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つづき

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原隆 九州大学
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/02/grad_pr02.html
確率論 I 学部４年・大学院向け，2002
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/02/pr-grad-all.pdf
講義のレジュメ 2002
(抜粋)
P6
1.4.1 確率変数とは

そもそも確率変数は，以下の「期待値」や「分散」などを通して，対象とする確率モデルをよりよく理解する（特徴づける）ために使われることが多い．
まあ，こういうものなんだが（標本空間が有限の場合はそれでよいのだが）一般の場合の厳密な定義を一応，書いておこう．
一般には確率変数も実数値をとるとは限らない（もっとヤヤコシイ空間内に値をとることもある：
例としてはブラウン運動）．
しかし，そんなややこしいことは後にして，普通「確率変数」と言うのは「実確率変数」のことである．
これを定義するためにまず，可測函数の概念を導入する．
定義 1.4.1 (可測函数) 可測空間 (Ω, F) がある．Ω 上の実数値関数 X が F-可測 とは，
全ての A ∈ B1 に対して X^-1(A) ≡ {Ω ∈ Ω｜ X(Ω) ∈ A}∈F (1.4.1)
が成り立つことである．ここで B1 とは１次元ボレル集合の全体
（＝ R の開集合全体を含む最小の σ-field）．

この言葉を使うと，実確率変数は以下のように定義される．

定義 1.4.2 (実確率変数) 確率空間 (Ω, F, P) 上の F-可測関数を (Ω, F, P) 上の実確率変数と言う．
しつこく書き下すと，実確率変数とは (Ω, F, P) 上の実数値函数関数 X : Ω → R で，
全ての A ∈ B1 に対して X^-1
(A) ≡ {Ω ∈ Ω ｜ X(Ω) ∈ A}∈F (1.4.2)
を満たすもののことである．

（大ざっぱに言うと）確率変数とは Ω から R への関数 X で，
「X が特定の値をとる確率がもとの Ω に戻ったら計算できるもの」なのである．
上の定義で X^-1(A) と言うところが「X がA 内の値をとるような，元々の Ω 達」を計算しているわけ．
さて，上の定義から X^-1(A) = E と書くと，E は F の元であるから，事象 E の実現確率P[E] が定義できている．
そこでこれを確率変数 X の言葉で X ∈ A となる事象の確率，と解釈し，P[X ∈ A] と書く．
(引用終り)

つづく