曲線の長さの定義について質問です。

アルキメデスが円周の長さを求めたときには、円の内接多角形と外接多角形を考えました。
内接多角形の周長の上限と外接多角形の周長の下限が一致することを確認してその共通の
値を円周の長さと定義していたと思います。

ところが、微分積分の本に書いてある曲線の長さの定義では、曲線を近似する折れ線の
長さの上限として定義しています。

アルキメデスが外接多角形を考えたのは余計なことだったのでしょうか？