https://math.stackexchange.com/a/3067104/384082

↑のZixiao_Liuという人の最後のコメントってあってますか?

U_k ∩ ({x} × B) ≠ φ

であったとしても、

{x} × V_k ⊂ U_k

が成り立つとは一般的には言えないと思います。