>>515
ニーベンの証明（背理法）

　F(x) = f(x) - f^(2)(x) + f^(4)(x) - ････ + (-1)^n f^(2n)(x)
とおくと
　f(x) = F"(x) + F(x),
∴　∫[0,π] f(x)sin(x)dx = ∫[0,π] {F "(x) + F(x)}sin(x)dx
　= [ F '(x)sin(x) - F(x)cos(x) ](0,π)
　= F(π) + F(0),　　　　　････ (1)

いま、πが有理数だったと仮定する。
π = p/q　(p,qは自然数。互いに素としてよい｡)
　f(0), f '(0), f "(0), ････
　f(π), f '(π), f "(π), ････,
がすべて (1/q)^(2n) の整数倍であることが容易に分かる。ところが、
　0 < x < π = p/q,
　x(π-x) ≦ (π/2)^2,
　0 < f(x)sin(x) < f(x) ≦ (π/2)^(2n) /n!
であるから
　0 < ∫[0,π] f(x)sin(x)dx < 2(π/2)^(2n+1) /n! = 2(p/2q)^(2n+1) /n!
　この右辺の値が、十分大きいnに対しては (1/q)^(2n) より小さいことが容易に示されるので、(1)の右辺が (1/q)^(2n) の整数倍となることと矛盾を生じる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/円周率の無理性の証明
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.80