>>502

p>0, q は任意として（§35，[例3]）
　∫[0〜∞)　e^(-px) cos(q "x) dx = p/(pp+q "q "),　　　　　　… (7)
これはq"に関して一様に収束する。 ( |e^(-px)･cos(q "x)| ≦ e^(-px) ）
よって q " に関して0からq ' まで積分して、
　∫[0〜∞)　e^(-px) {1-cos(qx)}/x dx = Arctan(q'/p),
q ' に関して0からqまで積分して、
　∫[0〜∞)　e^(-px) {1-cos(qx)}/x^2 dx = ∫[0〜q] Arctan(q'/p) dq' = q･Arctan(q/p) - (p/2)log(pp+qq) + p･log(p),
ここで q=1 として
　∫[0〜∞)　e^(-px) {1-cos(qx)}/x^2 dx = Arctan(1/p) - (p/2)log(pp+1) + p･log(p),　　　… (8)
これは p>0 なる仮定の下において証明されたのである。
しかし、p=0 とすれば ∫[0〜∞) {1-cos(x)}/x^2 dx は収束し(定理36)、また p≧0 のとき e^(-px)≦1 だから、
(8)の右辺は p≧0 において一様収束、従って連続である。
よって p→0 のとき、(8)から
　　∫[0〜∞)　{1-cos(x)}/x^2 dx = π/2,

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)　第4章 §48 ［例4] p.168-169