>>959

つづき

自然数が、全順序関係を持つことを証明しているのだが
背理法「正則性の公理に矛盾」って書いてあるよ（＾＾
https://unaguna.jp/article/archives/27
U-naguna
(抜粋)
13.全順序関係

定義 2 (自然数の大小関係).

定理 3.上で定義した関係 R は全順序関係である。
(証明)　全順序関係の定義に則って確かめる。まず a=<a を示す。a=a より、a=<a。
次に a=<b, b=<c から a=<c を導く。a=<b より a∈b と a=b のいずれかが成立し、b=<c より c∈d と c=d のいずれかが成立する。もし a=b, b=c であれば a=c であるので a=<c。
もし a=b, b∈c であれば a∈c であるので a=<c。もし a∈b, b=c であれば a∈c であるので a=<c。
もし a∈b, b∈c であれば自然数の推移性より a∈c であるので a=<c。

次に a=<b, b=<a から a=b を背理法で導く。
a≠b とすると a=<b, b=<a より a∈b, b∈a
(注: この時点で正則性の公理に矛盾しているがこの記事シリーズでは正則性の公理を詳しく説明していないので、正則性の公理に依存する別の定理を使う)。
このとき自然数の推移性より a∈a であるが、これは自然数の正則性に矛盾する。したがって a=b。

最後に a=<b, b=<a のいずれかが成立することを a についての数学的帰納法で示す。
まず命題より 0∈b と 0=b のいずれかが成立するので 0=<b。
次に固定された a について a=<b, b=<a のいずれかが成立すると仮定する。
このとき a=b, b∈a, a∈b のいずれかが成立している。もし a=b なら a∈a∪{a} より b∈a∪{a} であるので b=<a∪{a}。
もし b∈a なら a∈a∪{a} と自然数の推移性より b∈a∪{a} であるので b=<a∪{a}。もし a∈b であるなら、命題より a∪{a}=<b。
以上よりいずれにしても a∪{a}=<b, b=<a∪{a} のいずれかが成立する。
(引用終わり)

以上