2(1+a) = 2.2068031608611908254473574241969278683604
2√(2aa+bb) = 0.812885976742778271146438704804497741967
2(1-ar) = 1.342828877507284973339446484742905478335
√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2} = 1.378239799169409745482040794280145423168

s(q) = 2.16109772695020853550400924633621179910
s(p) = 2.51680570701203314605145289762169851893
h(q) = h(p) = 0.96477906679743767295090141471791932550

V/S^(3/2) = 0.0743448680932299911098961936856110463914

h(q) = h(p) = 1 とおくと

a = 0.107176434469950331846013274041803786237 h,
b = 0.3930699886288957979036538961035761581207 h,
r = 3.293771194399041450676661837513749257827 h,
2√(2aa+bb) = 0.84256178924065477040214212065326780896 h,

s(q) = 2.3217671536366952378329163563754681703 hh,
s(p) = 2.7039206740883082298011347709980117638 hh,
S = 4s(p) + 4s(q) = 20.1027513109000138705362045094939197365 hh
V = (1/3)S･h = 6.700917103633337956845401503164639912165 h^3,

>>36

6 - 12/f　の小数部分を {6-12/f} とすると、
[ 6-12/f ] 角形が f - f {6-12/f} 枚と [ 7-12/f ] 角形が f {6-12/f} 枚。
2e = f (6-12/f) = 6(f-2),
v = e-f+2 = 2(f-2),
2e = 3v,

>>34
メディアルf面体では、各頂点に稜が3本ずつ集まりますね。

V/S^(3/2) が最大となる場合を求めた結果

h(q) = h(p) = 1,

k = 0.63831408337676933969557107292061185
[ 24k^4 -46k^3 +36k -15 =0 の根 ]

a0 = (√3)/(1-k)
　= 4.788825685389237825725849466332343914 h,
[ t^4 -6√3 t^3 -18t^2 +150√3 t -216 = 0 の根 ]
a = (3-4k)/{(1-k)√3}
　= 0.71312584829542378279464529989704852 h,
[ 3a^4 -10√3 a^3 +18a^2 +10√3 a -16 = 0 の根 ]

b = 1.375815482074468297651856796335552 h,

c0 = 3.1212005971932474069552777785643182 h,
c = (1-k) c0 = 1.1288942989608146265305698923575928 h,

d = 2k/{(1-k)√3}
　= 2.0378499185469070214656020832176477 h,
　[ 3d^4 -4√3 d^3 -72d^2 +64√3 d +80 = 0 の根 ]

z0 = 1.448312588119331525923773151146809 h,

s(q) = (2/3)kk a0 z0 = 1.88394807344779740483209266280630 hh,
s(p) = 2.189621042711729488810089497860714 hh
S = 3s(q) + 6s(p) 　= 18.789570476613769147356814975583184 hh
V = h(q)s(q) + 2h(p)s(p) = 6.263190158871256382452271658527728 h^3

V/S^(3/2) = 0.07689893392686778129771303535995508

>>45
導出に使った方程式はどれも４次以下？
その気になれば代数的に解くことも可能なのかな？(あまり意味がなさそうだけど)

https://lite.blogos.com/article/332946/

捏造ネトウヨヒトモドキ障害者blogsヒトモドキはあからさまに知能が低いネトウヨゴミダマシだらけの捏造産経便所紙
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>>16
ハーディにとって最も美しい数学というものは、数学以外において何も応用性を持たないものであった。
それを彼は「純粋数学」と位置づけ、それは数論という彼にとって特別な分野を指していた。

ガウスは「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。」とか言ったらしい。

参考書
　G.H.ハーディ / C.P.スノー：「ある数学者の生涯と弁明」丸善出版 (2014/Oct)
　120p．1728円　柳生孝昭 訳
　http://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294319.html

【超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪者の実名と住所を公開】
�@井口・千明（東京都葛飾区青戸６−２３−１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
　低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
�A宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６−２３−２１ハイツニュー青戸２０２）
※色黒で醜く太っている醜悪黒豚宇野壽倫／低学歴で人間性が醜いだけでなく今後の人生でもう二度と女とセックスをすることができないほど容姿が醜悪である
�B色川高志（東京都葛飾区青戸６−２３−２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志はyoutubeの視聴回数を勝手に短時間に何百何千時には何万回と増やしたり高評価・低評価の数字を一人でいくつも増やしたり減らしたりなどの
　youtubeの正常な運営を脅かし信頼性を損なわせるような犯罪的業務妨害行為を行っています
※色川高志は現在、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください

【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４−８５５５
東京都葛飾区立石５−１３−１
�рO３−３６９５−１１１１

�C清水（東京都葛飾区青戸６−２３−１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆　☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
　清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
�D高添・沼田（東京都葛飾区青戸６−２６−６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
�E高橋（東京都葛飾区青戸６−２３−２３）
※高橋母は夫婦の夜の営み亀甲縛り食い込み緊縛プレイの最中に高橋親父にどさくさに紛れて首を絞められて殺されそうになったことがある
�F長木義明（東京都葛飾区青戸６−２３−２０） ※日曜日になると風俗店に行っている

f=11 の場合

むずかしそう････

f=12 の場合

　面の構成　P/P5/P5/P　(正12面体)
　稜の長さを a とする。
　s(P) = (1/4) {5/tan(π/5)} aa = (1/4) 5^(3/4)・φ^(3/2) aa,
　S = 12s(P) = 3･5^(3/4)･φ^(3/2) aa,
　V = 4h s(P) = (√5)/2･φ^4 a^3,
　φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875

中心から各面に下した垂線の長さ　h=1 とすると
　a = 2･5^(1/4) /φ^(5/2) = 0.898055953159170744883890303595053575 h,
　s(P) = 5^(5/4) /φ^(7/2) = 1.38757275712887756726760802841545981 hh,
　S = 12 s(P) = 12･5^(5/4) /φ^(7/2) = 16.65087308554653080721129634098551772 hh,
　V = 4h s(P) = 4･5^(5/4) /φ^(7/2) = 5.55029102851551026907043211366183924 h^3,
よって
　V/S^(3/2) = φ^(7/4) /{6(√3)・5^(5/8)} = 0.0816883718241825521804897807887453115

f=13 の場合

むずかしそう････

いま何時？
3時

解が代数的に書けるnの条件ってあるのかな

正四面体、正五面体、正六面体、正七面体までは綺麗だけど、正八面体と正九面体のいびつさなに？

自然界が最大値でそんな隕石くっついたみたいな形とるかね？

イナが言ってるのは正多面体ではなく等面多面体

高添沼田（葛飾区青戸６−２６−６）
●高添沼田「井口千明の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・井口千明の息子（葛飾区青戸６−２３−１６）の挑発
●井口千明の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

●高添沼田「盗聴盗撮犯罪者の井口千明の息子の逮捕を要請します」
高添沼田の住所＝東京都葛飾区青戸6−26−6
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で母親の下着で自慰行為をしている井口千明の息子
井口千明の息子の住所＝東京都葛飾区青戸6−23−16
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　�рO３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で母親の下着で自慰行為をしている井口千明の息子の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6＝|23−19）の
五十路後半強制脱糞
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