このような性質を満たす 1/0 は 1/0 * 0 = 0 でなければならず、そうすると、1/0 * 0 = 1 とした定義と矛盾します

1/0 * 0 を、何の前提もなしに、式変形してみます
1/0 * 0 = 1/0 * 0/1 = 1*0 / 0*1 = 1/1 * 0/0 です
このときに 0/0 を 1 とするか 0 とするかで、1/0 * 0 は 0 となるか 1 となるかに分岐するのですが、

私は、0/0 を 1 としてしまっていました。そうすると分配法則が上手くいきません
分配法則を成立させるためには、0/0 は 0 でなければならず、1/0 * 0 は 0 でなければなりません