そもそもそんなスッキリした必要十分条件ないやろ。
Pの方はかろうじて

4で割って3余る素因子の多重度が偶数

と割とシンプルな解答があるけど、P'の方はあかん。せいぜい

1+a^2の形の約数を持つP数

ぐらいにしか書きようがない。