>>6
n点の凸包として得られる多面体の面の数は一定ではありません

考え直したのですが、原点を通らない平面をn枚指定し、各平面に関して原点と同じ側にある領域の共通部分として多面体を構成すれば(高々)n面体にできますね

Xを原点を通らない平面をパラメトライズする空間、YをX^nの適切な部分空間として
(X=R^3\{0},YはXの中でコンパクトな多面体に対応する点のなす集合)
Y→R
を同様に定義すれば、この関数の最大値を求めると言い換えることはできそうです