誤植を訂正します

G, K を群, f:G → K を群の準同型, H を G の正規部分群とすると,
f(H) は f(G) の正規部分群となる.

証明:

明らかに, f(H) は空でない.

t = f(x), s = f(y) ∈ f(H), w = f(z) ∈ f(G) (x, y ∈ H, w ∈ G) に対し,
x^{-1}y ∈ H, z^{-1}xz ∈ H だから,

t^{-1}s = f(x)^{-1}f(y) = f(x^{-1}y) ∈ f(H)・・・・(1)
w^{-1}tw = f(z)^{-1}f(x)f(z) = f(z^{-1}xz) ∈ f(H)・・・(2)

となる. (1), (2) より, f(H) は f(G) の正規部分群となる.

qed