>>800
どうも。スレ主です。
微分幾何学は、”一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある”というから、それ一つの理由だろう
弱微分は、”弱解の定義につながる。それは、微分方程式や関数解析学の諸問題を解決する上で有用となる”とあるし、”より一般的な定義については、分布（distribution）を参照されたい”ともある
いまだと、Distribution_(mathematics)の中で扱われるかもね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
微分幾何学
(抜粋)
微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。
https://en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(mathematics)

目次
1 微分幾何学の道具立て
2 微分位相幾何学
3 内在的な定式化と外在的な定式化
4 微分幾何学の分野
4.1 リーマン幾何学
4.2 擬リーマン幾何学
4.3 フィンスラー幾何学
4.4 シンプレクティック幾何学
4.5 複素幾何学、ケーラー幾何学
4.6 CR幾何学
4.7 葉層の理論
4.8 接触幾何学
5 関連項目

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B1%E5%BE%AE%E5%88%86
弱微分
(抜粋)
数学の分野における弱微分（じゃくびぶん、英: weak derivative）とは、通常の意味での関数の微分（強微分）の概念を、微分可能とは限らないが積分可能である関数（ルベーグ空間に属する関数）に対して一般化したものである。より一般的な定義については、分布（distribution）を参照されたい。

目次
1 定義
2 例
3 性質
4 拡張

拡張
弱微分の概念はソボレフ空間における弱解の定義につながる。それは、微分方程式や関数解析学の諸問題を解決する上で有用となる。