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ヒルベルト・ポリア予想

数学において、ヒルベルト・ポリア予想 (Hilbert?Polya conjecture) とは、スペクトル理論によるリーマン予想への一つのアプローチの方法である。1910年代に、ヒルベルトとポリアが、リーマン予想の証明は自己共役作用素を見つけることにより得られるのではないかと示唆したことが、この予想の契機である。

歴史
1982年1月3日の日付のアンドリュー・オドリツコ（英語版）の手紙に、ジョージ・ポリアが1912年から1914年にかけてゲッティンゲンにいたときに、エドムント・ランダウからリーマン予想が正しいという物理的な理由を聞かれ、もしリーマンゼータ函数の零点

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の虚部 t が、非有界な自己共役作用素の固有値に対応している場合が該当するのではと示唆したとの記載がある[1]。 この予想の出版されたステートメントは、Montgomery (1973) の中の記載が最も早いようである。[1][2]

1950年代とセルバーグ跡公式
ポリアとランダウの会話の時代には、このような見方の土台はほとんど無かった。しかし、1950年代初期にアトル・セルバーグは、リーマン面の長さスペクトルとラプラス作用素の固有値の間の双対性を証明した。セルバーグ跡公式は、明示公式に非常によく似ていて、明示公式はヒルベルト・ポリヤの見方に信憑性を与えている。

1970年代とランダム行列
ヒュー・モンゴメリー（英語版）はクリティカルライン上の零点の統計的分布を研究し、ある性質を持つことを予想した。この予想は、現在、モンゴメリーのペア相関予想と呼ばれている。零点は、密集し過ぎぎず反発するような傾向がある[2]。彼は1972年にプリンストン高等研究所を訪れたとき、この結果をフリーマン・ダイソンに示した。ダイソンはランダム行列理論の基礎を築いた一人である。

つづく