③の証明
a×b=b×aが成り立つとする
(a+1)×b=a×b+b （①より）
=b×a+b （仮定より）
=b×(a+1) （②より）■

④の証明
a×b=b×aが成り立つとする
a×(b+1)=a×b+a （②より）
=b×a+a （仮定より）
=(b+1)×a　（①より）■

a=1、b=1のとき、a×b=b×a=1
よって全ての自然数について可換である