分からない問題はここに書いてね451

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね450
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1546128004/

(使用済です: 478)

しっかし誰も解けない難しい質問ばっかでつまんねえなぁ。
本当に「実際は解いている連中ばっか」状態になったこと一度もねえじゃんｗ
もっと簡単な質問してこい、脳みそウンコまみれの底辺層ども。

>>231
それはプロの数学者になろうとしている人間が発するお願いではないな。自分一人で解決できなきゃな。
で、プロの数学者になろうとしていない人間には、そんな一意性など、どうでもいいことだろ、んっ？

前>>230
(1)2.0066887≦r≦4.0066887
もう1位足して少数第7位まで出しました。

(2)38、39、40、41、42、43
>>206こっちはだめですか？　球Aが球Sの表面Tに内接するときも外接するときも一意に決まるのは間違いないんですが。厳密に出すには、球Bなり球Cなりとの共通部分を積分するべきですか。どうやって？　バウムクーヘン法で？

>>231
英語でググればすぐに分かります

数列{a[n]}を
a[1]=1
a[n+1]=1+a[n]a[n-1]...a[1]（ただしa[2]=1+a[1]、a[3]=1+a[2]a[1]）
により定める。

（1）次の極限は0でない定数に収束するか。
lim[n→∞] a[n]/n!

（2）（1）の極限が0に収束する、または発散する場合、以下の極限が0でない定数に収束するように数列K[n]を1つ定めよ。
なお（1）の極限が0でない定数に収束する場合、この設問に解答する必要はない。
lim[n→∞] a[n]/(K[n]*n!)

>>233
分からないなら無理してマウント取ろうとしなくていいぞ

一般項が（初等的な関数の形では）求められないどんな数列であっても、収束・発散のオーダーなら初等的な関数で表現できますか？

前>>234
わかった。生ハムだ。
バウムクーヘンじゃない、生ハム。共通部分を2球の接面から平行にうすくスライス。
球Sと球Bの共通部分は、
球Sと球Bの接合面に平行な生ハムのような円盤を足しあつめる。求める体積が最小となるときをまず考えて、境界面のすなわち生ハムの最大半径をdとすると、
√(2^2-d^2)+√{(r-1)^2-d^2}=r
r^2が消えて区間設定できそう。
球S内の球Bも球B内の球Sもともに2球の境界面(接円内の円盤)から肉片の端まで生ハムを足しあつめて求まる。
同様に球S内の球Cと球C内の球Sも求まり、これらを足して求まる。

アホ猿は奇声を発するのを止めろ

前>>239
半径rの球の体積は、
(4π/3)r^3でした。
>>206訂正。
題意の共有部分の体積は、球Aが球Sに内接するときが最大だが、球Aは体積V_Aが100％包含されるものの、球Bの体積V_Bのうち最大厚さ1の肉片が削がれる。
同様に、球Cの体積V_Cのうち最大厚さ3の肉片が削がれる。
球Bから削がれる体積は、
(4/3)π2^3の1/4として、
(8/3)π――�@
球Cから削がれる体積は、
(4/3)π4^3の3/8として、
(4/3)(3/8)64π=32π――�A
�@�AをV_A+V_B+V_Cから引くと、
(4/3)(π+8π+64π)-(8/3)π-32π
292π/3-(8+96)π/3
=188π/3
=196.87……
∴題意の共有部分の体積Sの最大値の整数値は196

同様に、題意の共有部分の体積Sの最小値は、
球Bから削がれる体積が大きく、
(4/3)8πの3/4として、
8π――�B
球Cから削がれる体積は、(4/3)64πの5/8として、
160π/3――�C
�B�CをV_B+V_Cから引くと、
(4/3)(8π+64π)-8π-160π/3=104π/3
=108.90……
∴題意の共有部分の体積Sの最小値の整数値は109
(予想されるおよその答え)
109から196までの整数

>>194で計算結果を書いた者ですが
一部間違えていたので計算し直しました
回転体の体積の求め方を使っています

rが最小値のとき
r=-1+(45/4√14)=2.006..., V_A=0
V=V_B+V_C
={(86/3)-(52/5)√14+(2912/3375)√506}π
=28.783...

rが最大値のとき
r=1+(45/4√14)=4.006..., V_A=(4/3)π
V=V_A+V_B+V_C
={(206/3)-(52/5)√14+(2912/3375)√506}π
=154.446...

求める整数値は 29≦V≦154

>>242と同じ計算で
rを整数で近似して 2≦r≦4 とすると

(55/6)π≦V≦(295/6)π
28.797...≦V≦154.461...
29≦V≦154

と、同じ整数値になります

以下の計算について教えてください。

3次元の直交座標系(x軸、y軸、z軸)となる空間に、三角形ABCがあります。この三角形を構成する3点の座標を
A(Ax, Ay, Az)
B(Bx, By, Bz)
C(Cx, Cy, Cz)
とします。また三角形ABCと相似な三角形abcが同じ空間にあります。ただし、∠A=∠a、∠B=∠b、∠C=∠cとし、3点の座標を
a(ax, ay, az)
b(bx, by, bz)
c(cx, cy, cz)
とします。このとき、

(1)三角形abcが三角形ABCと一致するようにするためには、点a, b, cをどのように移動(並進移動のみ)・回転・拡大縮小させればよいでしょうか。
(2)点a, b, cと相対位置を保つ点d(dx, dy, dz)がある場合(拡大縮小の場合には、abcと距離の比を保つとする)、三角形abcを三角形ABCに一致するように動かしたとき、
点dの移動先の点D(Dx, Dy, Dz)の座標はどのようにすれば求めることができるのでしょうか。

以上、よろしくお願いいたします。

自然数cで、ある自然数aとbが存在して
c^2=a^2+b^2
と表せる数をP数と呼ぶ。例えばc=5,10,13などはP数である。
また自然数dで、ある自然数p,q,rが存在して
d^2=(p^2+q^2)(1+r^2)
と表せる数をP'数と呼ぶ。
以下の問いに答えよ。

（1）P'数の例を1つ挙げよ。答えのみで良い。

（2）P'数は無数に存在するかどうか判定せよ。

（3）P数でもありP'数でもある自然数をすべて決定せよ。存在しない場合はそのことを証明せよ。

「答えのみで良い」の問には答えなくて良い

「判定せよ」の問には答えなくて良い

P数(ピタゴラス数)　…
　2または4n+1型の奇素数を含み、4n+3型の奇素数を含まないか偶数個含むもの。
　ただし 1 と 4ベキ を除く。

ラグランジュの恒等式(n=2)より
　d^2 = (p+qr)^2 + (pr-q)^2 = (p-qr)^2 + (pr+q)^2
なのでP'数はP数。（p=q, r=1 を除く)

出題ガイジは自分では一秒も考えず自作のクソ問書いてるだけだから相手しなくてよし

P'数ならばP数、じゃ答えになってねえよ

P'数でもありP数でもあるものを全て求めろ、そう書いてあるだろ

>>249
カス
ちゃんと問いに答えろや

こんな2秒で解けるバカ問題をバカ問題であることにも気付かず自力で解きもせず出題してるやつがこのスレに粘着してるという悲しみ

とりあえずNGに入れとくよ
NGが多くなりゃ共有NGユーザーが幸せになれる

そもそもそんなスッキリした必要十分条件ないやろ。
Pの方はかろうじて

4で割って3余る素因子の多重度が偶数

と割とシンプルな解答があるけど、P'の方はあかん。せいぜい

1+a^2の形の約数を持つP数

ぐらいにしか書きようがない。

前>>257
ω=(16-2r^2)/2r
=8/r-r
≒8/3.0066887-3.0066887＜0
思ったよりR寄りじゃなかった、O。

>>246
解はいずれも無数にありますね

(1)(2)は>>249の
＞p=q, r=1 を除く
で除かれる d^2=(2p)^2 が無数にあるので
(1)でひとつを例示し、(2)で証明して終了

(3)は>>256の
＞1+a^2の形の約数を持つP数
がすべてですね
成り立つ数は
(1+a^2)*(4m+3 の素因数を持たない任意の数)
として無限に構成できます

そうそう。
>>246 のままだと平方数が全部P数になるから
少なくとも一個4で割った余りが3でない素因子を持ち、4で割った余りが3の素因子の多重度は偶数でした。

Pの方は初等整数論でよく出てくるテーマだけどP'の方はダメダメやね。

>>236
この傑作お願いします

>>261
(1)発散(2)K[n]=a[n]/n!
スレ違いなので、出題したいだけなら出題スレにいってください
あと単純に問題がつまらないです

>>259
(3)について
377^2=(2^2+5^2)(1^2+70^2)
なので377はP'数ですが、377はその形では表れないのではないでしょうか
(377=13*29,4901=13^2*29)

>>263
なるほど
ある 1+a^2 に対して、素因数分解してから
平方数になるよう最小の数をかけた数が
最小の P' 数(の2乗)になるわけですね

一辺の長さa(a>0)の正方形ABCDの周上または内部に点Pをとる。

（1）L=PA+PB+PC+PDの取りうる値の範囲をm≤L≤Mの形で表す。
mとMをそれぞれaで表せ。
またL=m,L=MとなるときのPの位置を述べよ。

（2）m≤b≤Mを満たす実数bを1つとる。L=bとなる点Pが動きうる領域C(b)を図示せよ。

（3）C(b)の長さを求めよ。

>>266
>　P数のうち、平方が 1+aa の形の約数をもつもの。

そう、こんな形でしか条件表せんだろ。
こんなもん問題になってない。
受験で「必要十分条件求めよ」が問題として意味あるのは答えの形のして想定されてる形に既成事実化された標準(de facto standard)があるからだ。
こんなその手の標準が存在しない問題で「必要十分条件求めよ」って言われても答えようがない。
しかもこの問題、上の条件みたいなほぼあったりまえの言い換えぐらいしか無さそうだし。

どのような性質をもつかを考えること自体には多少なり意味はあると思う
問題としては皆の指摘通りダメですね
どのように答えるか指定されていない以上「P'数である自然数全体」でも答えだし、何なら「P数かつP'数となる自然数全体」でも冗長ではあるが正しい

こういう問題なら普通に自分が想定してる答え出して
「××である必要十分条件は××である事を示せ。」
にしときゃそれでいいんだよ。
字面通りの意味では「必要十分条件を求めよ」なんか受験数学とかの極一部でしか通用しない。
まぁP数の方は初等数論のよくある問題なので数論かじった人間ならどんな答えが期待されてるかハハーンと来るけどP’の方がダメダメすぎて話にならん。

前>>258
r=2.0066887のとき、
共通部分V_Bの最小値は、
V_B=2π∫0〜1{r^2-(1+t)^2}dt=2π[(r^2-1)t-t^2-t^3/3]0〜1
=2π(r^2-1-1-1/3)
=2π(r^2-7/3)
r≒2として、
V_B=2π(2^2-7/3)
=10π/3

最大値V_A=4π/3
最小値V_A=0として、
あと三つ。

出題ガイジ対策で絶対出典明記させるルール作ったほうが良いかもな
みんな出題ガイジの出題は大体見分けられるからスルーしてて埋め立て荒らしと化してる

nを正整数とする。
2つの数列a[n]=sin(π/n)、b[n]=1/nに対し、次の和を考える。
S_n = Σ[k=1 to n] a[k]
T_n = Σ[k=1 to n] b[k]
次の極限を求めよ。

lim[n→∞] {(S_2n)-(S_n)}/{(T_2n)-(T_n)}

>>271
ルールに素直に従うようなタマなら苦労しないよね

出題するならせめて自分でスレ建ててやってくれれば一番良いんだけど

そういえば、「走れエイトマン、タマよりも速く」って歌があったな。
W電鐵 貴志川線の無人駅長まで上り詰めた猫で、顔パスで電車に乗れる。
「タマよりも速く」ってのは難題だったなぁ。

http://www.youtube.com/watch?v=vcTELCKq7bo

>>275
簡潔であまりにも美しい証明
結論は予想できたが不等式で挟めず困っていた
素晴らしい、称賛する

4点A(1,1,0), B(-1,1,0), C(-1,-1,0), D(1,-1,0)を各頂点とする正方形ABCDを底面とし、N(0,0,n)を頂点とする四角錐N-ABCDを考える。
nがどのような正整数であっても、この四角錐のx^2+y^2≥1の領域の体積V_nは無理数であることを示せ。
解答にあたり以下の事実を用いてよい。
「0でない任意の有理数p,q,aについて、p√a+qπは無理数である。」

問題がくだらんのがなぁ

出題ガイジ？の提出した
分からない問題の中から
見るべきものを一つ選ぶとしたら
どれですか？

ガイジが自演で聞いてるんだろうけど

ちょっと出来のいい高3よりかなりレベルが低い（例：チェビシェフの多項式すら知らない >>80）やつが
適当に自分で解きもせず書きなぐってるんだから良問なんてあるわけないだろ

712!+1が素数かどうか、という問題で、
答えは「素数でない」らしいのですがどうやったら示せますか？

>>280
すいません
本当にわからないから聞いています
cosと多項式が結びつくなんて知りません

平面上の極座標で表された曲線
r=(1+cosθ)sinθ
の0≤θ≤tの部分の長さをL(t)とする。
0<t<2πの範囲でtを変化させるとき、L(t)のグラフを書け、また凹凸を調べよ。
横軸にt、縦軸にL(t)をとること。

>>283
カージオイド様の閉曲線の、全体でない一部分の長さをtで表せるか、
表せないとしたらグラフなら書けるのか、教えてください

複素数を座標に入れることで2次元空間を4次元空間に拡張できますか？例えば(3,2i)です
その実用性はありますか？

複素数a,b,c,dに対して、内積(a,b)・(c,d)が実数であることの図形的意味はなんですか？

多変数関数の区間上の積分で、網状分割だけでなく一般分割を考えるのはなぜですか？

■平方完成

y=ax^2-(-a+2)x-a-a+2
=a(x^2-(-a+2)x/a)-a-a+2
=a{(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a^2)}-a-a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-a-a+2-(-a+2)^2/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-2a+2-(-a+2)^2/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2+2-2a-(a^2-4a+4)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2+(8a)/(4a)-(8a^2)/(4a)-(a^2-4a+4)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2+(8a-8a^2-a^2+4a-4)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2+(-9a^2+12a-4)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(9a^2-12a+4)/(4a)

前>>270訂正。
r=2.0066887のとき、
共通部分V_Bの最小値は、
V_B=2π∫0〜ω[r^2-{(r+1)/2+t}^2]dt
積分区間のωは球Sと球Bの境界面から球Sの外周Tまでの距離だから、
ω=r-(r+1)/2
=(r-1)/2
V_B=2π∫0〜(r-1)/2{3r^2/4-r/2-1/4-(r+1)t/2-t^3/3}dt
=2π[(3r^2/4-r/2-1/4)t-{(r+1)/2}t^2-t^3/3]0〜(r-1)/2
r≒2で近似して、
V_B=2π[(3-1-1/4)t-3t^2/2-t^3/3]0〜1/2
2π{(7/4)(1/2)-(3/2)(1/4)-(1/3)(1/8)}
=2π(5/8-1/24)
=2π(7/12)
=7π/6

最大値V_A=4π/3

最大値V_Aの値との比較でたぶん間違いない。
共通部分あと三つ。

>>281
自信ないけど、こんなんでどうだろう？

712!+1　が　712+k　(kは1以上の整数)で割り切れるとすると、
712!≡-1　mod　(712+k)
k*(k+1)*(k+2)*...*(k+711)≡-1　mod　(712+k)
(k+711)!/(k-1)!≡-1　mod　(712+k)
この式と、712!≡-1　mod　(712+k)　から、
(k-1)!≡1　mod　(712+k)　が必要

ところで、
k=7　の時、左辺=6!=720≡1　mod 719 なので、成立。
確かに、Mod(712!+1,719)=0　が成立していることが確認できる

つまり、712!+1は719で割り切れるので、素数ではない

なんか変なことやってた。忘れてくれ

713素数じゃないからつまんね

>>291
あってんじゃね？少なくとも結果はあってる。
Prelude> mod (1+(product [1..712])) 719
0

p = n!-1 が素数の時
(p-1)! ≡ -1 (mod p) (Wilsonの定理)
n! ≡ 1 (mod p)
(n+1)・(n+2)・(n+3)‥(p-1) ≡ -1 (mod p)
∴ (p-n-1)! ≡ -1 (mod p)
ですかな。

r≒2で近似した。
V_Bは遅めにしたけど、
V_Cは計算キツくて早めに近似したせいか誤差が出た。
球Sと球Bの共通部分を積分して、
V_B=7π/6
V_C=33π/4
V_B+V_C=133π/12
=29.5833306
前>>290
近似したら最小値は30になった。

前>>296修正。
r=2.0066887のとき、
r≒2で近似して、
V_B=(中略)7π/6

V_C=(Sの半球)(1/2)4π2^3/3
+π∫0〜ω(2^2-t^2)dt
+π∫ω〜1{4^2-(3+t)^2}dt
(積分区間ωを求めるべく)点Oからtの位置にある球Sと球Cの境界面の半径の二乗についてピタゴラスの定理より二通りに表し、
4^2-(3+ω)^2=2^2-ω^2
6ω+9=16-4
6ω=3
ω=1/2
V_C=16π/3
+π∫0〜1/2 (2^2-t^2)dt
+π∫1/2〜1{4^2-(3+t)^2}dt
=16π/3
+π{4(1/2)-(1/3)(1/2)^3}
+π∫1/2〜1(7-6t-t^2)dt
=16π/3
+47π/24
+7(1/2)-3(1-1/4)-(1/3)(1-1/8)
=16π/3
+47π/24
+23π/24
=(64+35)π/12
=33π/4
V_B+V_C=(7/6+33/4)π
=(14+99)π/12
=113π/12
=29.5833306
早めに近似したせいか最小値は30になった。

r=4.0066887のとき、
V_A=(球Aは丸ごと球Sに包含され)4π/3･1^3
=4π/3
V_B=(球Bの直径4のうち球Sが3/4重なって)π∫……dt
V_C=(球Cの直径8のうち球Sが5/8重なって)π∫……dt

>>283
0<t≦π ですね。液滴形？

　r = (1+cosθ) sinθ,
　dr/dθ = (1+cosθ) (2cosθ -1),

L(t) = ∫[0,t] √{r^2 + (dr/dθ)^2} dθ
　= ∫[0,t] (1+cosθ)√{2 - 4(cosθ) + 3(cosθ)^2} dθ

L(π/8) = 0.756751
L(π/6) = 0.982294
L(π/4) = 1.38015
L(π/3) = 1.72888
L(3π/8) = 1.89979
L(π/2) = 2.43988
L(5π/8) = 2.97140
L(2π/3) = 3.12358
L(3π/4) = 3.36410
L(5π/6) = 3.50833
L(7π/8) = 3.54668
L(π) = 3.57596

ある本に、以下の定理が書いてあります。
凸関数はその定義域が凸集合であることを前提としていると思います。
なぜ定理としているのでしょうか？

定理3.6
凸関数の定義域は凸集合である。

馬鹿なババーが侮辱語を吐いて去りました。
下らない人格攻撃で迷惑ですから、もう二度と来ないで下さいね。

負けたのが悔しいのかもしれませんが。

負けると人格攻撃♪

>>300
定義を読み返せよ

人身攻撃

π　＞　３．１４２５９２６３

を証明せよ

お願いします。

x>0のときf(x)={(1+1/x)^x}{(1+x)^(1/x)}の増減を調べよという問題が分かりません。
まずx→+0とx→+∞の、eにならない方の項の極限が求められません
次にf(x)を微分しても結果がいい形にならないので、どこで極値をとるか、極値をとらないのか、が分かりません。
よろしくお願いします。

>>245もお願いします

五つのビリヤードの玉を真珠のネックレスのようにリングにつなげてみる。
この五つの玉のうち いくつとっても良いが隣同士の連続した物しか取れないものとする。
一つでも二つでも全部でもいい 。 しかし離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバーを足し合わせて1から21までのすべての数ができるようにしたい。
どの玉のナンバーを組み合わせてどの順番でネックレスをつくればよいか。答えはひとつでない。

ビリヤードの玉は1から15までらしい

>>答えはひとつでない。
普通これは、「複数ある」ことを意味するが、無しの場合に使っても嘘にはならないんだな。

>>308
森博嗣「笑わない数学者」か「冷たい密室と博士たち」のどちらかで出題されていましたね…

>>308
�A-�D-�@-�B-�I-

>>311
そうそう笑わない数学者。作中で答えなくてずっと気になってる。

>>312
解は10通りあるが、完成品は1通りのみ

>>310
確かにそれもあるな。反例があれば。それは思いつかなかったわ。

>>314
＞解は10通りあるが、完成品は1通りのみ
変なことばですね、あなたのいう「解」とは何ですか？「完成品」とは何ですか？「解」と「完成品」とはどう違うのですか？

1、2は絶対いるよな？3は1と2足してできるけど　4　は3か4新しく入れないと無理
逆から考えて1、2ある状態で1、2足して21にするとしたら（15、3）（14、4）…（10、8）

>>316
問いが球を組み合わせる順番なので解は10通りある
それら10通りのどの方法で組んでも、糸を切らずに向きを変えれば同じ並びにできる
よって完成品は1通りのみ

>>318
もう一度ききましょう、「解」と「完成品」との違いはなんですか？
「完成品」の定義を述べてください

1-5-2-10-3
が一例、並び替え含めると10通りの作り方がある

>>318

問いが球を組み合わせる順番なので解は10通りある
ってのがよく分からないけど、組み合わせは全部で15✕14✕13✕12✕11通りだそ
で輪っか状にする

>>320
スゴイな。勘で分かった？

>>321
ごめん最新のスレ見ずに投稿してた。撤回で

>>322
理詰めで見つけた
1と2は確定で、隣り合う場合、隣合わない場合、と地道に場合分けすれば5パターンくらいに絞れて案外楽に見つかる
和の取り方がちょうど21通りだから、「別々の和の取り方で同じ値がつくれてしまう並べ方は除外できる」ことを使うと便利

あと、５つの数字の合計は21になることも

>>306
微分計算の初歩的な問題だと思いますがお教えください。よろしくお願いします。

>>328
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%7B(1%2B1%2Fx)%5Ex%7D%7B(1%2Bx)%5E(1%2Fx)%7D

総当たりで確認
Prelude Data.List> let f x = [sum y|let xx = x++x,a<-[0..4],b<-[1..4],let y = take b$drop a xx] ++ [sum x]
Prelude Data.List> let g x = all id $ zipWith (==) [1..21] $ sort $ f x
Prelude Data.List> let h = concat $ map permutations [[1,2,c,d,e]|c<-[3..5],d<-[c+1..7],e<-[d+1..11],c+d+e==18]
Prelude Data.List> filter g h
[[2,5,1,3,10],[3,1,5,2,10],[3,10,2,5,1],[5,2,10,3,1],[2,10,3,1,5],[1,3,10,2,5],[5,1,3,10,2],[10,3,1,5,2],[1,5,2,10,3],[10,2,5,1,3]]