>>281
自信ないけど、こんなんでどうだろう？

712!+1　が　712+k　(kは1以上の整数)で割り切れるとすると、
712!≡-1　mod　(712+k)
k*(k+1)*(k+2)*...*(k+711)≡-1　mod　(712+k)
(k+711)!/(k-1)!≡-1　mod　(712+k)
この式と、712!≡-1　mod　(712+k)　から、
(k-1)!≡1　mod　(712+k)　が必要

ところで、
k=7　の時、左辺=6!=720≡1　mod 719 なので、成立。
確かに、Mod(712!+1,719)=0　が成立していることが確認できる

つまり、712!+1は719で割り切れるので、素数ではない