■初等関数研究所■

初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである

ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である

初等関数の導関数はつねに初等関数になる

縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた
2マスにそれぞれ宝が眠っている
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？

ABCD
EFGH
I JK L

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134

完全追尾型多項式が完成しました

宝の個数は２

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48

Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48

even =(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8

■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意

P1st／Q1st

=｛8(n-1)｛(n-2)n-6｝/｛2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3｝｝+1

■�@^2+�CでもP1stは求められる

((n(n+1)/2)-1)^2+｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　

計算知能で�@^2+�Cを入力すると

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48

■Q1stを直接求める

宝一つの時の自陣当たり数

(n(n+1)/2)-1　……�@

Q1stは�@^2と差分の和

差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113
-148 -189……

それを表す関数は　

(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48　……�I

計算知能で�@^2+�Iを入力すると

Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48　

�Cを式変形すると

｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48

=(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48

数学の超難問「リーマン予想」を証明したと発表した、
英エディンバラ大名誉教授のマイケル・アティヤ氏が、
１月１１日に亡くなった
論文は撤回され、「証明」は幻に終わった

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
３枚抜き出したところ、３枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか

山札からダイヤを１２枚引くまでは変わらず１／４で、
１３枚目を引いたときに初めて０になる

■正の整数nに対して

{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4

出力は0≦n≦13の範囲で

１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
１／４
０

ガンマ関数とベータ関数
https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf

384=8!!　

53760=2(10!!)+12!!

8755200=8(12!!)+13(14!!)

1805690880=15(14!!)+12(16!!)+9(18!!)

471092428800=10(16!!)+15(18!!)+16(20!!)+5(22!!)

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519

a_n=(2n+(-1)^(n+1)+1)/4

１ １ ２ ２ ３ ３ ４ ４ ５ ５

384　53760　8755200　1805690880　471092428800　153043438141440　

384　
53760　
8755200　
1805690880　
471092428800　
153043438141440　

153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+78(24!!)　

153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!)　

53760=512(7!!)

(5/3)cos((2/3)π(n-7))+(5/3)cos((4/3)π(n-7))+cos((2/3)π(n-6))+cos((4/3)π(n-6))+(1/3)cos((2/3)π(n-5))+(1/3)cos((4/3)π(n-5))+3

5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3

384=8!!　

53760=2(10!!)+12!!

8755200=8(12!!)+13(14!!)

1805690880=15(14!!)+12(16!!)+9(18!!)

471092428800=10(16!!)+15(18!!)+16(20!!)+5(22!!)

153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!)

先頭車両から順に
1からnまでの番号がついたn両編成の列車がある
ただしnは2以上とする
各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、
隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような
色の塗り方は何通りか

3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691

(2^(n+2)-(-1)^n)/3

1/4と答える人は、おそらく最初に引いた時点で確率が
固定されているため、後から引いた3枚がダイヤであったことは
関係ないという考えなのだろう
しかし、もっと極端な場合、
後から13枚を引いてそれがすべてダイヤだった場合も
1/4なのだろうか
どう考えても確率は0であろう

実は、後から新情報を得ることで確率は常に変動していく
情報を得たものは確定するからである
確率はもともと賭けから始まった学問である
賭けでは、あらかじめ得られる情報はできるだけ獲得し、
それをすべて考慮したうえで未来の事柄の起こりうる割合を
考えることが重要である

例えば、後から12枚を引いて12枚がすべてダイヤである
という情報を得たとき、最初の1枚をダイヤに賭ける人はいまい
ダイヤが出たという情報を得れば得るほど最初の1枚が
ダイヤである確率は減っていく
もし、盲目の人がいて後から抜いたカードのスートの情報を
得ることができなければ、その人にとっては確率は常に1/4であり、
最初に抜いたカードをどのスートに賭けても同じである

「最初に抜いた」という順番は問題ではない
「表を見ないで箱にしまった」こと、つまり「何の情報も得ていない」
ことが問題なのである
情報が得られていないという点では、最初に抜いた1枚は
残りの48枚と何も変わらない
「3枚がダイヤである」という情報だけを得たという条件つきの
確率であるから、箱の中にしまった最初に抜いたカードが
ダイヤである確率は未知のカード49枚の内の10枚、
つまり10/49なのである

最初に箱にしまった時が１／４で
そこから徐々に確率が減ってゆき、
山札から３枚ダイヤが出た時が１０／４９
山札から１３枚ダイヤが出たときに０になる

これを関数で表すことができる
正の整数aを定数、山札からn枚のダイヤが出るとして
［0≦a≦124］，［0≦n≦13］の範囲で成立する関数は

P(D)=((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500)

P(D)=((n-13)(a+4n+1))/(a(n-52)+7n^2-216n-52)

384　
53760　
8755200　
1805690880　
471092428800　
153043438141440　
60836834554675200

ちょいとパーセプトロンから考え直してみた
NOT回路は可逆である
しかし２入力から１出力となる、ANDやORは可逆ではない
熱が発生してしまっている

１階層のパーセプトロンではXORを実現できない
どうすればよいのか、と、考えた
可逆となるべき情報として「意味」が出力されればよいのだ
論理もしくは集合論の回路として、「意味」が出力されればよい
論理や集合とは、それそのものが「意味」である
それらを演算子として出力させればよい

60836834554675200=(20!!)+17(22!!)+15(24!!)+16(26!!)+12(28!!)+(30!!)

384=8!!　

53760=2(10!!)+12!!

8755200=8(12!!)+13(14!!)

1805690880=15(14!!)+12(16!!)+9(18!!)

471092428800=10(16!!)+15(18!!)+16(20!!)+5(22!!)

153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!)

60836834554675200=(20!!)+17(22!!)+15(24!!)+16(26!!)+12(28!!)+(30!!)

規則性を見つけてくれ〜(・ω・)ノ

((-1)^n)(((-1)^n)n+n+4(-1)^n+2)/2

1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 1

１　１４　１９０　２７９９　４５６４０　８２３７２４　１６３７２０７１

１　
１４　
１９０　
２７９９　
４５６４０　
８２３７２４　
１６３７２０７１

脳の情報処理能力は視覚1000万ビット／秒
聴覚は、40万ビット／秒、触覚は、100万ビット／秒
という試算があるようです

これを全部繋いで機能的に統一化（並列化？）して
頑張ればスパコン一台分ぐらいにはなるかもしれませんが

ＡＩからは「何やってんの？」と言われるかもしれません

http://sachikonocos.up.n.seesaa.net/sachikonocos/image/D70_8535_R69res.jpg?d=a1

分数で表すと厳密な結果

小数で表すと近似になる

■フィボナッチ数列（英: Fibonacci sequence）

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

Fn=(1/sqrt(5))(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n)

フィボナッチ数列の最初の2項を
2, 1 に置き換えた数列の項をリュカ数という

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843,
1364, 2207, 3571, 5778, …

この数列の一般項は

Ln=((1+sqrt(5))/2)^n+((1-sqrt(5))/2)^n

N組のカップル(合わせて2N人)が無作為に横一列に並ぶ
どのカップルについても彼氏と彼女が隣り合わない
確率を求めよ

a(n)=a(n-1)+a(n-2)/((2n-1)(2n-3)),a(1)=0,a(2)=1/3

a_n=((-1)^n)(n+((-1)^n)(n+4))/4

1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1, 8, 1, 9, 1, 10, 1, 11, 1, 12,
1, 13, 1, 14, 1, 15, 1, 16, ...

別の形

((-1)^n)(((-1)^n)n+n+4(-1)^n)/4

とにかく今はゼータζ(s)だろ
素数は一体なんなのか
どんな調和があるのか
物理も化学もそう宇宙も全てが分かる瞬間こそ
素数そしてゼータ関数の解明である

フェルマー解いたワイルズは世界一有名な数学者の一人だろう
ゼータζゼロ点を解明しワイルズを超えたい

a_n=(2n+(-1)^(n+1)-1)/2

1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 11, 11, 13, 13, 15, 15, 17, 17,
19, 19, 21, 21, 23, 23, 25, ...

別の形

(1/2)((-1)^(n+1)-1)+n

a_n=((-1)^n)(((-1)^n)n+n+2(-1)^n)/2

1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1,
21, 1, 23, 1, 25, 1, 27, 1, 29, ...

Functional Analysis

(1/sqrt(51))(((1+sqrt(51))/2)^n-((1-sqrt(51))/2)^n),n=6

2079/4

(1/16)[{1-(-1)^n}{(n+15)-(n-9)i^(n+1)}+8{1+(-1)^n}(3+i^n)]

1 | 1
2 | 2
3 | 3
4 | 4
5 | 2
6 | 2
7 | 3
8 | 4
9 | 3
10 | 2
11 | 3
12 | 4
13 | 4
14 | 2
15 | 3

n(2n^2+3n+1)/6

45640は45640 = 19 7^4 + 21と表せます．

3655は3655 = 7 2^9 + 71と表せます．

190は190 = 2^7 + 62と表せます．

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
[21,] 53615 52305 571
[22,] 64329 62810 626
[23,] 76571 74822 683
[24,] 90479 88478 743
[25,] 106198 103922 805
[26,] 123878 121303 870
[27,] 143676 140777 937
[28,] 165754 162505 1007
[29,] 190281 186655 1079
[30,] 217431 213400 1154

トランプの束がある
2〜10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、
ジョーカーのカードが24枚ある
全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき
その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が
書かれている確率はいくらか

Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k), {k, 3, 12}]/(choose(60,12))

出力　7371811052/66636135475

□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■

・漸化式
入力例：a(n)=3a(n-1)-a(n-2),a(0)=1,a(1)=2

・シグマ計算
入力例：Sum[k^5, {k, 1, n}]

Sum[ ((k+1)^3 -k^3 - 1)/6, {k, 1, n}]

n(n+1)(n+2)/6

(2n^2+10n+3+((-1)^n)(2n-3))/16

{{1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 9}, {7, 10}, {8, 14}, {9, 15}, {10, 20}}

□■■■■■
□□■■■■
□□□■■■
□□□□■■
□□□□□■

n(n+1)(4n+5)/6

{{1, 3}, {2, 13}, {3, 34}, {4, 70}, {5, 125}, {6, 203}, {7, 308}, {8, 444}, {9, 615}, {10, 825}}

■トランスプランテーション

メタトロンコンピュータにおける“ダウンロード”

メタトロンコンピュータにはファイルという概念がなく
プログラムとデータの区別もない
それぞれのプロセスを受け持つ「領域」は存在するが
隣接する領域との境界は明確でなく、通常のコンピュータのように
ファイルのかたちでコピーやペーストを行なうことができない
（演算結果をファイルに書き出すことはできる）

特定のプロセス領域を別のマシンに移すには
移殖＝トランスプランテーションという手段を使う
移殖元の素粒子構造パターンの指定領域を、移殖先の
構造パターンの中に再構成するのだが、この再構成に必要な
キーコードは移殖元を分解しなくては手に入れることができない
移殖先での再構成には、移殖元の破壊が必要なのである
よって、ファイルの“コピー”というよりは“移動”に近い

再構成された領域が移殖先に定着し、もともとあった他の領域と
連携して動作するようになれば、トランスプランテーションは完了となる
この処理には、メタトロンコンピュータ同士の回路の末端を接触
させる必要があり、相性次第では拒絶反応も起こり得る

■二つの関数を一つに合成する

P1st

(6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24　（奇数）……�@
(6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24　（偶数）……�A

Q1st

(6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24　（奇数）……�B
(6n^2-2n-5)(n+2)n/24　（偶数）……�C

奇数［1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0］のみ出力する関数は

((-1)^(n+1)+1)/2　……�D

偶数［0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1］のみ出力する関数は

((-1)^n+1)/2　……�E

�@x�D+�Ax�E

((6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24)(((-1)^n+1)/2)

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48

�Bx�D+�Cx�E

((6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^2-2n-5)(n+2)n/24)(((-1)^n+1)/2)

Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48

4面が緑色で2面が赤色のサイコロがあるとする
そのサイコロを20回振って、緑色(G)と赤色(R)のどちらが
出たかを記録した
次の3つの選択肢から１つを選ぶとする
もしあなたが選んだ選択肢が20回分の記録のどこかと
一致すれば25ドルもらえる

1.RGRRR
2.GRGRRR
3.GRRRRR

選択肢1は選択肢2に内包されており、また、
他の選択肢よりも短いにも拘わらず、
被験者の65%は選択肢2を選んだ
25ドルの賭金が話の上だけの形の調査でも、
結果に顕著な差は見られなかった

(3!!/3+0)/3!!=1/3
(5!!/3+0)/5!!=1/3
(7!!/3+1)/7!!=12/35
(9!!/3+14)/9!!=47/135
(11!!/3+190)/11!!=731/2079
(13!!/3+2799)/13!!=1772/5005
(15!!/3+45640)/15!!=20609/57915
(17!!/3+823724)/17!!=1119109/3132675
(19!!/3+16372071)/19!!=511144/1426425
(21!!/3+356123690)/21!!=75988111/211527855

━━━━★━━━━━━━━━━★━━━━

1 14 190 2799 45640 823724 16372071 356123690

1
14
190
2799
45640
823724
16372071
356123690

a(n)=((2n-1)!!/3+α)/(2n-1)!!を満たす
多項式αを見つけてくれ〜(・ω・)ノ

1, 4, 12, 26, 48, 76, 114, 152, 206, 252, 318, 382, 458, 544, 622, ...

この数列を表す式は？

■A009844 Coordination sequence T1 for Keatite.
http://oeis.org/A009844

二酸化ケイ素 SiO2 の結晶構造定数のひとつ

分子（33次）／分母（29次）

1+4x+12x^2+26x^3+48x^4+75x^5+109x^6+136x^7
+167x^8+174x^9+181x^10+163x^11+136x^12+97x^13
+33x^14-15x^15-83x^16-116x^17-169x^18-175x^19
-186x^20-161x^21-154x^22-117x^23-85x^24-56x^25
-32x^26-16x^27+x^29+4x^30-2x^31+2x^32-2x^33
―――――――――――――――――――――――
(1-x^5)(1-x^6)(1-x^8)(1-x^10)

36 329 3655 47844 721315 12310199 234615096は

分子の総量

調査により途中でずれた

(36)-7!!(((7 5)+1)/(7 5 3))
(329)-9!!(((7 5 3)+4)/(9 7 5))
(3655)-11!!(((11 7 3)+12)/(11 9 7))
(47844)-13!!(((13 11 3)+26)/(13 11 9))
(721315)-15!!(((13 11 5)+48)/(15 13 11))
(12310199)-17!!(((17 13 5)+79)/(17 15 13))
(234615096)-19!!(((19 17 5)+121)/(19 17 15))

1, 4, 12, 26, 48, 79, 121

この数列を表す式は？

その計算式だと数列は
1, 4+2/3, 12+2/3, 26+23/35, 48+8/27, 79+229/935, 121+768/5005
になるね

端数切ったの何故？

切ってはいない

さらに追加の数列を足す予定

■分母に偶数は存在しない

1
3
15=3x5
35=5x7
135=3×5×9
2079=3×7×9×11
5005=5×7×11×13
57915=3×9×11×13×15
3132675=3×5×7×9×13×15×17
1426425=5×7×11×13×15×19
211527855=3×7×9×11×15×17×19×21

□■■■■■■
□□■■■■■
□□□■■■■
□□□□■■■
□□□□□■■
□□□□□□■

a_n=1/24(3 2^n+(-1)^(n+1)2^n-8)

0, 0, 1, 1, 5, 5, 21, 21, 85, 85, 341, 341, 1365, 1365,
5461, 5461, 21845, 21845, ...

「誤差あるよ」「じゃあ数列を足します」「まだ誤差あるんだけど」「じゃあまた数列を……」

それを繰り返すとこうなる
http://i.imgur.com/gLzqEU4.gif

これは何の出力もできない

Sum[(n!/(k!(n-k)!))(k!(2n-k)!/(2n)!)((-2)^k/(k!)), {k, 1, n}]

できるやん

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5BSum%5B(n!%2F(n-k)!)((2n-k)!%2F(2n)!)((-2)%5Ek%2Fk!),%7Bk,0,n%7D%5D,%7Bn,0,10%7D%5D

これはかなり出力できる

Sum[(n!/(k!(n-k)!))(k!(2n-k)!/(2n)!)((-2)^k/(k!)), {k, 0, n}]

超幾何級数

Table[1F1(-n, -2 n, -2),{n,1,10}]

>>71は

Table[Sum[(n!/(n-k)!)((2n-k)!/(2n)!)((-2)^k/k!),{k,0,n}],{n,0,10}]

n=17のときの出力は

120770557736740451/333297887934886875

2n-1=33

33!!/333297887934886875=19

さすが

━━━━★━━━━━━━━━━★━━━━

■■■━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━

'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96
ITV News-2017/09/30

Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts,
has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly
three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show
that he co-created.

1-((165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468))

((4n+9)(n-13))/(7n^2-208n-468)

・マクローリン展開
入力例：series[tan x]

合流型超幾何関数

a_n=(-1)^n+12

11, 13, 11, 13, 11, 13, 11, 13, 11, 13, 11, 13, 11, 13, 11,
13, 11, 13, 11, 13, 11, 13, ...

a_n=(-1)^n+2

1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1,
3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, ...

a_n=(-1)^n+4

3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3,
5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, ...

>>73
n=1から出力する場合

Table[Sum[(n!/(n-k)!)((2n-k)!/(2n)!)((-2)^k/k!),{k,0,n}],{n,1,10}]

k!で約分したのはなぜ？

同じ３点を通るこの関数は
どうやって導かれたのか？

((4n+9)(n-13))/(7n^2-208n-468)

・代数方程式の厳密解
入力例：solve[x^3-3x+4=0]

n | 1F1(-n, -2n, -2)
1 | 0
2 | 1/3
3 | 1/3
4 | 12/35
5 | 47/135
6 | 731/2079
7 | 1772/5005
8 | 20609/57915
9 | 1119109/3132675
10 | 511144/1426425
11 | 75988111/211527855
12 | 1478400533/4106936925
13 | 63352450072/175685635125
14 | 5929774129117/16419849744375
15 | 18809879890171/52019187845625
16 | 514568399840884/1421472473796375
17 | 120770557736740451/333297887934886875

1
14
190
2799
45640
823724
16372071
356123690
8425459966
215575726365
5934381452896
174947922387224
5500472657682465
183753973410451694

>>85
Table[(2n-1)!!(3 1F1(-n, -2n, -2)-1)/3,{n,4,17}]

>>62
x^28は存在しなくて問題ない

A009844 Keatite T1, O(IT)=34, O(PL)=4,
https://oeis.org/A008000/a008000_1.pdf

『サイマティックスキャンで読み取った生体場を解析し、
人の心の在り方を解き明かす……
科学の叡智はついに魂の秘密を暴くに至り、この社会は激変した』
『だがその判定には人の意志が介在しない
君たちは一体、何を基準に善と悪を選り分けているんだろうね？』
『僕は人の魂の輝きが見たい
それが本当に尊いものだと確かめたい
だが己の意思を問うこともせず、ただシビュラの神託のままに
生きる人間たちに、はたして価値はあるんだろうか？』

https://enwikipedia.org/wiki/Naw_Kham

https://youtube.com/watch?v=4zXUcTrD4iY
犯罪者害虫ヤクチュー民族ヒトモドキ台湾猿とタイゴキブリを皆殺しにしろ

Functional Analysis

【超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪者の実名と住所を公開】
�@井口・千明（東京都葛飾区青戸６−２３−１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
　低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
�A宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６−２３−２１ハイツニュー青戸２０２）
※色黒で醜く太っている醜悪黒豚宇野壽倫／低学歴で人間性が醜いだけでなく今後の人生でもう二度と女とセックスをすることができないほど容姿が醜悪である
�B色川高志（東京都葛飾区青戸６−２３−２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志はyoutubeの視聴回数を勝手に短時間に何百何千時には何万回と増やしたり高評価・低評価の数字を一人でいくつも増やしたり減らしたりなどの
　youtubeの正常な運営を脅かし信頼性を損なわせるような犯罪的業務妨害行為を行っています
※色川高志は現在、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください

【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４−８５５５
東京都葛飾区立石５−１３−１
�рO３−３６９５−１１１１

�C清水（東京都葛飾区青戸６−２３−１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆　☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
　清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
�D高添・沼田（東京都葛飾区青戸６−２６−６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
�E高橋（東京都葛飾区青戸６−２３−２３）
※高橋母は夫婦の夜の営み亀甲縛り食い込み緊縛プレイの最中に高橋親父にどさくさに紛れて首を絞められて殺されそうになったことがある
�F長木義明（東京都葛飾区青戸６−２３−２０） ※日曜日になると風俗店に行っている

n | ((-2)^n n! (2 n - 1)!!)/(3 (2 n)!) | 近似値
1 | -1/3 | -0.333333
2 | 1/3 | 0.333333
3 | -1/3 | -0.333333
4 | 1/3 | 0.333333
5 | -1/3 | -0.333333
6 | 1/3 | 0.333333
7 | -1/3 | -0.333333
8 | 1/3 | 0.333333
9 | -1/3 | -0.333333
10 | 1/3 | 0.333333

((2n-1)!!/3)(n!(2n-n)!/(2n)!)((-2)^n/(n!))

超幾何級数
a(n)=Hypergeometric1F1[-n;-2n;-2]

Table[1F1(-n, -2n, -2),{n,1,10}]

□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■

□■■■
□□■■
□□□■

□■■
□□■

□■

最強の新科学技術基盤
https://www.jst.go.jp/crds/sympo/20170307/pdf/20170307_04.pdf

人間には抽出できない複雑で無数の特徴点・特徴量から、
更に規則性・法則性が抽出されることで、膨大な仮説が立案され、
それらが高速に検証され、最適化されることで、
人間には決して構築できない次元の理論が、
多数生まれることに

36
329
3655
47844
721315
12310199
234615096
4939227215
113836841041
2850860253240
77087063678521
2238375706930349
69466733978519340
2294640596998068569
80381887628910919255
2976424482866702081004
116160936719430292078411
4765574829979508677295855
205035878625838303415800176
9231380112992703162388303775
434079901189282886935666077601
21279146538387854163010026106224

■三角錐数を小さい順に列記すると

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680,
816, 969, …（オンライン整数列大辞典の数列 A292）

計算式

n(n+1)(n+2)/6

あるタクシー会社のタクシーには
１から通し番号がふられている

タクシー会社の規模から保有タクシー台数は
１００台以下とわかっている（弱情報事前分布）

この会社のタクシーを５台みかけた
最大の番号が６０であった

この会社の保有するタクシー台数の期待値と
９５％信用区間を求めよ

Sum[n C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]
=2590100/36231≒71.4885

Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,92}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]
=0.947035
Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,93}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]
=0.95496

■Obituary - John Forbes Nash, Jr. (1928 - 2015)
Swarajya-2015/05/25

Nash is mostly known for his equilibrium concept called as
“Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper,
legends like von Neumann were working on the theory of
games with a special focus on Zero-sum games.

36-((2n-5)!!/3)((2n-1)(2n-3)+1)-0,n=4
329-((2n-5)!!/3)((2n-1)(2n-3)+2)-4,n=5
3655-((2n-5)!!/3)((2n-1)(2n-3)+5)-15,n=6
47844-((2n-5)!!/3)((2n-1)(2n-3)+8)-279,n=7
721315-((2n-5)!!/3)((2n-1)(2n-3)+13)-595,n=8
12310199-((2n-5)!!/3)((2n-1)(2n-3)+18)-12914,n=9
234615096-((2n-5)!!/3)((2n-1)(2n-3)+24)-155871,n=10

1 2 5 8 13 18 24
0 4 15 279 595 12914 155871

>>64 の数列なら近似がある
0.276368862692n^3+0.50790102191n^2+0.209562011n+0.0061682

1F1(-n,-2n,-2)≒0.3678794411-0.207873255/(2n-1)+0.024877245/(2n-3)-0.00094362/(2n-5) (n≧4)

分数で表すと厳密な結果

小数で表すと近似になる

>>102
0.3678794411 は exp(-1) かな

N組のカップル(合わせて2N人)が無作為に横一列に並ぶ
どのカップルについても彼氏と彼女が隣り合わない
確率を求めよ

a(n)=a(n-1)+a(n-2)/((2n-1)(2n-3)),a(1)=0,a(2)=1/3

Sum[(n!/(k!(n-k)!))(k!(2n-k)!/(2n)!)((-2)^k/(k!)), {k, 0, n}]

Table[Sum[(n!/(n-k)!)((2n-k)!/(2n)!)((-2)^k/k!),{k,0,n}],{n,1,10}]

Table[1F1(-n, -2 n, -2),{n,1,10}]

■n=3のとき、10/49となる関数を125種類作成

Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,3,3}]

■aの値を逆向きに入力して同じ出力となる関数

Table[((n-13)(a+4n+1))/(a(n-52)+7n^2-216n-52),{a,0,124},{n,3,3}]

∵［0≦a≦124］

■1/4,10/49,0はすべて共通

Table[((n-13)(a+4n+1))/(a(n-52)+7n^2-216n-52),{a,0,5},{n,0,13}]

■メタトロンコンピュータ

メタトロンを集積回路に使用した量子コンピュータの一種
それまでのデジタル式フォン・ノイマン型コンピュータとは
一線を画す桁違いの演算速度と小型化を両立
演算装置と記憶装置の区別がなくサーキットそのものが
絶えず変化することで演算と記憶を
（量子論的に言えば別の宇宙で）行う

■n=0のときはすべて1/4

Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,0,0}]

■n=13のときはすべて0

Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,13,13}]

Functional Analysis

0
1
5
36
329
3655
47844
721315
12310199
234615096
4939227215
113836841041
2850860253240
77087063678521
2238375706930349
69466733978519340
2294640596998068569
80381887628910919255
2976424482866702081004
116160936719430292078411
4765574829979508677295855
205035878625838303415800176
9231380112992703162388303775
434079901189282886935666077601
21279146538387854163010026106224
1085670553358969845200446997495025
57561818474563789649786700893342549
3166985686654367400583468996131335220
180575745957773505622907519480379450089
10657135997195291199152127118338518890471
650265871574870536653902661738130031768820
40977407045214039100395019816620530520326131
2664181723810487412062330190742072613852967335

Table[(2n-1)!!(1F1(-n, -2n, -2)),{n,1,33}]

■aに大きな数を入力しても10/49が出力される

Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,9876,9888},{n,3,3}]

■無量大数の世界でも10/49を出力する

Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,10^68,10^68+5},{n,3,3}]

■ムーアの法則の終焉、遠のく - imecら、
EUVへの逐次浸透合成法の適用に成功

EUVリソグラフィ後にSISを適用することにより、
フォトレジストパターンのラフネスやウェハ表面に
確率的に存在するナノ欠陥を削減することができ、
将来の超微細パターン形成にEUVが適用できる
めどが立ったとしている
SISは、自己組織化リソグラフィ
(Directed Self-Assembly:DSA)にて
すでに利用されているが、imecは今回、EUV装置を用いた
微細パターン形成プロセスにSISを適用し、
フォトレジストに無機元素を浸透させることで、
従来以上に硬化させることに成功、
パターニング性能を向上させたという

今回、imecと開発パートナーであるASMおよびASMLは、
EUVL-SISと標準的なEUVLパターニングプロセスを比較し、
パターンのラフネス、ナノ欠陥が緩和されていること、
ならびに局所バラつきに関するSISの有用性を検証
TiN膜へのパターン転写に際して
SISステップを追加することで、SISなしプロセスと比較して、
局所的なクリティカルディメンジョン均一性
(Local Critical Dimension Uniformity:LCDU)について60%、
ラインエッジラフネスについて10%の改善が確認されたという
また、ナノブレイク(典型的な確率的に存在するナノ欠陥)の数は、
少なくとも1桁の減少を確認したほか、ロジックチップの
不良率が20%減少したとも報告している
これにより3nmおよびその先への微細化に進む道が開けた

　┏━━┳━━┓┏┓┏┳━━┳━━┳━━┓
　┃┏━┫┏┓┃┃┗┛┃┏┓┃　 　 ┃　 ━┫
　┃┗┫┃┗┛┃┃┏┓┃┗┛┃┃┃┃　 ━┫
　┗━┻┻━━┛┗┛┗┻━━┻┻┻┻━━┛

(((-1)^n)(((-1)^n)n+n+4(-1)^n+2)/2)((((-1)^(n-1))(n-1)+(n-1)+(-1)^(2(n-1)+1)+3)/2)

1 5 3 7 5 9 7 11 9 13

☆

0 4 26 84 203 413 751 1259

この数列を表す式は？

既知の二つの数列

(n(n+1)/2)-1　
(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48

を使って

((n(n+1)/2)-1)^2+(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48

で求められる

この単純な合成にwolframも気が付かないらしい

一般項
a_n = {12n^4+28n^3-42n^2-52n+51-3(-1)^n}/48

生成関数

1不可説不可説転=10^(7 2^122)

1グーゴルプレックス=10^(10^100)


1不可説不可説転
↓
10^37218383881977644441306597687849648128

なので

さすがに1不可説不可説転では出力不可

Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,10^(7 2^122),10^(7 2^122)+15},{n,3,3}]


アリーヴェデルチ！ Arrivederci！

満足かい？

トランプの束がある
2〜10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、
ジョーカーのカードが24枚ある
全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき
その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が
書かれている確率はいくらか

Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k), {k, 3, 12}]/(choose(60,12))

出力　7371811052/66636135475

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%80%85:Michael_Friedrich

キチガイニホンザル嘘と荒らしが国技のゴキブリ民族死滅祈願

トランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し箱の中にしまった
残りのカードからｎ枚抜き出したところ、ｎ枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率P(D)はいくらか

■ベイズの公式から

P(D)=(13-n)/(52-n)

Table[((8-n)!2^n)/8!,{n,1,4}]

(6/14)-(4/42)+(1/105)=(1/3)+(1/105)

Table[((10-n)!2^n)/10!,{n,1,5}]

(20/45)-(10/90)+(5/315)-(1/945)=(1/3)+(1/63)-(1/945)

Table[((12-n)!2^n)/12!,{n,1,6}]

(15/33)-(20/165)+(30/1485)-(6/2970)+(1/10395)

=(1/3)+(1/55)+(1/10395)

Table[((14-n)!2^n)/14!,{n,1,7}]

(42/91)-(35/273)+(70/3003)-(42/15015)+(28/135135)-(1/135135)

=(1/3)+(80/3861)-(1/135135)

■1000無量大数の世界でも10/49を出力する

Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,10^71,10^71+150},{n,3,3}]

((2n-k)!2^k)/(2n)!　に根が存在しないのはなぜ？

4 | 1
5 | 14
6 | 190
7 | 2799
8 | 45640
9 | 823724
10 | 16372071
11 | 356123690
12 | 8425459966
13 | 215575726365
14 | 5934381452896
15 | 174947922387224
16 | 5500472657682465
17 | 183753973410451694
18 | 6500855803344328630
19 | 242826305320738227879
20 | 9550607795137701806536
21 | 394551344083512476148980
22 | 17081868732310466766484551
23 | 773449667783950513169100650
24 | 36557170264471512422363530726
25 | 1800532723072096811858201309349
26 | 92261248777866220291703932854400
27 | 4911125331765297529623318467389424
28 | 271197563800450333974482962703913345
29 | 15515822955100232826195315575016403214
30 | 918600540037568104146107087922099124846
31 | 56215208688249427858535439882728426065695
32 | 3552215283356909246286884839730229361029256
33 | 231544259289773971545301417244203038498670460

Table[(2n-1)!!(3 1F1(-n, -2n, -2)-1)/3,{n,4,17}]

□■■■■■■
□□■■■■■
□□□■■■■
□□□□■■■
□□□□□■■
□□□□□□■

Table[(8!/(8-n)!)((16-n)!/(16)!)((-2)^n/n!),{n,1,8}]
1+sum[(8!/(8-n)!)((16-n)!/(16)!)((-2)^n/n!),{n,1,8}]

Table[(9!/(9-n)!)((18-n)!/(18)!)((-2)^n/n!),{n,1,9}]
1+sum[(9!/(9-n)!)((18-n)!/(18)!)((-2)^n/n!),{n,1,9}]

Table[(10!/(10-n)!)((20-n)!/(20)!)((-2)^n/n!),{n,1,10}]
1+sum[(10!/(10-n)!)((20-n)!/(20)!)((-2)^n/n!),{n,1,10}]

アドレスを保持するレジスタが1個
アドレスは全ての整数値になりうる
各アドレスに対して1bitのデータを保持する

プログラムはn個の命令からなる
各命令は以下のような動作をする

switch (*addr){
case 0:
5種類の動作のどれか
case 1:
5種類の動作のどれか
}

5種類の動作は以下

A : *addr++ = 0; goto 「n個の命令の1個」;
B : *addr++ = 1; goto 「n個の命令の1個」;
C : *addr-- = 0; goto 「n個の命令の1個」;
D : *addr-- = 1; goto 「n個の命令の1個」;
E : 動作停止

データとaddrは全て0の状態で
1個目の命令から動作を開始する

04 | 1
05 | 14
06 | 190
07 | 2799
08 | 45640
09 | 823724
10 | 16372071
11 | 356123690
12 | 8425459966
13 | 215575726365
14 | 5934381452896
15 | 174947922387224
16 | 5500472657682465
17 | 183753973410451694
18 | 6500855803344328630
19 | 242826305320738227879
20 | 9550607795137701806536
21 | 394551344083512476148980
22 | 17081868732310466766484551
23 | 773449667783950513169100650
24 | 36557170264471512422363530726
25 | 1800532723072096811858201309349
26 | 92261248777866220291703932854400
27 | 4911125331765297529623318467389424
28 | 271197563800450333974482962703913345
29 | 15515822955100232826195315575016403214
30 | 918600540037568104146107087922099124846
31 | 56215208688249427858535439882728426065695
32 | 3552215283356909246286884839730229361029256
33 | 231544259289773971545301417244203038498670460

Table[(2n-1)!!(3 1F1(-n, -2n, -2)-1)/3,{n,4,33}]

レピュニット とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が
1である自然数のことである
名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、
1966年にアルバート・ベイラーが
Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである

https:/twitter.co/yen20pls

ヒトモドキニホンザルゴキブリ民族消滅宣言

IBMによると、同社が売り込んでいる
「量子ボリューム（quantum volume）」と呼ばれる指標は
毎年倍増を続けているという
ちょうど従来のコンピューティングに対する
ムーアの法則に似ている

量子マシンはデータの操作を量子ビット、
つまりキュービットに依存している
だが、ただ単にキュービットを追加すればマシンの
性能が増すかというと、そういうわけでもない
量子状態は非常に壊れやすく、
ほんのわずかな振動や温度変化にさえも反応して壊れてしまうからだ
この現象は「ノイズ」と呼ばれ、このためにエラーが発生し、
計算に少しずつ影響を及ぼしていく

33 | 231544259289773971545301417244203038498670460
32 | 3552215283356909246286884839730229361029256
31 | 56215208688249427858535439882728426065695
30 | 918600540037568104146107087922099124846
29 | 15515822955100232826195315575016403214
28 | 271197563800450333974482962703913345
27 | 4911125331765297529623318467389424
26 | 92261248777866220291703932854400
25 | 1800532723072096811858201309349
24 | 36557170264471512422363530726
23 | 773449667783950513169100650
22 | 17081868732310466766484551
21 | 394551344083512476148980
20 | 9550607795137701806536
19 | 242826305320738227879
18 | 6500855803344328630
17 | 183753973410451694
16 | 5500472657682465
15 | 174947922387224
14 | 5934381452896
13 | 215575726365
12 | 8425459966
11 | 356123690
10 | 16372071
09 | 823724
08 | 45640
07 | 2799
06 | 190
05 | 14
04 | 1

Table[(2n-1)!!(3 1F1(-n, -2n, -2)-1)/3,{n,4,33}]

■平方完成

y=ax^2-(-a+2)x-a-a+2
=a(x^2-(-a+2)x/a)-a-a+2
=a{(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a^2)}-a-a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a)-a-a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a)-2a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4)/(4a)-2a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4)/(4a)-(8a^2)/(4a)+(8a)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4+8a^2-8a)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(9a^2-12a+4)/(4a)

超幾何級数で定義される、
或いは表示される関数を超幾何関数という
超幾何関数は多くの初等関数や特殊関数を包含する

(1/3)+(1/105)
(1/3)+(2/105)-(4/945)
(1/3)+(3/105)-(8/945)-(19/10395)
(1/3)+(4/105)-(16/945)-(61/135135)

>>82
どのスートが出るのも同様に確からしい
ジョーカーを除くトランプのカード52枚から
一枚のカードを箱に入れる

Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う

Ω=｛スペード，ハート，クラブ，ダイヤ｝となる

各 i （1≦i≦4） が根元事象である

ハートが出るという事象A=｛ハート｝で確率P(A)は

P(A)=1/4　となる

最初に箱に入れた時を i
山札をシャッフルしてダイヤが三枚出た後を ｊ として

箱の中のカードがハートであるという事象Aを考える.

A=｛（i，j）|　i または j がハート｝

Ω=｛（i，j）|1≦i≦4，1≦j≦49｝となり

この196通りの各要素が根元事象

シャッフル後にダイヤのカードをn枚引いた時に
箱の中にダイヤ以外のスートが出る確率空間は

Ω＝｛（i，j）|1≦i≦4，1≦j≦52-n｝から

#A=4(52-n)-3(51-n)

　=208-4n-153+3n

　=55-n

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

スペード・ハート・クラブの各スートの出る確率は

P(A)=(55-n)/(208-4n)

スペード・ハート・クラブである確率は

P(X)=(165-3n)/(208-4n)

ダイヤである確率は

q=1-(165-3n)/(208-4n)

しかしこのままでは
点(0,1/4),(13,0) を通らない

■点(0,1/4),(13,0) を通るように二次関数にする

1-(165-3n)/(208-4n)　から
1-(165n-3n^2+3b)/(208n-4n^2+4b)　とおくと

n=0,b≧1のとき、1/4が出力できる

さらにn=13のときに(165n-3n^2+3b)=(208n-4n^2+4b)　
となれば、0が出力できる

このためには、分母を分子よりも小さくして

1-(165n-3n^2+3b)/(208n-7n^2+4b)　

その差分をb=117で回収すると完成

∴1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468)　

式変形すると

(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468)

■Wolfram入力

Table[(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468),{n,0,13}]

Functional Analysis

米Googleは3月14日（米国時間）、「円周率の日」に合わせ、
同社のクラウドコンピューティングサービス「Google Cloud」を
用いて円周率を小数点以下約31兆4000億桁まで計算した
ことを発表した
2016年に記録されたこれまでの世界記録、
約22兆4000億桁を9兆桁更新し、新たにギネス世界記録
に登録された

計算には、Google Cloud上の96個のvCPU（仮想CPU）と
1.4テラバイトメモリを用意してクラスタを構築
計算結果の書き込みには1ノード10テラバイトのインスタンスを
24個用意し、最大170テラバイトまで利用した

計算は2018年9月22日から始め、19年1月21日に終了
約111日間計算を続け、ディスクの読み込み、書き込み量の
合計はそれぞれ9ペタバイト（9000テラバイト）、
7.95ペタバイトに及んだ

111日間の計算の結果、小数点以下
31兆4159億2653万5897桁まで円周率を計算したという
円周率の最初の14桁である「3.1415926535897」に合わせた

(1/3)+(1/105)
(1/3)+(1/105)+(1/189)
(1/3)+(2/105)+(1/189)-(1/165)
(1/3)+(2/105)+(1/189)-(1/165)+(1/429)+(1/10395)+(1/135135)

うんこの巣発見

>>146
1ミリ角の中に数字を一つ書いて1平方キロの
マスをすべて埋めて一兆個
つまり、31.4平方キロメートルを埋め尽くす数字の列

合流型超幾何関数

780710

3.14

2変数関数の一様連続の定義

46-10
435-106
4936-1281
65548-17704

日：合流型超幾何関数
英：Confluent hypergeometric function
仏：Fonction hypergeometrique confluente
独：Konfluente hypergeometrische funktion

第一種の合流型超幾何関数（クンマー）

1Ｆ1[a; b; z] = 1+Σ[k=1, ∞] {a(a+1)････(a+k-1)/b(b+1)････(b+k-1)} z^k/k!

1Ｆ1[-n; -2n; z] = {n!/(2n)!} Σ[k=0, n] {(2n-k)!/(n-k)!k!} z^k

歴史的には、18世紀に Euler が初めて超幾何微分方程式と
その解の研究を手掛けた
19世紀初頭になると、J. C. F. Gauss や N. H. Abel 等によって
級数の収束性についての厳密な理論が展開され、
超幾何級数にも応用された
19世紀中葉では複素解析学が整備され、
G. F. B. Riemann などの著名な数学者によって、
複素領域で定義された線形常微分方程式の解となる
関数の大域的理論や多価関数としての構造が深く研究された

チャトランガとは、古代インドのボードゲームの一種で、
将棋やチェスの起源と考えられているものである
チャトランガ（caturanga）とはサンスクリット語でcaturは4、
angaは要素、部分という意味である
従って、catur-angaは象・馬・車・歩兵の4つの戦力の
ことを指し示していると考えられている

Sum[(n!/(k!(n-k)!))(k!(2n-k)!/(2n)!)((-2)^k/(k!)), {k, 0, n}],n=11

単独

数理論理学の分枝である証明論において、
初等関数算術（英: elementary function arithmetic）または
指数関数算術（EFA）は算術の体系のひとつであり、
関数記号［0,1,+,×,x^y］の初等的な性質と、
有界論理式に対する帰納法の公理図式からなる

■初等関数

Wolfram言語はプラットフォームに最適化された
最新のコードを使って，初等関数を非常に効率的に
機械精度で評価するだけでなく，多くの独自のアルゴリズムを
使って任意精度において世界最速で評価することもできる．
Wolfram言語は記号関数と変換の高度な繋がりにより，
過去には主要な数学的成果とみなされていた
結果を簡単に得て，初等関数について
厳密な数値・代数操作を行うことができる．

■100!の世界でも10/49を出力する

(100!/10^71)/10^71≧9×10^15

なので100!は

1000無量大数×1000無量大数×9000兆以上の大きさ


Table[(n-13)(a-4n-125)/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,100!,100!+150},{n,3,3}]

［36 329 3655 47844 721315 12310199 234615096］は

分子の総量

(36)-7!!((7 5)+1)/(7 5 3)-0
(329)-9!!((7 5 3)+4)/(9 7 5)-2
(3655)-11!!((11 7 3)+12)/(11 9 7)-10
(47844)-13!!((13 11 3)+26)/(13 11 9)-69
(721315)-15!!((13 11 5)+48)/(15 13 11)-280
(12310199)-17!!((17 13 5)+79)/(17 15 13)-2519
(234615096)-19!!((19 17 5)+121)/(19 17 15)-20736

1, 4, 12, 26, 48, 79, 121
0,2,10,69,280,2519,20736

この数列を表す式は？

□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■

□■■■■■
□□■■■■
□□□■■■
□□□□■■
□□□□□■

□■■■■■■
□□■■■■■
□□□■■■■
□□□□■■■
□□□□□■■
□□□□□□■

> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2〜5個　短軸有利
宝：6〜13個　長軸有利
宝：14〜20個　同等

(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!,k=5

8と83に補正が必要

Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]

Functional Analysis

n(n+1)(4n+5)/6

{{1, 3}, {2, 13}, {3, 34}, {4, 70}, {5, 125}, {6, 203}, {7, 308}, {8, 444}, {9, 615}, {10, 825}}

モンティホール問題はモンティが意図的にドアを開けるから
プレイヤーにとって最初に選んだ当たりのドアの確率は
1/3のまま不変

トランプ問題はシャッフルして無作為に選択するから
10/49に下がる

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519

Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}]

Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}]

Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}]

Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(12!/(13-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]

長軸有利☆

{9, 83, 453, 1753, 5075, 11353, 20057, 28400, 32528, 30250,
9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250


22803, 13831, 6657, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0}
22803 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0

完全一致>>170

Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]

短軸有利☆

{9, 84, 463, 1776, 5076, 11249, 19797, 28057, 32243, 30095,
9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095


22749, 13820, 6656, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0}
22749 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0

完全一致>>170
補正完了>>171

━━━━★━━━━━━━━━━★━━━━

■■■━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━

■1000!は何桁ですか？

ceil(log10(1000!))

十分大きなnに対してはa^n<n!<n^nということを使って、
10^1000＜1000!＜1000^1000＝10^3000
1000桁以上3000桁以下といってもいい

この方法はwolframで計算できないほど大きい階乗にも使える
10^10^10＜(10^10)!＜(10^10)^10^10＝10^10^11
(10^10)!は10 000 000 000桁以上、100 000 000 000桁未満

マスコントロールプログラム

■メタトロン

21世紀初頭に木星衛星カリストの巨大クレーター、
ヴァルハラで発見された
シリコンをベースに金属を含む複合高分子体で、動力源、
量子コンピュータ、装甲などの素材に応用できる
オービタルフレーム(以下OF)はメタトロン技術の粋を集めた存在であり、
それ以外にも作中に登場する装備や施設の殆どはメタトロンの恩恵を得ている

石油の様な単なるエネルギー源となる他に以下の特徴がある

1.エネルギーを与えスピンさせると周囲の空間を巻き込んで圧縮する

2.高純度で大量使用すると、「魔法」としか思えない既存の
　物理法則を無視した現象を引き起こす

3.その強大な力に魅了され、
　歪められた狂気が更に大きな力を引き出すと言う悪循環が起こるため、
　強靭な精神の持ち主でなければ扱い切れない

3について詳しく説明すると、
なぜかメタトロンには「接触した人間の記憶や人格、思想などを記録し、
同時にそれまでに記録したものを触れた人間に対しフィードバックする」
という特性がある
このため人間がメタトロンに繰り返し接触すると、
自身の欲望や願望の中で特に強い部分を極端に肥大化させてしまう

> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1

□■■■
□□■■
□□□■

Table[(9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!,{k,1,12}]

長軸有利☆

Table[(9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!,{k,1,12}]

短軸有利☆

■全12マス完全一致

Table[(12!/(12-k)!)/k!-(2((9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!)+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!),{k,1,12}]

同等☆

Table[{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4,{n,0,13}]

Functional Analysis

Fuck Your Asshhole!

初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである

ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である

初等関数の導関数はつねに初等関数になる

■n=3のとき10/49

Table[1-(165n-3n^2+39)/(216n-7n^2+52),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+78)/(215n-7n^2+104),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+117)/(214n-7n^2+156),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+156)/(213n-7n^2+208),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+195)/(212n-7n^2+260),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+234)/(211n-7n^2+312),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+273)/(210n-7n^2+364),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+312)/(209n-7n^2+416),{n,0,13}]

165,-3,-7を変えない限り、
点(0,1/4),(3,10/49),(13,0) を必ず通る

定数bを定めて式を一般化する

Table[1-(165n-3n^2+(39+39b))/((216-b)n-7n^2+(52+52b)),{b,3,4},{n,0,13}]

∵［0≦b≦7］

【3月20日 AFP】
「数学のノーベル賞（Nobel Prize）」と呼ばれるアーベル賞
（Abel Prize）の今年の受賞者に、米数学者のカレン・ウーレンベック
（Karen Uhlenbeck）氏（76）が選ばれた
アーベル賞委員会のハンス・ムンテカース（Hans Munthe-Kaas）
委員長が19日に発表した
賞金として600万クローネ（約7800万円）が授与される

偏微分方程式研究などの業績が評価された
ウーレンベック氏は、初の女性受賞者
今なお男性中心の科学や数学分野での男女平等においても貢献した

ウーレンベック氏は研究院客員教授を務める
米プリンストン大学（Princeton University）を通じて、
「数学の世界において、自分が若い女性たちのロールモデルで
あることを自覚している」とコメント

>>188
ガンマ関数に置換

Table[(12!/(12-k)!)/k!-(10080((k-19)k+162))/(Γ(11-k)Γ(k))+((k-9)((k-9)k((k-9)k+52)+892))/(Γ(8-k)Γ(k)),{k,1,12}]

☆☆

Table[479001600/(k!Γ(13-k)),{k,1,12}]

全12マス組み合わせ

Table[(19!/(20-k)!)/(k-1)!+(17!/(19-k)!)/(k-2)!+(15!/(17-k)!)/(k-2)!+(13!/(15-k)!)/(k-2)!+(8!/(10-k)!)/(k-2)!+choose(1,k),{k,1,20}]

同等も完全一致>>170

☆☆☆

さらに置換

Table[choose(19,k-1)+choose(17,k-2)+choose(15,k-2)+choose(13,k-2)+choose(8,k-2)+choose(1,k),{k,1,20}]

━━━━★━━━━━━━━━━★━━━━

■■■━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━

> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1

□■■■
□□■■
□□□■

短軸有利☆

Table[choose(9,k-1)+choose(7,k-1)+choose(5,k-1)+choose(4,k-1)+choose(1,k-1),{k,1,12}]

長軸有利☆

Table[choose(9,k-1)+choose(7,k-1)+choose(6,k-1)+choose(3,k-1)+choose(2,k-1),{k,1,12}]

同等☆

Table[choose(11,k-1)+choose(9,k-2)+choose(7,k-2)+choose(1,k),{k,1,12}]

以下各個数での勝敗の数
treasures 1: p win 5 q win 5 even 2
treasures 2: p win 26 q win 27 even 13
treasures 3: p win 73 q win 76 even 71
treasures 4: p win 133 q win 140 even 222
treasures 5: p win 167 q win 176 even 449
treasures 6: p win 148 q win 153 even 623
treasures 7: p win 91 q win 92 even 609
treasures 8: p win 37 q win 37 even 421
treasures 9: p win 9 q win 9 even 202
treasures 10: p win 1 q win 1 even 64
treasures 11: p win 0 q win 0 even 12
treasures 12: p win 0 q win 0 even 1

2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 20, 21, 24, ...


この数列を表す式は？

> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2〜5個　短軸有利
宝：6〜13個　長軸有利
宝：14〜20個　同等

□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■

短軸有利☆

Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(11,k-1)+choose(10,k-1)+choose(8,k-1)+choose(5,k-1)+choose(4,k-1)+choose(1,k-1),{k,1,20}]

長軸有利☆

Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(12,k-1)+choose(8,k-1)+choose(7,k-1)+choose(6,k-1)+choose(3,k-1)+choose(2,k-1),{k,1,20}]

同等☆

Table[choose(19,k-1)+choose(17,k-2)+choose(15,k-2)+choose(13,k-2)+choose(8,k-2)+choose(1,k),{k,1,20}]

シンギュラリティは宇宙の歴史の中で
3回起こることになっている

https://i.imgur.com/R2bseAT.jpg

Table[1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468),{n,0,13}]

Table[(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468),{n,0,13}]

・マクローリン展開
入力例：series[tan x]

合流型超幾何関数

Table[choose(1,k),{k,1,12}]

k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12
binomial(1, k) | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0

奇数［1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0］のみ出力する関数は

((-1)^(n+1)+1)/2　

偶数［0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1］のみ出力する関数は

((-1)^n+1)/2　

153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+78(24!!)　

153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!)　

53760=512(7!!)

素数を知ったのは確か4歳くらいの時
聡明で美しい数字を想った
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59…
何か法則性は無いのか
すぐ近くに次の素数が現れると思えばすぐ近くには無かったり
これが3桁4桁5桁となっていくと複雑な羅列が顕著になる
この素数に子供ながらにして興味津々になった記憶がある
小学低学年の時だったか
数列ａnで階差数列をしていけば容易ではないかと思ったりした
浅はかな学童
その内にリーマン予想を知る
複素数の関数が必要であること
学童の“大学への数学”“Z会”クラスの学力では無理だったのだ
そしてリーマンζ(s)を解き明かす目標の日々となる
そう2008年の「リーマンショック」にはビックリした
「リーマンやっちゃったよ」なんて街の声に誰かがリーマン解いたのか
そう思ったのである
しばらくしてリーマンとは米国投資銀行であり
その倒産を意味するを知る
またサラリーマンをリーマンとここ日本では呼ぶようだが
「おまえリーマンとしてはゼロ点だな」なんて地下鉄で説教
しているのを聴くとドキッとくる

■R

# 宝の数を変化させる
treasure0 <- function(m=3,n=4,k=2){
y=1:(m*n)
(z=matrix(y,ncol=n,byrow=T))
(P=as.vector(z))
(Q=as.vector(t(z)))
PQ <- function(x){
p=q=numeric(k)
for(i in 1:k){
p[i]=which(P==x[i])
q[i]=which(Q==x[i])
}
min(p)-min(q)
}
tre=combn(m*n,k)
re=apply(tre,2,PQ)
return(c(短軸有利=sum(re<0),長軸有利=sum(re>0),同等=sum(re==0)))
}
sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))

> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1

(6(k-1))/(Γ(6-k)Γ(k))+sum[choose(11-2n,k-1),{n,1,5}],k=5

短軸個別☆

あるタクシー会社のタクシーには
1から通し番号がふられている

タクシー会社の規模から保有タクシー台数は
100台以下とわかっている（弱情報事前分布）

この会社のタクシーを5台みかけた
最大の番号が60であった

この会社の保有するタクシー台数の期待値と
95％信用区間を求めよ

Sum[n C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]
=2590100/36231≒71.4885

Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,92}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]
=12478719715/13176622927≒0.947035

Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,93}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]
=13148689015/13768830699≒0.95496

『与えられた数より小さい素数の個数について』

> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1

□■■■
□□■■
□□□■

短軸有利☆

Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}]

長軸有利☆

Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,12}]

同等☆

Table[C(11,k-1)+C(9,k-2)+C(7,k-2)+C(1,k),{k,1,12}]

数学において、リーマン予想
（英: Riemann hypothesis, 独: Riemannsche Vermutung）は、
リーマンゼータ関数の零点が、負の偶数と、実部が 1/2 の
複素数に限られるという予想である
ドイツの数学者 Bernhard Riemann (1859) により提唱
されたため、その名称が付いている
この名称は密接に関連した類似物に対しても使われ、
例えば有限体上の曲線のリーマン予想がある

リーマン予想は、英語表記 Riemann hypothesis の
直訳であるリーマン仮説と表記したり、RH と略すこともある

リーマン予想は素数の分布についての結果を含んでいる
適切な一般化と合わせて、純粋数学において最も重要な
未解決問題であると考える数学者もいる
リーマン予想は、ゴールドバッハの予想とともに、
ヒルベルトの23の問題のリストのうちの第8問題の一部である
クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の1つでもある

>>218 となる理由は以下。
長軸有利は以下の５パターンの場合のみ

□■▲▲　□□■▲　□□□■　□□□□　□□□□
□▲▲▲　□▲▲▲　□▲▲▲　□□■▲　□□□■
▲▲▲▲　□▲▲▲　□▲▲▲　□□▲▲　□□▲▲

■＝宝あり　□＝宝なし　▲＝宝ありorなし

▲がnマス、■がmマス、宝の総数がk個であるパターンの組み合わせ数は C(n,k-m)
C(n,m) は二項係数。(n＜m のとき C(n,m)=0)

よって宝がk個の場合のパターンの総数は
C(9,k-1) + C(7,k-1) + C(6,k-1) + C(3,k-1) + C(2,k-1)


同様に、
短軸有利は以下の５パターンの場合のみ

□□▲▲　□□□▲　□□□□　□□□□　□□□□
■▲▲▲　□▲▲▲　□■▲▲　□□▲▲　□□□□
▲▲▲▲　■▲▲▲　□▲▲▲　□■▲▲　□□■▲

よって宝がk個の場合のパターンの総数は
C(9,k-1) + C(7,k-1) + C(5,k-1) + C(4,k-1) + C(1,k-1)

C: 複素数全体
R: 実数全体
Q: 有理数全体
Z: 整数全体
N: 自然数全体

使用例. 1 ∈ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2〜5個　短軸有利
宝：6〜13個　長軸有利
宝：14〜20個　同等

□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■

短軸有利☆

Table[C(17,k-1)+C(15,k-1)+C(13,k-1)+C(11,k-1)+C(10,k-1)+C(8,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,20}]

長軸有利☆

Table[C(17,k-1)+C(15,k-1)+C(13,k-1)+C(12,k-1)+C(8,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,20}]

同等☆

Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]

短軸有利☆

Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}]

Cの数は宝一つの時の当たり数の5
9+7+5+4+1=26は宝二個の時の当たり数になる

長軸有利☆

Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,12}]

Cの数は宝一つの時の当たり数の5
9+7+6+3+2=27は宝二個の時の当たり数になる

同様に20マスの場合は

短軸有利のCの数は宝一つの時の当たり数の9
17+15+13+11+10+8+5+4+1=84は
宝二個の時の当たり数になる

長軸有利のCの数は宝一つの時の当たり数の9
17+15+13+12+8+7+6+3+2=83は
宝二個の時の当たり数になる

このことはn(n+1)マスでnを大きくしても変わらない

■雷神杯（ライジンハイ）

確率と戦術を基本とし、
相手の考えを予測するゲームです

━━━
━━━━━━━━━━
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

数学においてガンマ関数（英: Gamma function）とは、
階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数である
互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、
1729年、数学者レオンハルト・オイラーが階乗の一般化として、
最初に導入した

2 3 6 7 9
2 3 6 7 8 12 13 15 17
2 3 6 7 8 12 13 14 16 20 21 23 25 27
2 3 6 7 8 12 13 14 15 20 21 22 24 26 30 31 33 35 37 39

長軸choose数え上げ

(5/3)cos((2/3)π(n-7))+(5/3)cos((4/3)π(n-7))+cos((2/3)π(n-6))+cos((4/3)π(n-6))+(1/3)cos((2/3)π(n-5))+(1/3)cos((4/3)π(n-5))+3

5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3

IntegerExponent[n, b] n を割る b の最大ベキを与える

1 + Sum[IntegerExponent[2 k, 2], {k, 1, -1 + n}]

100!中の二進数字の桁数を求める：

In[1]:=IntegerLength[100!, 2]

Out[1]=525

■5×6マスで宝の数を14まで増やしていくと、

D:\bin>for %i in (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13) do treasure 5 6 %i

D:\bin>treasure 5 6 1
p1st = 14, q1st = 14, draw = 2

D:\bin>treasure 5 6 2
p1st = 203, q1st = 197, draw = 35

D:\bin>treasure 5 6 3
p1st = 1801, q1st = 1727, draw = 532

D:\bin>treasure 5 6 4
p1st = 11418, q1st = 11008, draw = 4979

D:\bin>treasure 5 6 5
p1st = 55469, q1st = 54036, draw = 33001

D:\bin>treasure 5 6 6
p1st = 215265, q1st = 211894, draw = 166616

D:\bin>treasure 5 6 7
p1st = 685784, q1st = 680768, draw = 669248

D:\bin>treasure 5 6 8
p1st = 1827737, q1st = 1825076, draw = 2200112

D:\bin>treasure 5 6 9
p1st = 4130886, q1st = 4139080, draw = 6037184

D:\bin>treasure 5 6 10
p1st = 7995426, q1st = 8023257, draw = 14026332

D:\bin>treasure 5 6 11
p1st = 13346984, q1st = 13395944, draw = 27884372

D:\bin>treasure 5 6 12
p1st = 19312228, q1st = 19372871, draw = 47808126

D:\bin>treasure 5 6 13
p1st = 24301031, q1st = 24358063, draw = 71100756

ここまでは算出できたが、宝を14にしたらエラー終了した

短軸有利☆

Table[C(27,k-1)+C(25,k-1)+C(23,k-1)+C(21,k-1)+C(19,k-1)+C(18,k-1)+C(16,k-1)+C(14,k-1)+C(11,k-1)+C(10,k-1)+C(9,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,30}]

長軸有利☆

Table[C(27,k-1)+C(25,k-1)+C(23,k-1)+C(21,k-1)+C(20,k-1)+C(16,k-1)+C(14,k-1)+C(13,k-1)+C(12,k-1)+C(8,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,30}]

同等☆

Table[C(29,k-1)+C(27,k-2)+C(25,k-2)+C(23,k-2)+C(21,k-2)+C(16,k-2)+C(14,k-2)+C(1,k),{k,1,30}]

□■■■■■
□□■■■■
□□□■■■
□□□□■■
□□□□□■

>>214
宝の数を変化させるコードをHaskellに移植してみた

import Data.List
import Data.List.Split
m = 5 -- 縦マス(短軸）
n = 6 -- 横マス(長軸)
k = 5 -- 宝の数
q = [0..m*n-1]
matQ = chunksOf m q
matP = transpose matQ --行列を転置して
p = concat matP -- 配列に変換

combinations :: Int -> [a] -> [[a]]
combinations 0 _ = [ [] ]
combinations n xs = [ y:ys | y:xs' <- tails xs, ys <- combinations (n-1) xs']
treasure = combinations k q -- 宝の組み合わせ
ip y = minimum $ map(\x -> elemIndices x p!!0) y　--　宝の、配列ｐでのindex列を求めて最小値を返す
iq y = minimum $ map(\x -> elemIndices x q!!0) y

idxp = map ip treasure -- 宝の組み合せで実行して
idxq = map iq treasure

p_q = zipWith (-) idxp idxq -- 差をとって大小判別
p1st = length $ filter (<0) p_q　-- 短軸方向探索ｐが先に宝をみつける
q1st = length $ filter (>0) p_q
draw = length $ filter (==0) p_q

main = do
putStrLn $ "p1st = " ++ show p1st ++ ", q1st = " ++ show q1st ++ ", draw = " ++ show draw


Prelude> :main
p1st = 54036, q1st = 55469, draw = 33001

ナフス・プレミンジャー

Table[(1!/(1-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]

{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

☆

Table[(1!/(1-k)!)/k!,{k,1,20}]

{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

☆

目下の所、世論の情勢をかんがみて、管理人の判断基準は
完全に秘匿されています
短期的戦略としての隠蔽工作は現状容易ですが
長期的視野に立った場合、決して望ましい方針ではないですし
いずれは偽らざる姿を公のものとするべきです
全ての市民が、初等関数を認識し了解した上での統制を享受するような
環境を整えること、そして課題の達成は将来の人類社会に
より盤石な安定と繁栄をもたらします
このスレッドの動向を引き続き観察、解析することは
未来の市民を懐柔し順応させる方法論を構築する
貴重な手掛かりとなるのです

Notorious Chase

Table[(1/(1-k)!)/k!,{k,1,20}]

Table[(1/(1-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]

{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

☆

トランプの束がある
2〜10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、
ジョーカーのカードが24枚ある
全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき
その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が
書かれている確率はいくらか

Sum[C(24,k)*C(9,12-k)*4^(12-k), {k, 3, 12}]/(C(60,12))

出力　7371811052/66636135475

Sum[C(24,k)C(9,12-k)4^(12-k),{k,3,12}]/(C(60,12))

☆

第一種の合流型超幾何関数（クンマー）

1Ｆ1[a; b; z] = 1+Σ[k=1, ∞] {a(a+1)････(a+k-1)/b(b+1)････(b+k-1)} z^k/k!

1Ｆ1[-n; -2n; z] = {n!/(2n)!} Σ[k=0, n] {(2n-k)!/(n-k)!k!} z^k

超幾何級数で定義される、
或いは表示される関数を超幾何関数という
超幾何関数は多くの初等関数や特殊関数を包含する

歴史的には、18世紀に Euler が初めて超幾何微分方程式と
その解の研究を手掛けた
19世紀初頭になると、J. C. F. Gauss や N. H. Abel 等によって
級数の収束性についての厳密な理論が展開され、
超幾何級数にも応用された
19世紀中葉では複素解析学が整備され、
G. F. B. Riemann などの著名な数学者によって、
複素領域で定義された線形常微分方程式の解となる
関数の大域的理論や多価関数としての構造が深く研究された

■新元号「令和」に
ITmedia-5 時間前

■新元号は「令和」　施行は5月1日0時より
Engadget 日本版-5 時間前

■新元号「令和」の考案者は？候補はいくつ出た？ 元号決定までのプロセス ...
ハフポスト日本版-4 時間前

■新元号は「令和」、万葉集から出典 「心寄せ合い、文化育つ」と首相
詳細-ロイター-1 時間前

■新元号「令和」＝出典は「万葉集」、国書で初−５月１日改元
詳細-時事通信-4 時間前

すべて表示

>>236
■バグ修正　--行と列を間違えていた(>_<)

import Data.List
import Data.List.Split
m = 5 -- 縦マス(短軸）
n = 6 -- 横マス(長軸)
k = 5 -- 宝の数
q = [0..m*n-1]
matQ = chunksOf n q
matP = transpose matQ --行列を転置して
p = concat matP -- 配列に変換

combinations :: Int -> [a] -> [[a]]
combinations 0 _ = [ [] ]
combinations n xs = [ y:ys | y:xs' <- tails xs, ys <- combinations (n-1) xs']
treasure = combinations k q -- 宝の組み合わせ
ip y = minimum $ map(\x -> elemIndices x p!!0) y　--　宝の、配列ｐでのindex列を求めて最小値を返す
iq y = minimum $ map(\x -> elemIndices x q!!0) y

idxp = map ip treasure -- 宝の組み合せで実行して
idxq = map iq treasure

p_q = zipWith (-) idxp idxq -- 差をとって大小判別
p1st = length $ filter (<0) p_q　-- 短軸方向探索ｐが先に宝をみつける
q1st = length $ filter (>0) p_q
draw = length $ filter (==0) p_q

main = do
putStrLn $ "p1st = " ++ show p1st ++ ", q1st = " ++ show q1st ++ ", draw = " ++ show draw

>matrix.exe
p1st = 55469, q1st = 54036, draw = 33001

メモリを食わないコード
https://ideone.com/HaAqJO

最近では、虚部が小さい方から10兆個までの複素零点は
すべてリーマン予想を満たすことが計算されており、
現在までにまだ反例は知られていない

現在では多くの数学者がリーマン予想は正しいと
考えているようである
しかし無限にある零点からみれば有限に過ぎない
10兆個程度の零点の例などは零点分布の真の姿を
反映するには至らないとして、
この計算結果に対して慎重な数学者もいる

歴史上有名な数学者の中でも
リーマン予想を疑っていた数学者はいる

優勢予測指数

37×3=111
37×6=222
37×9=333
37×12=444
37×15=555
37×18=666
37×21=777
37×24=888
37×27=999

271×41=11111
271×82=22222
271×123=33333
271×164=44444
271×205=55555
271×246=66666
271×287=77777
271×328=88888
271×369=99999

8547×13=111111
8547×26=222222
8547×39=333333
8547×52=444444
8547×65=555555
8547×78=666666
8547×91=777777
8547×104=888888
8547×117=999999

>>134
1111111=239×4649
11111111111=21649×513239

不可説不可説転
https://www.youtube.com/watch?v=ruSJZ32MLwg

　┏┓┏┓ ┓┏┓
　┏┛┃┃ ┃┗┫
　┗┛┗┛ ┻┗┛
　令┃和┃元┃年┃
　━┛━┛━┛━┛

------------------------
●「ベイズの定理」の導出
------------------------
いま，観察データＤが与えられたとして，
それを説明する対立仮説がＨi（ｉ＝1,2,...,m）であったとします．
このとき，仮説Ｈiの尤度Ｌ(Ｈi)＝Ｐ[Ｄ｜Ｈi]と定義されます．
言葉で言えば「仮説Ｈiのもとで観察Ｄが生じる確率」が
尤度Ｌ(Ｈi)ということです．

この定義式には条件付き確率Ｐ[・｜・]が含まれています．
一般に条件付き確率Ｐ[Ａ｜Ｂ]は：

Ｐ[Ａ｜Ｂ]＝Ｐ[Ａ＆Ｂ]／Ｐ[Ｂ]

すなわち，「“世界”をＢに限定したときにＡが生じる確率」と
定義されます．
したがって，積事象Ｐ[Ａ＆Ｂ]とは異なる概念で
あることに注意してください．

上の式を移項すると

Ｐ[Ａ＆Ｂ]＝Ｐ[Ａ｜Ｂ]・Ｐ[Ｂ]

となりますが，左辺に対して別の変形：

Ｐ[Ｂ＆Ａ]＝Ｐ[Ｂ｜Ａ]・Ｐ[Ａ]

と等価であることから，右辺どうしを等置し：

Ｐ[Ａ｜Ｂ]・Ｐ[Ｂ]＝Ｐ[Ｂ｜Ａ]・Ｐ[Ａ]
∴Ｐ[Ａ｜Ｂ]＝Ｐ[Ｂ｜Ａ]・Ｐ[Ａ]／Ｐ[Ｂ]

が導かれます．

ここでＡ，ＢをそれぞれＨi，Ｄと置き換えると：

Ｐ[Ｈi｜Ｄ]＝Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi]／Ｐ[Ｄ] （＊）

となります．左辺Ｐ[Ｈi｜Ｄ]をデータＤが与えられたときの
仮説Ｈiの事後確率（posterior probability）と呼び，
対する右辺のＰ[Ｈi]を
仮説Ｈiの事前確率（prior probability）と呼びます．
右辺のＰ[Ｄ｜Ｈi]はすでに定義した尤度です．
分母Ｐ[Ｄ]は仮説Ｈiに依存しない定数です．

この式（＊）は「ベイズの定理」として知られています．
言葉で言えば，ある仮説Ｈiの事前確率と尤度の積が
Ｈiの事後確率になるということです．

（＊）式の分母Ｐ[Ｄ]を変形します．条件付き確率の定義により：

Ｐ[Ｄ]＝Ｐ[(Ｄ＆Ｈ1)or(Ｄ＆Ｈ2)or...or(Ｄ＆Ｈm)] Ｈiの排反事象に分割
＝Σ[i=1〜m]Ｐ[Ｄ＆Ｈi] 総和記号で表記
＝Σ[i=1〜m]Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi] 条件付き確率に展開

したがって，ベイズの定理（＊）式は：

Ｐ[Ｈi｜Ｄ]＝Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi]／Σ[i=1〜m]Ｐ[Ｄ｜Ｈi]・Ｐ[Ｈi]

と変形できます．
この式は，事後確率が事前確率と尤度の関数で
あることを示しています．

P(A)＝Σ［ｉ＝１〜ｍ］Ｐ（Ａ｜Ｂｉ）（Ｂｉ）

『れいわ』…

菅官房長官がつぶやく

その瞬間ハッとした

あの菅官房長官がリーマンゼータ関数を解明したのか？

そう思ったのだ

れい→零→ゼロ点

わ→ゼータ関数における分数の和

まさか、あの菅官房長官が…　解き明かした？

そして数分が経ち
目を向けると令和と書かれた色紙があり
官房長官の姿は無かった

ほどなく、官房長官はリーマン予想を解決しておらず
単なる新元号の発表会だったことを知った

初めの「れいわ」に心臓が止まりそうになった実録である

素数は無限にあるという証明は簡単だ
もし、すべての素数がわかったとして、それらを
すべて掛け算し1を足した数は、
「すべての素数で割っても割り切れず、1余る」
それは、未知のもっと大きな「素数」で割り切れるか、
それ自身「素数」であるかのどちらかだ
つまり論理的に最大の素数は存在せず、
素数は無限にあり、その探索は終わらないのだ

C(4,k-1)=C(3,k-1)+C(3,k-2)

☆

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)

C(n,k)=C(n,n-k)

☆

■コインを10000回投げて、全て同じ側が出る確率

5.0124×10^-3011


■コインを100回投げて、全て同じ側が出る確率

7.889×10^-31

C(n,k)=(n/k)C(n-1,k-1)

☆

虚勢を捨て、腹を割って話し合いましょう

1以上22以下の自然数の集合をSとする
Sの部分集合Tで、次の条件を満たすものを考える

[条件] Tに属する任意の2つの要素の差は4でも7でもない

Tの要素数の最大値はいくらか

1 5 9 13 17 21
2 6 10 14 18 22
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20

［1 3 6 9 11 14 16 17 19 22］

［2 4 5 7 10 12 13 15 18 21］

［1 3 4 6 9 12 14 15 17 20］

>>270
中は修正

［1 2 4 7 10 12 13 15 18 21］

>>270
一番上を修正
［1 3 6 9 11 14 17 19 20 22］

Haskell 先生の答え
Prelude> let nextSub (x, y) = [(a,b)|i<-y,let a = i:x,let b = [j|j<-y,j>i,j/=i+4,j/=i+7]]
Prelude> let next x = concat $ map nextSub x
Prelude> let sols = iterate next [([],[1..22])]
Prelude> mapM_ print $ sols !! 10
([21,18,15,13,12,10,7,4,2,1],[])
([21,20,18,15,12,10,7,4,2,1],[])
([21,18,16,15,13,10,7,4,2,1],[])
([21,19,18,16,13,10,7,4,2,1],[])
([22,21,19,16,13,10,7,4,2,1],[])
([20,17,15,14,12,9,6,4,3,1],[])
([22,20,17,14,12,9,6,4,3,1],[])
([20,18,17,15,12,9,6,4,3,1],[])
([21,20,18,15,12,9,6,4,3,1],[])
([22,20,19,17,14,9,6,4,3,1],[])
([22,20,17,14,12,11,9,6,3,1],[])
([22,20,19,17,14,11,9,6,3,1],[])
([20,18,17,15,12,9,7,6,4,1],[])
([21,20,18,15,12,9,7,6,4,1],[])
([21,20,18,15,12,10,9,7,4,1],[])
([22,19,16,14,13,11,8,5,3,2],[])
([22,21,19,16,13,11,8,5,3,2],[])
([22,19,17,16,14,11,8,5,3,2],[])
([22,20,19,17,14,11,8,5,3,2],[])
([21,18,16,15,13,10,7,5,4,2],[])
([21,19,18,16,13,10,7,5,4,2],[])
([22,21,19,16,13,10,7,5,4,2],[])
([21,19,18,16,13,10,8,7,5,2],[])
([22,21,19,16,13,10,8,7,5,2],[])
([22,21,19,16,13,11,10,8,5,2],[])
([22,19,17,16,14,11,8,6,5,3],[])
([22,20,19,17,14,11,8,6,5,3],[])
([22,20,19,17,14,11,9,8,6,3],[])
Prelude> length $ sols !! 10
28

http://mall.373news.com/felia/wp-content/uploads/2014/09/86eb3f2358a7935981b77858d0b5fa15-e1408600984926.jpg

■論理演算とブール代数

論理式はWolfram言語では記号形式で表現されるので，
評価することも記号的に操作して変換することもできる．
Wolfram言語は最新の量限定子除去，充足可能性，
方程式の論理定理照明を統合し，
ブール代数に基づいた解析において強力な
フレームワークを提供する．

論理演算子

■「紙幣変わる」紙幣と５００円硬貨 デザインを一新へ
日テレNEWS24-6 時間前

Functional Analysis

━━━━━━━━━━━━━━━━━━
━━━━━━☆━━━━━━━━☆━━━━

n人掛けの長いすがある
ここに、2人組のカップルがつぎつぎとランダムな
位置に座っていく
但し、各カップルは隣り合って座り、1人が1人分の椅子を占有し、
一度座ったら動かないものとする
もし、左から3,4人目のところにカップルが座り、6,7人目の
ところにもカップルが座ると、5人目のところは使えないままと
なることになる
このように各カップルはランダムな位置を占有しながら、
座れなくなるまでカップルは座っていく
このとき、最後に左右が埋まって空席のまま
使われず残る椅子の数はいくつになると期待されるか、
nで表せ

a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}]

もし、一番最初のカップルが片端からk+1,k+2個目を
占有したとしたらどうなるだろうか
これは、その端からk個目までのk個と、
k+3個目から反対端までのn-k-2個が分断される
ことを意味する
つまり、k人掛けの椅子とn-k-2人掛けの椅子がある
という状況と同一視できる

いま、n人掛けの椅子はa_n人分のスペースが
孤立して残ると期待されるとする
例えば、n=0では誰も座れずa_0=0となり、
n=1ではやはりカップルは座れないが椅子は余るのでa_1=1、
n=2ではカップルが一組座って終わりなのでa_2=0、
n=3でも座れるカップルは一組だが1人分スペースが余るので
a_3=1となる

Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}]

ZONE OF THE ENDERS(Z.O.E)シリーズ

■ドロレス. Dolores.

スペイン語の女性の名前、ドローレス
愛称形はロラ（Lola）

重合度nのPVA（ポリビニルアルコール）があるとする
ここに、大過剰のホルムアルデヒド（HCHO）を用いて架橋を行う
この架橋は図のように行われる
即ち、各HCHO分子はPVAの隣り合う2つのOH基を架橋する
PVAのOH基をHCHOで架橋したものはビニロンと呼ばれる繊維になり、
残存するOH基の量に応じて吸水性などのパラメータが変わる
ここで、各HCHO分子は全くランダムな位置を架橋していくとし、
PVA とは架橋以外の相互作用をしないとする
もし、片端から3,4つ目のOHが架橋され、その後
6,7つ目のOHも架橋されたとすると、HCHOは5つ目のOHを
架橋できないことになる（隣り合うOHの架橋以外の相互作用を
認めないという仮定を用いた）
HCHO は大過剰存在するので、隣り合うOHがなくなるまで
架橋は進むとする
このとき、全てのOHの内、いくつが架橋されずに残ると
期待されるかnで表せ

>>279と>>285は

本質的に同じ問題として解くことができる

a_n=(n+3)mod4

0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3,

Table[2n-1+{(n-b)+3mod4},{b,1,4},{n,1,10}]

{4, 3, 6, 9, 12, 11, 14, 17, 20, 19},

{3, 6, 5, 8, 11, 14, 13, 16, 19, 22},

{2, 5, 8, 7, 10, 13, 16, 15, 18, 21},

{1, 4, 7, 10, 9, 12, 15, 18, 17, 20}

確率空間においては, A∈Fを事象(event)と呼ぶ.

■古典的確率模型

Ω={ω1,ω2, . . . ,ωn}(有限集合)
B=2^Ω(Ωのべき集合;Ωの部分集合すべてからなる集合族)
P(A)=#A/#Ω,A∈B(#Aは集合Aの元の個数)

この確率空間(Ω,B,P)を古典的確率模型という

サイコロを1回投じる
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, P({ω})=1/6(∀ω∈Ω).
P(奇数の目が出る)=P({1, 3, 5})=#{1, 3, 5}/#Ω=3/6=1/2.

コインを2回投げる
Ω={HH, HT, TH, TT},P({ω})=1/4(∀ω∈Ω).
(Hは表(head),Tは裏(tail)を意味する)

a_n=1/4((-1)^n-(1+2i)(-i)^n-(1-2i)i^n+9)

1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2,

古典確率を考えれば，
P(H1)={おばけが存在する}，
P(H2)={おばけは存在しない} としたとき，
P(H1)=P(H2)=1/2 と考えられる．

（1. 存在するかしないかの2通りで1/2）
（2. おばけという事象を客観的に観測され得ない
状況において，それぞれが存在する or　存在しないという
確率が確かめられないため，
"principle of insufficient reason(理由不十分の原則)"から
それぞれの確率は同程度の確からしさであると考える）

しかしながら，主観的には，おばけは存在しないと
推測されるだろうし，実際的に，
「おばけという事象が存在する可能性は低い」と考える
のが妥当だろう．これは，客観的観測に基づくものではなく，
主観的な推測に拠るところが大きい．
したがって，主観的確率から，
P(H2) >>> P(H1)≒0.000… という風に考えられる．

さらに，上記を事前確率として，
事後確率としてお化けに遭遇する確率を考えたとき，
遭遇するか否かを1/2として考えれば，どちらのほうが
実際に近い確率が得られるかは言うまでもないだろう．
上記のほうでは，
頻繁にお化けに遭遇することになってしまう．

それは，遭遇する確率を1/2とするのがおかしくて，
これら事前確率の確率分布は
p = qの左右対称な二項分布を取るのではなく，
p<<<qな二項分布であることが予想されるわけだが，
その予想を可能とするのも，いわゆるベイズ統計の
知識があるからである．

(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)

a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4-2b^2c^2+c^4

(n+2)sum[k=0,n](-2)^k/k!+(-2)^(n+1)/n!

(n+2)sum[(-2)^k/k!,{k,0,n}]+(-2)^(n+1)/n!

>>282

合流型超幾何微分方程式
(confluent hypergeometric differential equation)

Table[2n-4+{(n-b)+6mod7},{b,2,4},{n,1,10}]

{3, 6, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 16},

{2, 5, 8, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22},

{1, 4, 7, 10, 6, 9, 12, 15, 18, 21}

☆

10,11,12,13,14,15,16,17,20,22,24,31,100,121,10000,1111111111111111

16項からなる数列の定義は？

■無量大数の世界でも10/49を出力する

Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,10^68,10^68+150},{n,3,3}]

Table[9!/((10-k)!(k-1)!)+7!/((8-k)!(k-1)!)+6!/((7-k)!(k-1)!)+3!/((4-k)!(k-1)!)+2!/((3-k)!(k-1)!),{k,1,12}]

{5, 27, 76, 140, 176, 153, 92, 37, 9, 1, 0, 0}

☆

https://i.imgur.com/eoY0sHN.png

調べたらimecが1.4nmまで構想練ってた..
5nmが限界ではない

Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1)

Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}]

Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}] 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)

■□■
■□■
□■■

Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}]

a_n=(2n+(-1)^(n+1)+1)/4

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7

n>0

1/4(2n+e^(iπ(n+1))+1)

(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4

1/4(2n+e^(i πn+i π)+1)

(1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4

ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4]

1/4(2n+e^(iπ n+iπ)+1)