もしかしてLubesgue積分ならいつでも順序交換できるとおもってないか？
収束定理のとこちゃんと読み直してみろよ。
いつでも極限と積分交換できるなんて書いてないだろ？

∫[0,1] lim[n→∞]fn(x)dx
= ∫[0,1] 0 dx
= 0

だけど

∫[0,1] lim[n→∞]fn(x)dx と lim[n→∞]∫[0,1] fn(x)dx

は一致しない。
一致するというなら証明して見せてよ。