前>>373修正。
r=4.0066887のとき、
、
球Aは丸ごと球Sに包含され、
V_A=4π/3･1^3
=4π/3

球Bは直径4のうち3まで球Sが重なり、
V_B=π∫0〜ω{2^2-(2-t)^2}dt+π∫ω〜3{4^2-(t-2)^2}dt

積分区間のωは、ピタゴラスの定理により、2球の境界面の半径をdとして、
球Sについて、
4^2=(1+ω)^2+d^2
球Bについて、
2^2=(ω-2)^2+d^2
辺々引くと、12=6ω-3
ω=5/2

V_B=π∫0〜5/2{4^2-(2-t)^2}dt+π∫5/2〜3{4^2-(t-2)^2}dt
=π∫0〜5/2(4t-t^2)dt+π∫5/2〜3(12+4t-t^2)dt
=π[2t-t^2/3]0〜5/2+π[12t+2t^2-t^3/3]5/2〜3
=π{2(5/2)^2-(5/2)^3/3}+π[12(3-5/2)+2{3^2-(5/2)^2}-(1/3){3^3-(5/2)^3}]
=π{25/2-125/24+6+2(9-25/4)-(27-125/8)/3}
=π(6+18-9)
=15π

球Cは直径8のうち5まで球Sが重なり、
V_C=2π∫0〜5/2{4^2-(4-t)^2}dt
=2π∫0〜5/2(8t-t^2)dt
=2π[4t^2-t^3/3]0〜5/2
=2π{4(5/2)^2-(5/2)^3/3}
=2π(25-125/24)
=475π/12

V_A+V_B+V_C=4π/3+15π+475π/12
=671π/12
=175.667389
最大の整数値は175
∴2≦r≦4で近似すると、
共通部分V_A+V_B+V_Cの整数値は、
30以上175以下の整数