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つづき

ダイソンは、モンゴメリーが発見した統計分布がランダムエルミート行列の固有値のペア相関分布と同一に見えることを知った。これらの分布は物理学で重要であり、例えば、原子核のエネルギー準位のように、ハミルトニアンの固有状態はある統計を満たす。
引き出された結果は、リーマンゼータ函数の零点の分布とガウス型ユニタリアンサンブルから来るランダムエルミート行列の固有値との間の関係を強く裏付けていて、両方とも同じ統計に従うと現在は信じられている。このようにヒルベルト・ポリアの予想は、リーマン予想の証明には未だ至っていないが、より強固な基礎付を持っている[3]。

最近
このような函数解析を通したリーマン予想へのアプローチへ実質的な力を与えている発展として、アラン・コンヌは、リーマン予想と実質的に同値な跡公式を定式化した。従って、この跡公式の主張とセルバーグ跡公式との類似が一層強くなった。彼は、アデールの非可換幾何学上の跡公式として、数論での明示公式の幾何学的な解釈を与えた。[4]

量子力学と関係
ヒルベルト・ポリアの作用素と量子力学の関係は、ポリアにより与えられた。ヒルベルト・ポリア予想の作用素は、 1/2+iH の形をしている。ここに H は、ポテンシャル V(x) の中を運動している質量 m を持った粒子のハミルトニアンである。リーマンの予想は、このハミルトニアンがエルミートであること、同じことだが、 V が実数であるということと同値である。

このヒルベルト・ポリア予想の精密化は、ベリー予想、あるいはベリー・キーティングの予想として知られている。2008年の時点では、いまだ極めて不正確である。正しい力学を与えるにはどのような空間上でこの作用素が作用するべきか、期待される対数補正を得るにはどのようにこれを正規化するか、ということが明らかではないからである。
(引用終り)